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Espaces de Hilbert et notations de Dirac

Structure des espaces de Hilbert, dual topologique, et notation de Dirac en dimension finie et infinie.

Notations de Dirac en dimension finie

Règles algébriques du calcul quantique valables en toute dimension, puis formulaire matriciel en dimension finie.

Notations de DiracProduit scalaire hermitienAdjointOpérateur ket-braRésolution de l'identitéDimension finieÉléments de matriceTraceTransconjugaisonFormulaire

Les objets que l'on vient de définir obéissent à un ensemble de propriétés fondamentales, toujours valables quelle que soit la dimension de l'espace de Hilbert, et indépendamment du caractère borné ou non des opérateurs. Dans ce dernier cas on peut encore définir un adjoint, mais c'est plus subtil mathématiquement, et nous y reviendrons dans le thème suivant consacré à la théorie des opérateurs linéaires. Puisque toute la planète utilise les notations de Dirac, ces propriétés constituent de fait les règles algébriques du calcul quantique, et sont donc impératives à maîtriser.

Cette leçon regroupe l'ensemble des formules utiles vues jusqu'ici, quitte à les répéter, et en ajoute quelques-unes. On donne d'abord celles qui valent en toute dimension, puis le formulaire propre à la dimension finie, où la notation de Dirac se ramène à un calcul matriciel explicite.

1. Règles de calcul en toute dimension

Propriétés du produit scalaire.

Soient (∣φ⟩,∣ψ⟩)∈H2(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2 deux vecteurs de l'espace de Hilbert et (λ,μ)∈C2(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2 des scalaires. Le produit scalaire satisfait les propriétés suivantes :

  1. Symétrie hermitienne :

    ⟨φ|ψ⟩=⟨ψ|φ⟩∗.\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}

    (1)

  2. Antilinéarité à gauche : le bra associé à λ∣ψ⟩\lambda \ket{\psi} est λ∗⟨ψ∣\lambda^* \bra{\psi}, c'est-à-dire que :

    (λ∣ψ⟩)†=λ∗⟨ψ∣et⟨λψ|φ⟩=λ∗⟨ψ|φ⟩\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{et} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }

    (2)

  3. Linéarité à droite :

    ⟨φ|λψ⟩=λ⟨φ|ψ⟩.\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}

    (3)

  4. Combinaisons linéaires : les propriétés précédentes permettent de développer de façon usuelle des expressions compliquées telles que la suivante : pour tous α,β,γ,δ∈C\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C, on a :

    ⟨αφ+βψ|γφ+δψ⟩=α∗γ⟨φ|φ⟩+α∗δ⟨φ|ψ⟩+β∗γ⟨ψ|φ⟩+β∗δ⟨ψ|ψ⟩.\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }

    (4)

  5. Norme : par définition,

    ∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩≥0,\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}

    (5)

    avec égalité si et seulement si ∣ψ⟩=0\ket{\psi} = 0 est le vecteur nul (parfois, mais rarement, noté ∣∅⟩\ket{\varnothing}).

Propriétés de l'adjoint.

Nous récrivons ici les deux formules valant définition :

(A^∣φ⟩)†=⟨A^φ∣=⟨φ∣A^†\boxed{ (\hat A\ket{\phi})^\dagger = \bra{\smash{\hat{A}} \phi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger }

(6)

et

⟨A^φ|ψ⟩=⟨φ|A^†ψ⟩=⟨φ∣A^†∣ψ⟩\boxed{ \braket{\smash{\hat{A}} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\smash{\hat{A}}^\dagger \psi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi} }

(7)

ce qui permet aussi de démontrer via la symétrie hermitienne que :

⟨φ∣A^†∣ψ⟩∗=⟨ψ∣A^∣φ⟩\boxed{ \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi}^* = \bra{\psi} \hat A \ket{\phi} }

(8)

Propriétés des opérateurs adjoints.

Pour tous opérateurs linéaires continus A^,B^\hat{A}, \hat{B} sur H\mathcal{H} et tout scalaire λ∈C\lambda \in \mathbb{C}, on a :

(A^+B^)†=A^†+B^†,(λA^)†=λ∗A^†, (anti-lineˊariteˊ)(A^B^)†=B^†A^†,(attention aˋ l’ordre)(A^†)†=A^,    (involution).\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{(anti-linéarité)} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{(attention à l'ordre)} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{(involution)}. \end{aligned}
Opérateur ket-bra.

Un bracket est un nombre, mais un ket-bra est un opérateur, dit produit extérieur (sans rapport avec le produit extérieur des formes différentielles). À deux vecteurs ∣φ⟩\ket{\phi} et ∣ψ⟩\ket{\psi}, on associe l'opérateur ∣φ⟩⟨ψ∣\ket{\phi}\bra{\psi} défini par :

∣φ⟩⟨ψ∣:H→H,∣χ⟩↦∣φ⟩⟨ψ|χ⟩.\begin{aligned} \ket{\phi}\bra{\psi} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{\chi} \mapsto \ket{\phi}\braket{\psi}{\chi}. \end{aligned}
Décomposition de l'opérateur identité.

L'opérateur identité dans H\Hilb est noté 1\mathbf{1}, trivialement défini par 1x=x,∀x∈H\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb. Dans une base hilbertienne dénombrable {∣ei⟩}i∈I\{\ket{e_i}\}_{i \in I} où II est soit fini, soit infini dénombrable, l'opérateur identité 1\mathbf{1} s'écrit :

1=∑i∈I∣ei⟩⟨ei∣\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }

(9)

Cette formule est extrêmement utile en pratique. On l'appelle aussi la résolution de l'identité ou la relation de fermeture. Le membre de droite est une somme en dimension finie, ou bien une série convergente en dimension infinie dénombrable. Elle est fausse dans le cas de dimension indénombrable.

Décomposition Hilbertienne.

La formule précédente permet par exemple de retrouver directement le théorème de décomposition vu en leçon 1, en définissant ψi\psi_i la composante du ket ∣ψ⟩\kpsi sur ∣ei⟩\ket{e_i} :

∣ψ⟩=1∣ψ⟩=∑i∈I⟨ei|ψ⟩∣ei⟩=∑i∈Iψi∣ei⟩\boxed{ \ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{\psi} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} \psi_i \ket{e_i} }

(10)

Il s'agit d'une somme ou d'une série selon la dimension. La décomposition du ket a son pendant pour les bras :

⟨ψ∣=⟨ψ∣1=∑i∈Iψi∗⟨ei∣\boxed{ \bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \bra{e_i} }

(11)

La norme s'écrit alors :

∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩=∑i∈Iψi∗ψi=∑i∈I∣ψi∣2\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \psi_i = \sum_{i \in I} |\psi_i|^2 }

(12)

Remarque 1 (Attention à l'ordre !)
Les composantes du ket sont ψi=⟨ei|ψ⟩\psi_i = \braket{e_i}{\psi}, et non ⟨ψ|ei⟩\braket{\psi}{e_i} qui vaut ψi∗\psi_i^*. Le produit scalaire hermitien n'est pas commutatif, donc il faut faire attention à l'ordre. Dans Rn\mathbb{R}^n muni du produit scalaire euclidien usuel, on récupère la composante viv_i d'un vecteur v⃗\vec{v} par vi=v⃗⋅e⃗iv_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i, ce qui pourrait suggérer que la formule quantique serait ψi=⟨ψ|ei⟩\psi_i = \braket{\psi}{e_i}, mais ce n'est pas le cas!
Quelques opérateurs particuliers.

Le thème suivant présente en détail la théorie des opérateurs linéaires sur un Hilbert. Néanmoins on note pour la suite quelques cas très communs. Dans l'ensemble des opérateurs de H→H\Hilb \to \Hilb, nous aurons en particulier un opérateur :

  1. A^\hat A, hermitien ou auto-adjoint si A^†=A^\hat{A}^\dagger = \hat{A},
  2. U^\hat U, unitaire si U^†=U^−1\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1},
  3. P^\hat P, un projecteur si P^2=P^\hat{P}^2 = \hat{P},
  4. P^\hat P, un projecteur orthogonal : un projecteur auto-adjoint.

Les opérateurs unitaires sont bijectifs, linéaires, et préservent le produit scalaire. Nous les avons donc déjà rencontrés plus haut : ce sont les isomorphismes isométriques (en l'occurrence les automorphismes isométriques ici puisqu'on ne parle que des opérateurs linéaires de H\Hilb dans lui-même).

2. Formulaire en dimension finie

On peut davantage spécifier les règles du calcul quantique lorsque le Hilbert est de dimension finie nn. Déjà, l'ensemble des formules de la section précédente sont valables où les sommes qu'on y a rencontrées sont à écrire comme des sommes finies : ∑i⟶∑i=1n\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}.

Par ailleurs, une fois choisie une base orthonormée B=(∣ei⟩)i=1n\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n, la notation de Dirac correspond à un calcul matriciel explicite que l'on détaille maintenant (attention, ce qui suit n'a aucun sens en dimension infinie).

Les kets comme vecteurs colonnes.

En représentant canoniquement les kets de la base B\mathcal{B} par des matrices (n,1)(n,1), dits aussi des vecteurs colonnes :

∣ei⟩=(0⋮010⋮0)B\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

où le 11 est en ii-ième position, et via la décomposition algébrique :

∣v⟩=∑i=1nvi∣ei⟩,\ket{v} = \sum_{i=1}^n v_i \ket{e_i},

il vient l'écriture de tous les kets comme des vecteurs colonnes : pour ∣v⟩∈H\ket{v} \in \mathcal{H}, on écrit :

∣v⟩=(v1v2⋮vn)B∈Cn,\ket{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

où, sauf nécessité, on omettra la mention de la base B\mathcal{B} dans laquelle cette expansion est faite. Par ailleurs, les composantes s'obtiennent par projections orthogonales :

vi=⟨ei|v⟩\boxed{v_i = \braket{e_i}{v}}

(13)

Les bras comme vecteurs lignes conjugués.

La forme linéaire φu\varphi_u associée au vecteur uu doit satisfaire, pour tout vecteur vv :

φu(v)=⟨u,v⟩=∑i=1nui∗vi,\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i,

par antilinéarité du produit scalaire hermitien à gauche. Pour obtenir cette somme comme un produit matriciel, il faut que ⟨u∣\bra{u} soit le vecteur ligne des coordonnées conjuguées de uu :

⟨u∣=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗),\begin{aligned} \bra{u} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix}, \end{aligned}

car alors le produit scalaire ⟨u|v⟩\braket{u}{v} s'obtient comme le produit matriciel usuel :

⟨u|v⟩=⟨u∣⋅∣v⟩=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗)⋅(v1v2⋮vn)=∑i=1nui∗vi∈C.\begin{aligned} \braket{u}{v} = \bra{u} \cdot \ket{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

On remarque alors que le bra ⟨u∣\bra{u} est le transposé-conjugué, ou « transconjugué » du ket ∣u⟩\ket{u}. L'opération dagger revient donc, en dimension finie, à la prise de la transposée-conjuguée :

∣u⟩†=∣u⟩∗⊤=⟨u∣\boxed{\ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u}^*} = \bra{u}}

(14)

C'est faux en dimension infinie, et cela n'aurait même pas de sens, puisque la transposée n'est pas définie1.

Note 1: A la limite, dans l'espace ℓ2(N)\ell^2(\N), et dans sa base canonique que nous avons détaillée en Section 3.2 (thème 2, leçon 1), tout se passe de façon relativement similaire en considérant des vecteurs colonnes ou ligne infinis, et en remplaçant les sommes finies par des séries convergentes. Cela peut être utile pour se forger une intuition, mais au sens strict il ne s'agit pas de matrices. Dans L2(R)L^2(\R), cela n'a plus de sens du tout, même si là aussi un analogue intégral existe, voir la leçon suivante.
Représentation matricielle des opérateurs.

Dans une base orthonormée {∣ei⟩}i=1n\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n en dimension finie, tout opérateur linéaire A^\hat{A} se décompose selon :

A^=∑i,j=1nAij ∣ei⟩⟨ej∣,\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

(15)

ce qui amène, en dimension finie, à l'identification naturelle entre l'opérateur linéaire A^\hat{A} (noté avec chapeau), et sa matrice AA (sans chapeau). La formule ci-dessus est en effet la contrepartie, dans le formalisme de Dirac, du développement matriciel A=∑ijAijEijA = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij}, où EijE_{ij} est la matrice élémentaire avec un 11 en position (i,j)(i,j) et des zéros ailleurs. Ici, EijE_{ij} est donc la matrice représentant l'opérateur ∣ei⟩⟨ej∣\ket{e_i} \bra{e_j}. Les coefficients AijA_{ij} sont naturellement appelés les éléments de matrice de l'opérateur A^\hat{A} dans la base {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\}. Ils valent :

Aij=⟨ei|A^ej⟩A_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}} e_j}

mais pour des raisons esthétiques on écrira plus souvent sous la forme :

Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩.\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(16)

L'opérateur identité a bien entendu pour matrice la matrice identité et ses éléments de matrices sont les δij\delta_{ij} (symbole de Kronecker).

Trace d'un opérateur.

On sera souvent amené par la suite à considérer la trace d'un opérateur A^\hat{A}. Elle se calcule dans la notation de Dirac par :

Tr(A^)=∑i=1n⟨ei∣A^∣ei⟩=∑i=1nAii.\boxed{\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_{i=1}^n \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_i} = \sum_{i=1}^n A_{ii}.}

(17)

Cette expression est indépendante du choix de la base orthonormée.

Adjoint et transposée-conjuguée.

En dimension finie, la matrice représentant l'adjoint A^†\hat{A}^\dagger est la transconjuguée de la matrice représentant l'opérateur A^\hat{A} :

A†=(A∗)⊤.\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}.}

(18)

Nous en proposons une démonstration rapide ici, car elle permet de voir comment on se sert en pratique des règles de calcul vues plus haut. Les éléments de matrice de A^†\hat{A}^\dagger sont par définition :

(A^†)ij=⟨ei|A^†ej⟩.(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

Mais, par définition de l'adjoint, on a :

⟨ei|A^†ej⟩=⟨A^ei|ej⟩\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

En utilisant la symétrie hermitienne, on a ⟨A^ei|ej⟩=⟨ej|A^ei⟩∗\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*, mais ceci n'est rien d'autre que les éléments de matrices Aji∗A_{ji}^*. Donc :

(A†)ij=Aji∗=(A∗⊤)ij(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

ce qui prouve la propriété. En dimension finie, on pourra donc explicitement vérifier par un calcul matriciel si un opérateur est hermitien, ou bien unitaire, etc.

3. Références

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