Hilbert uzayları ve Dirac gösterimi

Bu derste Hilbert uzaylarını kesin olarak tanımlarken önce matematiğin cebir ve topoloji gibi büyük dalları içinde nasıl ve nerede yer aldıklarını göstereceğiz. Hilbert uzaylarının sınıflandırma teoremine ulaşacağız: aynı Hilbert boyutuna sahip iki Hilbert uzayı izometrik olarak izomorftur. Bu kavram, vektör uzayının cebirsel boyutuyla karıştırılmamalıdır; ikisi yalnızca sonlu boyutta örtüşür. Her durum için (sonlu boyut, sayılabilir sonsuz boyut ve sayılamaz sonsuz boyut) başvuru modeli uzayları verecek, temel kuantum mekaniğindeki kullanımlarına kısaca değineceğiz. Son olarak, izomorfizmlerle bağlanan Hilbert uzaylarının tanımladığı fiziğin değişmez kalıp kalmadığına bir giriş yapacağız.

1. Fizikte matematiksel yapılar

Hilbert uzaylarına ulaşmak için teorik fizikte en sık kullanılan « matematik haritasının »   kısa bir hatırlatmasını sunuyoruz. Sonraki sayfa böyle bir haritanın çok basitleştirilmiş ve çok büyük ölçüde eksik, ancak bu ders için yeterli sürümünü gösteriyor; bkz. Şekil (1).

Sezgisel bir nokta kümesi kavramından başlamayı seçersek¹, bu kümeye azar azar yapı ekleyerek ilerleriz. Bu şemayı ileride aşamalı olarak açıklayacağız.

1.1. Cebirsel yapılar ve vektör uzayları

Nokta kümelerinden doğrudan haritamızın (1) sol dalına, genellikle sayı kümelerini (ama yalnızca onları değil) betimlemekte kullanılan cebirsel yapılara geçilebilir.

Bunun için nokta kümesine bir veya birkaç iç bileşim işlemi eklenir; bu işlemler belirli kuralları sağladıkça (birleşme, değişme, birim elemanın varlığı vb.) özel yapılar elde edilir.

Şekilde bazı temel yapılar gösteriliyor: magma (özel bir özelliği olmayan iç bileşim işlemiyle donatılmış küme), gruplar, halkalar ve cisimler. Yarıgruplar, monoidler veya değişmeli olmayan halkalar gibi daha pek çoğu vardır; okumayı kolaylaştırmak için burada gösterilmemişlerdir. Her yapı öncekini özelleştirir: her cisim bir halkadır, her halka toplama bakımından bir gruptur vb. Cisim yapısı en önemlisidir; çünkü özellikle dört olağan aritmetik işlemle donatılmış gerçek veya karmaşık sayıların yapısıdır. Ayrıca üzerinde vektör uzayları kurmamızı sağlar.

Böylece doğrusal birleşimler oluşturulabilir; doğrusal bağımsız ve geren ailelerden, ayrıca vektör uzayının bazı ve boyutundan söz edilebilir. Dikkat: bu bölümde iyi ayırt edilmesi gereken iki baz kavramı vardır: bütün vektör uzayları için geçerli cebirsel bazlar ve yalnızca Hilbert uzayları için geçerli Hilbert bazları. Sonlu boyutta örtüşürler, sonsuz boyutta örtüşmezler. Aynı şekilde cebirsel boyutla Hilbert boyutu da ayırt edilmelidir. Bu yüzden devamı için bazı hatırlatmalar gereklidir.

Bu tanım diğer olağan tanıma eşdeğerdir: $(e_i)_{i \in I}$ ailesi ancak ve ancak hem doğrusal bağımsız olup hem de $E$'yi geriyorsa bazdır. Baz kavramı vektör uzayının boyutundan söz etmeyi sağlar.

Sonsuz boyutta bile cebirsel baz tanımının her vektörü baz vektörlerinin sonlu toplamına ayırmayı gerektirdiğine dikkat edin. Asıl nokta, sonsuz toplamla ayrışıma doğrudan izin veremememizdir; çünkü bunun için toplamın yakınsadığını bilmek, dolayısıyla bir topoloji gerekir. Hilbert uzayında bu mümkün olacak ve uyarlanmış Hilbert bazı kavramını haklı çıkaracaktır; bkz. Bölüm 2.3.

Doğal bir soru şudur: kaç farklı vektör uzayı vardır? Bunlar sınıflandırılabilir mi? Cebirsel olarak yanıt evettir. Bunun için bir denklik ilişkisi gerekir: vektör uzayı izomorfizmi, iki $E$ ve $F$ vektör uzayı arasında doğrusal yapıyı koruyan bire bir ilişkidir:

Not: bu tanım tamamen cebirseldir. $E$ ve $F$, vektör yapılarıyla uyumlu topolojilerle donatıldığında topolojik izomorfizm kavramı ayrılır: ayrıca hem $T$ hem $T^{-1}$ sürekli olmalıdır. Normlu vektör uzayları ve Hilbert uzaylarında buna döneceğiz.

Şu önemli teorem elde edilir:

Dolayısıyla $\mathbb{K} = \R$ veya $\C$ üzerinde, sonlu $n$ boyutlu vektör uzayı için pratikte tek model vardır: sırasıyla gerçek veya karmaşık bileşenli $n$-vektörlerin kümesi $\R^n$ veya $\C^n$.

Sonsuz boyutta sınıflandırma ilkesi aynıdır: seçim aksiyomu kabul edilirse her vektör uzayının bir bazı olduğu (Hamel bazı) kanıtlanır ve sınıflandırma teoremi şöyle genelleşir: aynı $\mathbb{K}$ cismi üzerinde iki vektör uzayı ancak ve ancak bazlarının kardinaliteleri aynıysa izomorftur.

Sonsuz bazın kardinalitesi sonluötesi kardinal sayılarla ifade edilir. Bunlar sonsuzun farklı “büyüklüklerini” ayırır. En küçük sonsuz kardinal $\aleph_0$ ile gösterilir: $\mathbb{N}$'nin, aynı zamanda $\mathbb{Z}$ ve $\mathbb{Q}$'nun kardinalitesidir. Ardından $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$ hiyerarşisi özyinelemeyle tanımlanır; her $\aleph_{n+1}$, $\aleph_n$'den kesinlikle büyük en küçük kardinaldir (aralarında başka kardinal yoktur). Matematiksel mantıkta süreklilik hipotezi, $\mathbb{N}$ ile $\mathbb{R}$ arasında kardinaliteye sahip bir sonsuz olmadığını varsayar; bu durumda $\aleph_1$, $\mathbb{R}$'nin kardinalitesidir.

Ancak Hamel bazı genellikle açıkça kurulamadığından bu sınıflandırmanın yararı sınırlıdır. Dolayısıyla vektör uzaylarının sınıflandırılması esasen kuramsal kalır. Normlu uzaylarda ve Hilbert uzaylarında durum değişir; en azından Hilbert boyutu sonlu veya sayılabilir sonsuz olduğunda ortonormal bazlar açıkça verilebilir, bkz. Bölüm 3.

Ama Hilbert uzaylarına ulaşmadan önce matematik haritamızın orta dalını izleyip metrik uzaylardan ve normlu uzaylardan söz etmeliyiz.

1.2. Metrik uzaylar ve normlu uzaylar

Haritamızın (1) orta dalını izlersek önce bir nokta kümesini topolojiyle donatmalıyız; bunu başka bölümde (normlu uzayların ve Hilbert uzaylarının topolojisi) ayrıntılandıracağız. Burada topolojinin yakınsama, limit ve sürekliliği tanımlamayı sağlayan bir yerellik kavramı verdiğini bilmek yeterlidir. Özellikle metrik uzaylar topolojik uzaylardır. Bunlar uzaklıkla donatılmış nokta uzaylarıdır; uzaklık yerellik kavramını tanımlar.

Bunu ortaya koyduktan sonra, temel kümesi $X$ bir vektör uzayı olan metrik uzaylarla, başka deyişle uzaklıkla donatılmış vektör uzaylarıyla ilgilenerek haritanın 1 cebirsel ve topolojik dallarını birleştirebiliriz. Bu bizi, Hilbert uzaylarının özel bir durumunu oluşturduğu, kuantum mekaniğinde temel önemde bir yapıya götürür: normlu vektör uzayları, kısaca NVU.

Her uzaklığa izin vermek istemediğimize dikkat edin. Uzay doğrusal olduğundan, vektör yapısıyla uyumlu bir uzaklık isteriz:

Bu koşullar, uzaklığın vektör uzayının geometrisine saygı gösterdiğini ifade eder: ötelemeyle değişmemeli (uzayın homojenliği), ölçeklemeler uzaklık oranlarını korumalıdır^{2  3}. Şimdi şu önerme bizi normlu uzaylara götürür: $d$, $E$ vektör uzayında uyumlu bir metrikse başlangıca, yani sıfır vektöre uzaklık dönüşümü $\norm{x} = d(x, 0_E)$ bir normdur.

Böyle bir uzaklıkla donatılmış vektör uzayı normlu vektör uzayıdır:

Her normlu vektör uzayı $(E, \|\cdot\|)$, $d(x,y) = \|x-y\|$ yoluyla kanonik olarak bir $(E, d)$ metrik uzayı belirler; bu metrik otomatik olarak vektör yapısıyla uyumludur. Böylece normlu vektör uzayları metrik uzayların özel bir alt sınıfıyla bire bir eşleşir. Bu anlamda onların bir alt kümesidir.

2. Hilbert uzayları

Böylece Şekil (1) içindeki normlu uzaylara ulaştık. Normlu vektör uzayı yerine yalnızca normlu uzay denmesi, hatta NVU kısaltmasının kullanılması yaygındır. Sonraki adım, ön-Hilbert uzaylarını, ardından kuantum mekaniğinin matematiksel çerçevesini oluşturan Hilbert uzaylarını tanımlamaktır.

Kuantum mekaniği karmaşık sayılar üzerine kurulduğundan, artık $\mathbb{K} = \C$ durumuyla sınırlı kalacağız. Şimdiye kadar vektör uzayları ve normlu uzaylar için $E$ ve $F$ harflerini kullandık. Bundan sonra (ön-)Hilbert uzayları için $\mathcal{H}$ ve $\mathcal{G}$ kullanılacak. Vektörler $x, y, z$ vb. ile gösterilmeyi sürdürecek.

2.1. Ön-Hilbert uzayı ve iç çarpım

Ön-Hilbert uzayı, normu bir iç çarpımdan türeyen normlu vektör uzayıdır. Bu her zaman geçerli değildir: bazı normlar iç çarpımdan elde edilemez; örneğin supremum normu⁴. Dolayısıyla ön-Hilbert uzayları normlu vektör uzaylarının öz alt kümesidir. $\C$ üzerindeki Hermitsel iç çarpım tanımını hatırlatalım:

(1) ve (2) özelliklerinin birleşimi birinci değişkende eşlenik doğrusallığı (veya antidoğrusallığı) gerektirir⁵: $\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$. Bir değişkende doğrusal, diğerinde eşlenik doğrusal dönüşüme seskilineer denir⁶. İleride Hermitsel sözcüğünü tekrarlamadan iç çarpım diyeceğiz; bu özellik örtük olacaktır.

Topolojik özelliklerden önce önemli bir sonucu belirtelim: iç çarpım her iki değişkende süreklidir. Yani norm anlamında $x_n \to x$ ve $y_n \to y$ ise (başka deyişle $\|x_n - x\| \to 0$ ve $\|y_n - y\| \to 0$),

Kuantum ölçüm postulatlarında, sistem $\psi$ durumundayken bir $\phi$ özvektörüyle ilişkili fiziksel büyüklüğü gözleme olasılığının $|\langle \phi , \psi \rangle|^2$ olduğunu göreceğiz (bkz. bölüm 1.2 (Tema 3, Ders 1, bu dilde mevcut değil)). Böylece iç çarpımın sürekliliği, $\psi$ durumundaki küçük bir değişikliğin olasılıklarda küçük bir değişikliğe yol açmasını garanti eder; aranan da budur.

İç çarpım başka bir temel özellik daha sağlar:

Bu eşitsizlik özellikle, gösterimin düşündürdüğü gibi $x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ dönüşümünün gerçekten norm olduğunu kanıtlamaya yarar.

Böylece şu tanıma ulaşırız:

Karmaşık ön-Hilbert uzayı $\mathcal{H}$ içinde şu yararlı formüller geçerlidir.

Son iki formül, Hermitsel iç çarpımla norm arasındaki ilişkiyi veren önemli bir teoremle bağlantılıdır. Fréchet-von Neumann-Jordan teoremi, normlu $E$ uzayındaki $\|\cdot\|$ normunun ancak ve ancak paralelkenar özdeşliğini sağlıyorsa iç çarpımdan türediğini söyler. Paralelkenar özdeşliği bir sınamadır: iç çarpımın var olup olmadığını denetler. Varsa polarizasyon formülü, normdan iç çarpımı yeniden kurmanın tarifidir.

2.2. Tamlık ve Hilbert uzayı

Ön-Hilbert uzaylarından Hilbert uzaylarına geçmek için vazgeçilmez bir topolojik kavram vardır: tamlık.

Bu topolojik yönlere ilgili bölümde tekrar döneceğiz. Şimdilik tamlığın kuantum fiziği için temel olduğunu belirtmekle yetinelim. Sezgisel olarak tam uzayda « delikler » yoktur. Başka deyişle, $\mathcal{H}$ elemanlarından oluşan bir dizi, $\mathcal{H}$ dışında bir şeye yakınsayamaz. Örneğin rasyonellerde eksik olan budur: uygun bir rasyonel sayı dizisi rasyonel olmayan bir sayıya gidebilir; zaten gerçek sayılar kümesi böyle kurulur.

Kuantum mekaniğinde ise sistemin her fiziksel durumu Hilbert uzayının bir vektörüdür ve tersi de geçerlidir. Bu kuantum mekaniğinin ilk postulatıdır. Dolayısıyla durum uzayı tam olmasaydı, örneğin dalga fonksiyonunun evrimi Schrödinger denkleminin etkisiyle « uzayın dışına çıkabilir » ve « fiziksel olmayan duruma » dönüşebilirdi; bu anlamsız olurdu.

Tamlık başka bir temel postulatta da rol oynar: kuantum ölçüm sonuçları, öz-eşlenik doğrusal işleçler olarak ele alınan fiziksel gözlenebilirlerin spektrumuna karşılık gelmelidir. Oysa tam olmayan uzayda bir işlecin her zaman eşleniği bulunmaz. Ayrıca öz-eşlenik işleçlerin yapısını incelemeyi sağlayan spektral teorem için uzayın tamlığı gereklidir.

Son olarak, sonsuz toplam içeren her kuantum ifadesinin (örneğin Fourier serisi açılımı, özdurum bazında ayrışım vb.) anlamlı olması tamlık gerektirir. Örneğin Dirac gösteriminde $|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$ yazmak (bkz. bölüm 4 (Tema 2, Ders 2)), serinin var olduğunu varsayar; bunu yalnızca tamlık garanti eder.

Yine de iyi bir haber var: tamlığın bu inceliği yalnızca sonsuz boyutta gereklidir. Sonlu boyutta önemli bir teorem soruyu basitleştirir:

Artık Hilbert uzaylarının cebirsel betimlemesine geçebiliriz.

2.3. Cebirsel baz ve Hilbert bazı

Yukarıda vektör uzaylarındaki cebirsel baz tanımını hatırlattık, bkz. Tanım 2. Bunun vektörleri sonlu toplama ayırmayı sağladığını gördük. Normun indüklediği topolojiyi ve tam uzayı getirmenin temel düşüncesi şudur: artık dizilerin yakınsamasından söz edebiliriz. Özellikle belirli $x_k$ vektörleri için $x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$ olan kısmi toplamların $(x_n)$ yakınsamasını inceleyebiliriz. Bu toplam yakınsarsa bir seri, yani sonsuz toplam elde edilir: $(x_n) \to x$ ve $x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$. Uzay tamsa bu limitin uzayda olması garantidir.

Başka deyişle, Hilbert uzayının cebirsel boyutu sonsuzken artık vektörleri sonsuz seri halinde ayırabiliriz. Bu yeni bir baz kavramı verir:

Bu tanımı anlamak için topolojik yoğunluk kavramı gerekir:

Bu, özellikle normlu olan Hilbert uzayında da geçerlidir. Dolayısıyla totallik, $\H$ içindeki her vektöre $\H$ elemanlarının sonlu doğrusal birleşimiyle istenildiği kadar yaklaşılabilmesidir.

Cebirsel bazdan farklı olarak her vektörün elemanların sonlu doğrusal birleşimi olarak ayrıştığını değil, Hilbert bazının doğrusal birleşimiyle istenildiği kadar yaklaştırılabildiğini söylüyoruz. Tamlık sayesinde bu yaklaşımlar gerçekten x'e yakınsar. $I$'nın herhangi bir kardinalitesi için şu teorem geçerlidir:

Hilbert bazı tanımıyla ayrışım teoremi arasındaki bağlantı doğrudan açık değildir.

Sonsuz boyutta cebirsel bazın kardinalitesinin Hilbert bazının kardinalitesinden her zaman kesinlikle büyük olduğunu belirtelim. Sezgisi basittir: cebirsel bazın sonlu doğrusal birleşimleri her $x$ noktasına ulaşmalıdır; Hilbert bazı içinse yalnızca yaklaşmaları yeterlidir. Dolayısıyla ikincisi « daha az hassastır » ve daha az bağımsız yön gerektirir.⁸. Başka deyişle Hilbert bazının sonlu doğrusal birleşimleri uzayın çok küçük bir kısmını oluşturur ($\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$). Bu nedenle $\mathcal{H}$ vektörlerini temsil etmek için genellikle yakınsak sonsuz seriler gerekir.

Son olarak kuantum fiziği matematiğinde çok yararlı başka bir formülü belirtelim.

2.4. Hilbert boyutu ve sınıflandırma

Bütün Hilbert uzaylarını sınıflandırmayı tamamlamak için neredeyse her şey elimizde. Eksik olan temel değişmez Hilbert boyutudur:

Hilbert uzaylarını sınıflandırmak için son olarak bu uzaylar arasında uygun denklik ilişkisi gerekir. Tanım 4 içindeki vektör uzayı izomorfizmini önce normlu, sonra Hilbert uzaylarına genişleteceğiz; şimdilik sezgisel süreklilik kavramıyla yetineceğiz:

$T$ iç çarpımı koruyorsa $T$'nin otomatik olarak normu da koruduğuna dikkat edin ($\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$). Bu yüzden (doğrusal, bire bir ve örten) izometri denir. Sınıflandırmanın temel taşı şu teoremdir:

Boyut sözcüğü artık elbette Hilbert boyutunu ifade eder. Her Hilbert uzayı bu model uzaylardan biriyle izometrik olarak izomorftur ve sınıflandırma eksiksizdir. Sayılamaz sonsuz boyutu çok daha sonra ele almak üzere bırakarak, sonraki bölümde bunları ayrıntılandıracağız. Sonlu (ör. spin), sayılabilir sonsuz (ör. nokta parçacığın kuantum mekaniği) veya sayılamaz (ör. kuantum alan kuramı) serbestlik dereceli kuantum sistemleri için başvuru uzaylarıdır.

3. Model uzaylar

3.1. $\C^n$ Hilbert uzayı

Açıkça, karmaşık sayılardan oluşan $n$-lilerin kümesidir:

şunlarla donatılır:

• Hermitsel iç çarpım: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$ (karmaşık eşleniğe dikkat edin)
• İlişkili Öklid normu: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$

Bu, tam bir cisim üzerinde sonlu boyutlu olduğundan tamlığı garantili, $n$ boyutlu bir NVU'dur. Dolayısıyla Hilbert uzayıdır. Sütun vektörü olarak kanonik bazı:

Bu, $n$ kardinaliteli bir Hilbert bazı, aynı zamanda cebirsel bazdır; yani her $x \in \mathbb{C}^n$ vektörü tam olarak şu sonlu toplamla ayrışır:

Bu Hilbert uzayı, sonlu sayıda birbirinden ayırt edilebilir durumu olan bütün kuantum sistemlerinde, özellikle iki düzeyli sistemlerde veya kübitlerde kullanılır.

3.2. $\ell^2(\mathbb{N})$ Hilbert uzayı

Kareleri toplamlanabilir diziler kümesi olarak tanımlanır:

Şunlarla donatıldığında Hilbert uzayı olduğu kanıtlanabilir:

• İç çarpım: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$ (bu kez sonsuz toplama dikkat edin),
• İlişkili norm: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$ (aynı not)

Burada sayılabilirliğini kanonik bazını açıkça kurarak gösteriyoruz. Bu baz $\C^n$'ninkine benzer. Her $i \in \mathbb{N}$ için (yine sütun vektörü olarak):

tanımlanır; yani $i$-inci koordinatı $1$, diğerleri $0$ olan vektör. Sonlu boyuttan tek farkı sonsuz bileşeni olmasıdır.

Bu Hilbert uzayı örneğin kuantum mekaniğinde harmonik osilatörü betimlemek için kullanılır; çünkü enerji özdurumlarının sınırsız bir $n$ tam sayısıyla indislendiğini, dolayısıyla osilatörün her durumunun böyle bir seriyle yazıldığını göreceğiz.

3.3. $L^2(\R)$ Hilbert uzayı

Bir boyutta nokta parçacığın kuantum mekaniğinde dalga fonksiyonu $\psi(x)$, gerçek değişkenin karmaşık değerli fonksiyonudur. Olasılıksal yorum şunu gerektirir:

Bu nedenle bu kuantum mekaniğinin uzayını doğal olarak kareleri integrallenebilir fonksiyonlar kümesi şeklinde tanımlarız:

“$< \infty$” koşulu bir durumun her zaman normalize edilebileceğini gösterir. Şu iç çarpımla donatılır:

bu da şu normu indükler:

Bunun bir Hilbert uzayı oluşturduğu gösterilebilir, ancak tamamen aşikâr değildir. Açık bir Hilbert bazı verilebilir. Bilinen birkaç baz vardır (Hermite, dalgacıklar, Laguerre, Walsh ...). Örneğin önce Hermite polinomlarını yineleme bağıntısıyla tanımlarız:

sonra Hermite fonksiyonlarını tanımlarız:

bu fonksiyonların ortonormal bir aile oluşturduğunu burada kabul edeceğiz:

ve totaldirler; dolayısıyla Hilbert bazıdır. Not: bu aynı zamanda 1D harmonik osilatör Hamiltonyeninin özbazıdır. Ayrıntılar için Vikipedi ^[7] kaynağına bakılabilir. Pratikte açık ifadeler son derece karmaşık olduğundan bu baz az kullanılır. « Başka bir baz » icat edilmiştir (gerçekte baz değildir): genelleştirilmiş sürekli baz, daha sonra döneceğimiz ünlü $\ket{x}$ ketleri.

3.4. $L^2(\mathbb{R}^3)$ ve $L^2(\mathbb{R}^{3n})$ Hilbert uzayları

Üç boyutta benzer şekilde $L^2(\R^3)$, şu iç çarpımla ele alınır:

Üç boyutta $n$ parçacıklı sistemin durum uzayı:

İç çarpım:

ilişkili norm ise:

Bunların hepsi Hilbert uzaylarıdır (kanıtsız kabul edilir).

4. Son söz

Buraya kadar gördüklerimizde okuyucuyu şaşırtabilecek şey, 1D nokta parçacık kuantum mekaniğini betimleyen $L^2(\R)$'nin üç boyutlu fiziği modelleyen $L^2(\R^3)$ ile izomorf olmasıdır. Başka bir derste bunun neden paradoks olmadığını ayrıntılı göreceğiz. Ana düşünce, fiziğin yalnızca Hilbert uzayıyla değil, bir gözlenebilirler kümesiyle de verilmesidir. $L^2(\R)$'den $L^2(\R^3)$'e hiçbir izomorfizm, 1D gözlenebilir cebirinin tamamını eşzamanlı olarak 3D cebirine taşıyamaz (yani tek bir $[\hat{X}, \hat{P}]$ çiftinden üç bağımsız $[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$ çiftine).

Bu izomorfizm matematiksel eşitlik de ifade etmez: iki Hilbert uzayı fonksiyon uzayı olarak gerçekten farklıdır, ama yine de Hilbert yapıları izomorftur. İzomorfizm yalnızca yapısal benzerliği, yani aynı büyüklükte olduklarını (Hilbert bazlarının kardinalitesi bakımından) ve aynı Hilbert yapı özelliklerini taşıdıklarını söyler: bu izomorfizm altında normlar, uzaklıklar, diklik ve yakınsama, süreklilik gibi topolojik özellikler korunur.

Dolayısıyla verilen bir kardinal için izometriye kadar tek bir soyut Hilbert uzayı bulunsa da bunun sonsuz sayıda somut gerçekleştirilmesi vardır.

Yine de Hilbert uzaylarının sınıflandırılmasını anlamaya bu kadar zaman ayırmak yararsız değildi: gördüğümüz gibi, ele alınan kuantum sisteminin « boyutluluğuna » göre farklı fiziksel durumlara karşılık gelir. Özellikle bu sınıflandırmaya, bazın niteliğine göre farklı hesap kuralları eşlik eder (sonlu toplamlar, sonsuz seriler veya sürekli integraller). Ayrıca ilişkili doğrusal işleç kuramı sonlu ve sonsuz boyut arasında kökten değişir.

5. Kaynaklar