Hilbert uzayları ve Dirac gösterimi

Hilbert uzaylarının yapısı, topolojik dual ve sonlu ile sonsuz boyutta Dirac gösterimi.

Ders 1: Hilbert uzayları Ders 2: Dual uzay, ketler, bralar ve eşlenik

Föy 1: Sonlu boyutta Dirac gösterimi Föy 2: Sonsuz boyutta Dirac gösterimi

Dual uzay, ketler, bralar ve eşlenik

Topolojik dualin kuruluşu, Riesz temsil teoremi, ketlere, bralara ve eşleniğe giriş

Cebirsel dual Topolojik dual Riesz izomorfizmi Ketler ve bralar Matris elemanları Birim operatörün ayrışımı Dagger Eşlenik operatör

← Önceki

Ders 1: Hilbert uzayları

Föy 1: Sonlu boyutta Dirac gösterimi

1. Dualite fikri

Dualite, bu dersin tamamını birbirine bağlayan ana fikirdir. Ona sezgisel bir yorum vermeye çalışalım. Matematikte dualite kavramı birçok durumu kapsar; fakat Hilbert uzaylarında basit ve derin bir fikir ifade eder: bir vektör yalnızca kendi başına bir nesne olarak değil, başka vektörler üzerinde etki ederek sayılar üreten bir işleç olarak da görülebilir (yani bir doğrusal form olarak). Kuantum mekaniğinde bu şekilde üretilen sayı bir olasılık genliğidir.

Kuantum formalizmi bu iki yönü de bütünüyle kullanır; Dirac gösterimi ise bunlarla kolayca işlem yapmayı sağlayan zekice bir yazım sistemidir. Uzayın vektörlerini temsil eden, $\ket{u}$ ile gösterilen ketler ve bu vektörler üzerinde etki eden doğrusal formları temsil eden, $\bra{u}$ ile gösterilen bralar bulunur. Bunların birleşimi $\langle u|v\rangle$ , bracket denen bir skaler üretirken $\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j}$ türündeki ifadeler işleçleri betimler.

Bu gösterim kuantum fiziğinin standart dili olmuştur ve ona bütünüyle hâkim olmak zorunludur. Bu dersin ardından hesap kurallarını özetleyen bir formül föyü verilecektir. Aslında bu simgelerle işlem yapmayı, arkalarındaki matematiği gerçekten anlamadan da öğrenmek mümkündür. Fakat derin anlamlarını kavramak için burada çizdiğimiz programı izlemeliyiz: vektörlerle doğrusal formlar arasındaki tam özdeşleştirmenin nasıl kurulduğunu ve bu yaklaşımın başka bir temel nesnenin, bir işlecin eşleniğinin tanımına neden doğal biçimde götürdüğünü anlamak.

Bir sonraki bölümde, bir vektör uzayı ile onun bütün doğrusal formlarının kümesi olarak tanımlanan cebirsel duali arasında böyle bir izomorfizma kurmayı deneyeceğiz. Bunun mümkün olmadığını göreceğiz. Sonlu boyutlu bir vektör uzayı gerçekten dualine izomorfik olsa da bu izomorfizma kanonik değildir (keyfî bir baz seçimine bağlıdır). Sonsuz boyutta durum daha da kötüleşir: böyle bir izomorfizma hiç yoktur. Bu engeller vektörler ile doğrusal formların kendiliğinden özdeşleştirilmesini geçersiz kılar ve Hilbert uzaylarının daha zengin yapısına başvurmayı gerektirir.

Bölüm 3, bu güçlükleri aşmak için ek yapının nasıl kullanılacağını gösterir. İç çarpım sayesinde ve topolojik duali oluşturan sürekli doğrusal formlarla sınırlanarak dikkat çekici bir sonuç elde ederiz. Riesz teoremi, boyutu ne olursa olsun her Hilbert uzayı ile topolojik duali arasında kanonik, antidoğrusal ve izometrik bir izomorfizma bulunduğunu söyler.

Bu sonuç, Bölüm 4 ve 5'te ayrıntılandıracağımız Dirac gösterimine (ket, bra ve doğrusal işleçler) kesin bir temel sağlar. Ardından Riesz izomorfizmasının işlecin eşleniği kavramını nasıl doğal biçimde ortaya çıkardığını göstereceğiz (Bölüm 6). Bölüm 7 bu yapıyı kapsamlı bir şemayla özetler. Ders boyunca teoriyi somutlaştırmak için sonlu boyutlu durumu örnek olarak kullanacak ve daima $\mathbb{C}$ cismi üzerinde çalışacağız.

2. Doğrusal formlar ve cebirsel dual

$E$ , $\C$ üzerinde bir vektör uzayı olsun. Cebirsel duali $E^*$ , $E$ üzerindeki doğrusal formların, yani $\varphi : E \to \C.$ doğrusal dönüşümlerinin kümesi olarak tanımlanır.

Sonlu $n$ boyutunda, $E$ için bir $(e_1,\dots,e_n)$ bazı seçersek, $E^*$ içinde buna karşılık gelen $(\theta_1,\dots,\theta_n)$ doğrusal form ailesini şu bağıntıyla tanımlayabiliriz:

\theta_j(e_i)=\delta_{ij}

Bu ailenin doğrusal bağımsız olduğu ve uzayı gerdiği, dolayısıyla $E^*$ için bir baz (dual baz) oluşturduğu gösterilir. Buradan $\dim(E^*) = \dim(E)$ çıkar; yani $E$ ile $E^*$ izomorfiktir. Olası izomorfizmalardan biri, her $x = \sum x_i e_i$ vektörünü $w_x = \sum x_i \theta_i$ doğrusal formuna gönderen $T$ dönüşümüdür.

Ancak bu $T$ izomorfizması, $E$ için başlangıçta seçilen baza bağlı olması bakımından yapay sayılır. Baz değiştirilirse $T$ dönüşümü de değişir. Dolayısıyla bir vektör uzayı ile cebirsel duali arasında kanonik (doğal) bir özdeşleştirme yoktur.

Sonsuz boyutta klasik bir sonuç, cebirsel dualin boyutu kesinlikle daha büyük olduğu için $E$ 'nin cebirsel dualine hiçbir zaman izomorfik olmadığını gösterir (bkz. Erdös–Kaplansky teoremi). Örneğin $E$ 'nin cebirsel boyutu sayılabilir ise cebirsel dualinin cebirsel boyutu sayılamazdır.

Dolayısıyla her iki durumda da vektörlerle doğrusal formlar arasında kanonik bir özdeşleştirme yoktur.

3. Topolojik dual ve Riesz teoremi

Bir $\H$ Hilbert uzayında iç çarpıma bağlı norm, özel bir doğrusal form sınıfını, sürekli olanları ayırt etmemizi sağlar. $\varphi : \H \to \C$ dönüşümünün $x_0$ noktasında sürekli olması şu anlama gelir:

\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0 : \|x - x_0\|_\H < \delta \implies |\varphi(x) - \varphi(x_0)| < \varepsilon,

Bir noktada sürekli ise doğrusallık nedeniyle her yerde süreklidir¹. Sürekli doğrusal formların kümesi, cebirsel dualin bir vektör altuzayını oluşturur. Buna topolojik dual denir ve yine (gösterimde bir esneklikle) $\H^*$ yazılır.

Not 1: Bu konulara sonraki derslerde yeniden döneceğiz (topoloji, doğrusal işleçler teorisi)

Tanım 1 (Topolojik dual)

\H

\C

üzerinde bir Hilbert uzayı olsun.

\H

üzerindeki sürekli doğrusal formların kümesi bir vektör uzayıdır;

\H

'nin topolojik duali olarak adlandırılır ve

\H^*

ile gösterilir. Bu uzayın dual norm denen doğal bir normu vardır:

\|\varphi\|_{\H^*} \equiv \sup_{\|x\|_\H=1} |\varphi(x)|,

Bu normla $\H^*$ tam bir normlu vektör uzayıdır (yani bir Banach uzayıdır).

Not: Bu norm, ileride karşılaşacağımız işleç normunun özel bir durumudur (bkz. bölüm 1.5 (Tema 4, Ders 3, bu dilde mevcut değil)). Yukarıdaki yapı kendi başına her normlu uzay için geçerlidir. Hilbert durumunu özel yapan şu teoremdir: iç çarpım kullanılarak her sürekli doğrusal form bir vektörle bire bir özdeşleştirilir:

Teorem 1 (Riesz temsil teoremi)

\mathcal{H}

, ayrılabilir olsun ya da olmasın, bir Hilbert uzayı olsun. Her sürekli doğrusal form

\varphi \in \mathcal{H}^*

, tek bir biçimde

\varphi(x) = \langle u, x \rangle

olarak yazılabilir; burada $u \in \mathcal{H}$ bir vektördür.

$\mathcal{H}$ 'den $\H^*$ 'a giden $\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle$ dönüşümü, yalnızca ön-Hilbert olan bir uzayda bile bire birdir. Gerçekten, $\varphi_u = \varphi_v$ ise $\mathcal{H}$ içindeki her $x$ için $0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle$ olur. $x = u - v$ seçilerek ve iç çarpımın pozitif tanımlılığı kullanılarak $u = v$ elde edilir.

Riesz teoremi bu dönüşümün aynı zamanda örten olduğunu söyler. Bu açık bir sonuç değildir ve yalnızca Hilbert uzaylarında geçerlidir. Örneğin tam olmayan bir ön-Hilbert uzayında dönüşüm örten değildir; çünkü o eksik uzayın bir vektörüyle iç çarpım olarak yazılamayan sürekli doğrusal formlar vardır.

Böylece Riesz teoremi, $\mathcal{H}$ ile $\mathcal{H}^*$ arasında aradığımız $\Phi$ bire bir ve örten dönüşümünü sağlar. Şu sonuç çıkar:

Sonuç 1

\Phi : u \mapsto \varphi_u

dönüşümü,

\H

ile dual normla donatılmış topolojik duali arasında kanonik Riesz izomorfizması denen antidoğrusal izometrik bir izomorfizmadır:

\mathcal{H}^* \simeq \mathcal{H}

İspat.

Antidoğrusallık, $\H$ 'nin iç çarpımının antidoğrusallığından gelir: $\Phi(\lambda u) = \varphi_{\lambda u} = \langle \lambda u, . \rangle = \lambda^* \langle u, . \rangle = \lambda^* \, \varphi_u = \lambda^* \, \Phi(u)$ .
İzometriyi, yani $\|\Phi(u)\|_{\H^*} = \|u\|_\H$ eşitliğini gösterelim. Önce: $\|\varphi_u\|_{\H^*} = \sup_{\|x\|=1} |\langle u,x\rangle| \leq \|u\|_\H$ Cauchy–Schwarz eşitsizliği sayesinde elde edilir. Ardından, $u \neq 0$ ise $x = u/\|u\|$ için eşitliğe ulaşıldığını görürüz. $u = 0$ olduğunda eşitlik açıktır.
İzometrik ve bire bir örten $\Phi$ dönüşümünü kullanarak $\H$ üzerindeki iç çarpımı $\H^*$ üzerine şu tanımla taşırız: $\langle \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} \equiv \langle \Phi^{-1}(\varphi_v), \Phi^{-1}(\varphi_u) \rangle_{\mathcal{H}} = \langle v, u \rangle_{\mathcal{H}}.$ $\Phi$ 'nin antidoğrusallığını telafi etmek için sıranın ters çevrildiğine dikkat edin (u, v yerine v, u). Gerçekten, $\H^*$ üzerindeki bu iç çarpımın seskilineerliğini doğrulayalım: $\langle \lambda \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} = \langle \varphi_{\lambda^*u}, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} = \langle v, \lambda^*u \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda^* \langle v, u \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda^* \langle \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*}$ . İç çarpımın diğer aksiyomları kolayca kanıtlanır.
Bu iç çarpımın oluşturduğu norm şu eşitliği sağlar: $\sqrt{\langle \varphi_u, \varphi_u \rangle_{\H^*}} = \sqrt{\langle u,u \rangle_{\H}} = \|u\|_\H = \|\varphi_u\|_{\H^*},$ Dolayısıyla dual normla çakışır.
Son olarak $\H^*$ 'ın tamlığı ve dolayısıyla Hilbert uzayı olması, tam bir uzaydan gelen bire bir örten izometrinin tamlığı korumasıyla güvence altındadır; bu olguyu burada kanıtsız kabul edeceğiz.

Böylece $\H^*$ , $\Phi$ 'yi Hilbert uzaylarının (antidoğrusal) bir izomorfizması yapan Hilbert uzayı yapısını devralır.

4. Dirac gösterimi: bra, ket, bracket

Dirac gösterimi artık Riesz izomorfizmasının yeniden yazımından ibarettir. Önce ket, bra ve bracket tanımlanır. Bunlarla önceki derste gördüğümüz Hilbert bazı üzerindeki açılım yeniden yazılır.

Ketler. Bir $u \in \mathcal{H}$ vektörü, ket biçiminde şöyle yazılır: $\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }$
Doğrusal yapı şu hesap kurallarını verir:
$\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}$
Bralar. Her $u \in \H$ vektörüne $\Phi$ aracılığıyla bir $\varphi_u$ formu karşılık gelir. Bu doğrusal formu bir bra olarak gösterir ve bra içine ilgili vektörü yazarız: $\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }$
Böylece $\bra{u}$ , doğrusal form olarak görülen $u$ vektörünü, yani « $u$ ile iç çarpımı alıp bir sayı döndürme » işlemini temsil eder. Şu hesap kuralları geçerlidir:
$\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned}$ Bunlar $\Phi$ 'nin antidoğrusallığının sonuçlarıdır.
Bracket. Yukarıdaki iki yazım yöntemi, İngilizcede bracket (ya da inner product) denen iç çarpımı, bir bra ile ketin çarpımı olarak oluşturmayı sağlar: $\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}$
Bu gösterim aslında $\bra{u}$ doğrusal formunun $\ket{x}$ vektörü üzerindeki etkisini yansıtır:
$\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.$
Hilbert açılımı. Hilbert uzayının boyutu ne olursa olsun $u = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i$ açılımını gördük; burada toplam sonludur veya $I$ sonsuzsa $\mathcal{H}$ içinde yakınsar. Dirac gösteriminde:
$\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }$
(1)

Burada $u_i$ , $u$ ketinin bazdaki bileşenleridir. Bunların $e_i$ üzerine dik izdüşümle $u_i = \braket{e_i}{u}$ biçiminde elde edildiğine, $u_i^*$ değerini veren $\braket{u}{e_i}$ biçiminde elde edilmediğine dikkat edin. Bu yaygın bir hatadır; muhtemelen $\R^n$ üzerindeki alışılmış vektör hesabında $\vec{v}$ vektörünün $v_i$ bileşeninin $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$ ile bulunması, kuantum durumunda $u_i = \braket{u}{e_i}$ yazılabileceğini düşündürür. Ancak bu, $\C$ üzerindeki iç çarpımın seskilineerliğini göz ardı eder ve hemen bir hesap hatasına yol açar.

Bralar için:

$\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }$
(2)

Normun karesi ise

$\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i$
(3)
olarak yazılır; ikinci eşitlik Parseval eşitliğidir.
« Dagger » işlemi. $\Phi$ izomorfizmasının (ketlerden bralara) uygulanması genellikle üstsimge $\dagger$ ile gösterilir. Bralardan ketlere giden ters izomorfizma $\Phi^{-1}$ için de aynı simgeyi seçeriz. Böylece dagger işlemi involütif olur. Bu yazım uzlaşımıyla: $\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(dönüşüm } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(dönüşüm } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(involüsyon)} \end{aligned}$

Bu noktaları sonlu boyutta örnekleyelim. $n$ boyutlu $\H$ ve kanonik iç çarpımıyla donatılmış bir $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ Hilbert bazı seçelim (bkz. bölüm 3.1 (Tema 2, Ders 1)). Baz ketlerini kanonik olarak sütun vektörleri, yani $(n,1)$ matrisleriyle temsil edersek:

\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

Burada $1$ , $i$ . konumdadır; tüm $\ket{u}$ ketleri sütun vektörü olarak yazılır:

\ket{u} = \sum_{i=1}^n u_i \ket{e_i} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

Burada $u_i = \braket{e_i}{u}$ olur. $u$ vektörüne bağlı $\varphi_u$ doğrusal formu, her $v$ vektörü için şu koşulu sağlamalıdır:

\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i, \quad \text{(kanonik iç çarpım: } \C^n)

Bu toplamı elde etmek için $\bra{u}$ , $u$ 'nun eşlenik koordinatlarından oluşan $(1, n)$ boyutlu satır vektörüyle temsil edilmelidir:

\bra{u} = \left(u_1^*, u_2^*, \cdots, u_n^*\right),

Çünkü bu durumda $\braket{u}{v}$ iç çarpımı alışılmış matris çarpımı olarak elde edilir:

\begin{aligned} \braket{u}{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

Örneğin 2 boyutta:

\ket{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \bra{u} = (1, -i)

Şu sonucu elde ettik:

Önerme 1 (Eşlenik transpoz)

Sonlu boyutta,

\bra{u}

brası,

\ket{u}

ketinin eşlenik transpozu, diğer bir deyişle « transkonjugatı » olur. Şöyle yazılır:

\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u^*}}\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger = \transpose{\bra{u^*}} \end{aligned}

Dikkat: sonsuz boyutta transpoz tanımlanmadığı için bu ifadenin anlamı yoktur. Bununla birlikte, $\ell^2(\N)$ uzayında ve kanonik bazında, sonsuz sütun ya da satır vektörlerini düşünerek ve sonlu toplamları yakınsak serilerle değiştirerek oldukça benzer bir durum elde edilir. Bu, sezgi geliştirmekte yararlı olabilir; ancak kesin anlamda burada matrislerden ya da transpoz almaktan söz edilmez.

5. İşleçler, matris elemanları ve birimin açılımı

Dirac gösterimine ilişkin açıklamamızı bu kez $\mathcal{H}$ 'den başka bir Hilbert uzayı $\mathcal{G}$ 'ye giden $\hat A$ doğrusal dönüşümlerini (doğrusal işleçler de denir) ekleyerek sürdürüyoruz; $\mathcal{G}$ ayrı bir Hilbert uzayıdır.

İşleçlerin yazımı. Önce fizikte işleçleri şapka ile göstermenin standart olduğunu belirtelim. $v$ vektörü üzerinde etki eden $\hat A$ işleci, $\hat A v$ vektörünü verir. Dirac gösteriminde iki eşdeğer yazım mümkündür; ikincisi daha sık kullanılır:

\boxed{v = \hat A \, u \quad \longleftrightarrow \quad \ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u} \equiv \hat A \ket{u}}.

Benzer biçimde, işleç içeren bir iç çarpım şöyle yazılabilir:

\boxed{\langle w, \hat A \, u \rangle \quad \longleftrightarrow \quad \braket{w}{\smash{\hat{A}} u} \equiv \bra{w} \hat A \ket{u} }

Estetik nedenlerle ikinci yazım daha yaygındır.

Matris elemanları. Yukarıdaki formülde $\bra{w} = \bra{e_i}$ ve $\ket{u} = \ket{e_j}$ durumu özellikle önemlidir; çünkü $\hat A$ işlecinin matris elemanları denen nicelikleri tanımlar:

\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(4)

Sonsuz boyutta bu ifade her zaman anlamlı değildir; $\ket{e_i}$ 'nin ayrıca $\hat A$ işlecinin tanım kümesine ait olması gerekir. Buna döneceğiz. Sonlu boyutta ise tanım açıktır: baz vektörleri sütun vektörleriyle yazıldığında doğrusal bir işleç, kendisini temsil eden matrisle bire bir eşleşir. Bu nedenle $\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ yazarız; burada $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$ olur. Yukarıdaki $\ket{v} = \hat A \ket{u}$ denklemi böylece alışılmış $\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}$ matris çarpımına dönüşür; iç çarpım ise $\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C$ biçiminde yazılır.

Örnek 1 (Matris hesapları)

Açık bir örnek olarak şunları alalım:

\begin{aligned} \quad \hat A = \begin{pmatrix} i & 0 \\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \ket{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \ket{w} = \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix}, \end{aligned}

O zaman:

\begin{aligned} \ket{v} = \hat A \ket{u} = \begin{pmatrix} i & 0 \\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \\ -2 \end{pmatrix}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u} = (-i, 1) \cdot \begin{pmatrix} i & 0 \\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = -1. \end{aligned}

Ket-bra işleçleri. Bracket bir sayıdır; ket-bra ise dış çarpım denen bir işleçtir (diferansiyel formların dış çarpımıyla ilişkisi yoktur). Aynı $\H$ Hilbert uzayının $\ket{u}$ ve $\ket{v}$ vektörlerine, $\H$ 'den $\H$ 'ye giden ve aşağıda tanımlanan $\ket{u}\bra{v}$ işleci karşılık gelir:

\begin{aligned} \ket{u}\bra{v} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{x} \mapsto \ket{u} \underbrace{\braket{v}{x}}_{\in \mathbb{C}} = \braket{v}{x} \, \ket{u}. \end{aligned}

Burada da sonlu boyutta $\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j}$ durumu özellikle önemlidir. Bu işlecin bütün matris elemanları sıfırdır; yalnızca $i$ . satır ve $j$ . sütunda bir "1" bulunur. İlgili matris:

\begin{aligned} E_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}, \end{aligned}

Sonlu boyutta her $\hat{A}$ doğrusal işleci matris elemanlarına göre açılır:

\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\hat E_{ij} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

Burada $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$ olur. Dikkat: sonsuz boyutta bu açılım her zaman mümkün değildir; mümkün olduğunda da kuvvetli yakınsama anlamında anlaşılmalıdır. Sonraki derslerde buna döneceğiz.

Birim işlecinin açılımı. $\mathcal{H}$ üzerindeki $\mathbf{1}$ ile gösterilen birim işleç, her $\ket{x} \in \mathcal{H}$ için doğrudan $\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x}$ ile tanımlanır. Sonlu boyutta elbette birim matrisle temsil edilir. Daha genel olarak şu formül geçerlidir:

\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }

(5)

Bu formül sayılabilir sonsuz boyutta da geçerlidir; o durumda seri kuvvetli yakınsar. Buna birimin çözünümü ya da kapanış bağıntısı da denir. Kuantum mekaniğindeki tüm hesaplarda son derece kullanışlıdır. Dikkat: ayrılabilir olmayan uzaylarda formül yanlıştır²

Not 2: Aslında

x = \sum_{i \in I} \langle e_i, x \rangle e_i

açılımı her Hilbert uzayında geçerlidir; fakat ayrılabilir olmayan durumda toplam,

x

'e bağlı sayılabilir bir

I(x) \subset I

indis altkümesi üzerinde alınır. Dolayısıyla bundan, uygulandığı vektörden bağımsız bir birim işleç yazımı çıkarılamaz; bu da söz konusu çerçevede (5) formülünü geçersiz kılar.

6. Eşlenik işleç

Riesz izomorfizmasına dönelim ve $\mathcal{H}$ 'den $\mathcal{G}$ 'ye giden sürekli bir $\hat{A}$ doğrusal işlecini ele alalım³. Burada $\H$ ve $\G$ iki Hilbert uzayıdır ve $\H = \G$ olması mümkündür.

Not 3: Basitlik için burada sürekli işleçlerle sınırlanacağız. Sürekli olmayan durumda eşleniğin kuruluşuna sonra döneceğiz; bkz. bölüm 1.6 (Tema 4, Ders 3, bu dilde mevcut değil)

$\hat{A}$ , bir $\ket{u} \in \mathcal{H}$ keti üzerinde etki ettiğinde yeni bir $\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}$ keti elde edilir. $\ket{v}$ vektörüne Riesz izomorfizmasıyla karşılık gelen branın, yani $\G$ üzerindeki $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$ doğrusal formunun ne olduğunu sormak doğaldır. Bu soru bizi, $\hat{A}$ 'nın eşleniği denen ve yine $\hat{A}^\dagger$ ile gösterilen yeni bir işlece doğal olarak götürür. Bu işleç kuantum mekaniğinde temel bir rol oynar.

$\bra{v} = \langle \hat{A}u |$ ifadesini bulmak için herhangi bir $\ket{w} \in \mathcal{G}$ ketini sabitleyelim ve $\H$ üzerindeki şu doğrusal formu ele alalım:

\begin{aligned} \varphi : \begin{array}{rcl} \mathcal{H} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\[4pt] \ket{u} & \longmapsto & \langle \hat{A}u, w \rangle_{\mathcal{G}} \end{array} \end{aligned}

(Yukarıdaki $\G$ indisi, iç çarpımın hangi uzayda alınacağını gösterir.) Burada $\hat{A}$ sürekli bir işleç olduğunda $\varphi$ 'nin $\mathcal{H}$ üzerinde sürekli bir doğrusal form olduğunu kabul edeceğiz. $\mathcal{H}$ 'ye uygulanan Riesz teoremine göre $\varphi = \varphi_z$ koşulunu sağlayan tek bir $\ket{z} \in \mathcal{H}$ vektörü vardır; yani:

\forall\, \ket{u} \in \mathcal{H}, \quad \varphi(u) = \langle \hat{A}u, w \rangle_{\mathcal{G}} = \varphi_z(u) = \langle u, z \rangle_{\mathcal{H}}.

Yukarıdaki yapı, $\G$ içindeki bir $\ket{w}$ vektörüne $\H$ içindeki tek bir $\ket{z}$ vektörünü karşılık getirmiştir. Bu işlem biçimsel olarak, eşlenik işleç denen ve $\hat{A}^\dagger$ ile gösterilen bir işlecinin etkisiyle $\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}$ biçiminde yazılabilir. Böylece $\hat A$ işlecinin $\H$ 'den $\G$ 'ye, eşleniğin ise $\G$ 'den $\H$ 'ye gittiğini görürüz.

Bu yapı her $\ket{w}$ için tamamlandığında, tanımlanan işlecinin doğrusal ve sürekli olduğu kolayca doğrulanır. Böylece şu temel sonuç elde edilir:

Tanım 2 (Sürekli bir işlecinin eşleniği)

Sürekli bir

\hat{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{G}

doğrusal işlecinin eşleniği, aşağıdaki koşulu sağlayan tek sürekli doğrusal

\hat{A}^\dagger : \mathcal{G} \to \mathcal{H}

işlecidir:

\boxed{ \forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{u}{\smash{\hat{A}}^\dagger w}_{\mathcal{H}} }

(6)

Eşlenik, biçimsel kuantum hesabında iki pratik işe yarar.

Önceki formül, bir anlamda, « $u$ ve $w$ 'nin konumları sabitken eşleniğin işleci soldan sağa geçirmeyi sağladığını » gösterir.
İç çarpımın Hermitsel simetrisini, $\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*$ , kullanarak ayrıca şunu elde ederiz:
$\boxed{\forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}$
(7)

Bu ise « eşleniğin, karmaşık eşlenik alınması koşuluyla bra ve ketin yerini değiştirmeyi sağladığını » gösterir.

Bu iki özdeşlik eşdeğerdir. Elbette başlangıç ve varış uzayları $\H$ ile $\G$ 'ye ve hangi iç çarpımın, $\H$ 'ninkinin mi $\G$ 'ninkinin mi kullanıldığına dikkat edilmelidir. Ancak uygulamada neredeyse daima $\H = \G$ olacaktır ve gösterim buna göre sadeleşecektir.

Şimdi önceki yapıyı sonlu boyutta örnekleyelim. Temel sonuç şudur:

Önerme 2 (Eşlenik transpoz)

Sonlu boyutta

\hat{A}^\dagger

eşleniğini temsil eden matris,

\hat{A}

işlecini temsil eden matrisin eşlenik transpozudur.

\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}}

(8)

İspat.

Tanım gereği

\hat{A}^\dagger

'ın matris elemanları:

(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}^\dagger \ket{e_j} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

Eşleniğin tanımı gereği:

\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

Hermitsel simetriyle ise

\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^* = \bra{e_j}\hat{A} \ket{e_i}^* = A_{ji}^*

Böylece şunu kanıtladık:

(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

Şu soruyu henüz açıkça yanıtlamadık: $\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u}$ ketine kanonik olarak karşılık gelen $\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u}$ brası nedir? Formül (6), her $w$ vektörü için geçerli bir iç çarpımla yanıtı verir; böylece şunu yazabiliriz:

\forall w \in \mathcal{G}, \quad \braket{\hat{A} u}{w}_{\mathcal{G}} = \bra{u} \hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}} \;\Rightarrow\; \boxed{\bra{\hat{A} u} = \bra{u} \hat{A}^\dagger}

Sonuç, her $w$ vektöründe aynı değeri alan iki doğrusal formun zorunlu olarak eşit olmasından çıkar. Ancak bu nesnenin ne olduğunu iyi anlamak çok önemlidir. Sık yapılan bir hata, bu yazımdan « eşleniğin bralar üzerinde sola doğru etki ettiğini » sanmaktır. Bu yanlıştır! $\bra{u} \hat{A}^\dagger$ nesnesi gerçekte bir işleç bileşkesidir, sola doğru bir etki değildir. Başlangıç ve varış uzayları şöyledir:

\begin{aligned} \hat A^\dagger &: \mathcal G \to \mathcal H, \\ \bra{u} &: \mathcal H \to \mathbb{C}, \end{aligned}

Dolayısıyla $\bra{u} \hat A^\dagger$ , $\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}$ bileşkesidir; bu gerçekten $\mathcal{G}$ üzerinde bir doğrusal formdur. Genellikle $\circ$ simgesi yazılmaz ve bu da karışıklığa yol açabilir.

Örnek 2 (Sonlu boyutta örnek)

Ketler sütun, bralar satır vektörleridir; eşlenik ise eşlenik transpozdur. Örneğin şunları alalım:

\begin{aligned} \hat{A} = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad \hat{A}^\dagger = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix}, \quad \ket{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}

Hesaplayalım:

\begin{aligned} \hat{A}\ket{u} = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \\ 2 \end{pmatrix} \quad \text{buradan elde edilir:} \quad \bra{\smash{\hat{A}}u} = \begin{pmatrix} -i & 2 \end{pmatrix}. \end{aligned}

Doğrudan hesapla doğrulayalım:

\begin{aligned} \bra{u}\hat{A}^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i & 2 \end{pmatrix}. \end{aligned}

Gerçekten aynı satır vektörünü buluruz. Burada $\bra{u}\hat{A}^\dagger$ , satır vektörü $\times$ matris çarpımıdır ve sonuç $\mathcal{G}$ üzerinde bir satır vektörüdür. Sola doğru etkinin mümkün olmadığını görmek için $\hat{A}^\dagger\bra{u}$ hesaplamayı deneyebiliriz; matris biçiminde:

\begin{aligned} \hat{A}^\dagger \bra{u} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}, \end{aligned}

Bu, $2\times 2$ matris ile $1\times 2$ satır vektörünün çarpımıdır: matris hesabında tanımlı olmayan bir işlem.

Son olarak $\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger$ ifadesinden dagger alarak şu yararlı formülleri çıkarırız:

\left(\hat{A} \ket{u}\right)^\dagger = \bra{u} \hat{A}^\dagger.

(9)

\left(\bra{u} \hat{A}^\dagger\right)^\dagger = \hat{A} \ket{u}.

(10)

Örnek 3 (Eşlenikle biçimsel bir bileşkenin hesabı)

Harmonik salınıcı hakkında temel kuantum mekaniği sınavlarında sık görülen bir soruya bakalım. Soruda pozitif tam sayı

n

değerleri için bir

\ket{n}

ket ailesi ve şu kurallar verilir:

\hat a \ket{n} = \sqrt{n} \ket{n-1}

\hat a^\dagger \ket{n} = \sqrt{n + 1} \ket{n+1}

. Ardından

\bra{n} \hat a^\dagger

ifadesinin değeri sorulur.

$\hat a^\dagger$ 'ın sola doğru etki ettiğini düşünürsek $\bra{n} \hat a^\dagger = \sqrt{n + 1} \bra{n+1}$ yanıtını vermeye eğilimli oluruz. Bu yanıt yanlıştır; çünkü yukarıdaki denklemler, $\hat{A} = \hat{a}$ seçimiyle (9) denkleminden bunun yerine şunu verir: