صفحۂ اوّل/موضوعات/موضوع 2

ہلبرٹ فضائیں اور ڈیراک کی علامت نگاری

ہلبرٹ فضاؤں کی ساخت، ٹوپولوجیائی دوگانہ اور متناہی و لامتناہی ابعاد میں ڈیراک کی علامت نگاری۔

دوگانہ فضا، کیٹ، برا اور ملحق

ٹوپولوجیائی دوگانے کی تشکیل، ریس کا قضیۂ نمائندگی، کیٹ، برا اور ملحق کا تعارف

جبری دوگانہٹوپولوجیائی دوگانہریس ہم شکلیتکیٹ اور برامیٹرکس کے عناصرشناخت کی تحلیلڈَیگرملحق عامل

1. دوگانگی کا تصور

دوگانگی اس پورے سبق کا مرکزی خیال ہے۔ آئیے اس کی ایک وجدانی تعبیر پیش کریں۔ ریاضی میں دوگانگی بہت سی صورتوں کا احاطہ کرتی ہے، مگر ہلبرٹ فضا میں یہ ایک سادہ اور گہرا خیال بیان کرتی ہے: سمت دار کو نہ صرف اپنی ذات میں ایک شے بلکہ ایک ایسے عامل کے طور پر بھی دیکھا جا سکتا ہے جو دوسرے سمت داروں پر عمل کرکے اعداد پیدا کرتا ہے، یعنی ایک خطی صورت کے طور پر۔ کوانٹم میکانیات میں یہ عدد احتمال کا حیطہ ہوتا ہے۔

کوانٹم کا رسمی ڈھانچا ان دونوں پہلوؤں کو پوری طرح استعمال کرتا ہے، اور ڈیراک کی علامت نگاری ان سے آسانی سے کام لینے کا ایک ذہین طریقہ ہے۔ کیٹ، جسے ∣u⟩\ket{u} لکھتے ہیں، فضا کے سمت دار کو ظاہر کرتا ہے؛ برا، جسے ⟨u∣\bra{u} لکھتے ہیں، ان سمت داروں پر عمل کرنے والی خطی صورت کو۔ ان کا امتزاج ⟨u∣v⟩\langle u|v\rangle ایک عددی مقدار دیتا ہے، جسے بریکٹ کہتے ہیں، جبکہ ∑aij∣ui⟩⟨vj∣\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j} جیسے اظہارات عامل بیان کرتے ہیں۔

یہ علامت نگاری کوانٹم طبیعیات کی معیاری زبان بن چکی ہے اور اس پر مکمل عبور ضروری ہے۔ اس سبق کے بعد حساب کے قواعد کی ایک خلاصہ وار فہرست دی جائے گی۔ ان علامتوں کے پیچھے کی ریاضی سمجھے بغیر بھی ان سے حساب کرنا سیکھا جا سکتا ہے۔ مگر ان کا گہرا مفہوم سمجھنے کے لیے یہاں پیش کردہ پروگرام ضروری ہے: سمت داروں اور خطی صورتوں کی مکمل شناخت کیسے قائم ہوتی ہے، اور یہ طریقہ قدرتی طور پر ایک اور بنیادی شے، عامل کے الحاقی، تک کیوں پہنچاتا ہے۔

اگلے حصے میں ہم ایک سمتی فضا اور اس کے الجبری دوگان کے درمیان ایسا یک ساختی تقابل قائم کرنے کی کوشش کریں گے؛ الجبری دوگان اس کی تمام خطی صورتوں کا مجموعہ ہے۔ ہم دیکھیں گے کہ یہ ناممکن ہے۔ اگرچہ متناہی بُعد کی فضا اپنے دوگان سے یک ساختی ہوتی ہے، یہ تقابل کینونی نہیں، بلکہ اساس کے من مانے انتخاب پر منحصر ہے۔ لامتناہی بُعد میں صورت حال مزید خراب ہے: ایسا تقابل سرے سے موجود نہیں۔ یہ رکاوٹیں سمت دار اور خطی صورت کی خودکار شناخت کو رد کرتی ہیں اور ہلبرٹ فضا کی زیادہ بھرپور ساخت استعمال کرنے کا جواز دیتی ہیں۔

حصہ 3 دکھاتا ہے کہ اس اضافی ساخت سے یہ مشکلات کیسے دور ہوتی ہیں۔ داخلی حاصل ضرب کے ذریعے، اور صرف مسلسل خطی صورتوں تک محدود رہ کر جو ٹوپولوجیائی دوگان بناتی ہیں، ایک اہم نتیجہ ملتا ہے۔ ریس کا قضیہ کہتا ہے کہ کسی بھی بُعد کی ہلبرٹ فضا اور اس کے ٹوپولوجیائی دوگان کے درمیان ایک کینونی، ضد خطی، فاصلہ محفوظ رکھنے والا یک ساختی تقابل موجود ہے۔

یہ نتیجہ ڈیراک کی علامت نگاری کو سخت ریاضیاتی بنیاد دیتا ہے، جس کی تفصیل حصوں 4 اور 5 میں کیٹ، برا اور خطی عاملوں کے لیے دیں گے۔ پھر حصہ 6 میں دیکھیں گے کہ ریس کا تقابل عامل کے الحاقی کا تصور قدرتی طور پر کیسے پیدا کرتا ہے۔ حصہ 7 مکمل خاکے میں اس تعمیر کا خلاصہ کرتا ہے۔ پورے سبق میں نظریے کی ٹھوس مثال کے لیے متناہی بُعد استعمال کریں گے اور ہمیشہ میدان C\mathbb{C} پر کام کریں گے۔

2. خطی صورتیں اور الجبری دوگان

فرض کریں EE، C\C پر ایک سمتی فضا ہے۔ اس کا الجبری دوگان E∗E^*، EE پر خطی صورتوں کا مجموعہ ہے، یعنی خطی نگاشتوں φ:E→C.\varphi : E \to \C. کا مجموعہ۔

متناہی بُعد nn میں، EE کی اساس (e1,…,en)(e_1,\dots,e_n) مقرر کرکے، E∗E^* میں خطی صورتوں کا متناظر خاندان (θ1,…,θn)(\theta_1,\dots,\theta_n) اس تعلق سے بنا سکتے ہیں:

θj(ei)=δij\theta_j(e_i)=\delta_{ij}

ثابت کیا جاتا ہے کہ یہ خاندان خطی طور پر آزاد اور مولد ہے، لہٰذا E∗E^* کی اساس ہے، جسے دوگانی اساس کہتے ہیں۔ پس dim⁡(E∗)=dim⁡(E)\dim(E^*) = \dim(E)، اس لیے EE اور E∗E^* یک ساختی ہیں۔ ایک ممکنہ تقابل نگاشت TT ہے جو ہر سمت دار x=∑xieix = \sum x_i e_i کو صورت wx=∑xiθiw_x = \sum x_i \theta_i دیتی ہے۔

تاہم TT ایک لحاظ سے مصنوعی ہے، کیونکہ یہ EE کی اساس کے ابتدائی انتخاب پر منحصر ہے۔ اساس بدلیں تو TT بھی بدلتا ہے۔ لہٰذا سمتی فضا اور اس کے الجبری دوگان کے درمیان کوئی کینونی یا فطری شناخت نہیں۔

لامتناہی بُعد میں ایک کلاسیکی نتیجہ بتاتا ہے کہ EE کبھی اپنے الجبری دوگان سے یک ساختی نہیں، کیونکہ دوگان کا بُعد لازماً زیادہ ہے؛ ایردوش–کاپلانسکی کا قضیہ دیکھیے۔ مثلاً اگر EE کا الجبری بُعد قابل شمار ہے، تو اس کے دوگان کا الجبری بُعد ناقابل شمار ہے۔

دونوں صورتوں میں سمت داروں اور خطی صورتوں کے درمیان کینونی شناخت موجود نہیں۔

3. ٹوپولوجیائی دوگان اور ریس کا قضیہ

ہلبرٹ فضا H\H میں داخلی حاصل ضرب سے وابستہ معیار خطی صورتوں کے ایک خاص طبقے کو الگ کرتا ہے: مسلسل صورتیں۔ کہتے ہیں کہ φ:H→C\varphi : \H \to \C، x0x_0 پر مسلسل ہے اگر

∀ε>0, ∃δ>0:∥x−x0∥H<δ  ⟹  ∣φ(x)−φ(x0)∣<ε,\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0 : \|x - x_0\|_\H < \delta \implies |\varphi(x) - \varphi(x_0)| < \varepsilon,

اگر یہ ایک نقطے پر مسلسل ہو تو خطیت کے باعث ہر جگہ مسلسل ہے1۔ مسلسل خطی صورتیں الجبری دوگان کی ایک سمتی ذیلی فضا بناتی ہیں، جسے ٹوپولوجیائی دوگان کہتے ہیں اور قدرے توسع سے اسے بھی H∗\H^* لکھتے ہیں۔

نوٹ 1: ان نکات کو آئندہ ٹوپولوجی اور خطی عاملوں کی تھیوری کے اسباق میں دوبارہ دیکھیں گے۔
تعریف 1 (ٹوپولوجیائی دوگان)
فرض کریں H\H، C\C پر ہلبرٹ فضا ہے۔ H\H پر مسلسل خطی صورتیں ایک سمتی فضا بناتی ہیں، جسے H\H کا ٹوپولوجیائی دوگان کہتے اور H∗\H^* لکھتے ہیں۔ اس کا ایک فطری معیار، دوگانی معیار، یہ ہے: ∥φ∥H∗  =def  sup⁡∥x∥H=1∣φ(x)∣,\|\varphi\|_{\H^*} \equiv \sup_{\|x\|_\H=1} |\varphi(x)|,

اس معیار کے تحت H∗\H^* ایک مکمل معیاری سمتی فضا، یعنی باناخ فضا ہے۔

تبصرہ: یہ معیار عامل کے معیار کی خاص صورت ہے، جو حصہ 1.5 (موضوع 4, سبق 3, اس زبان میں دستیاب نہیں) میں دوبارہ آئے گا۔ مذکورہ تعمیر ہر معیاری فضا کے لیے درست ہے۔ ہلبرٹ کی خصوصیت اگلا قضیہ ہے: داخلی حاصل ضرب ہر مسلسل خطی صورت کو ایک سمت دار کے ساتھ یک بہ یک شناخت کرتا ہے۔

قضیہ 1 (ریس کا قضیۂ نمائندگی)
فرض کریں H\mathcal{H} ایک ہلبرٹ فضا ہے، خواہ قابل علیحدگی ہو یا نہ ہو۔ ہر مسلسل خطی صورت φ∈H∗\varphi \in \mathcal{H}^* منفرد طور پر یوں لکھی جاتی ہے: φ(x)=⟨u,x⟩\varphi(x) = \langle u, x \rangle

کسی سمت دار u∈Hu \in \mathcal{H} کے لیے۔

نگاشت Φ:u↦φu=⟨u,⋅⟩\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle، H\mathcal{H} سے H∗\H^* تک، محض قبل ہلبرٹ فضا میں بھی یک بہ یک ہے۔ اگر φu=φv\varphi_u = \varphi_v ہو تو H\mathcal{H} کے ہر xx کے لیے 0=φu(x)−φv(x)=⟨u−v,x⟩0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle؛ x=u−vx = u - v لینے اور مثبت معین ہونے سے u=vu = v ملتا ہے۔

ریس کا قضیہ کہتا ہے کہ یہ نگاشت محیط بھی ہے۔ یہ بدیہی نہیں اور صرف ہلبرٹ فضاؤں میں درست ہے۔ مثلاً نامکمل قبل ہلبرٹ فضا میں ایسی مسلسل خطی صورتیں ہوتی ہیں جنہیں اسی فضا کے کسی سمت دار کے ساتھ داخلی حاصل ضرب کی صورت میں نہیں لکھ سکتے؛ لہٰذا نگاشت محیط نہیں۔

یوں ریس کا قضیہ H\mathcal{H} اور H∗\mathcal{H}^* کے درمیان مطلوبہ یک بہ یک محیط نگاشت Φ\Phi دیتا ہے۔ اس سے درج ذیل نتیجہ نکلتا ہے:

نتیجہ 1
نگاشت Φ:u↦φu\Phi : u \mapsto \varphi_u، H\H اور دوگانی معیار سے مزین اس کے ٹوپولوجیائی دوگان کے درمیان ضد خطی، فاصلہ محفوظ رکھنے والا یک ساختی تقابل ہے، جسے ریس کا کینونی تقابل کہتے ہیں: H∗≃H\mathcal{H}^* \simeq \mathcal{H}۔
ثبوت.
  1. ضد خطیت H\H کے داخلی حاصل ضرب سے آتی ہے: Φ(λu)=φλu=⟨λu,.⟩=λ∗⟨u,.⟩=λ∗ φu=λ∗ Φ(u)\Phi(\lambda u) = \varphi_{\lambda u} = \langle \lambda u, . \rangle = \lambda^* \langle u, . \rangle = \lambda^* \, \varphi_u = \lambda^* \, \Phi(u)۔
  2. معیار کی حفاظت، یعنی ∥Φ(u)∥H∗=∥u∥H\|\Phi(u)\|_{\H^*} = \|u\|_\H، ثابت کریں۔ پہلے: ∥φu∥H∗=sup⁡∥x∥=1∣⟨u,x⟩∣≤∥u∥H\|\varphi_u\|_{\H^*} = \sup_{\|x\|=1} |\langle u,x\rangle| \leq \|u\|_\H کوشی–شوارز کی نامساوات سے۔ اگر u≠0u \neq 0 ہو تو x=u/∥u∥x = u/\|u\| پر مساوات حاصل ہوتی ہے؛ اگر u=0u = 0 ہو تو یہ بدیہی ہے۔
  3. فاصلہ محفوظ رکھنے والی یک بہ یک محیط نگاشت Φ\Phi کے ذریعے داخلی حاصل ضرب H\H سے H∗\H^* پر منتقل کرتے ہیں: ⟨φu,φv⟩H∗  =def  ⟨Φ−1(φv),Φ−1(φu)⟩H=⟨v,u⟩H.\langle \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} \equiv \langle \Phi^{-1}(\varphi_v), \Phi^{-1}(\varphi_u) \rangle_{\mathcal{H}} = \langle v, u \rangle_{\mathcal{H}}. ترتیب کی الٹ، یعنی u, v کے بجائے v, u، Φ\Phi کی ضد خطیت کی تلافی کرتی ہے۔ H∗\H^* میں نیم دوخطیت کی تصدیق کریں: ⟨λφu,φv⟩H∗=⟨φλ∗u,φv⟩H∗=⟨v,λ∗u⟩H=λ∗⟨v,u⟩H=λ∗⟨φu,φv⟩H∗\langle \lambda \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} = \langle \varphi_{\lambda^*u}, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} = \langle v, \lambda^*u \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda^* \langle v, u \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda^* \langle \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*}۔ باقی مسلمات آسانی سے ثابت ہوتے ہیں۔
  4. اس حاصل ضرب سے پیدا شدہ معیار یہ تعلق پورا کرتا ہے: ⟨φu,φu⟩H∗=⟨u,u⟩H=∥u∥H=∥φu∥H∗,\sqrt{\langle \varphi_u, \varphi_u \rangle_{\H^*}} = \sqrt{\langle u,u \rangle_{\H}} = \|u\|_\H = \|\varphi_u\|_{\H^*}, لہٰذا یہ دوگانی معیار ہی ہے۔
  5. آخر میں H∗\H^* کی تکمیل، اور اس کا ہلبرٹ ہونا، اس حقیقت سے یقینی ہے کہ مکمل فضا سے آنے والی یک بہ یک محیط ہم فاصلہ نگاشت تکمیل محفوظ رکھتی ہے؛ یہ حقیقت یہاں تسلیم کرتے ہیں۔

یوں H∗\H^* کو ہلبرٹ ساخت ملتی ہے جس کے لیے Φ\Phi ہلبرٹ فضاؤں کا ضد خطی یک ساختی تقابل ہے۔

4. ڈیراک کی علامت نگاری: برا، کیٹ اور بریکٹ

ڈیراک کی علامت نگاری ریس کے تقابل کی ایک اور تحریر ہے۔ پہلے کیٹ، برا اور بریکٹ کی تعریف کرتے ہیں، پھر گزشتہ سبق میں ہلبرٹ اساس پر دیکھی گئی تجزیاتی توسیع کو دوبارہ لکھتے ہیں۔

  1. کیٹ۔ سمت دار u∈Hu \in \mathcal{H} کو کیٹ کی صورت میں لکھتے ہیں: u∈H⟷∣u⟩\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }

    خطی ساخت حساب کے یہ قواعد دیتی ہے:

    ∣u+v⟩=∣u⟩+∣v⟩∣λu⟩=λ∣u⟩\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}
  2. برا۔ ہر سمت دار u∈Hu \in \H کے ساتھ Φ\Phi کے ذریعے صورت φu\varphi_u منسلک کرتے ہیں۔ اسے برا لکھتے ہیں اور برا کے اندر متعلقہ سمت دار درج کرتے ہیں: φu=Φ(u)∈H∗⟷⟨u∣\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }

    یوں ⟨u∣\bra{u}، سمت دار uu کو خطی صورت کے طور پر ظاہر کرتا ہے: «uu کے ساتھ داخلی حاصل ضرب لے کر عدد واپس دینا»۔ ہمارے پاس:

    ⟨u+v∣=⟨u∣+⟨v∣⟨λu∣=λ∗⟨u∣,\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned} جو Φ\Phi کی ضد خطیت کے نتائج ہیں۔
  3. بریکٹ۔ پچھلے دونوں طریقے برا کو کیٹ سے ضرب دے کر داخلی حاصل ضرب بناتے ہیں، جسے انگریزی میں بریکٹ یا inner product کہتے ہیں: ⟨u,x⟩  =def  ⟨u|x⟩\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}

    یہ علامت دراصل خطی صورت ⟨u∣\bra{u} کا سمت دار ∣x⟩\ket{x} پر عمل ظاہر کرتی ہے:

    ⟨u∣(∣x⟩)=φu(x)=⟨u,x⟩=⟨u|x⟩.\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.
  4. ہلبرٹ تجزیہ۔ ہلبرٹ فضا کے ہر بُعد میں تجزیہ u=∑i∈I⟨ei,u⟩eiu = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i دیکھا تھا؛ مجموعہ متناہی ہے، یا II لامتناہی ہونے پر H\mathcal{H} میں تقارب کرتا ہے۔ ڈیراک میں:

    ∣u⟩=∑i∈I⟨ei|u⟩∣ei⟩=∑i∈Iui∣ei⟩\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }

    (1)

    یہاں uiu_i، اساس میں کیٹ uu کے اجزا ہیں۔ یہ eie_i پر عمودی اسقاط سے ui=⟨ei|u⟩u_i = \braket{e_i}{u} کی صورت میں ملتے ہیں، نہ کہ ⟨u|ei⟩\braket{u}{e_i} سے، جس کی قدر ui∗u_i^* ہے۔ یہ عام غلطی شاید اس وجہ سے ہوتی ہے کہ Rn\R^n کے معمول کے سمتی حساب میں v⃗\vec{v} کا جز viv_i، vi=v⃗⋅e⃗iv_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i سے حاصل ہوتا ہے۔ اس سے کوانٹم صورت میں ui=⟨u|ei⟩u_i = \braket{u}{e_i} کا خیال آ سکتا ہے، مگر یہ C\C پر داخلی حاصل ضرب کی نیم دوخطیت کو نظرانداز کرکے فوراً حسابی غلطی پیدا کرے گا۔

    برا کے لیے:

    ⟨u∣=∑i∈I⟨u|ei⟩⟨ei∣=∑i∈Iui∗⟨ei∣\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }

    (2)

    اور معیار کا مربع ہے

    ∥u∥2=⟨u|u⟩=∑i∈I∣ui∣2=∑i∈Iui∗ui\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i

    (3)

    جہاں دوسری مساوات پارسیوال کی ہے۔
  5. ڈیگر عمل۔ کیٹ سے برا تک تقابل Φ\Phi کو عموماً بالائی علامت †\dagger سے لکھتے ہیں۔ برا سے کیٹ تک معکوس Φ−1\Phi^{-1} کے لیے بھی یہی علامت لیتے ہیں۔ یوں ڈیگر دو بار لگانے سے اصل شے واپس آتی ہے۔ تحریری روایت کے مطابق: ⟨u∣=∣u⟩†(نگاشت Φ)∣u⟩=⟨u∣†(نگاشت Φ−1)(∣u⟩†)†=∣u⟩(دو بار سے اصل کی واپسی)\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(نگاشت } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(نگاشت } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(دو بار سے اصل کی واپسی)} \end{aligned}

متناہی بُعد میں ان نکات کی مثال دیکھیں۔ nn بُعد کی H\H اور کینونی داخلی حاصل ضرب کے ساتھ ہلبرٹ اساس B=(∣ei⟩)i=1n\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n منتخب کرتے ہیں؛ دیکھیے حصہ 3.1 (موضوع 2, سبق 1)۔ اساس کے کیٹ کو کینونی طور پر ستونی سمت دار، یعنی (n,1)(n,1) مصفوفات، سے ظاہر کرتے ہیں:

∣ei⟩=(0⋮010⋮0)B\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

یہاں 11، ii ویں مقام پر ہے۔ تمام کیٹ ∣u⟩\ket{u} ستونی سمت دار بن جاتے ہیں:

∣u⟩=∑i=1nui∣ei⟩=(u1u2⋮un)B∈Cn,\ket{u} = \sum_{i=1}^n u_i \ket{e_i} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

جہاں ui=⟨ei|u⟩u_i = \braket{e_i}{u}۔ سمت دار uu کی متعلقہ خطی صورت φu\varphi_u ہر سمت دار vv کے لیے یہ شرط پوری کرے:

φu(v)=⟨u,v⟩=∑i=1nui∗vi,(کینونی داخلی حاصل ضرب: Cn)\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i, \quad \text{(کینونی داخلی حاصل ضرب: } \C^n)

یہ مجموعہ حاصل کرنے کے لیے ⟨u∣\bra{u} کو uu کے مزدوج مختصات کے (1,n)(1, n) صفی سمت دار سے ظاہر کرنا ضروری ہے:

⟨u∣=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗),\bra{u} = \left(u_1^*, u_2^*, \cdots, u_n^*\right),

تب داخلی حاصل ضرب ⟨u|v⟩\braket{u}{v} معمول کی مصفوفی ضرب سے ملتا ہے:

⟨u|v⟩=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗)⋅(v1v2⋮vn)=∑i=1nui∗vi∈C.\begin{aligned} \braket{u}{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

مثلاً بُعد 2 میں:

∣u⟩=(1i)⇒⟨u∣=(1,−i)\ket{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \bra{u} = (1, -i)

ہم نے یہ نتیجہ حاصل کیا:

دعویٰ 1 (مزدوج منقول)
متناہی بُعد میں برا ⟨u∣\bra{u}، کیٹ ∣u⟩\ket{u} کا مزدوج منقول ہے۔ ہمارے پاس: ⟨u∣=∣u⟩†=∣u∗⟩⊤∣u⟩=⟨u∣†=⟨u∗∣⊤\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u^*}}\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger = \transpose{\bra{u^*}} \end{aligned}

لامتناہی بُعد میں یہ بے معنی ہے، کیونکہ منقول کی تعریف نہیں۔ تاہم ℓ2(N)\ell^2(\N) اور اس کی کینونی اساس میں لامتناہی صف یا ستون لے کر اور متناہی مجموعوں کو متقارب سلسلوں سے بدل کر بہت کچھ مشابہ رہتا ہے۔ اس سے وجدان میں مدد مل سکتی ہے، مگر سخت مفہوم میں یہ مصفوفات یا نقل نہیں۔

5. عامل، مصفوفی عناصر اور شناخت کا تجزیہ

ڈیراک کی علامت نگاری کو آگے بڑھاتے ہوئے خطی نگاشتیں، یا خطی عامل، A^\hat A متعارف کراتے ہیں جو H\mathcal{H} سے G\mathcal{G} تک جاتے ہیں، جہاں G\mathcal{G} ایک دوسری ہلبرٹ فضا ہے۔

عاملوں کی تحریر۔ طبیعیات میں عامل کے اوپر ٹوپی لگانا معمول ہے۔ عامل A^\hat A سمت دار vv پر عمل کرکے A^v\hat A v دیتا ہے۔ ڈیراک میں دو مساوی تحریریں ہیں؛ دوسری زیادہ عام ہے:

v=A^ u⟷∣v⟩=∣A^u⟩  =def  A^∣u⟩.\boxed{v = \hat A \, u \quad \longleftrightarrow \quad \ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u} \equiv \hat A \ket{u}}.

اسی طرح عامل پر مشتمل داخلی حاصل ضرب یوں لکھا جا سکتا ہے:

⟨w,A^ u⟩⟷⟨w|A^u⟩  =def  ⟨w∣A^∣u⟩\boxed{\langle w, \hat A \, u \rangle \quad \longleftrightarrow \quad \braket{w}{\smash{\hat{A}} u} \equiv \bra{w} \hat A \ket{u} }

دوسری تحریر ظاہری سادگی کی وجہ سے زیادہ عام ہے۔

مصفوفی عناصر۔ صورت ⟨w∣=⟨ei∣\bra{w} = \bra{e_i} اور ∣u⟩=∣ej⟩\ket{u} = \ket{e_j} خاص اہم ہے، کیونکہ یہ عامل A^\hat A کے مصفوفی عناصر کی تعریف کرتی ہے:

Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩.\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(4)

لامتناہی بُعد میں یہ ہمیشہ بامعنی نہیں: ∣ei⟩\ket{e_i} کو A^\hat A کے دائرۂ تعریف میں ہونا چاہیے؛ اس پر بعد میں آئیں گے۔ متناہی بُعد میں تعریف واضح ہے۔ اساسی سمت داروں کو ستون بنا کر ہر خطی عامل اپنی نمائندہ مصفوفہ کے ساتھ منفرد متناظر ہوتا ہے: A^  ⟷  A=(Aij)1≤i,j≤n\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}، جہاں Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}۔ مساوات ∣v⟩=A^∣u⟩\ket{v} = \hat A \ket{u} معمول کی ضرب A^∣u⟩=∑i∑j(Aijuj)∣ei⟩\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i} بن جاتی ہے، اور داخلی حاصل ضرب ⟨w∣A^∣u⟩=(w∗)⊤Au=∑ijwi∗Aijuj∈C\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C ہوتا ہے۔

مثال 1 (مصفوفی حساب)
واضح مثال کے لیے لیں: A^=(i01−1),∣u⟩=(13),∣w⟩=(i1),\begin{aligned} \quad \hat A = \begin{pmatrix} i & 0 \\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \ket{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \ket{w} = \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix}, \end{aligned}

تب:

∣v⟩=A^∣u⟩=(i01−1)⋅(13)=(i−2),⟨w∣A^∣u⟩=(−i,1)⋅(i01−1)⋅(13)=−1.\begin{aligned} \ket{v} = \hat A \ket{u} = \begin{pmatrix} i & 0 \\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \\ -2 \end{pmatrix}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u} = (-i, 1) \cdot \begin{pmatrix} i & 0 \\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = -1. \end{aligned}

کیٹ–برا عامل۔ بریکٹ ایک عدد ہے، مگر کیٹ–برا ایک عامل ہے، جسے خارجی حاصل ضرب کہتے ہیں؛ اس کا تفاضلی صورتوں کے خارجی حاصل ضرب سے تعلق نہیں۔ ایک ہی ہلبرٹ فضا H\H کے دو سمت داروں ∣u⟩\ket{u} اور ∣v⟩\ket{v} سے عامل ∣u⟩⟨v∣\ket{u}\bra{v} منسلک کرتے ہیں جو H\H سے H\H تک یوں ہے:

∣u⟩⟨v∣:H→H,∣x⟩↦∣u⟩⟨v|x⟩⏟∈C=⟨v|x⟩ ∣u⟩.\begin{aligned} \ket{u}\bra{v} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{x} \mapsto \ket{u} \underbrace{\braket{v}{x}}_{\in \mathbb{C}} = \braket{v}{x} \, \ket{u}. \end{aligned}

یہاں بھی متناہی بُعد میں E^ij  =def  ∣ei⟩⟨ej∣\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j} اہم ہے۔ اس کے تمام مصفوفی عناصر صفر ہیں، سوائے صف ii اور ستون jj کے ایک «1» کے۔ اس کی مصفوفہ:

Eij=(0⋯0⋯0⋮⋮⋮0⋯1⋯0⋮⋮⋮0⋯0⋯0),\begin{aligned} E_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}, \end{aligned}

متناہی بُعد میں ہر خطی عامل A^\hat{A} اپنے مصفوفی عناصر کے ذریعے یوں تجزیہ ہوتا ہے:

A^=∑i,j=1nAij E^ij=∑i,j=1nAij ∣ei⟩⟨ej∣,\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\hat E_{ij} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

جہاں Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}۔ لامتناہی بُعد میں یہ تجزیہ ہمیشہ ممکن نہیں؛ اگر موجود ہو تو اسے قوی تقارب کے مفہوم میں سمجھنا چاہیے۔ آئندہ اسباق میں اس پر آئیں گے۔

شناختی عامل کا تجزیہ۔ H\mathcal{H} میں شناختی عامل 1\mathbf{1} کی تعریف ہر ∣x⟩∈H\ket{x} \in \mathcal{H} کے لیے 1∣x⟩=∣x⟩\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x} ہے۔ متناہی بُعد میں اس کی نمائندہ شناختی مصفوفہ ہے۔ زیادہ عمومی طور پر:

1=∑i∈I∣ei⟩⟨ei∣\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }
(5)

یہ قابل شمار لامتناہی بُعد میں بھی درست ہے، جہاں سلسلہ قوی طور پر متقارب ہے۔ اسے شناخت کی تحلیل یا بستگی کا تعلق کہتے ہیں۔ کوانٹم حساب میں یہ نہایت مفید ہے۔ توجہ: ناقابل علیحدگی فضاؤں میں یہ غلط ہے2

نوٹ 2: تجزیہ x=∑i∈I⟨ei,x⟩eix = \sum_{i \in I} \langle e_i, x \rangle e_i ہر ہلبرٹ فضا میں درست رہتا ہے، مگر ناقابل علیحدگی صورت میں مجموعہ صرف قابل شمار اشاری ذیلی مجموعے I(x)⊂II(x) \subset I پر ہوتا ہے جو xx پر منحصر ہے۔ اس سے ایسی شناخت نہیں لکھ سکتے جو اس سمت دار سے آزاد ہو جس پر وہ عمل کرتی ہے؛ اسی لیے یہاں (5) درست نہیں۔

6. الحاقی عامل

ریس کے تقابل کی طرف لوٹیں اور ایک مسلسل خطی عامل3 A^\hat{A} کو H\mathcal{H} سے G\mathcal{G} تک لیں، جہاں H\H اور G\G ہلبرٹ فضائیں ہیں اور ممکن ہے H=G\H = \G ہو۔

نوٹ 3: سادگی کے لیے مسلسل عاملوں تک محدود ہیں۔ غیر مسلسل صورت میں الحاقی کی تعمیر بعد میں حصہ 1.6 (موضوع 4, سبق 3, اس زبان میں دستیاب نہیں) میں آئے گی۔

جب A^\hat{A}، ∣u⟩∈H\ket{u} \in \mathcal{H} پر عمل کرتا ہے تو ∣v⟩=∣A^u⟩=A^∣u⟩∈G\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G} ملتا ہے۔ فطری سوال ہے کہ ریس کے ذریعے ∣v⟩\ket{v} سے متعلق برا کیا ہے، یعنی G\G پر صورت ⟨v∣=⟨A^u∣\bra{v} = \langle \hat{A}u | کیا بنتی ہے۔ یہ ہمیں A^\hat{A} کے الحاقی تک لے جاتا ہے، جسے پھر A^†\hat{A}^\dagger لکھتے ہیں اور جو کوانٹم میکانیات میں بنیادی کردار رکھتا ہے۔

⟨v∣=⟨A^u∣\bra{v} = \langle \hat{A}u | معلوم کرنے کے لیے کوئی کیٹ ∣w⟩∈G\ket{w} \in \mathcal{G} مقرر کرکے H\H پر یہ خطی صورت لیں:

φ:H⟶C∣u⟩⟼⟨A^u,w⟩G\begin{aligned} \varphi : \begin{array}{rcl} \mathcal{H} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\[4pt] \ket{u} & \longmapsto & \langle \hat{A}u, w \rangle_{\mathcal{G}} \end{array} \end{aligned}

اشاریہ G\G بتاتا ہے کہ داخلی حاصل ضرب کس فضا میں ہے۔ یہاں تسلیم کرتے ہیں کہ اگر A^\hat{A} مسلسل ہو تو φ\varphi، H\mathcal{H} پر مسلسل خطی صورت ہے۔ H\mathcal{H} میں ریس کا قضیہ ایک منفرد ∣z⟩∈H\ket{z} \in \mathcal{H} دیتا ہے جس کے لیے φ=φz\varphi = \varphi_z:

∀ ∣u⟩∈H,φ(u)=⟨A^u,w⟩G=φz(u)=⟨u,z⟩H.\forall\, \ket{u} \in \mathcal{H}, \quad \varphi(u) = \langle \hat{A}u, w \rangle_{\mathcal{G}} = \varphi_z(u) = \langle u, z \rangle_{\mathcal{H}}.

یوں G\G کے سمت دار ∣w⟩\ket{w} سے H\H کا منفرد ∣z⟩\ket{z} منسلک ہوا۔ اسے رسمی طور پر الحاقی عامل A^†\hat{A}^\dagger کا عمل لکھتے ہیں: ∣z⟩=A^†∣w⟩\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}۔ عامل A^\hat A، H\H سے G\G تک جاتا ہے، جبکہ الحاقی G\G سے H\H تک۔

ہر ∣w⟩\ket{w} کے لیے تعمیر مکمل کرکے آسانی سے تصدیق ہوتی ہے کہ متعین عامل خود خطی اور مسلسل ہے۔ یوں بنیادی نتیجہ:

تعریف 2 (مسلسل عامل کا الحاقی)
مسلسل خطی عامل A^:H→G\hat{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{G} کا الحاقی وہ منفرد مسلسل خطی عامل A^†:G→H\hat{A}^\dagger : \mathcal{G} \to \mathcal{H} ہے جس کے لیے:

∀∣u⟩∈H,∀∣w⟩∈G,⟨A^u|w⟩G=⟨u|A^†w⟩H\boxed{ \forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{u}{\smash{\hat{A}}^\dagger w}_{\mathcal{H}} }
(6)

رسمی کوانٹم حساب میں الحاقی کے دو عملی استعمال ہیں۔

  1. پچھلا فارمولا دکھاتا ہے کہ «uu اور ww کی جگہ مقرر رکھتے ہوئے الحاقی عامل کو بائیں سے دائیں منتقل کرنے دیتا ہے»۔
  2. ہرمیشی تقارن ⟨A^u|w⟩G=⟨w|A^u⟩G∗\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^* سے یہ بھی ملتا ہے:

    ∀∣u⟩∈H,∀∣w⟩∈G,⟨w∣A^∣u⟩G∗=⟨u∣A^†∣w⟩H\boxed{\forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}
    (7)

    یہ دکھاتا ہے کہ «الحاقی برا اور کیٹ کو مختلط مزدوج لینے کی قیمت پر باہم بدلنے دیتا ہے»۔

یہ دونوں شناختیں مساوی ہیں۔ ابتدائی اور اختتامی فضاؤں H\H اور G\G، اور استعمال ہونے والے داخلی حاصل ضرب، H\H کے یا G\G کے، کا خیال رکھنا چاہیے۔ عملی طور پر تقریباً ہمیشہ H=G\H = \G ہوگا، اس لیے علامت نگاری آسان ہو جائے گی۔

متناہی بُعد میں اس تعمیر کی مثال دیکھیں۔ بنیادی نتیجہ:

دعویٰ 2 (مزدوج منقول)
متناہی بُعد میں الحاقی A^†\hat{A}^\dagger کی نمائندہ مصفوفہ، عامل A^\hat{A} کی مصفوفہ کا مزدوج منقول ہے۔

A†=(A∗)⊤\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}}

(8)

ثبوت.
تعریف کے مطابق A^†\hat{A}^\dagger کے مصفوفی عناصر ہیں: (A^†)ij=⟨ei∣A^†∣ej⟩=⟨ei|A^†ej⟩.(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}^\dagger \ket{e_j} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

الحاقی کی تعریف سے:

⟨ei|A^†ej⟩=⟨A^ei|ej⟩\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

اور ہرمیشی تقارن سے

⟨A^ei|ej⟩=⟨ej|A^ei⟩∗=⟨ej∣A^∣ei⟩∗=Aji∗\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^* = \bra{e_j}\hat{A} \ket{e_i}^* = A_{ji}^*

ہم نے ثابت کیا:

(A†)ij=Aji∗=(A∗⊤)ij(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

ابھی سوال کا واضح جواب باقی ہے: کیٹ ∣v⟩=∣A^u⟩\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u} سے کینونی طور پر متعلق برا ⟨v∣=⟨A^u∣\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u} کیا ہے؟ فارمولا (6) ہر سمت دار ww کے لیے درست داخلی حاصل ضرب کے ذریعے جواب دیتا ہے، لہٰذا لکھ سکتے ہیں:

∀w∈G,⟨A^u|w⟩G=⟨u∣A^†∣w⟩H  ⇒  ⟨A^u∣=⟨u∣A^†\forall w \in \mathcal{G}, \quad \braket{\hat{A} u}{w}_{\mathcal{G}} = \bra{u} \hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}} \;\Rightarrow\; \boxed{\bra{\hat{A} u} = \bra{u} \hat{A}^\dagger}

جو دو خطی صورتیں ہر ww پر یکساں ہوں وہ برابر ہیں۔ اس شے کو درست سمجھنا ضروری ہے۔ عام غلط فہمی ہے کہ «الحاقی برا پر بائیں جانب عمل کرتا ہے»۔ یہ غلط ہے! ⟨u∣A^†\bra{u} \hat{A}^\dagger دراصل عاملوں کی ترکیب ہے، بائیں جانب عمل نہیں۔ ابتدائی اور اختتامی فضائیں ہیں:

A^†:G→H,⟨u∣:H→C,\begin{aligned} \hat A^\dagger &: \mathcal G \to \mathcal H, \\ \bra{u} &: \mathcal H \to \mathbb{C}, \end{aligned}

لہٰذا ⟨u∣A^†\bra{u} \hat A^\dagger ترکیب ⟨u∣∘A^† : G→H→C\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C} ہے، یعنی G\mathcal{G} پر خطی صورت۔ عموماً ∘\circ حذف ہوتا ہے، جو غلط فہمی پیدا کر سکتا ہے۔

مثال 2 (متناہی بُعد کی مثال)
کیٹ ستون، برا صف، اور الحاقی مزدوج منقول ہیں۔ مثلاً: A^=(1i02),A^†=(10−i2),∣u⟩=(01).\begin{aligned} \hat{A} = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad \hat{A}^\dagger = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix}, \quad \ket{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}

حساب کریں:

A^∣u⟩=(1i02)(01)=(i2)جس سے نکلتا ہے⟨A^u∣=(−i2).\begin{aligned} \hat{A}\ket{u} = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \\ 2 \end{pmatrix} \quad \text{جس سے نکلتا ہے} \quad \bra{\smash{\hat{A}}u} = \begin{pmatrix} -i & 2 \end{pmatrix}. \end{aligned}

براہ راست حساب سے تصدیق کریں:

⟨u∣A^†=(01)(10−i2)=(−i2).\begin{aligned} \bra{u}\hat{A}^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i & 2 \end{pmatrix}. \end{aligned}

وہی صفی سمت دار ملتا ہے۔ یہاں ⟨u∣A^†\bra{u}\hat{A}^\dagger، صفی سمت دار ×\times مصفوفہ کی ضرب ہے، جس کا نتیجہ G\mathcal{G} پر صفی سمت دار ہے۔ بائیں عمل کا ناممکن ہونا دیکھنے کے لیے A^†⟨u∣\hat{A}^\dagger\bra{u} کو مصفوفی طور پر آزمائیں:

A^†⟨u∣=(10−i2)(01),\begin{aligned} \hat{A}^\dagger \bra{u} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}, \end{aligned}

یہ 2×22\times 2 مصفوفہ کی 1×21\times 2 صف سے ضرب ہے، جو مصفوفی طور پر بے معنی ہے۔

آخر میں ⟨A^u∣=⟨u∣A^†\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger سے ڈیگر لے کر مفید فارمولے ملتے ہیں:

(A^∣u⟩)†=⟨u∣A^†.\left(\hat{A} \ket{u}\right)^\dagger = \bra{u} \hat{A}^\dagger.
(9)

(⟨u∣A^†)†=A^∣u⟩.\left(\bra{u} \hat{A}^\dagger\right)^\dagger = \hat{A} \ket{u}.
(10)

مثال 3 (الحاقی سے رسمی ترکیب کا حساب)
سادہ کوانٹم میکانیات کے امتحان میں ہم آہنگ مرتعش سے متعلق عام سوال دیکھیں۔ مثبت صحیح اعداد nn کے لیے کیٹ ∣n⟩\ket{n} کا خاندان اور یہ قوانین دیے جاتے ہیں: a^∣n⟩=n∣n−1⟩\hat a \ket{n} = \sqrt{n} \ket{n-1} اور a^†∣n⟩=n+1∣n+1⟩\hat a^\dagger \ket{n} = \sqrt{n + 1} \ket{n+1}۔ سوال ہے: ⟨n∣a^†\bra{n} \hat a^\dagger کیا ہے؟

اگر سمجھیں کہ a^†\hat a^\dagger بائیں جانب عمل کرتا ہے تو جواب ⟨n∣a^†=n+1⟨n+1∣\bra{n} \hat a^\dagger = \sqrt{n + 1} \bra{n+1} دینے کا رجحان ہوگا۔ یہ غلط ہے، کیونکہ پچھلی مساواتیں (9) اور A^=a^\hat{A} = \hat{a} سے یہ دیتی ہیں:

⟨n∣a^†=(a^∣n⟩)†=(n∣n−1⟩)†=n⟨n−1∣\bra{n}\hat{a}^\dagger = \left(\hat{a}\ket{n}\right)^\dagger = \left(\sqrt{n}\ket{n-1}\right)^\dagger = \sqrt{n}\bra{n-1}

اگلا خاکہ اس سبق میں برا، کیٹ، عامل A^\hat A اور اس کے الحاقی کے درمیان تعلقات کا خلاصہ کرتا ہے۔

ابتدائی ہلبرٹ فضا اور اختتامی فضا ، اور ان کے ٹوپولوجیائی دوگان ^* اور ^*۔ عامل A کا دائیں جانب فطری عمل ہے: یہ u_ کو A u_ میں بدلتا ہے۔ ریس کا تقابل الحاقی A^ کی تعمیر کرتا ہے جو کیٹ پر سے تک فطری عمل کرکے بنیادی شناخت پوری کرتا ہے۔ توجہ: خاکے کو معکوس نگاشت نہ سمجھیں! عمومی طور پر A^ A^-1۔ اوپر کے افقی تیر عامل کے عمل، اور نیچے کے افقی تیر متن میں بیان کردہ ترکیبیں دکھاتے ہیں۔ نیلے اور نارنجی تیر ڈیگر، یعنی ریس کا تقابل یا اس کا معکوس ^-1 ہیں۔ متن ان اعمال کے بنیادی فارمولے دیتا ہے، جہاں پڑھنے کی آسانی کے لیے اور کے اشاریے حذف ہیں۔ ڈیگر دو بار سے اصل واپس آنے کے باعث نیلی اور نارنجی تبدیلیاں باہم معکوس ہیں۔ سرمئی نقطہ دار لکیر اس تقابل کی ضد خطیت یاد دلاتی ہے، جو بنیادی شناخت میں مختلط مزدوج کا سبب ہے۔ وہاں اور کے اشاریے بتاتے ہیں کہ ہر داخلی حاصل ضرب کس فضا میں حساب ہوتا ہے۔
شکل 1. ابتدائی ہلبرٹ فضا H\H اور اختتامی فضا G\G، اور ان کے ٹوپولوجیائی دوگان H∗\H^* اور G∗\G^*۔ عامل A^\hat{A} کا دائیں جانب فطری عمل ہے: یہ ∣u⟩H\ket{u}_\H کو A^∣u⟩H∈G\hat{A}\ket{u}_\H \in \G میں بدلتا ہے۔ ریس کا تقابل الحاقی A^†\hat{A}^\dagger کی تعمیر کرتا ہے جو کیٹ پر G\G سے H\H تک فطری عمل کرکے بنیادی شناخت پوری کرتا ہے۔ توجہ: خاکے کو معکوس نگاشت نہ سمجھیں! عمومی طور پر A^†≠A^−1\hat{A}^\dagger \neq \hat{A}^{-1}۔ اوپر کے افقی تیر عامل کے عمل، اور نیچے کے افقی تیر متن میں بیان کردہ ترکیبیں دکھاتے ہیں۔ نیلے اور نارنجی تیر ڈیگر، یعنی ریس کا تقابل Φ\Phi یا اس کا معکوس Φ−1\Phi^{-1} ہیں۔ متن ان اعمال کے بنیادی فارمولے دیتا ہے، جہاں پڑھنے کی آسانی کے لیے H\H اور G\G کے اشاریے حذف ہیں۔ ڈیگر دو بار سے اصل واپس آنے کے باعث نیلی اور نارنجی تبدیلیاں باہم معکوس ہیں۔ سرمئی نقطہ دار لکیر اس تقابل کی ضد خطیت یاد دلاتی ہے، جو بنیادی شناخت میں مختلط مزدوج کا سبب ہے۔ وہاں H\H اور G\G کے اشاریے بتاتے ہیں کہ ہر داخلی حاصل ضرب کس فضا میں حساب ہوتا ہے۔

آخر میں الحاق کی چند اہم خصوصیات:

دعویٰ 3 (الحاقی عامل کی خصوصیات)
تمام مسلسل خطی عاملوں A^,B^\hat{A}, \hat{B} اور ہر عددی مقدار λ∈C\lambda \in \mathbb{C} کے لیے: (A^+B^)†=A^†+B^†,(λA^)†=λ∗A^†, (ضد خطیت)(A^B^)†=B^†A^†,(ترتیب کا خیال رکھیں)(A^†)†=A^,    (دو بار سے اصل کی واپسی).\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{(ضد خطیت)} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{(ترتیب کا خیال رکھیں)} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{(دو بار سے اصل کی واپسی)}. \end{aligned}

ثبوت.
ترکیب کے لیے: ہر ∣u⟩∈H\ket{u} \in \mathcal{H} اور ∣w⟩∈G\ket{w} \in \mathcal{G} پر بنیادی شناخت، مساوات (6)، دو بار لگائیں: ⟨(A^B^)u|w⟩=⟨A^(B^u)|w⟩=⟨B^u|A^†w⟩=⟨u|B^†(A^†w)⟩=⟨u|(B^†A^†)w⟩.\braket{(\hat{A}\hat{B})u}{w} = \braket{\hat{A}(\smash{\hat{B}}u)}{w} = \braket{\smash{\hat{B}}u}{\smash{\hat{A}}^\dagger w} = \braket{u}{\smash{\hat{B}}^\dagger(\smash{\hat{A}}^\dagger w)} = \braket{u}{(\smash{\hat{B}}^\dagger \smash{\hat{A}}^\dagger) w}.

الحاقی کی یکتائی سے نتیجہ ملتا ہے۔

7. حوالہ جات

اس سبق کے لیے ابھی کوئی حوالہ شامل نہیں کیا گیا۔