Nafasi za Hilbert na uandishi wa Dirac

Katika somo hili tunafafanua nafasi za Hilbert kwa usahihi, kwanza tukionyesha jinsi na mahali zinapoingia katika matawi makubwa ya hisabati, yaani aljebra na topolojia. Tutafikia nadharia ya uainishaji wa nafasi za Hilbert: Hilbert mbili ni isomofiki kiisometria ikiwa zina dimensheni ileile ya Hilbert. Dhana hii haipaswi kuchanganywa na dimensheni ya kialjebra ya nafasi ya vekta, kwa kuwa zinafanana katika dimensheni yenye kikomo tu. Tutatoa nafasi za modeli za kila hali (dimensheni yenye kikomo, isiyo na kikomo inayohesabika, na isiyo na kikomo isiyohesabika), pamoja na muhtasari wa matumizi yake katika mekanika ya kwanta ya msingi. Tutamalizia kwa kufungua mjadala kuhusu kubadilika au kutobadilika kwa fizikia inayofafanuliwa na Hilbert zinazounganishwa kwa isomofizimu.

1. Miundo ya hisabati katika fizikia

Ili kufikia nafasi za Hilbert, tunatoa kumbusho fupi la « ramani ya hisabati »   inayotumiwa zaidi katika fizikia ya kinadharia. Ukurasa ufuatao unaonyesha toleo lililorahisishwa sana na lisilokamilika kwa kiasi kikubwa sana, lakini linalotosha kwa kozi hii, tazama Kielelezo (1).

Tukichagua kuanzia dhana ya angavu ya seti ya nukta¹, tunaendelea kwa kuongeza muundo kidogo kidogo kwenye seti hiyo. Tutaeleza mchoro huu hatua kwa hatua katika yanayofuata.

1.1. Miundo ya kialjebra na nafasi za vekta

Kutoka seti za nukta tunaweza kwenda moja kwa moja kwenye tawi la kushoto la ramani (1), lile la miundo ya kialjebra, inayotumiwa kwa ujumla kueleza seti za namba (lakini si hizo tu).

Kwa kufanya hivyo, tunaongeza operesheni moja au zaidi za muunganiko wa ndani kwenye seti ya nukta; operesheni hizi zinapotimiza kanuni fulani (ushirikiano, ubadilishanaji, kuwepo kwa elementi ya utambulisho, na kadhalika), tunapata miundo maalumu.

Katika mchoro tunaonyesha miundo ya msingi: magma (seti yenye operesheni ya ndani bila sifa maalumu), vikundi, pete na nyuga. Ipo mingine mingi, kama nusu-vikundi, monoidi au pete zisizobadilishana, lakini haijaonyeshwa ili kurahisisha usomaji. Kila muundo ni hali maalumu ya uliotangulia: kila uga ni pete, kila pete ni kikundi kwa kujumlisha, na kadhalika. Muundo wa uga ni muhimu zaidi, kwa sababu hasa ndio muundo wa namba halisi au changamano zenye operesheni nne za kawaida za hesabu. Pia ndio unaowezesha kujenga nafasi za vekta juu yake.

Hapo tunaweza kutengeneza miunganiko ya mstari na kuzungumzia familia huru kimstari, familia zinazozalisha nafasi, pamoja na besi na dimensheni ya nafasi ya vekta. Tahadhari: katika sura hii kutakuwa na dhana mbili za besi zinazopaswa kutofautishwa: besi za kialjebra, zinazotumika kwa nafasi zote za vekta, na besi za Hilbert, zinazotumika kwa Hilbert tu. Zinafanana katika dimensheni yenye kikomo lakini si katika dimensheni isiyo na kikomo. Vivyo hivyo lazima tutofautishe dimensheni ya kialjebra na dimensheni ya Hilbert. Kwa hiyo baadhi ya makumbusho yanahitajika.

Ufafanuzi huu ni sawa na ule wa kawaida: familia $(e_i)_{i \in I}$ ni besi ikiwa na ikiwa tu ni huru kimstari na inazalisha $E$. Dhana ya besi huturuhusu kuzungumzia dimensheni ya nafasi ya vekta.

Tambua kwamba hata katika dimensheni isiyo na kikomo, ufafanuzi wa besi ya kialjebra unahitaji kila vekta ivunjwe katika jumla yenye idadi yenye kikomo ya vekta za besi. Sababu ni kwamba hatuwezi kuruhusu moja kwa moja mgawanyo wa jumla isiyo na kikomo, kwa kuwa lazima tujue kama jumla inakaribia kikomo, jambo linalohitaji topolojia. Hilo litawezekana katika nafasi ya Hilbert na kuhalalisha dhana inayofaa ya besi ya Hilbert, tazama Sehemu 2.3.

Swali la kawaida ni: kuna nafasi ngapi tofauti za vekta? Tunaweza kuziainisha? Kialjebra, jibu ni ndiyo. Hilo linahitaji uhusiano wa ulinganifu: isomofizimu ya nafasi za vekta, ambayo ni uhusiano wa moja kwa moja kati ya nafasi mbili $E$ na $F$ unaohifadhi muundo wa mstari:

Maelezo: ufafanuzi huu ni wa kialjebra tu. $E$ na $F$ zinapokuwa na topolojia inayoendana na muundo wa vekta, tunatofautisha isomofizimu ya kitopolojia: tunahitaji pia $T$ na $T^{-1}$ zote ziwe endelevu. Tutarudia hilo kwa nafasi za vekta zenye norma na nafasi za Hilbert.

Hapo tunapata nadharia muhimu:

Hivyo juu ya $\mathbb{K} = \R$ au $\C$, kwa matumizi kuna modeli moja tu ya nafasi ya vekta yenye dimensheni yenye kikomo $n$: kwa mtiririko huo $\R^n$ au $\C^n$, seti ya vekta-$n$ zenye vijenzi halisi au changamano.

Katika dimensheni isiyo na kikomo, kanuni ya uainishaji ni ileile: tukikubali aksioma ya uchaguzi, tunaweza kuthibitisha kwamba kila nafasi ya vekta ina besi (iitwayo besi ya Hamel), na nadharia ya uainishaji hupanuka hivi: nafasi mbili za vekta juu ya uga uleule $\mathbb{K}$ ni isomofiki ikiwa na ikiwa tu besi zake zina kardinali ileile.

Kardinali ya besi isiyo na kikomo huelezwa kwa kardinali transfinaiti. Hizi hutofautisha “ukubwa” mbalimbali wa kutokuwa na kikomo. Kardinali ndogo zaidi isiyo na kikomo huandikwa $\aleph_0$: ni kardinali ya $\mathbb{N}$, pia ya $\mathbb{Z}$ na $\mathbb{Q}$. Kisha ngazi $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$ hufafanuliwa kwa urudufu, ambapo kila $\aleph_{n+1}$ ni kardinali ndogo zaidi iliyo kubwa kabisa kuliko $\aleph_n$ (hakuna kardinali kati yao). Katika mantiki ya hisabati, nadharia tete ya kontinuamu hudhani kwamba hakuna kardinali isiyo na kikomo iliyo kati ya $\mathbb{N}$ na $\mathbb{R}$; hapo $\aleph_1$ ni kardinali ya $\mathbb{R}$.

Hata hivyo uainishaji huu hautumiki sana kwa sababu besi ya Hamel kwa ujumla haiwezi kujengwa wazi. Kwa hiyo uainishaji wa nafasi za vekta hubaki hasa wa kinadharia. Hali hubadilika katika nafasi zenye norma na za Hilbert, ambapo besi orthonormali zinaweza kuandikwa wazi, angalau kwa dimensheni ya Hilbert yenye kikomo au isiyo na kikomo inayohesabika, tazama Sehemu 3.

Lakini kabla ya kufikia nafasi za Hilbert, lazima tufuate tawi la kati la ramani yetu ya hisabati na tuzungumzie nafasi za metriki na zenye norma.

1.2. Nafasi za metriki na nafasi zenye norma

Tukifuata tawi la kati la ramani (1), lazima kwanza tuipe seti ya nukta topolojia; tutaeleza hilo kwa kina katika sura nyingine (topolojia ya nafasi zenye norma na za Hilbert). Hapa tunaweza kukumbuka tu kwamba topolojia hutoa dhana ya ujirani inayoruhusu kufafanua ukaribiaji wa kikomo, kikomo na uendelevu. Hasa, nafasi za metriki ni nafasi za kitopolojia. Ni nafasi za nukta zenye umbali, unaotumiwa kufafanua ujirani.

Baada ya kuweka hilo, tunaweza kuunganisha matawi ya kialjebra na kitopolojia ya ramani 1 kwa kuchunguza nafasi za metriki ambazo seti yake ya msingi $X$ ni nafasi ya vekta, au kwa maneno mengine nafasi za vekta zenye umbali. Hii itatupeleka kwenye muundo muhimu sana katika mekanika ya kwanta, ambao Hilbert ni hali yake maalumu: nafasi za vekta zenye norma, au NVN.

Tambua kwamba hatutaki kuruhusu kila umbali. Nafasi ikiwa ya mstari, tunataka umbali unaopatana na muundo wa vekta:

Masharti haya yanaonyesha kwamba umbali unaheshimu jiometria ya nafasi ya vekta: haubadiliki kwa uhamisho (usawia wa nafasi), na mabadiliko ya ukubwa yanapaswa kuhifadhi uwiano wa umbali^{2  3}. Sasa pendekezo lifuatalo linatupeleka kwenye nafasi zenye norma: ikiwa $d$ ni metriki inayopatana kwenye nafasi ya vekta $E$, basi uhusiano wa umbali kutoka asili, yaani vekta sifuri, $\norm{x} = d(x, 0_E)$ ni norma.

Nafasi ya vekta yenye umbali wa namna hiyo ni nafasi ya vekta yenye norma:

Kila nafasi ya vekta yenye norma $(E, \|\cdot\|)$ huamua kikanoniki nafasi ya metriki $(E, d)$ kupitia $d(x,y) = \|x-y\|$, ambayo moja kwa moja inapatana na muundo wa vekta. Hivyo nafasi za vekta zenye norma zina ulinganifu wa bijeksheni na kundi dogo maalumu la nafasi za metriki. Kwa maana hiyo ni seti ndogo yake.

2. Nafasi za Hilbert

Hivyo tumefikia nafasi zenye norma za Kielelezo (1). Ni kawaida kusema nafasi yenye norma badala ya nafasi ya vekta yenye norma, au kutumia kifupi NVN. Hatua inayofuata ni kufafanua nafasi za kabla ya Hilbert, kisha nafasi za Hilbert, ambazo ni mfumo wa hisabati wa mekanika ya kwanta.

Kwa kuwa mekanika ya kwanta imejengwa juu ya namba changamano, kuanzia sasa tutabaki katika hali $\mathbb{K} = \C$. Hadi sasa tumetumia herufi $E$ na $F$ kwa nafasi za vekta na zenye norma. Kuanzia sasa $\mathcal{H}$ na $\mathcal{G}$ zitatumiwa kwa nafasi za Hilbert na kabla ya Hilbert. Vekta zitaendelea kuandikwa $x, y, z$, na kadhalika.

2.1. Nafasi ya kabla ya Hilbert na zao la ndani

Nafasi ya kabla ya Hilbert ni nafasi ya vekta yenye norma ambayo norma yake hutokana na zao la ndani. Hii si hali ya kila norma: baadhi haziwezi kupatikana kutoka zao la ndani, kwa mfano norma ya supremamu⁴. Kwa hiyo nafasi za kabla ya Hilbert ni seti ndogo halisi ya nafasi za vekta zenye norma. Tukumbushe ufafanuzi wa zao la ndani la Hermite juu ya $\C$:

Muunganiko wa sifa (1) na (2) unamaanisha ulineari wa konjugati (au antilineari) katika hoja ya kwanza⁵: $\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$. Uhusiano wenye ulineari katika hoja moja na ulineari wa konjugati katika nyingine huitwa sesquilineari⁶. Hapo baadaye tutasema zao la ndani tu bila kurudia neno Hermite, ambalo litakuwa limeeleweka.

Tukitangulia sifa za kitopolojia, tutaje matokeo muhimu: zao la ndani ni endelevu katika vigeu vyote viwili. Yaani ikiwa $x_n \to x$ na $y_n \to y$ kwa maana ya norma (yaani $\|x_n - x\| \to 0$ na $\|y_n - y\| \to 0$), basi

Katika postulati za kipimo cha kwanta tutaona kwamba uwezekano wa kuona kiasi cha kifizikia kinachohusishwa na vekta mwenyewe $\phi$, mfumo unapokuwa katika hali $\psi$, hutolewa na $|\langle \phi , \psi \rangle|^2$ (tazama sehemu 1.2 (Mada 3, Somo 1, haipatikani katika lugha hii)). Kwa hiyo uendelevu wa zao la ndani unahakikisha kwamba mabadiliko madogo ya hali $\psi$ husababisha mabadiliko madogo ya uwezekano, kama tulivyotaka.

Zao la ndani linatimiza sifa nyingine ya msingi:

Kutokuwa sawa huku hutumiwa hasa kuthibitisha kwamba uhusiano $x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ ni kweli norma, kama alama inavyodokeza.

Hapo tunafikia ufafanuzi ufuatao:

Katika nafasi changamano ya kabla ya Hilbert $\mathcal{H}$, tuna fomula muhimu zifuatazo.

Fomula hizi mbili za mwisho zinahusiana na nadharia muhimu inayounganisha zao la ndani la Hermite na norma. Nadharia ya Fréchet-von Neumann-Jordan inasema kwamba norma $\|\cdot\|$ kwenye nafasi yenye norma $E$ hutokana na zao la ndani ikiwa na ikiwa tu inatimiza utambulisho wa msambamba. Utambulisho huo ni kipimo: hukagua kama zao la ndani lipo; likiwepo, fomula ya polarizesheni ni njia ya kulijenga tena kutoka norma.

2.2. Ukamilifu na nafasi ya Hilbert

Ili kutoka nafasi za kabla ya Hilbert hadi Hilbert, dhana moja ya topolojia ni lazima: ukamilifu.

Tutarudia mambo haya ya kitopolojia katika sura maalumu. Kwa sasa tutaje tu kwamba ukamilifu ni wa lazima kwa fizikia ya kwanta. Kwa angavu, nafasi kamili haina « mashimo ». Kwa maneno mengine, hatuwezi kuwa na mfuatano wa elementi za $\mathcal{H}$ unaokaribia kitu kisichokuwa katika $\mathcal{H}$. Hiki ndicho kinachokosekana kwa namba za uwiano: mfuatano ulioundwa vizuri wa namba za uwiano unaweza kuelekea namba isiyo ya uwiano; kwa kweli hivyo ndivyo seti ya namba halisi hujengwa.

Lakini katika mekanika ya kwanta, kila hali ya kifizikia ya mfumo ni vekta ya Hilbert na kinyume chake. Hii ndiyo postulati ya kwanza ya mekanika ya kwanta. Kwa hiyo kama nafasi ya hali isingekuwa kamili, mabadiliko ya fonksioni ya wimbi yangeweza kwa mfano « kutoka nje ya nafasi » chini ya mlinganyo wa Schrödinger na kuwa « hali isiyo ya kifizikia », jambo lisilo na maana.

Ukamilifu pia unaingia katika postulati nyingine ya msingi: matokeo ya vipimo vya kwanta lazima yalingane na spektra ya vionekanavyo vya kifizikia vinavyotazamwa kama opereta za mstari zinazojiajointi. Lakini opereta si lazima iwe na ajointi katika nafasi isiyo kamili; zaidi ya hayo, ukamilifu wa nafasi unahitajika kwa nadharia ya spektra inayochunguza muundo wa opereta zinazojiajointi.

Hatimaye, kila usemi wa kwanta wenye jumla isiyo na kikomo (kwa mfano upanuzi wa mfululizo wa Fourier, mgawanyo kwenye besi ya hali zenyewe, na kadhalika) unahitaji ukamilifu ili uwe na maana. Kwa mfano, kuandika $|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$ kwa alama za Dirac (tazama sehemu 4 (Mada 2, Somo 2)) kunadhani mfululizo huu upo, jambo linalohakikishwa tu na ukamilifu.

Hata hivyo kuna habari njema: hila hii ya ukamilifu inahitajika katika dimensheni isiyo na kikomo tu. Katika dimensheni yenye kikomo, nadharia muhimu hurahisisha suala:

Sasa tunaweza kuendelea na maelezo ya kialjebra ya nafasi za Hilbert.

2.3. Besi ya kialjebra na besi ya Hilbert

Hapo juu tulikumbusha ufafanuzi wa besi ya kialjebra katika nafasi za vekta, tazama Ufafanuzi 2. Tuliona kuwa inaruhusu kuvunja vekta kuwa jumla yenye idadi yenye kikomo. Wazo kuu la kuleta topolojia inayotokana na norma na nafasi kamili ni hili. Sasa tunaweza kuzungumzia ukaribiaji wa kikomo wa mifuatano. Hasa, tunaweza kuchunguza ukaribiaji wa jumla za sehemu $(x_n)$, ambapo $x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$ kwa vekta fulani $x_k$. Jumla hii ikikaribia kikomo, tunapata mfululizo, yaani jumla isiyo na kikomo: $(x_n) \to x$ na $x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$. Nafasi ikiwa kamili, kikomo hiki kinahakikishwa kuwa ndani ya nafasi.

Kwa maneno mengine, dimensheni ya kialjebra ya Hilbert ikiwa isiyo na kikomo, sasa tunaweza kuruhusu kuvunja vekta kuwa mfululizo usio na kikomo. Hii inatupa dhana mpya ya besi:

Kuelewa ufafanuzi huu kunahitaji dhana ya kitopolojia ya unene:

Hii pia inatumika kwa nafasi ya Hilbert ambayo hasa ina norma. Hivyo ujumla unamaanisha kwamba kila vekta ya $\H$ inaweza kukaribiwa kwa kadiri yoyote na muunganiko wa mstari wenye idadi yenye kikomo wa elementi za $\H$.

Tofauti na besi ya kialjebra, hatusemi kwamba kila vekta huvunjwa kuwa muunganiko wa mstari wenye idadi yenye kikomo, bali inaweza kukaribiwa kadiri tunavyotaka kwa muunganiko wa mstari wa besi ya Hilbert. Kwa ukamilifu, makadirio haya kweli hukaribia x. Hapo tuna nadharia ifuatayo kwa kardinali yoyote ya $I$:

Uhusiano kati ya ufafanuzi wa besi ya Hilbert na nadharia ya mgawanyo si wa wazi mara moja.

Katika dimensheni isiyo na kikomo, kardinali ya besi ya kialjebra huwa daima kubwa kabisa kuliko ya besi ya Hilbert. Angavu yake ni rahisi: miunganiko yenye idadi yenye kikomo ya besi ya kialjebra lazima ifikie kila nukta $x$, lakini kwa besi ya Hilbert inatosha kuikaribia. Kwa hiyo ya pili « ina usahihi mdogo » na inahitaji mielekeo huru michache zaidi.⁸. Kwa maneno mengine, miunganiko yenye idadi yenye kikomo ya besi ya Hilbert huunda sehemu ndogo sana ya nafasi ($\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$). Kwa hiyo kwa ujumla tunahitaji mifululizo isiyo na kikomo inayokaribia kikomo kuwakilisha vekta za $\mathcal{H}$.

Hatimaye tutaje fomula nyingine muhimu sana katika hisabati ya fizikia ya kwanta.

2.4. Dimensheni ya Hilbert na uainishaji

Tuna karibu kila kitu kinachohitajika kukamilisha uainishaji wa nafasi zote za Hilbert. Kinachokosekana ni kigezo kisichobadilika cha msingi, dimensheni ya Hilbert:

Kuainisha nafasi za Hilbert, hatimaye tunahitaji uhusiano wa ulinganifu unaofaa kati yake. Kwa hiyo tutapanua dhana ya isomofizimu ya nafasi za vekta ya Ufafanuzi 4 kwanza kwa nafasi zenye norma, kisha kwa Hilbert, tukitosheka kwa sasa na uendelevu wa angavu:

Tambua kwamba ikiwa $T$ huhifadhi zao la ndani, $T$ huhifadhi norma moja kwa moja ($\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$). Ndiyo sababu tunasema isometri (wa mstari na bijeksheni). Msingi wa uainishaji ni nadharia ifuatayo:

Neno dimensheni sasa bila shaka linamaanisha dimensheni ya Hilbert. Kila nafasi ya Hilbert ni isomofiki kiisometria na mojawapo ya nafasi hizi za modeli, na uainishaji huu ni kamili. Tutazieleza katika sehemu inayofuata, tukiacha dimensheni isiyo na kikomo isiyohesabika hadi baadaye zaidi. Ni nafasi za marejeo kwa mifumo ya kwanta yenye madaraja ya uhuru yenye kikomo (mfano spini), yasiyo na kikomo yanayohesabika (mfano mekanika ya kwanta ya chembe ya nukta), au yasiyohesabika (mfano nadharia ya uga wa kwanta).

3. Nafasi za modeli

3.1. Hilbert $\C^n$

Waziwazi, ni seti ya orodha za namba changamano zenye vipengele $n$:

iliyowekewa:

• Zao la ndani la Hermite: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$ (tambua konjugati changamano)
• Norma ya Euclid inayohusishwa: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$

Ni NVN ya dimensheni $n$, inayohakikishwa kuwa kamili kwa kuwa ni ya dimensheni yenye kikomo juu ya uga kamili. Kwa hiyo ni Hilbert. Besi yake kanoniki, kama vekta ya safu wima, ni:

Ni besi ya Hilbert yenye kardinali $n$, na pia besi ya kialjebra; yaani kila vekta $x \in \mathbb{C}^n$ huvunjwa kabisa kama jumla yenye idadi yenye kikomo:

Nafasi hii ya Hilbert hutumiwa kwa kila mfumo wa kwanta wenye idadi yenye kikomo ya hali zinazotofautishika, hasa mifumo ya viwango viwili au kyubiti.

3.2. Hilbert $\ell^2(\mathbb{N})$

Hufafanuliwa kama seti ya mifuatano yenye miraba inayojumlishika:

Inaweza kuthibitishwa kuwa Hilbert inapowekewa:

• Zao la ndani: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$ (tambua jumla isiyo na kikomo wakati huu),
• Norma inayohusishwa: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$ (maelezo yaleyale)

Hapa tunaonyesha kuhesabika kwake kwa kujenga besi yake kanoniki wazi. Inafanana na ya $\C^n$. Kwa kila $i \in \mathbb{N}$ tunafafanua (pia kama vekta ya safu wima):

yaani vekta ambayo kiratibu cha $i$ ni $1$ na vingine $0$. Tofauti pekee na dimensheni yenye kikomo ni kwamba ina vijenzi visivyo na kikomo.

Nafasi hii ya Hilbert hutumiwa kwa mfano kueleza osileta harmoniki katika mekanika ya kwanta, kwa kuwa tutaona kwamba hali zenyewe za nishati zina viashiria vya namba kamili $n$ isiyo na mpaka, hivyo kila hali ya osileta harmoniki huandikwa kama mfululizo wa namna hiyo.

3.3. Hilbert $L^2(\R)$

Katika mekanika ya kwanta ya chembe ya nukta katika dimensheni moja, fonksioni ya wimbi $\psi(x)$ ni fonksioni yenye thamani changamano ya kigeu halisi. Tafsiri ya uwezekano inahitaji:

Kwa hiyo tunaongozwa kwa kawaida kufafanua nafasi ya mekanika hii ya kwanta kama seti ya fonksioni zenye miraba inayounganishika kwa integrali:

“$< \infty$” inaonyesha kwamba tunaweza daima kunormalisha hali. Tunaweka zao la ndani:

linaloleta norma:

Inaweza kuonyeshwa kwamba hili huifanya kuwa nafasi ya Hilbert, lakini si jambo la moja kwa moja kabisa. Besi ya Hilbert ya wazi inaweza kutolewa. Kuna kadhaa zinazojulikana (Hermite, waveleti, Laguerre, Walsh ...). Kwa mfano, kwanza tunafafanua polinomu za Hermite kwa uhusiano wa urudufu:

kisha tunafafanua fonksioni za Hermite:

hapa tutakubali kwamba fonksioni hizi huunda familia orthonormali:

na jumla; kwa hiyo ni besi ya Hilbert. Maelezo: pia ni besi yenyewe ya Hamiltoniani ya osileta harmoniki ya 1D. Kwa maelezo zaidi, tazama Wikipedia ^[7]. Katika matumizi besi hii hutumiwa kidogo kwa sababu semi zake wazi ni ngumu sana. « Besi nyingine » imebuniwa (ambayo kwa kweli si besi), yaani besi endelevu iliyojumlishwa, keti maarufu $\ket{x}$ ambazo tutarudia.

3.4. Hilbert $L^2(\mathbb{R}^3)$ na $L^2(\mathbb{R}^{3n})$

Katika dimensheni tatu tunachunguza kwa namna ileile $L^2(\R^3)$ yenye zao la ndani

Kwa mfumo wa chembe $n$ katika dimensheni tatu, nafasi ya hali ni

Zao la ndani hutolewa na

na norma inayohusishwa ni

Zote ni nafasi za Hilbert (inakubaliwa bila uthibitisho).

4. Neno la mwisho

Kinachoweza kumshangaza msomaji katika tuliyoona ni kwamba $L^2(\R)$ inayotumiwa kueleza mekanika ya kwanta ya chembe ya nukta katika 1D ni isomofiki na $L^2(\R^3)$ inayotumiwa kuunda modeli ya fizikia ya dimensheni tatu. Katika somo jingine tutaona kwa kina kwa nini hii si paradoksi. Wazo kuu ni kwamba fizikia haitolewi na nafasi ya Hilbert pekee, bali pia na seti ya vionekanavyo. Hakuna isomofizimu kutoka $L^2(\R)$ kwenda $L^2(\R^3)$ inayoweza kuhamisha kwa pamoja aljebra nzima ya vionekanavyo vya 1D hadi ya 3D (yaani kutoka jozi moja $[\hat{X}, \hat{P}]$ hadi jozi tatu huru $[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$).

Isomofizimu hii pia haielezi usawa wa kihisabati: Hilbert hizi mbili kweli ni tofauti kama nafasi za fonksioni, lakini bado ni isomofiki kwa muundo wa Hilbert. Isomofizimu inasema tu kwamba nafasi hizi zinafanana kimuundo, yaani zina ukubwa uleule (kwa kardinali ya besi zao za Hilbert) na sifa zilezile za muundo wa Hilbert: chini yake norma, umbali, othogonaliti na sifa za kitopolojia za ukaribiaji wa kikomo, uendelevu na kadhalika huhifadhiwa.

Hivyo, hata kama kwa kardinali fulani kuna nafasi moja tu ya Hilbert ya kidhahania hadi isometri, kuna utekelezaji wake halisi usio na kikomo.

Hata hivyo muda tuliotumia kuelewa uainishaji wa nafasi za Hilbert haukupotea: kama tulivyoona, unalingana na hali tofauti za kifizikia kulingana na « dimensheni » ya mfumo wa kwanta unaochunguzwa. Hasa, uainishaji huu unaambatana na kanuni tofauti za hesabu (jumla zenye idadi yenye kikomo, mifululizo isiyo na kikomo au integrali endelevu kulingana na aina ya besi). Pia una nadharia ya opereta za mstari inayobadilika sana kati ya dimensheni yenye kikomo na isiyo na kikomo.

5. Marejeo