Ana sayfa/Konular/Konu 2

Hilbert uzayları ve Dirac gösterimi

Hilbert uzaylarının yapısı, topolojik dual ve sonlu ile sonsuz boyutta Dirac gösterimi.

Sonlu boyutta Dirac gösterimi

Her boyutta geçerli kuantum hesabının cebirsel kuralları ve ardından sonlu boyutta matris formülleri.

Dirac gösterimiHermit iç çarpımıEşlenikKet-bra operatörüBirim operatörün açılımıSonlu boyutMatris elemanlarıİzEşlenik transpozFormül özeti

Az önce tanımladığımız nesneler, Hilbert uzayının boyutu ne olursa olsun ve işleçlerin sınırlı olup olmamasından bağımsız olarak geçerli temel özelliklere uyar. Sınırsız durumda da eşlenik tanımlanabilir; fakat matematiksel olarak daha inceliklidir ve doğrusal işleçler teorisine ayrılan sonraki temada buna döneceğiz. Bütün dünya Dirac gösterimini kullandığından, bu özellikler fiilen kuantum hesabının cebirsel kurallarını oluşturur ve dolayısıyla mutlaka öğrenilmelidir.

Bu ders, tekrar pahasına da olsa, şimdiye kadar görülen yararlı formülleri bir araya getirir ve birkaçını ekler. Önce her boyutta geçerli olanları, ardından Dirac gösteriminin açık matris hesabına dönüştüğü sonlu boyuta özgü formülleri veririz.

1. Her boyutta geçerli hesap kuralları

İç çarpımın özellikleri.

(∣φ⟩,∣ψ⟩)∈H2(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2, Hilbert uzayının iki vektörü ve (λ,μ)∈C2(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2 skalerler olsun. İç çarpım şu özellikleri sağlar:

  1. Hermitsel simetri:

    ⟨φ|ψ⟩=⟨ψ|φ⟩∗.\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}

    (1)

  2. Solda antidoğrusallık: λ∣ψ⟩\lambda \ket{\psi} ketine karşılık gelen bra λ∗⟨ψ∣\lambda^* \bra{\psi} olur; yani:

    (λ∣ψ⟩)†=λ∗⟨ψ∣ve⟨λψ|φ⟩=λ∗⟨ψ|φ⟩\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{ve} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }

    (2)

  3. Sağda doğrusallık:

    ⟨φ|λψ⟩=λ⟨φ|ψ⟩.\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}

    (3)

  4. Doğrusal birleşimler: önceki özellikler, aşağıdaki gibi karmaşık ifadeleri alışılmış biçimde açmayı sağlar. Her α,β,γ,δ∈C\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C için:

    ⟨αφ+βψ|γφ+δψ⟩=α∗γ⟨φ|φ⟩+α∗δ⟨φ|ψ⟩+β∗γ⟨ψ|φ⟩+β∗δ⟨ψ|ψ⟩.\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }

    (4)

  5. Norm: tanım gereği,

    ∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩≥0,\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}

    (5)

    Eşitlik ancak ve ancak ∣ψ⟩=0\ket{\psi} = 0 sıfır vektörü ise geçerlidir (bu vektör bazen, ama nadiren, ∣∅⟩\ket{\varnothing} ile gösterilir).

Eşleniğin özellikleri.

Tanım işlevi gören iki formülü burada yeniden yazıyoruz:

(A^∣φ⟩)†=⟨A^φ∣=⟨φ∣A^†\boxed{ (\hat A\ket{\phi})^\dagger = \bra{\smash{\hat{A}} \phi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger }

(6)

ve

⟨A^φ|ψ⟩=⟨φ|A^†ψ⟩=⟨φ∣A^†∣ψ⟩\boxed{ \braket{\smash{\hat{A}} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\smash{\hat{A}}^\dagger \psi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi} }

(7)

Bunlardan Hermitsel simetri yoluyla şu da kanıtlanır:

⟨φ∣A^†∣ψ⟩∗=⟨ψ∣A^∣φ⟩\boxed{ \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi}^* = \bra{\psi} \hat A \ket{\phi} }

(8)

Eşlenik işleçlerin özellikleri.

H\mathcal{H} üzerindeki her sürekli doğrusal A^,B^\hat{A}, \hat{B} işleci ve her λ∈C\lambda \in \mathbb{C} skaleri için:

(A^+B^)†=A^†+B^†,(λA^)†=λ∗A^†, (antidog˘rusallık)(A^B^)†=B^†A^†,(sıraya dikkat)(A^†)†=A^,    (involu¨syon).\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{(antidoğrusallık)} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{(sıraya dikkat)} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{(involüsyon)}. \end{aligned}
Ket-bra işleci.

Bracket bir sayıdır; ket-bra ise dış çarpım denen bir işleçtir (diferansiyel formların dış çarpımıyla ilişkisi yoktur). İki ∣φ⟩\ket{\phi} ve ∣ψ⟩\ket{\psi} vektörüne, aşağıda tanımlanan ∣φ⟩⟨ψ∣\ket{\phi}\bra{\psi} işleci karşılık gelir:

∣φ⟩⟨ψ∣:H→H,∣χ⟩↦∣φ⟩⟨ψ|χ⟩.\begin{aligned} \ket{\phi}\bra{\psi} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{\chi} \mapsto \ket{\phi}\braket{\psi}{\chi}. \end{aligned}
Birim işlecinin açılımı.

H\Hilb üzerindeki birim işleç 1\mathbf{1} ile gösterilir ve doğrudan 1x=x,∀x∈H\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb ile tanımlanır. II sonlu veya sayılabilir sonsuz olmak üzere, sayılabilir bir {∣ei⟩}i∈I\{\ket{e_i}\}_{i \in I} Hilbert bazında 1\mathbf{1} birim işleci şöyle yazılır:

1=∑i∈I∣ei⟩⟨ei∣\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }

(9)

Bu formül uygulamada son derece yararlıdır. Birimin çözünümü veya kapanış bağıntısı da denir. Sağ taraf sonlu boyutta bir toplam, sayılabilir sonsuz boyutta ise yakınsak bir seridir. Sayılamaz boyutta formül yanlıştır.

Hilbert açılımı.

Örneğin önceki formül, ψi\psi_i'yi ∣ψ⟩\kpsi ketinin ∣ei⟩\ket{e_i} üzerindeki bileşeni olarak tanımlayarak, ders 1'deki açılım teoremini doğrudan yeniden elde etmeyi sağlar:

∣ψ⟩=1∣ψ⟩=∑i∈I⟨ei|ψ⟩∣ei⟩=∑i∈Iψi∣ei⟩\boxed{ \ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{\psi} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} \psi_i \ket{e_i} }

(10)

Boyuta göre bir toplam ya da seri söz konusudur. Ket açılımının bralar için de karşılığı vardır:

⟨ψ∣=⟨ψ∣1=∑i∈Iψi∗⟨ei∣\boxed{ \bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \bra{e_i} }

(11)

Norm daha sonra şöyle yazılır:

∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩=∑i∈Iψi∗ψi=∑i∈I∣ψi∣2\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \psi_i = \sum_{i \in I} |\psi_i|^2 }

(12)

Açıklama 1 (Sıraya dikkat!)
Ketin bileşenleri ψi=⟨ei|ψ⟩\psi_i = \braket{e_i}{\psi}'dır; ψi∗\psi_i^* değerini veren ⟨ψ|ei⟩\braket{\psi}{e_i} değildir. Hermitsel iç çarpım değişmeli değildir, dolayısıyla sıraya dikkat edilmelidir. Alışılmış Öklid iç çarpımıyla donatılmış Rn\mathbb{R}^n içinde, v⃗\vec{v} vektörünün viv_i bileşeni vi=v⃗⋅e⃗iv_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i ile elde edilir. Bu durum kuantum formülünün ψi=⟨ψ|ei⟩\psi_i = \braket{\psi}{e_i} olacağını düşündürebilir; ama öyle değildir!
Bazı özel işleçler.

Sonraki tema, Hilbert uzayı üzerindeki doğrusal işleçler teorisini ayrıntılı olarak sunar. Yine de ilerisi için çok yaygın birkaç durumu kaydedelim. H→H\Hilb \to \Hilb işleçleri arasında özellikle şu türlerle karşılaşacağız:

  1. A^\hat A, A^†=A^\hat{A}^\dagger = \hat{A} ise Hermitsel veya öz-eşlenik,
  2. U^\hat U, U^†=U^−1\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1} ise üniter,
  3. P^\hat P, P^2=P^\hat{P}^2 = \hat{P} ise izdüşüm işleci,
  4. P^\hat P, dik izdüşüm işleci: öz-eşlenik bir izdüşüm işleci.

Üniter işleçler bire bir örten, doğrusal ve iç çarpımı koruyandır. Dolayısıyla onlarla yukarıda karşılaştık: bunlar izometrik izomorfizmalardır (burada yalnızca H\Hilb'dan kendisine giden doğrusal işleçlerden söz ettiğimiz için daha özel olarak izometrik otomorfizmalardır).

2. Sonlu boyutta formül özeti

Hilbert uzayının boyutu sonlu nn olduğunda kuantum hesabının kuralları daha ayrıntılı belirtilebilir. Önceki bölümün bütün formülleri geçerlidir; oradaki toplamlar sonlu toplamlar olarak yazılır: ∑i⟶∑i=1n\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}.

Ayrıca bir B=(∣ei⟩)i=1n\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n ortonormal bazı seçildikten sonra Dirac gösterimi, şimdi açıklayacağımız açık bir matris hesabına karşılık gelir (dikkat: aşağıdakilerin sonsuz boyutta hiçbir anlamı yoktur).

Sütun vektörleri olarak ketler.

B\mathcal{B} bazının ketlerini kanonik olarak (n,1)(n,1) matrisleriyle, diğer adıyla sütun vektörleriyle temsil edersek:

∣ei⟩=(0⋮010⋮0)B\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

Burada 11, ii. konumdadır; cebirsel açılımı kullanarak:

∣v⟩=∑i=1nvi∣ei⟩,\ket{v} = \sum_{i=1}^n v_i \ket{e_i},

bütün ketleri sütun vektörleri olarak yazarız. ∣v⟩∈H\ket{v} \in \mathcal{H} için:

∣v⟩=(v1v2⋮vn)B∈Cn,\ket{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

Gerekmedikçe açılımın yapıldığı B\mathcal{B} bazını belirtmeyeceğiz. Bileşenler ayrıca dik izdüşümlerle elde edilir:

vi=⟨ei|v⟩\boxed{v_i = \braket{e_i}{v}}

(13)

Eşlenik satır vektörleri olarak bralar.

uu vektörüne bağlı φu\varphi_u doğrusal formu her vv vektörü için şunu sağlamalıdır:

φu(v)=⟨u,v⟩=∑i=1nui∗vi,\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i,

Bu, Hermitsel iç çarpımın solda antidoğrusal olmasındandır. Toplamı matris çarpımı olarak elde etmek için ⟨u∣\bra{u}, uu vektörünün eşlenik koordinatlarından oluşan satır vektörü olmalıdır:

⟨u∣=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗),\begin{aligned} \bra{u} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix}, \end{aligned}

Çünkü bu durumda ⟨u|v⟩\braket{u}{v} iç çarpımı alışılmış matris çarpımı olarak bulunur:

⟨u|v⟩=⟨u∣⋅∣v⟩=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗)⋅(v1v2⋮vn)=∑i=1nui∗vi∈C.\begin{aligned} \braket{u}{v} = \bra{u} \cdot \ket{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

Böylece ⟨u∣\bra{u} brasının, ∣u⟩\ket{u} ketinin eşlenik transpozu, yani « transkonjugatı » olduğunu görürüz. Dolayısıyla sonlu boyutta dagger işlemi eşlenik transpoz almaya karşılık gelir:

∣u⟩†=∣u⟩∗⊤=⟨u∣\boxed{\ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u}^*} = \bra{u}}

(14)

Sonsuz boyutta bu yanlıştır; hatta transpoz tanımlanmadığı için anlamı bile yoktur1.

Not 1: En fazla, ℓ2(N)\ell^2(\N) uzayında ve Bölüm 3.2 (Tema 2, Ders 1)'de ayrıntılandırdığımız kanonik bazında, sonsuz sütun veya satır vektörleri düşünülüp sonlu toplamlar yakınsak serilerle değiştirilerek benzer bir durum elde edilir. Bu sezgi geliştirmekte yararlı olabilir; fakat kesin anlamda bunlar matris değildir. L2(R)L^2(\R) içinde ise bunun artık hiç anlamı yoktur; yine de bir integral benzeri vardır, bkz. sonraki ders.
İşleçlerin matris gösterimi.

Sonlu boyutta bir {∣ei⟩}i=1n\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n ortonormal bazında her A^\hat{A} doğrusal işleci şöyle açılır:

A^=∑i,j=1nAij ∣ei⟩⟨ej∣,\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

(15)

Bu, sonlu boyutta A^\hat{A} doğrusal işleci (şapkalı) ile AA matrisi (şapkasız) arasında doğal bir özdeşleştirmeye götürür. Yukarıdaki formül, A=∑ijAijEijA = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij} matris açılımının Dirac formalizmindeki karşılığıdır; burada EijE_{ij}, (i,j)(i,j) konumunda bir 11 ve diğer yerlerde sıfırlar bulunan temel matristir. Dolayısıyla EijE_{ij}, ∣ei⟩⟨ej∣\ket{e_i} \bra{e_j} işlecini temsil eden matristir. AijA_{ij} katsayıları doğal olarak A^\hat{A} işlecinin {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\} bazındaki matris elemanları olarak adlandırılır. Değerleri:

Aij=⟨ei|A^ej⟩A_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}} e_j}

Ancak estetik nedenlerle daha sık şu biçimde yazılır:

Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩.\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(16)

Birim işlecinin matrisi elbette birim matristir ve matris elemanları δij\delta_{ij} değerleridir (Kronecker simgesi).

Bir işlecinin izi.

İleride sık sık bir A^\hat{A} işlecinin izini ele alacağız. Dirac gösteriminde şöyle hesaplanır:

Tr(A^)=∑i=1n⟨ei∣A^∣ei⟩=∑i=1nAii.\boxed{\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_{i=1}^n \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_i} = \sum_{i=1}^n A_{ii}.}

(17)

Bu ifade ortonormal bazın seçiminden bağımsızdır.

Eşlenik ve eşlenik transpoz.

Sonlu boyutta A^†\hat{A}^\dagger eşleniğini temsil eden matris, A^\hat{A} işlecini temsil eden matrisin eşlenik transpozudur:

A†=(A∗)⊤.\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}.}

(18)

Yukarıdaki hesap kurallarının uygulamada nasıl kullanıldığını gösterdiği için burada kısa bir kanıt veriyoruz. Tanım gereği A^†\hat{A}^\dagger'ın matris elemanları:

(A^†)ij=⟨ei|A^†ej⟩.(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

Ama eşleniğin tanımından:

⟨ei|A^†ej⟩=⟨A^ei|ej⟩\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

Hermitsel simetriyle ⟨A^ei|ej⟩=⟨ej|A^ei⟩∗\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^* elde edilir; bu ise Aji∗A_{ji}^* matris elemanlarından başka bir şey değildir. Dolayısıyla:

(A†)ij=Aji∗=(A∗⊤)ij(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

Bu, özelliği kanıtlar. Böylece sonlu boyutta bir işlecinin Hermitsel, üniter vb. olup olmadığını matris hesabıyla açıkça kontrol edebiliriz.

3. Kaynaklar

Bu ders için henüz kaynak eklenmedi.