Espaces de Hilbert et opérateurs linéaires

1. L'idée de la dualité

La dualité constitue le fil conducteur de toute cette leçon. Essayons d’en donner une interprétation intuitive. En mathématiques, la notion de dualité recouvre de nombreuses situations, mais dans le cadre des espaces de Hilbert elle exprime une idée simple et profonde : un vecteur peut être vu non seulement comme un objet en soi mais aussi comme un opérateur qui agit sur d'autres vecteurs pour produire des nombres (c'est-à-dire, comme une forme linéaire). En mécanique quantique, le nombre ainsi produit est une amplitude de probabilité.

Le formalisme quantique exploite donc pleinement ces deux facettes, et les notations de Dirac constituent un système d’écriture ingénieux permettant de les manipuler facilement. On y trouve les kets notés $\ket{u}$ qui représentent les vecteurs de l’espace, et les bras notés $\bra{u}$ qui représentent des formes linéaires agissant sur ces vecteurs. Leur combinaison $\langle u|v\rangle$ produit un scalaire, appelé bracket, tandis que des expressions de type $\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j}$ décrivent des opérateurs.

Cette notation s’est imposée comme le langage standard de la physique quantique et sa maîtrise complète est indispensable. Un formulaire récapitulatif des règles de calcul sera fourni à la suite de cette leçon. En réalité, il est tout à fait possible d'apprendre à manipuler ces symboles sans vraiment comprendre les mathématiques qui se cachent derrière. Mais pour saisir leur sens profond, il faut s'attaquer au programme que nous esquissons ici : comprendre comment on construit l'identification complète entre les vecteurs et les formes linéaires, et pourquoi cette démarche conduit naturellement à définir un autre objet essentiel : l’adjoint d’un opérateur.

Dans la section suivante, nous tenterons d'établir un tel isomorphisme entre un espace vectoriel et son dual algébrique défini comme l’ensemble de toutes ses formes linéaires. Nous verrons que c'est impossible. En effet, bien qu'un espace vectoriel de dimension finie soit effectivement isomorphe à son dual, cet isomorphisme n'est pas canonique (il dépend d'un choix de base arbitraire). Par ailleurs la situation empire en dimension infinie : un tel isomorphisme n'existe tout simplement pas. Ces obstacles invalident l'identification automatique entre vecteurs et formes linéaires, et justifient le recours à la structure plus riche des espaces de Hilbert.

La Section 3 montre comment exploiter cette structure supplémentaire pour surmonter ces difficultés. Grâce au produit scalaire, et en se limitant aux formes linéaires continues qui forment ce qu'on appelle le dual topologique, on arrive à un résultat remarquable. Le théorème de Riesz affirme que pour tout espace de Hilbert de dimension quelconque, il existe un isomorphisme isométrique antilinéaire et canonique entre l’espace et son dual topologique.

Ce résultat fonde rigoureusement les notations de Dirac, que nous détaillerons alors en Section 4 et 5 (ket et bra, et opérateurs linéaires), avant de montrer comment l'isomorphisme de Riesz fait naturellement apparaître la notion d'adjoint d'un opérateur (Section 6). La section 7 résume cette construction par un schéma complet. Tout au long de cette leçon, nous utiliserons le cas de la dimension finie comme exemple concret pour illustrer la théorie, en travaillant systématiquement sur le corps $\mathbb{C}$.

2. Formes linéaires et dual algébrique

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\C$. On définit son dual algébrique $E^*$ comme l'ensemble des formes linéaires sur $E$, c'est-à-dire des applications linéaires $\varphi : E \to \C.$

En dimension finie $n$, si l'on fixe une base $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$, on peut construire une famille correspondante de formes linéaires $(\theta_1,\dots,\theta_n)$ dans $E^*$, définie par la relation :

On démontre alors que cette famille est libre et génératrice et donc une base de $E^*$ (appelée base duale). On en déduit que $\dim(E^*) = \dim(E)$, ce qui implique que $E$ et $E^*$ sont isomorphes. Un isomorphisme possible est l'application $T$ qui associe à chaque vecteur $x = \sum x_i e_i$ la forme linéaire $w_x = \sum x_i \theta_i$.

Cependant, cet isomorphisme $T$ est pour ainsi dire artificiel dans le sens où il dépend du choix initial de la base de $E$. Si l'on change de base, l'application $T$ change également. Il n'existe donc pas d'identification canonique (naturelle) entre un espace vectoriel et son dual algébrique.

En dimension infinie, un résultat classique montre que $E$ n’est jamais isomorphe à son dual algébrique puisque ce dernier est de dimension strictement plus grande (cf. théorème d’Erdös–Kaplansky). Par exemple si $E$ est de dimension algébrique dénombrable, son dual algébrique est de dimension algébrique non dénombrable.

Dans les deux cas, il n'existe donc pas d'identification canonique entre vecteurs et formes linéaires.

3. Dual topologique et théorème de Riesz

Dans un espace de Hilbert $\H$, la norme associée au produit scalaire permet de distinguer une classe particulière de formes linéaires : celles qui sont continues. On dit que $\varphi : \H \to \C$ est continue en $x_0$ si

et si elle est continue en un point, par linéarité elle l'est partout¹. L'ensemble des formes linéaires continues forment un sous-espace vectoriel du dual algébrique. On l'appelle le dual topologique et on le note encore (abusivement) $\H^*$.

Remarque : cette norme est un cas particulier de la norme opérateur qu'on retrouvera plus loin (cf. leçon sur les opérateurs linéaires). En soi, la construction précédente vaut pour tout espace normé. Ce qui fait la spécificité du cas Hilbertien, c'est le théorème suivant : on se sert du produit scalaire pour construire une identification bijective de toute forme linéaire continue avec un vecteur :

On note que l'application $\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle$ de $\mathcal{H}$ dans $\H^*$ est injective y compris dans un espace seulement préhilbertien. En effet si $\varphi_u = \varphi_v$, alors pour tout $x$ de $\mathcal{H}$, on a $0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle$ et donc $u = v$ en choisissant $x = u - v$ et par définie-positivité du produit scalaire.

Le théorème de Riesz affirme alors que cette application est aussi surjective. Ce n'est pas trivial, et ne vaut d'ailleurs que dans les Hilbert. Par exemple, dans un préhilbertien incomplet, elle n'est pas surjective car il existe des formes linéaires continues qui ne s'écrivent pas comme un produit scalaire avec un vecteur de l'espace incomplet.

Le théorème de Riesz fournit donc la bijection $\Phi$ entre $\mathcal{H}$ et $\mathcal{H}^*$ que l'on cherchait. On en déduit le corollaire suivant :

4. Notations de Dirac : bras, kets, brackets

Les notations de Dirac ne sont alors qu'une réécriture de l'isomorphisme de Riesz. On définit d'abord les kets, les bras, et le bracket. On s'en sert pour réécrire la décomposition sur une base de Hilbert vue dans la leçon précédente.

1. Les kets. Un vecteur $u \in \mathcal{H}$ est écrit sous la forme d'un ket, noté ainsi : $$\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }$$

   La structure linéaire nous donne les règles de calcul suivantes :

   $$\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}$$
2. Les bras. A tout vecteur $u \in \H$ on associe via $\Phi$ une forme $\varphi_u$. On note cette forme linéaire comme un bra, où l'intérieur du bra on écrit le vecteur associé : $$\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }$$

   Ainsi $\bra{u}$ représente le vecteur $u$ vu comme forme linéaire, c'est-à-dire l'action « prendre le produit scalaire avec $u$ et renvoyer un nombre ». Nous avons les règles de calculs suivantes :

   $$\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned}$$ conséquences de l'antilinéarité de $\Phi$.
3. Le bracket. Les deux astuces d'écriture précédentes permettent de former un produit scalaire, ce qui se dit bracket en anglais (ou aussi inner product), comme un produit d'un bra par un ket : $$\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}$$

   Cette notation reflète en réalité l'action de la forme linéaire $\bra{u}$ sur le vecteur $\ket{x}$ :

   $$\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.$$
4. Décomposition Hilbertienne. Quel que soit la dimension de l'espace de Hilbert, on a vu la formule de décomposition $u = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i$, où la somme est finie ou converge dans $\mathcal{H}$ si $I$ est infini. Elle s'écrit en Dirac sous la forme :

   $$\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }$$

   (1)

   où les $u_i$ sont les composantes du ket $u$ dans la base. Remarquez qu'ils s'obtiennent par projection orthogonale sur $e_i$ sous la forme $u_i = \braket{e_i}{u}$, et non sous la forme $\braket{u}{e_i}$ qui vaut $u_i^*$. C'est une erreur fréquente, probablement liée au fait que dans le calcul vectoriel ordinaire sur $\R^n$, on récupère la composante $v_i$ d'un vecteur $\vec{v}$ par $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$, ce qui peut suggérer $u_i = \braket{u}{e_i}$ dans le cas quantique. Mais cela serait ignorer la sesquilinéarité du produit scalaire sur $\C$, et conduirait immédiatement à une erreur de calcul.

   Pour les bras, on a :

   $$\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }$$

   (2)

   et la norme carrée s'écrit

   $$\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i$$

   (3)
   où la deuxième égalité est celle de Parseval.
5. L'opération « dagger ». L’utilisation de l'isomorphisme $\Phi$ (des kets vers les bras) est usuellement noté par le symbole $\dagger$ en exposant. On choisit d'écrire l'isomorphisme inverse $\Phi^{-1}$ des bras vers les kets par le même symbole. Cela rend donc l'opération dagger involutive. Par convention d'écriture, on a donc : $$\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(application } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(application } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(involution)} \end{aligned}$$

Illustrons ces différents points en dimension finie. On choisit $\H$ de dimension $n$ et une base Hilbertienne $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ muni de son produit scalaire canonique (cf. leçon 1, le Hilbert $\C^n$). En représentant canoniquement les kets de la base par des vecteurs colonnes, ie. des matrices $(n,1)$ :

où le $1$ est en $i$-ième position, il vient l'écriture de tous les kets $\ket{u}$ comme des vecteurs colonnes

avec $u_i = \braket{e_i}{u}$. La forme linéaire $\varphi_u$ associée au vecteur $u$ doit satisfaire, pour tout vecteur $v$ :

Pour obtenir cette somme, il faut donc que $\bra{u}$ soit représenté par le vecteur ligne de taille $(1, n)$ des coordonnées conjuguées de $u$ :

car alors le produit scalaire $\braket{u}{v}$ s'obtient comme le produit matriciel usuel :

Ainsi par exemple en dimension 2 :

Nous avons obtenu le résultat :

Attention, cela n'a pas de sens en dimension infinie, car la transposée n'est pas définie. Ceci étant dit, dans l'espace $\ell^2(\N)$ et dans sa base canonique, tout se passe de façon relativement similaire en considérant des vecteurs colonnes ou ligne infinis, et en remplaçant les sommes finies par des séries convergentes. Cela peut être utile pour se forger une intuition, mais au sens strict il ne s'agit pas de matrices ni de transposition.

5. Opérateurs, éléments de matrice, décomposition de l'identité

Nous continuons l'exposé des notations de Dirac cette fois en introduisant aussi les applications linéaires (dites aussi opérateurs linéaires) $\hat A$ de $\mathcal{H}$ dans $\mathcal{G}$, où $\mathcal{G}$ est un autre espace de Hilbert.

Écriture des opérateurs. Remarquez d'abord qu'il est standard en physique de les noter avec un chapeau. Un opérateur $\hat A$ agissant sur un vecteur $v$ donne le vecteur $\hat A v$. En notations de Dirac, on a donc deux choix d'écritures équivalentes, la seconde étant la plus souvent utilisée :

De la même façon, le produit scalaire impliquant un opérateur peut s'écrire comme :

où la seconde écriture est plus fréquente pour des raisons esthétiques.

Élements de matrice. Dans la formule ci-dessus, le cas $\bra{w} = \bra{e_i}$ et $\ket{u} = \ket{e_j}$ est particulièrement important car il définit ce qu'on appelle les éléments de matrices de l'opérateur $\hat A$:

En dimension infinie, cette expression n'a pas toujours de sens, car il faut encore que $\ket{e_i}$ appartienne au domaine de définition de l'opérateur $\hat A$. On y reviendra. En dimension finie en revanche, cette définition est limpide : via l'écriture des vecteurs de base comme des vecteurs colonnes, un opérateur linéaire est en correspondance univoque avec sa matrice le représentant ; on écrit donc $\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ avec $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. L'équation ci-dessus $\ket{v} = \hat A \ket{u}$ s'écrit alors comme un produit matriciel usuel $\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}$, tandis qu'un produit scalaire s'écrit comme $\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C$.

Les opérateurs ket-bra. Un bracket est un nombre, mais un ket-bra est un opérateur, dit produit extérieur (sans rapport avec le produit extérieur des formes différentielles). À deux vecteurs $\ket{u}$ et $\ket{v}$ du même espace de Hilbert $\H$, on associe en effet l'opérateur $\ket{u}\bra{v}$ de $\H$ dans $\H$ défini par :

La aussi, en dimension finie, le cas $\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j}$ est particulièrement important. C'est l'opérateur dont les éléments de matrice sont tous nuls sauf un "1" en ligne $i$ et en colonne $j$ ; sa matrice associée est donc :

Tout opérateur linéaire $\hat{A}$ se décompose en dimension finie selon ses éléments de matrice :

où $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. Attention, en dimension infinie, cette décomposition n'est pas toujours possible ; et lorsqu'elle existe, elle doit être comprise au sens de la convergence forte. On y reviendra dans les leçons suivantes.

Décomposition de l'opérateur identité. L'opérateur identité dans $\mathcal{H}$ noté par $\mathbf{1}$ est défini par $\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x}$ pour tout $\ket{x} \in \mathcal{H}$ trivialement. En dimension finie, elle est évidemment représentée par la matrice identité. De façon plus générale, on a la formule

valable aussi en dimension infinie dénombrable, où dans ce cas la série converge fortement. On l'appelle aussi la résolution de l'identité ou encore la relation de fermeture. Cette formule est extrêmement utile pour tous les calculs en mécanique quantique. Attention, elle est fausse dans les espaces non-séparables²

6. L'opérateur adjoint

Revenons à l'isomorphisme de Riesz et considérons un opérateur linéaire continu³ $\hat{A}$ de $\mathcal{H}$ dans $\mathcal{G}$, où $\H$ et $\G$ sont deux Hilbert, avec éventuellement $\H = \G$.

Lorsque $\hat{A}$ agit sur un ket $\ket{u} \in \mathcal{H}$, on obtient un nouveau ket $\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}$. Il est naturel de se demander quel est le bra associé via l'isomorphisme de Riesz au vecteur $\ket{v}$, c'est-à-dire ce que vaut la forme linéaire sur $\G$ : $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$. Cela va nous amener naturellement à considérer un nouvel opérateur, appelé adjoint de $\hat{A}$, et noté là encore $\hat{A}^\dagger$. Cet opérateur joue un rôle essentiel en mécanique quantique.

Pour découvrir ce que vaut $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$, fixons un ket quelconque $\ket{w} \in \mathcal{G}$ et considérons la forme linéaire sur $\H$ :

(Ci-dessus, l'indice $\G$ indique dans quel espace doit être pris le produit scalaire). Nous admettrons ici que $\varphi$ une forme linéaire continue sur $\mathcal{H}$ quand $\hat{A}$ est un opérateur continu. D'après le théorème de Riesz appliqué à $\mathcal{H}$, il existe alors un unique vecteur $\ket{z} \in \mathcal{H}$ tel que $\varphi = \varphi_z$, c'est-à-dire :

La construction précédente a donc permis d'associer à un vecteur $\ket{w}$ de $\G$ un unique vecteur $\ket{z}$ de $\H$. Cette opération peut formellement être notée via l'action d'un opérateur, dit opérateur adjoint, noté $\hat{A}^\dagger$, sous la forme $\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}$. On note donc que l'opérateur $\hat A$ agit de $\H$ vers $\G$, tandis que l'adjoint agit dans de $\G$ vers $\H$.

En complétant cette construction pour tout $\ket{w}$, on vérifie sans peine que l'opérateur ainsi défini est bien un opérateur linéaire lui-même continu. On obtient alors le résultat fondamental suivant :

L'adjoint a deux utilités pratique dans le calcul quantique formel.

1. La formule précédente montre que, pour ainsi dire, « à position de $u$ et $w$ fixées, l'adjoint permet de basculer l'opérateur de gauche à droite ».
2. En utilisant la symétrie hermitienne du produit scalaire : $\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*$, il vient aussi :
   $$\boxed{\forall\, \ket{u} \in \mathcal{H},\ \forall\,\ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}$$

   (7)

   qui montre que cette fois que « l'adjoint permet de permuter bra et ket à un complexe conjugué près ».

Ces deux identités sont équivalentes. Il faut bien sûr faire attention aux espaces de départ et d'arrivée $\H$ et $\G$, et lequel des deux produits scalaires, celui de $\H$ ou celui de $\G$, on utilise. En pratique cependant on aura presque toujours $\H = \G$, et les notations se simplifieront d'autant.

Illustrons maintenant la construction précédente dans le cas de la dimension finie. Nous avons le résultat principal suivant :

Nous n'avons pas encore répondu explicitement à la question : que vaut le bra $\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u}$ associé canoniquement au ket $\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u}$ ? La formule (8) y répond via un produit scalaire valable pour tout vecteur $w$, ce qui nous permet d'écrire :

où la conclusion s'obtient en notant que deux formes linéaires qui coïncident sur tout vecteur $w$ sont nécessairement égales. Il est cependant critique de bien comprendre ce qu'est cet objet. En effet, une confusion fréquente est de croire à partir de cette écriture que « l'adjoint agit à gauche sur les bras ». C'est faux! L'objet $\bra{u} \hat{A}^\dagger$ est en réalité une composition d'opérateur, pas une action à gauche. Les espaces de départ et d'arrivée sont en effet :

de sorte que $\bra{u} \hat A^\dagger$ est la composition $\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}$, qui est bien une forme linéaire sur $\mathcal{G}$. En général on omet le symbole $\circ$, ce qui peut prêter à confusion.

Enfin, de $\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger$, on déduit par le dagger les formules utiles :

La figure suivante résume les relations existantes entre bras, kets, opérateur $\hat A$ et son adjoint vues dans cette leçon.

Nous terminons cette section par quelques propriétés importantes de l'adjonction :