ہلبرٹ فضائیں اور ڈیراک کی علامت نگاری

1. $L^2(\mathbb{R})$ کی تعمیم شدہ مسلسل اساس

حصہ 3.3 (موضوع 2, سبق 1) میں مثالی فضا $L^2(\R)$ کی تفصیل دے چکے ہیں، بالخصوص اس کی قابل شمار ہلبرٹ اساس دکھائی تھی۔ ہر طبیعی حالت ہرمائٹ توابع کی اساس پر سلسلے کی صورت میں تجزیہ ہوتی ہے۔ بدقسمتی سے ان توابع کے واضح اظہارات خاصے پیچیدہ ہیں۔

اس لیے ایک دوسری «اساس» بنائی گئی، جو حقیقی معنوں میں ہلبرٹ اساس نہیں بلکہ تعمیم شدہ مسلسل اساس ہے۔ یہاں لامتناہی بُعد کی طرف انتقال نازک ہے؛ اس کی سخت تعمیر کے لیے اگلے موضوع، خطی عاملوں کی تھیوری، کے اوزار درکار ہیں۔ لہٰذا ابھی درج ذیل فارمولے تسلیم کرتے ہیں، یہ یاد رکھتے ہوئے کہ یہ اس «اساس» میں ڈیراک کی علامت نگاری کے استعمال کی ہدایات ہیں، ثابت شدہ ریاضیاتی تعمیر نہیں۔

1.1. مقامی نمائندگی میں تعمیم شدہ اساس

پھر بھی چند خیالات پیش کریں۔ پہلے ایک خود الحاقی عامل «مقام کا عامل» متعارف کراتے ہیں، جسے $\hat{X}$ لکھتے ہیں اور جو ہلبرٹ فضا $L^2(\mathbb{R})$ کے توابع پر ضرب سے عمل کرتا ہے:

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

دائرۂ تعریف کا خیال رکھیں۔ یہ اظہار صرف تب بامعنی ہے جب تابع $x\,\psi(x)$، $L^2(\R)$ میں رہے۔ ہمیشہ ایسا نہیں: بعض مربع قابل تکمل توابع $x$ سے ضرب کے بعد متباعد ہو جاتے ہیں۔¹ لہٰذا عامل $\hat{X}$ پورے $L^2(\R)$ پر متعین نہیں ہو سکتا، صرف توابع کی ایسی ذیلی فضا پر جہاں اس کا عمل $L^2$ میں رہے۔

ایک واضح دائرہ لینے کے لیے جو $L^2$ میں کثیف اور معمول کے اعمال کے تحت برقرار ہو (اشتقاق، $x$ سے ضرب، فوریئر تبدیل)، شوارٹز توابع کی فضا $\mathcal{S}(\R)$ متعارف کراتے ہیں:

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

یعنی یہ ہموار اور تیزی سے گھٹنے والے توابع ہیں، جن میں $f$ اور اس کے تمام مشتقات صفر کی طرف اس سے زیادہ تیزی سے جاتے ہیں جتنی $x$ کی کسی بھی معکوس قوت کی رفتار ہے۔

فضا $\mathcal{S}(\R)$:

• $L^2(\R)$ میں کثیف ہے: $L^2$ کے ہر تابع کو $\mathcal{S}$ کے توابع سے من مانی درستی تک قریب کیا جا سکتا ہے،
• اشتقاق، $x$ سے ضرب اور فوریئر تبدیل کے تحت برقرار ہے۔

پس مقام $\hat{X}$ اور معیار حرکت $\hat{P}$ کے عاملوں کو درست متعین کرنے کا یہ فطری دائرہ ہے، اور ڈیراک کے رسمی ڈھانچے اور گلفاند کی تثلیث کی سخت تعمیر اسی فضا پر قائم ہوتی ہے۔

ان احتیاطوں کے بعد، فی الحال خالص رسمی طور پر²، $\hat{X}$ کی ذاتی حالتیں لکھ سکتے ہیں:

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

یہ کیٹ $\ket{x}$، تعمیم شدہ مسلسل اساس بناتے ہیں، اس معنی میں کہ $L^2(\R)$ کے عناصر کو مسلسل امتزاجوں سے ظاہر کرتے ہیں، اگرچہ $\ket{x}$ خود ہلبرٹ فضا کے سمت دار نہیں۔

درحقیقت یہ اصلی معنی میں کیٹ نہیں، کیونکہ قابل تطبیع نہیں۔ وجہ دیکھیں۔ یہ خاندان ناقابل شمار ہے، لہٰذا اس کی معیاری عمودیت مجرد کرونیکر علامت $\delta_{ij}$ سے نہیں بلکہ اس کی «مسلسل صورت» سے لکھی جاتی ہے:

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

خصوصاً:

یہاں ڈیراک ڈیلٹا $\delta(x)$ متعارف ہوا، جو عام تابع نہیں بلکہ ریاضی کی نظریۂ تقسیمات کا ایک تقسیمی تفاعل ہے۔ اس کی تعریف تکمل کے اندر عمل سے ہے:

شوارٹز فضا کے ہر آزمائشی تابع $f$ کے لیے۔ سمجھنا چاہیے کہ $\delta(x)$ تنہا بے معنی ہے، حتیٰ کہ عدد بھی نہیں۔ دراصل $\delta$ ایک خطی صورت $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$ ہے جو آزمائشی توابع پر عمل کرتی ہے³۔ پس یہ صرف تکمل (2) کے اندر اپنے عمل سے متعین ہے، اپنی قدروں $\delta(x)$ سے نہیں۔

اگر اسے لازماً تابع سمجھنا چاہیں، تو صفر کے گرد زیادہ سے زیادہ مرتکز ہوتے توابع کے سلسلے کی حد سمجھ سکتے ہیں، مثلاً تنگ سے تنگ تر گاوسی توابع کی حد:

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

یا صفر پر مرکوز مستطیل، جن کی چوڑائی صفر اور اونچائی لامتناہی کی طرف جائے۔ اس تصور میں ڈیلٹا حد میں ایسی «تابع» نظر آتی ہے جو $x = 0$ کے علاوہ ہر جگہ صفر ہو، وہاں متباعد ہو، مگر منحنی کے نیچے کل رقبہ 1 رکھے۔

اسی لیے طبیعیات میں پھر بھی $\delta(0) = \infty$ لکھتے ہیں، مگر یہاں علامت اور مفہوم کی اس توسیع کو سمجھنا ضروری ہے۔ بہرحال مساوات (1) سے ظاہر ہے کہ کیٹ $\ket{x}$ معیاری نہیں۔ ڈیراک ڈیلٹا کی ایک نہایت مفید تکملی نمائندگی بھی ہے، جو شاید اس حصے کا اہم ترین فارمولا ہے:

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

یہاں بھی مساوات تقسیمات کے معنی میں ہے، کیونکہ یہ تکمل واضح طور پر متقارب نہیں اور ورنہ بے معنی ہوگا۔

مقام کے عامل $\hat{X}$ کے «مصفوفی عناصر» $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$ ہیں۔ گزشتہ حصے کی متناہی بُعد والی صورت سے تقابل میں انہیں یہی نام دیتے ہیں، اگرچہ $\hat{X}$ عام مصفوفہ سے ظاہر نہیں ہو سکتا۔ «مسلسل اشاریوں کی مصفوفہ» کا تصور ممکن ہے جو تقسیماتی معنی میں قطری ہو، مگر قطر $x = x'$ پر اس کی قدر کا اپنا مفہوم نہیں، کیونکہ $x\,\delta(0)$ حقیقی عدد نہیں۔ غالباً یہی متناہی بُعد کے خطی عاملوں، یعنی مصفوفات، اور لامتناہی بُعد کے عاملوں کا بنیادی فرق دکھاتا ہے۔

تعمیم شدہ اساس میں شناخت کی تحلیل ہے:

اس سے ہلبرٹ فضا کے ہر کیٹ $\kpsi$ کا اس مسلسل اساس پر تجزیہ تکمل بن جاتا ہے:

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

جہاں موجی تابع کی تعریف کی ہے:

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

اسی طرح $\kpsi$ کا مزدوج برا یوں پھیلتا ہے:

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

یہاں داخلی حاصل ضرب کا ہرمیشی تقارن استعمال ہوا: $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$۔

سمت دار $\hat{X} \psi$ کا $x$ پر جز، جس کی تعریف $\braket{x}{X\psi}$ ہے، عموماً ظاہری سادگی کے لیے، مساوات (4 (موضوع 2, سبق 2)) سے تقابل کرتے ہوئے، یوں لکھا جاتا ہے:

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. معیار حرکت کی نمائندگی میں

نقطہ نما ذرے کی کوانٹم میکانیات میں اسی طرح معیار حرکت کا عامل $L^2(\mathbb{R})$ کی موجی توابع $\psi(x)$ پر اس کے عمل سے متعارف کرتے ہیں:

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

یہاں بھی شوارٹز دائرے تک محدود ہونا ضروری ہے تاکہ موجی تابع قابل اشتقاق ہو اور اس کا مشتق بھی مربع قابل تکمل رہے۔

اس باب کی بہت اچھی مشق یہ تصدیق کرنا ہے کہ $\hat{P}$ واقعی خود الحاقی ہے۔ اس کے لیے پہلے خود اشتقاقی عامل کا مطالعہ کریں، جسے یوں لکھتے ہیں:

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

یہ خطی عامل ہے، کیونکہ اشتقاق خطی ہے: $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$۔ ظاہر ہے کہ اسے متناہی بُعد کی طرح مصفوفہ سے ظاہر نہیں کر سکتے: یہ توابع کی لامتناہی بُعد والی فضا پر تفاضلی انداز میں عمل کرتا ہے۔ اس لیے اس کا الحاقی مزدوج منقول سے نہیں نکال سکتے، مگر تعریف سے نکال سکتے ہیں۔ $\mathcal{S}(\R)$ کی دو آزمائشی توابع $\phi$ اور $\psi$ کے لیے:

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

تعریف 2 (موضوع 2, سبق 2) دیکھیے۔ شناخت کی تحلیل داخل کرکے بایاں رکن بنتا ہے:

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

یوں $\hat{D} = d/dx$ کا الحاقی $-\hat{D} = -d/dx$ ہے۔ پہلے سطر میں برا اور کیٹ کے درمیان شناخت کی تحلیل داخل کی؛ دوسری میں ضرب تقسیم کی؛ تیسری میں ہرمیشی تقارن لیا۔ چوتھی میں $\hat{D}$ اور موجی توابع کی تعریفیں استعمال کیں؛ پانچویں میں $\R$ پر جزوی تکمل لیا۔ لامتناہی پر سرحدی اجزا صفر ہیں، کیونکہ شوارٹز توابع ہر یک حدی اظہار سے تیزی سے گھٹتی ہیں۔ آخری سطروں میں موجی توابع سے داخلی حاصل ضرب کی طرف لوٹے، شناخت کی تحلیل مشترک نکالی اور پھر حذف کی۔ لہٰذا معیار حرکت کا عامل خود الحاقی ہے، کیونکہ

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

$\hat{P}$ کا خود الحاقی ہونا ضمانت دیتا ہے کہ اس کی ذاتی قدریں، یعنی ممکنہ معیار حرکت، حقیقی ہوں، اور اس کی ذاتی توابع ڈیراک تقسیمات کے ذریعے تعمیم شدہ معنی میں حالتوں کی فضا کی مکمل اساس بنائیں۔

معیار حرکت کی ذاتی حالتیں۔ بالکل اسی طرح تعمیم شدہ «کیٹ» $\ket{p}$ کو $\hat{P}$ کی ذاتی حالتیں متعین کرتے ہیں:

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

مقامی نمائندگی میں متعلقہ موجی تابع $\bra{x}$ پر اسقاط سے ملتی ہے:

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

یہ سادہ تفاضلی مساوات ہے جس کا حل:

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

یہ اظہار دکھاتا ہے کہ مقام اور معیار حرکت کی نمائندگیوں کو ملانے والی تبدیلی عین فوریئر تبدیل ہے۔

عمودیت اور تکمیل۔ کیٹ $\ket{p}$، $\ket{x}$ جیسے تعلقات پورے کرتے ہیں:

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

معیار حرکت کی نمائندگی میں موجی تابع کی تعریف ہے:

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

پس تبدیلی $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ فوریئر تبدیل ہے، اور معکوس تبدیلی:

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

بنیادی تبادلہ۔ آخر میں عامل $\hat{X}$ اور $\hat{P}$، کینونی تبادلی تعلق پورے کرتے ہیں:

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

یہ تعلق نقطہ نما ذرے کی پوری کوانٹم میکانیات کی بنیاد ہے۔ اس حصے کے تمام فارمولے صرف اسی کینونی تعلق سے نکلتے ہیں: ثابت ہوتا ہے کہ X اور P کی اس الجبرا کی واحد ممکنہ ہلبرٹ نمائندگی یہی ہے۔ خصوصاً $X$، x کی موجی توابع پر ضرب سے اور P اشتقاق سے عمل کرتا ہے، اور بالعکس۔ یہ اہم نتیجہ، سٹون–وان نیومن کا قضیہ، بعد میں تفصیل سے آئے گا۔

1.3. ڈیراک ڈیلٹا کی خصوصیات

اس حصے اور باب کے اختتام پر ڈیراک ڈیلٹا کے چند مفید فارمولے دیتے ہیں، جو ہمیشہ تقسیماتی معنی میں، یعنی تکمل کی علامت کے اندر، سمجھے جائیں:

تقارن:

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

ہم جنسی:

ہر حقیقی $a \neq 0$ کے لیے:

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

متغیر کی تبدیلی:

اگر $f$ باقاعدہ تابع ہو جس کی سادہ جڑیں $\{x_i\}$ یہ پوری کریں: $f(x_i) = 0$، تو:

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

ڈیلٹا کا مشتق:

تقسیماتی مشتق کی تعریف ہے

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. حوالہ جات