Hilbert uzayları ve Dirac gösterimi

1. $L^2(\mathbb{R})$ uzayının genelleştirilmiş sürekli bazı

$L^2(\R)$ model uzayını Bölüm 3.3 (Tema 2, Ders 1)'de ayrıntılandırdık. Özellikle, sayılabilir bir Hilbert bazını gösterdik. Böylece her fiziksel durum Hermite fonksiyonları bazında bir seri olarak açılır. Ne yazık ki bu fonksiyonların açık ifadeleri oldukça karmaşıktır.

Bu nedenle Hilbert bazı anlamında gerçek bir baz olmayan, fakat genelleştirilmiş sürekli baz denen başka bir « baz » geliştirilmiştir. Burada sonsuz boyuta geçiş hassastır ve kesin bir kuruluş, doğrusal işleçler teorisine ayrılan sonraki temanın araçlarını gerektirir. Dolayısıyla şimdilik aşağıdaki formülleri kabul ediyoruz; bunların kanıtlanmış bir matematiksel yapı değil, bu "bazda" Dirac gösterimini kullanma kılavuzu olduğunu akılda tutmalıyız.

1.1. Konum gösteriminde genelleştirilmiş baz

Yine de birkaç fikir vermeye çalışalım. Önce « konum » denen öz-eşlenik bir işleç tanıtılır; $\hat{X}$ ile gösterilir ve $L^2(\mathbb{R})$ Hilbert uzayının fonksiyonlarına çarpma yoluyla etki eder:

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

Tanım kümesine dikkat. Bu ifade yalnızca $x\,\psi(x)$ fonksiyonu $L^2(\R)$ içinde kalırsa anlamlıdır. Bu her zaman gerçekleşmez: karesi integrallenebilir bazı fonksiyonlar $x$ ile çarpılınca ıraksak hâle gelir.¹ Dolayısıyla $\hat{X}$ işleci bütün $L^2(\R)$ üzerinde tanımlanamaz; yalnızca etkisinin $L^2$ içinde kaldığı bir fonksiyon altuzayı üzerinde tanımlanabilir.

$L^2$ içinde yoğun ve alışılmış işlemler altında kararlı, iyi tanımlanmış bir tanım kümesi elde etmek için (türev alma, $x$ ile çarpma, Fourier dönüşümü), $\mathcal{S}(\R)$ ile gösterilen Schwartz fonksiyonları uzayını tanıtırız:

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

Başka bir deyişle bunlar hızla azalan düzgün fonksiyonlardır; $f$ ve bütün türevleri sıfıra, $x$'in her ters kuvvetinden daha hızlı yaklaşır.

$\mathcal{S}(\R)$ uzayı:

• $L^2(\R)$ içinde yoğundur ($L^2$ içindeki her fonksiyona, $\mathcal{S}$ fonksiyonlarıyla istenen doğrulukta yaklaşılabilir),
• türev alma, $x$ ile çarpma ve Fourier dönüşümü altında kararlıdır.

Bu nedenle $\hat{X}$ konum ve $\hat{P}$ momentum işleçlerini düzgün biçimde tanımlamak için doğal tanım kümesidir; Dirac formalizminin ve Gelfand üçlüsünün kesin kuruluşu da bu uzaya dayanır.

Bu önlemler alındıktan sonra, şimdilik yalnızca biçimsel olarak², $\hat{X}$'in özdurumlarını yazabiliriz:

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

Bu $\ket{x}$ ketleri genelleştirilmiş sürekli baz denen şeyi oluşturur: $L^2(\R)$ elemanlarını sürekli süperpozisyonlar olarak temsil etmeyi sağlarlar; ancak $\ket{x}$ ketlerinin kendileri Hilbert uzayının vektörleri değildir.

Aslında normalize edilemedikleri için gerçek anlamda ket değildirler. Nedenini göreceğiz. Bu aile sayılamazdır; dolayısıyla ortonormalliği ayrık Kronecker simgesi $\delta_{ij}$ ile değil, onun « sürekli sürümü »   ile şöyle yazılır:

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

Özellikle:

Burada Dirac deltası $\delta(x)$ tanıtılmıştır; sıradan bir fonksiyon değil, matematikteki dağılımlar teorisinin bir dağılımıdır. İntegral altındaki etkisiyle tanımlanır:

Schwartz uzayının her $f$ test fonksiyonu için. $\delta(x)$ ifadesinin tek başına anlamı olmadığını, bir sayı bile olmadığını anlamak gerekir. Gerçekte $\delta$, test fonksiyonlarına etki eden $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$ doğrusal formudur³. Bu nedenle yalnızca (2) integralindeki etkisiyle tanımlıdır; $\delta(x)$ değerleriyle değil.

Ama onu mutlaka fonksiyon olarak görmek istersek, sıfır çevresinde giderek daha fazla yoğunlaşan bir fonksiyon dizisinin limiti, örneğin gittikçe sivrilen Gauss fonksiyonlarının limiti olarak düşünebiliriz:

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

Ya da merkezi sıfırda olan, genişliği sıfıra ve yüksekliği sonsuza giden dikdörtgenler olarak. Bu bakışta delta, limitte, $x = 0$ dışında her yerde sıfır olan ve o noktada ıraksayan, buna karşın eğri altındaki toplam alanı 1 kalan bir "fonksiyon" gibi görünür.

Bu yüzden fizikte yine de $\delta(0) = \infty$ yazarız; fakat buradaki gösterim ve anlam esnekliğini iyi kavramak gerekir. Her durumda bu, Denk. (1) yoluyla $\ket{x}$ ketinin sonlu normlu olmadığını gösterir. Dirac deltasının ayrıca son derece yararlı bir integral gösterimi vardır; muhtemelen bu bölümün en önemli formülüdür:

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

Burada da eşitlik dağılımlar teorisi anlamında anlaşılmalıdır; çünkü bu integral açıkça yakınsak değildir ve aksi hâlde hiçbir anlamı olmazdı.

$\hat{X}$ konum işlecinin « matris elemanları » $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$ olur. $\hat{X}$ sıradan bir matrisle temsil edilemese de bunlara bu adı vermeyi sürdürürüz (sonlu boyuttaki önceki bölümle karşılaştırın). Dağılımsal anlamda köşegen olan « sürekli indisli bir matris » hayal edilebilir; ancak $x = x'$ köşegeni üzerindeki değerin kendi başına anlamı yoktur ($x\,\delta(0)$ bir gerçek sayı değildir). Sonlu boyuttaki doğrusal işleçler (= matrisler) ile sonsuz boyuttaki doğrusal işleçler arasındaki temel fark belki de en açık burada görülür.

Genelleştirilmiş bazda birimin çözünümü şöyle yazılır:

Bu, Hilbert uzayının her $\kpsi$ ketinin bu sürekli bazdaki açılımını bir integral olarak görmemizi sağlar:

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

Burada dalga fonksiyonu tanımlanmıştır:

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

Benzer şekilde $\kpsi$'nin eşlenik brası şöyle açılır:

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

Burada iç çarpımın Hermitsel simetrisi kullanılmıştır: $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$.

$\hat{X} \psi$ vektörünün $x$ noktasındaki bileşeninin tanım gereği $\braket{x}{X\psi}$ olduğuna dikkat edin; yine estetik nedenlerle daha sık (Denk. (4 (Tema 2, Ders 2)) ile karşılaştırın) şu biçimde yazılır:

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. Momentum gösteriminde

Noktasal parçacığın kuantum mekaniğinde momentum işleci benzer biçimde, $L^2(\mathbb{R})$'e ait $\psi(x)$ dalga fonksiyonları üzerindeki etkisiyle tanıtılır:

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

Burada da hem dalga fonksiyonunun türevlenebilir olması hem de türevinin karesinin integrallenebilir kalması için Schwartz tanım kümesiyle sınırlanmak gerekir.

$\hat{P}$'nin gerçekten öz-eşlenik bir işleç olduğunu görmek, bu bölümün çok iyi bir uygulama alıştırmasıdır. Bunun için önce türev işlecinin kendisini inceleyelim:

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

Bu doğrusal bir işleçtir (türev alma doğrusaldır: $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$). Sonlu boyuttaki gibi bir matrisle temsil edilemeyeceği açıktır: sonsuz boyutlu bir fonksiyon uzayında diferansiyel olarak etki eder. Dolayısıyla eşleniği, transpoz ve karmaşık eşlenik alma işlemiyle hesaplanamaz. Yine de eşleniğin tanımı kullanılarak hesaplanabilir; $\mathcal{S}(\R)$ içindeki iki $\phi$ ve $\psi$ test fonksiyonu için tanım şunu sağlar:

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

Bkz. tanım 2 (Tema 2, Ders 2). Birimin çözünümü araya konulduğunda sol taraf:

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

Böylece $\hat{D} = d/dx$ işlecinin eşleniğinin $-\hat{D} = -d/dx$ olduğu görülür. Yukarıdaki hesapta birinci satırda bra ile ket arasına birimin çözünümünü koyduk; ikinci satırda dağıttık, üçüncüde Hermitsel simetriyi kullandık. Dördüncü satırda $\hat{D}$ ve dalga fonksiyonlarının tanımını, beşincide $\R$ üzerinde kısmi integrasyonu kullandık: Schwartz uzayının fonksiyonları her monomdan daha hızlı azaldığı için sonsuzdaki sınır terimleri sıfır olur. Son satırlarda ise dalga fonksiyonlarından iç çarpımlara döndük, birimin çözünümünü ortak çarpan olarak alıp kaldırdık. Sonuç olarak momentum işleci gerçekten öz-eşleniktir; çünkü

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

$\hat{P}$'nin öz-eşlenik olması, özdeğerlerinin (mümkün momentumların) gerçek olmasını ve özfonksiyonlarının genelleştirilmiş anlamda (Dirac dağılımları aracılığıyla) durum uzayının tam bir bazını oluşturmasını güvence altına alır.

Momentum özdurumları. — Tamamen benzer biçimde, genelleştirilmiş $\ket{p}$ « ketleri » $\hat{P}$'nin özdurumları olarak tanımlanır:

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

Konum gösteriminde ilgili dalga fonksiyonu $\bra{x}$ üzerine izdüşüm alınarak elde edilir:

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

Bu, çözümü aşağıdaki olan basit bir diferansiyel denklemdir:

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

Bu ifade, konum ve momentum gösterimlerini bağlayan dönüşümün tam olarak Fourier dönüşümü olduğunu gösterir.

Diklik ve tamlık. — $\ket{p}$ ketleri, $\ket{x}$ ketlerininkine benzer bağıntılar sağlar:

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

Momentum gösterimindeki dalga fonksiyonu şöyle tanımlanır:

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

Dolayısıyla $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ dönüşümü Fourier dönüşümüdür ve ters dönüşüm şöyle yazılır:

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

Temel komütasyon. — Son olarak $\hat{X}$ ve $\hat{P}$ işleçleri kanonik komütasyon bağıntısını sağlar:

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

Noktasal parçacığın bütün kuantum mekaniğinin temeli bu bağıntıdır. Aslında bu bölümün tüm formülleri yalnızca bu kanonik bağıntıdan çıkar: X ile P arasındaki bu cebirin tek mümkün Hilbert gösteriminin az önce yazdığımız olduğu kanıtlanır. Özellikle $X$'in x'e bağlı dalga fonksiyonlarına çarpma yoluyla, P'nin türev alma yoluyla etki ettiği ve ters gösterimde rollerin değiştiği gösterilir. Bu önemli sonucu ileride ayrıntılandıracağız: Stone–von Neumann teoremi.

1.3. Dirac deltasının özellikleri

Bu kısmı ve bölümü Dirac deltası için birkaç yararlı formülle bitiriyoruz. Bunlar daima dağılımlar anlamında, yani delta integral işareti altındayken anlaşılmalıdır:

Simetri:

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

Homojenlik:

Her gerçek $a \neq 0$ için,

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

Değişken dönüşümü:

$f$, $\{x_i\}$ basit köklerine sahip düzgün bir fonksiyonsa ve $f(x_i) = 0$ ise,

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

Deltanın türevi:

Dağılımsal türev şöyle tanımlanır:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. Kaynaklar