صفحۂ اوّل/موضوعات/موضوع 2

ہلبرٹ فضائیں اور ڈیراک کی علامت نگاری

ہلبرٹ فضاؤں کی ساخت، ٹوپولوجیائی دوگانہ اور متناہی و لامتناہی ابعاد میں ڈیراک کی علامت نگاری۔

متناہی بُعد میں ڈیراک کی علامت نگاری

کوانٹم حساب کے جبری قواعد جو ہر بُعد میں درست ہیں، اور پھر متناہی بُعد میں میٹرکس فارمولوں کا مجموعہ۔

ڈیراک کی علامت نگاریہرمیشی داخلی حاصل ضربملحقکیٹ–برا عاملشناخت کی توسیعمتناہی بُعدمیٹرکس کے عناصرٹریسمرافق منقولفارمولوں کا مجموعہ

ابھی متعین کردہ اشیا بنیادی خصوصیات کی پابند ہیں، جو ہلبرٹ فضا کے ہر بُعد میں اور عاملوں کے محدود یا غیر محدود ہونے سے قطع نظر درست ہیں۔ غیر محدود صورت میں بھی الحاقی متعین ہو سکتا ہے، مگر ریاضیاتی طور پر زیادہ باریک ہے؛ اگلے موضوع میں خطی عاملوں کی تھیوری کے دوران اس پر لوٹیں گے۔ چونکہ پوری دنیا ڈیراک کی علامت نگاری استعمال کرتی ہے، یہ خصوصیات دراصل کوانٹم حساب کے الجبری قواعد ہیں، اور ان پر عبور لازمی ہے۔

یہ سبق اب تک کے تمام مفید فارمولے جمع کرتا ہے، چاہے تکرار ہو، اور چند مزید شامل کرتا ہے۔ پہلے وہ قواعد ہیں جو ہر بُعد میں درست ہیں، پھر متناہی بُعد کی فہرست، جہاں ڈیراک کی علامت نگاری واضح مصفوفی حساب بن جاتی ہے۔

1. ہر بُعد میں حساب کے قواعد

داخلی حاصل ضرب کی خصوصیات۔

فرض کریں (∣φ⟩,∣ψ⟩)∈H2(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2 ہلبرٹ فضا کے دو سمت دار اور (λ,μ)∈C2(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2 عددی مقداریں ہیں۔ داخلی حاصل ضرب کی خصوصیات ہیں:

  1. ہرمیشی تقارن:

    ⟨φ|ψ⟩=⟨ψ|φ⟩∗.\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}

    (1)

  2. بائیں طرف ضد خطیت: λ∣ψ⟩\lambda \ket{\psi} سے متعلق برا λ∗⟨ψ∣\lambda^* \bra{\psi} ہے، یعنی:

    (λ∣ψ⟩)†=λ∗⟨ψ∣اور⟨λψ|φ⟩=λ∗⟨ψ|φ⟩\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{اور} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }

    (2)

  3. دائیں طرف خطیت:

    ⟨φ|λψ⟩=λ⟨φ|ψ⟩.\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}

    (3)

  4. خطی امتزاج: سابقہ خصوصیات پیچیدہ اظہارات کو معمول کے طریقے سے کھولنے دیتی ہیں۔ مثلاً تمام α,β,γ,δ∈C\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C کے لیے:

    ⟨αφ+βψ|γφ+δψ⟩=α∗γ⟨φ|φ⟩+α∗δ⟨φ|ψ⟩+β∗γ⟨ψ|φ⟩+β∗δ⟨ψ|ψ⟩.\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }

    (4)

  5. معیار: تعریف کے مطابق

    ∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩≥0,\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}

    (5)

    مساوات تب اور صرف تب ہے جب ∣ψ⟩=0\ket{\psi} = 0 صفر سمت دار ہو، جسے کبھی کبھار، مگر شاذ، ∣∅⟩\ket{\varnothing} لکھتے ہیں۔

الحاقی کی خصوصیات۔

تعریف دینے والے دونوں فارمولے دوبارہ لکھتے ہیں:

(A^∣φ⟩)†=⟨A^φ∣=⟨φ∣A^†\boxed{ (\hat A\ket{\phi})^\dagger = \bra{\smash{\hat{A}} \phi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger }

(6)

اور

⟨A^φ|ψ⟩=⟨φ|A^†ψ⟩=⟨φ∣A^†∣ψ⟩\boxed{ \braket{\smash{\hat{A}} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\smash{\hat{A}}^\dagger \psi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi} }

(7)

ہرمیشی تقارن سے یہ بھی ثابت ہوتا ہے:

⟨φ∣A^†∣ψ⟩∗=⟨ψ∣A^∣φ⟩\boxed{ \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi}^* = \bra{\psi} \hat A \ket{\phi} }

(8)

الحاقی عاملوں کی خصوصیات۔

H\mathcal{H} پر تمام مسلسل خطی عاملوں A^,B^\hat{A}, \hat{B} اور ہر عددی مقدار λ∈C\lambda \in \mathbb{C} کے لیے:

(A^+B^)†=A^†+B^†,(λA^)†=λ∗A^†, (ضد خطیت)(A^B^)†=B^†A^†,(ترتیب کا خیال رکھیں)(A^†)†=A^,    (دو بار سے اصل کی واپسی).\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{(ضد خطیت)} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{(ترتیب کا خیال رکھیں)} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{(دو بار سے اصل کی واپسی)}. \end{aligned}
کیٹ–برا عامل۔

بریکٹ ایک عدد ہے، مگر کیٹ–برا ایک عامل، جسے خارجی حاصل ضرب کہتے ہیں؛ اس کا تفاضلی صورتوں کے خارجی حاصل ضرب سے تعلق نہیں۔ دو سمت داروں ∣φ⟩\ket{\phi} اور ∣ψ⟩\ket{\psi} سے عامل ∣φ⟩⟨ψ∣\ket{\phi}\bra{\psi} منسلک کرتے ہیں جس کی تعریف ہے:

∣φ⟩⟨ψ∣:H→H,∣χ⟩↦∣φ⟩⟨ψ|χ⟩.\begin{aligned} \ket{\phi}\bra{\psi} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{\chi} \mapsto \ket{\phi}\braket{\psi}{\chi}. \end{aligned}
شناختی عامل کا تجزیہ۔

H\Hilb میں شناختی عامل 1\mathbf{1} لکھتے ہیں، جس کی بدیہی تعریف 1x=x,∀x∈H\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb ہے۔ قابل شمار ہلبرٹ اساس {∣ei⟩}i∈I\{\ket{e_i}\}_{i \in I} میں، جہاں II متناہی یا قابل شمار لامتناہی ہے، شناختی عامل 1\mathbf{1} یوں ہے:

1=∑i∈I∣ei⟩⟨ei∣\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }

(9)

یہ فارمولا عملی طور پر نہایت مفید ہے۔ اسے شناخت کی تحلیل یا بستگی کا تعلق بھی کہتے ہیں۔ دایاں رکن متناہی بُعد میں مجموعہ اور قابل شمار لامتناہی بُعد میں متقارب سلسلہ ہے۔ ناقابل شمار بُعد میں یہ غلط ہے۔

ہلبرٹ تجزیہ۔

پچھلا فارمولا مثلاً سبق 1 کا تجزیاتی قضیہ براہ راست واپس دیتا ہے، جہاں ψi\psi_i، کیٹ ∣ψ⟩\kpsi کا ∣ei⟩\ket{e_i} پر جز ہے:

∣ψ⟩=1∣ψ⟩=∑i∈I⟨ei|ψ⟩∣ei⟩=∑i∈Iψi∣ei⟩\boxed{ \ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{\psi} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} \psi_i \ket{e_i} }

(10)

بُعد کے مطابق یہ مجموعہ یا سلسلہ ہے۔ کیٹ کے تجزیے کا برا کے لیے بھی متناظر ہے:

⟨ψ∣=⟨ψ∣1=∑i∈Iψi∗⟨ei∣\boxed{ \bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \bra{e_i} }

(11)

تب معیار یوں لکھتے ہیں:

∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩=∑i∈Iψi∗ψi=∑i∈I∣ψi∣2\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \psi_i = \sum_{i \in I} |\psi_i|^2 }

(12)

تبصرہ 1 (ترتیب کا خیال رکھیں!)
کیٹ کے اجزا ψi=⟨ei|ψ⟩\psi_i = \braket{e_i}{\psi} ہیں، نہ کہ ⟨ψ|ei⟩\braket{\psi}{e_i}، جس کی قدر ψi∗\psi_i^* ہے۔ ہرمیشی داخلی حاصل ضرب تبادلی نہیں، اس لیے ترتیب ضروری ہے۔ معمول کے اقلیدسی داخلی حاصل ضرب کے ساتھ Rn\mathbb{R}^n میں سمت دار v⃗\vec{v} کا جز viv_i، vi=v⃗⋅e⃗iv_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i سے ملتا ہے۔ اس سے کوانٹم فارمولا ψi=⟨ψ|ei⟩\psi_i = \braket{\psi}{e_i} ہونے کا خیال آ سکتا ہے، مگر ایسا نہیں!
چند خاص عامل۔

اگلا موضوع ہلبرٹ فضا پر خطی عاملوں کی تھیوری تفصیل سے پیش کرتا ہے۔ تاہم آگے کے لیے چند عام صورتیں نوٹ کر لیں۔ عاملوں H→H\Hilb \to \Hilb میں خاص طور پر:

  1. A^\hat A، ہرمیشی یا خود الحاقی ہے اگر A^†=A^\hat{A}^\dagger = \hat{A}،
  2. U^\hat U، یکانی ہے اگر U^†=U^−1\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}،
  3. P^\hat P، اسقاطی عامل ہے اگر P^2=P^\hat{P}^2 = \hat{P}،
  4. P^\hat P، عمودی اسقاطی عامل ہے اگر وہ خود الحاقی اسقاط ہو۔

یکانی عامل یک بہ یک محیط، خطی اور داخلی حاصل ضرب کے محافظ ہیں۔ اس لیے انہیں پہلے دیکھ چکے ہیں: یہ فاصلہ محفوظ رکھنے والے یک ساختی تقابل ہیں؛ یہاں زیادہ درست طور پر خود تقابل، کیونکہ صرف H\Hilb سے اسی فضا میں خطی عامل زیر بحث ہیں۔

2. متناہی بُعد کے فارمولے

ہلبرٹ فضا کا بُعد nn متناہی ہو تو کوانٹم حساب کے قواعد مزید واضح ہوتے ہیں۔ پچھلے حصے کے تمام فارمولے درست ہیں، مگر ان کے مجموعے متناہی لکھتے ہیں: ∑i⟶∑i=1n\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}۔

مزید یہ کہ معیاری عمودی اساس B=(∣ei⟩)i=1n\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n منتخب کرنے کے بعد ڈیراک کی علامت نگاری واضح مصفوفی حساب بن جاتی ہے، جس کی اب تفصیل دیتے ہیں۔ توجہ: جو کچھ آگے ہے وہ لامتناہی بُعد میں بالکل بے معنی ہے۔

کیٹ بطور ستونی سمت دار۔

اساس B\mathcal{B} کے کیٹ کینونی طور پر (n,1)(n,1) مصفوفات، یعنی ستونی سمت دار، سے ظاہر کرتے ہیں:

∣ei⟩=(0⋮010⋮0)B\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

یہاں 11، ii ویں مقام پر ہے۔ الجبری تجزیے سے

∣v⟩=∑i=1nvi∣ei⟩,\ket{v} = \sum_{i=1}^n v_i \ket{e_i},

تمام کیٹ ستون بن جاتے ہیں: ∣v⟩∈H\ket{v} \in \mathcal{H} کے لیے لکھتے ہیں:

∣v⟩=(v1v2⋮vn)B∈Cn,\ket{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

جہاں ضرورت نہ ہو وہاں توسیع کی اساس B\mathcal{B} کا ذکر حذف کریں گے۔ اجزا عمودی اسقاط سے ملتے ہیں:

vi=⟨ei|v⟩\boxed{v_i = \braket{e_i}{v}}

(13)

برا بطور مزدوج صفی سمت دار۔

سمت دار uu کی متعلقہ خطی صورت φu\varphi_u ہر سمت دار vv کے لیے یہ پوری کرے:

φu(v)=⟨u,v⟩=∑i=1nui∗vi,\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i,

کیونکہ ہرمیشی داخلی حاصل ضرب بائیں طرف ضد خطی ہے۔ اس مجموعے کو مصفوفی ضرب بنانے کے لیے ⟨u∣\bra{u}، uu کے مزدوج مختصات کی صف ہونا چاہیے:

⟨u∣=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗),\begin{aligned} \bra{u} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix}, \end{aligned}

تب داخلی حاصل ضرب ⟨u|v⟩\braket{u}{v} معمول کی مصفوفی ضرب ہے:

⟨u|v⟩=⟨u∣⋅∣v⟩=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗)⋅(v1v2⋮vn)=∑i=1nui∗vi∈C.\begin{aligned} \braket{u}{v} = \bra{u} \cdot \ket{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

یوں برا ⟨u∣\bra{u}، کیٹ ∣u⟩\ket{u} کا مزدوج منقول ہے۔ متناہی بُعد میں ڈیگر عمل مزدوج منقول لینے کے برابر ہے:

∣u⟩†=∣u⟩∗⊤=⟨u∣\boxed{\ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u}^*} = \bra{u}}

(14)

لامتناہی بُعد میں یہ غلط بلکہ بے معنی ہے، کیونکہ منقول کی تعریف نہیں1۔

نوٹ 1: زیادہ سے زیادہ ℓ2(N)\ell^2(\N) اور حصہ 3.2 (موضوع 2, سبق 1) میں بیان کردہ اس کی کینونی اساس میں لامتناہی ستون یا صف لے کر اور متناہی مجموعوں کو متقارب سلسلوں سے بدل کر مشابہ صورت ملتی ہے۔ اس سے وجدان میں مدد مل سکتی ہے، مگر سخت مفہوم میں یہ مصفوفات نہیں۔ L2(R)L^2(\R) میں اس کا بالکل مطلب نہیں رہتا، اگرچہ وہاں بھی تکملی متناظر موجود ہے؛ اگلا سبق دیکھیے۔
عاملوں کی مصفوفی نمائندگی۔

متناہی بُعد کی معیاری عمودی اساس {∣ei⟩}i=1n\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n میں ہر خطی عامل A^\hat{A} یوں تجزیہ ہوتا ہے:

A^=∑i,j=1nAij ∣ei⟩⟨ej∣,\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

(15)

یہ متناہی بُعد میں خطی عامل A^\hat{A}، ٹوپی کے ساتھ، اور اس کی مصفوفہ AA، بغیر ٹوپی، کی فطری شناخت دیتا ہے۔ یہ فارمولا ڈیراک میں مصفوفی توسیع A=∑ijAijEijA = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij} کا متناظر ہے، جہاں EijE_{ij} بنیادی مصفوفہ ہے جس کے مقام (i,j)(i,j) پر 11 اور باقی جگہ صفر ہیں۔ لہٰذا EijE_{ij}، عامل ∣ei⟩⟨ej∣\ket{e_i} \bra{e_j} کی نمائندہ ہے۔ اعداد AijA_{ij}، اساس {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\} میں عامل A^\hat{A} کے مصفوفی عناصر کہلاتے ہیں۔ ان کی قدریں ہیں:

Aij=⟨ei|A^ej⟩A_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}} e_j}

مگر ظاہری سادگی کے لیے عموماً یوں لکھیں گے:

Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩.\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(16)

شناختی عامل کی مصفوفہ ظاہر ہے شناختی مصفوفہ ہے، اور اس کے عناصر δij\delta_{ij}، یعنی کرونیکر علامت، ہیں۔

عامل کا ٹریس۔

آگے عامل A^\hat{A} کے ٹریس پر اکثر غور کریں گے۔ ڈیراک میں اس کا حساب ہے:

Tr(A^)=∑i=1n⟨ei∣A^∣ei⟩=∑i=1nAii.\boxed{\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_{i=1}^n \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_i} = \sum_{i=1}^n A_{ii}.}

(17)

یہ اظہار معیاری عمودی اساس کے انتخاب سے آزاد ہے۔

الحاقی اور مزدوج منقول۔

متناہی بُعد میں الحاقی A^†\hat{A}^\dagger کی نمائندہ مصفوفہ، عامل A^\hat{A} کی مصفوفہ کا مزدوج منقول ہے:

A†=(A∗)⊤.\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}.}

(18)

ایک مختصر ثبوت دیتے ہیں، کیونکہ یہ سابقہ قواعد کا عملی استعمال دکھاتا ہے۔ تعریف کے مطابق A^†\hat{A}^\dagger کے مصفوفی عناصر ہیں:

(A^†)ij=⟨ei|A^†ej⟩.(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

لیکن الحاقی کی تعریف سے:

⟨ei|A^†ej⟩=⟨A^ei|ej⟩\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

ہرمیشی تقارن سے ⟨A^ei|ej⟩=⟨ej|A^ei⟩∗\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*، جو بالکل مصفوفی عنصر Aji∗A_{ji}^* ہے۔ لہٰذا:

(A†)ij=Aji∗=(A∗⊤)ij(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

یوں خصوصیت ثابت ہوئی۔ متناہی بُعد میں واضح مصفوفی حساب سے جانچ سکتے ہیں کہ عامل ہرمیشی، یکانی وغیرہ ہے یا نہیں۔

3. حوالہ جات

اس سبق کے لیے ابھی کوئی حوالہ شامل نہیں کیا گیا۔