Introduction générale et expériences fondatrices

1. Introduction

Les expériences de Stern et Gerlach nous ont obligés à abandonner l'image d'un spin qui serait simplement un petit vecteur classique. Elles nous ont également conduits à écrire des relations telles que

Mais que signifie concrètement cette addition ? Pourquoi additionner des amplitudes, puis prendre le carré de leur module, au lieu d'additionner directement des probabilités ? Et à quoi peut servir la phase complexe qui apparaît dans une superposition générale ?

L'interféromètre de Mach—Zehnder fournit une réponse particulièrement claire à ces questions. Il ne demande que deux chemins, deux lames séparatrices et deux détecteurs. Contrairement aux fentes d'Young, les deux possibilités restent spatialement distinctes pendant presque toute l'expérience : on peut intervenir sur l'un des chemins sans toucher à l'autre, puis décider de les recombiner ou non. Cette séparation rend le raisonnement plus facile à suivre.

Nous commencerons par l'expérience classique avec une onde lumineuse. Nous réduirons ensuite la source jusqu'au régime où les détections se produisent une par une. Enfin, nous attacherons une marque différente à chacun des deux chemins. Cela nous conduira à la gomme quantique et à son point essentiel, souvent mal présenté : les interférences ne réapparaissent que dans des sous-ensembles obtenus par post-sélection. Elles ne réapparaissent jamais dans les données brutes.

2. L'interféromètre de Mach—Zehnder

2.1. Deux chemins qui se séparent et se rejoignent

Un interféromètre de Mach—Zehnder est composé de deux lames semi-réfléchissantes, notées $\mathrm{BS}_1$ et $\mathrm{BS}_2$ pour beam splitters, de deux miroirs et de deux détecteurs $D_1,D_2$.

La première lame reçoit une onde et en produit deux d'égale intensité. Une moitié de l'amplitude suit le bras $a$, l'autre le bras $b$. Les miroirs les redirigent vers la seconde lame, où les deux ondes se recombinent.

Le mot important est ici amplitude. Si l'amplitude incidente vaut $A$, une lame équilibrée ne produit pas deux amplitudes $A/2$. L'intensité est proportionnelle au carré du module de l'amplitude. Pour partager l'intensité en deux parts égales, il faut donc produire deux amplitudes de module $|A|/\sqrt2$.

Au cours de leur propagation, les deux ondes accumulent des phases. Si les longueurs optiques des deux bras ne sont pas exactement les mêmes, elles arrivent sur $\mathrm{BS}_2$ avec une différence de phase $\varphi$. On peut modifier continûment $\varphi$ en déplaçant légèrement un miroir ou en insérant une lame de verre sur un bras.

La seconde lame additionne les contributions provenant des deux chemins. Selon le port de sortie, elles s'ajoutent avec le même signe ou avec un signe opposé. Avec un choix convenable des conventions de phase, les amplitudes de sortie sont proportionnelles à

Après normalisation, les intensités valent

Lorsque $\varphi=0$, toutes les contributions interfèrent constructivement vers $D_1$ et destructivement vers $D_2$. Toute la lumière sort par $D_1$, tandis que $D_2$ reste noir. Pour $\varphi=\pi$, les rôles s'inversent. Entre les deux, l'intensité passe continûment d'une sortie à l'autre.

Rien de quantique n'est encore intervenu. Nous venons de décrire une expérience classique d'optique ondulatoire. Une vague d'eau peut elle aussi se séparer, parcourir deux chemins et interférer avec elle-même lorsqu'on les réunit.

2.2. Pourquoi les probabilités ordinaires ne suffisent pas

Imaginons maintenant, pour comparaison, un modèle purement corpusculaire. À la première lame, chaque particule choisirait au hasard le bras $a$ ou le bras $b$. À la seconde, elle choisirait à nouveau l'une des deux sorties. Si les lames sont équilibrées, ce modèle prédit

quelle que soit la longueur des bras.

La raison est simple : les probabilités correspondant à deux possibilités exclusives s'additionnent. Elles ne peuvent pas s'annuler. Deux probabilités positives ne produiront jamais un détecteur parfaitement noir.

Une onde peut en revanche s'annuler parce que ses amplitudes possèdent un signe, ou plus généralement une phase. Dans l'expression \eqref{eq:amplitudes-sortie-MZ}, les deux contributions vers $D_2$ s'annulent lorsque $e^{i\varphi}=1$. C'est seulement après cette addition que l'on calcule l'intensité en prenant le module carré.

3. Une particule à la fois

3.1. Des impacts indivisibles, une statistique ondulatoire

Réduisons maintenant le flux lumineux et utilisons une source capable de préparer des photons uniques. On s'assure qu'il n'y a, avec une très grande probabilité, qu'un seul photon dans l'interféromètre à un instant donné.

Les détecteurs ne reçoivent plus une intensité continue. Ils produisent des événements individuels : un clic en $D_1$, ou un clic en $D_2$. Un photon n'est pas observé sous la forme de deux demi-clics simultanés. Dans une expérience idéale, il est détecté d'un côté ou de l'autre.

On pourrait croire que cette indivisibilité restaure le modèle corpusculaire précédent : le photon aurait choisi un bras, puis choisi une sortie. Mais lorsqu'on répète l'expérience et que l'on fait varier $\varphi$, les fréquences des clics suivent

Pour $\varphi=0$, chaque photon est détecté en $D_1$ et aucun en $D_2$. La statistique de particules indivisibles obéit exactement à la loi d'interférence de l'onde classique.

Nous sommes donc devant une combinaison que les catégories classiques ne savent pas décrire :

• chaque détection est localisée et indivisible ;
• la probabilité de cette détection dépend d'une phase acquise entre deux chemins.

Une théorie purement ondulatoire explique les interférences, mais pas les clics indivisibles. Une théorie purement corpusculaire explique les clics, mais pas leur dépendance en $\varphi$. La mécanique quantique conserve les deux faits en attribuant à chaque possibilité une amplitude, tout en n'attribuant qu'un seul résultat à chaque mesure.

3.2. L'état de chemin

Juste après la première lame, nous représenterons l'état par

Après la propagation, une différence de phase apparaît :

Les symboles $\ket a$ et $\ket b$ ne désignent pas deux particules différentes. Ils représentent les deux possibilités de chemin pour une même préparation. La seconde lame transforme ces possibilités de telle sorte que leurs amplitudes contribuent ensemble aux mêmes événements $D_1$ et $D_2$.

Il faut également distinguer phase globale et phase relative. Multiplier tout l'état par le même nombre $e^{i\alpha}$ ne change aucune probabilité :

décrivent le même état physique. En revanche, le facteur $e^{i\varphi}$ placé sur un seul chemin modifie la relation entre les deux amplitudes. C'est cette phase relative que mesure l'interféromètre.

Les nombres complexes fournissent la représentation la plus naturelle d'une phase qui varie continûment tout en conservant le module de l'amplitude. L'expérience montre donc la nécessité physique d'une variable de phase. Elle ne constitue toutefois pas, à elle seule, une démonstration que toute reformulation réelle de dimension plus grande est impossible ; cette question plus fine concerne les fondements de la théorie.

4. Chercher par quel chemin la particule est passée

4.1. Un détecteur absorbant répondrait trop brutalement

Que se passe-t-il si l'on cherche à déterminer le chemin suivi ? Le moyen le plus direct consisterait à placer un détecteur sur le bras $a$. S'il clique, on sait que le photon est passé par $a$, mais le photon est alors absorbé et n'atteint jamais la seconde lame. S'il ne clique pas, on l'attribue au bras $b$.

L'interférence disparaît, mais l'explication paraît immédiate : le détecteur a arrêté la particule. Cette version ne permet pas de distinguer un phénomène proprement quantique d'une perturbation mécanique grossière.

Utilisons donc un marquage beaucoup plus doux. Supposons que le photon possède initialement une polarisation $\ket d$. Plaçons sur les deux bras des éléments optiques qui agissent sans absorption idéale et produisent deux polarisations orthogonales :

Les lettres $H$ et $V$ désignent des polarisations horizontale et verticale. En mesurant ensuite la polarisation, on pourrait savoir par quel bras le photon est passé : $H$ marque $a$, $V$ marque $b$.

Après le marquage, l'état complet s'écrit

La première étiquette indique le chemin, la seconde la polarisation. Nous apprendrons plus tard que l'espace mathématique correspondant est un produit tensoriel. Pour le moment, il suffit de lire $\ket a\ket H$ comme « chemin $a$ accompagné de la marque $H$ ».

Après la seconde lame, les deux chemins se recombinent spatialement. Mais les deux contributions ne sont plus complètement identiques : l'une porte la marque $H$, l'autre la marque $V$. Comme ces polarisations sont orthogonales, leurs amplitudes ne peuvent plus s'annuler l'une l'autre dans un détecteur qui ignore la polarisation. On trouve alors

indépendamment de $\varphi$. L'interférence a disparu.

4.2. Ce n'est pas la connaissance d'un observateur

Personne n'est obligé de mesurer effectivement la polarisation. On peut enregistrer seulement les clics de $D_1$ et $D_2$, jeter l'appareil de mesure de polarisation dans un placard, ou même ne jamais en installer. Les interférences restent absentes dès que les deux chemins ont laissé des marques orthogonales dans un autre degré de liberté.

Il faut donc éviter une formulation trompeuse, souvent entendue : « les franges disparaissent parce qu'un humain pourrait connaître le chemin ». Le rôle physique n'est joué ni par la conscience ni par une connaissance abstraite. Il est joué par la corrélation entre le chemin et la polarisation. Les deux alternatives ne conduisent plus au même état final complet et deviennent distinguables.

Si les deux marques ne sont ni identiques ni parfaitement orthogonales, l'interférence n'est ni parfaite ni totalement absente. Sa visibilité est gouvernée par leur recouvrement $|\langle m_a|m_b\rangle|$. Des marques presque identiques laissent des franges presque intactes ; des marques orthogonales les suppriment. La complémentarité n'est donc pas un interrupteur mystérieux, mais une relation continue entre distinguabilité des chemins et visibilité des interférences.

5. La gomme quantique

5.1. Changer la question posée à la marque

L'expression « gomme quantique » suggère que l'on détruit une information déjà enregistrée. Ce n'est pas tout à fait ce qui se passe. Au lieu de mesurer la polarisation dans la base $\{\ket H,\ket V\}$, qui révèle le chemin, mesurons-la dans la base diagonale

Réciproquement,

En reportant ces expressions dans l'état marqué \eqref{eq:etat-marque}, on obtient

Cette simple réécriture contient tout le phénomène.

Si la mesure de polarisation donne $+$, le sous-ensemble correspondant est associé à la superposition

Les deux chemins interfèrent.

Si la mesure donne $-$, le sous-ensemble correspondant est associé à

Il y a également interférence, mais avec un signe opposé. Les maxima du premier sous-ensemble coïncident avec les minima du second : on parle parfois de franges et d'antifranges.

Avec une convention adaptée aux sorties, on obtient par exemple

5.2. Pourquoi la post-sélection est indispensable

Regardons maintenant les données sans tenir compte du résultat de polarisation. Les événements $+$ et $-$ ont chacun une probabilité $1/2$. Pour le détecteur $D_1$,

La même chose vaut pour $D_2$. Les franges et les antifranges se compensent exactement.

La gomme quantique ne fait donc pas réapparaître une figure d'interférence dans l'ensemble brut des impacts. Elle permet de trier après coup les événements en deux sous-ensembles, dont chacun présente une modulation opposée.

Un polariseur orienté à $45^\circ$ placé avant les détecteurs réalise une version partielle de ce tri : il ne transmet qu'une des deux polarisations diagonales et absorbe l'autre. Des franges réapparaissent parmi les photons transmis, mais la moitié des événements a été rejetée. Un séparateur de polarisation diagonal permet au contraire d'enregistrer les deux sorties : on observe alors les franges dans un canal, les antifranges dans l'autre, et aucune frange lorsqu'on les additionne.

6. Choix retardé et absence de rétrocausalité

On peut conserver la marque dans un second système et ne choisir sa base de mesure qu'après la détection du premier photon. Dans les versions dites à choix retardé, la décision de lire la marque dans la base $H/V$ ou dans la base $+/-$ peut donc être prise lorsque l'événement principal a déjà été enregistré.

Le vocabulaire donne facilement l'impression que cette décision tardive change ce qui s'est passé auparavant. Ce n'est pas le cas. Avant de connaître le résultat de la mesure de la marque, les données du détecteur principal sont toujours dépourvues d'interférence :

Le choix tardif ne modifie aucun clic déjà inscrit et ne permet d'envoyer aucun message vers le passé.

Si l'on choisit la base $H/V$, on peut classer les événements selon le chemin auquel leur marque était corrélée, mais aucun des deux sous-ensembles n'interfère. Si l'on choisit la base $+/-$, on peut classer les mêmes types d'événements en franges et antifranges. Dans les deux cas, la structure n'apparaît qu'après comparaison des deux listes de résultats.

L'ordre temporel des deux lectures n'est donc pas ce qui produit les corrélations. Celles-ci sont déjà contenues dans l'état conjoint \eqref{eq:etat-marque}. Le choix de la base détermine simplement la manière dont on les organise.

\begin{remarque}[Ce que l'expérience ne démontre pas] La gomme quantique ne démontre ni que le futur modifie le passé, ni qu'une conscience crée la réalité. Elle ne permet pas non plus, à elle seule, de trancher entre toutes les interprétations de la mécanique quantique. Elle établit un fait opérationnel précis : les statistiques conditionnelles dépendent de la base dans laquelle on classe la marque, tandis que les statistiques locales non conditionnées n'en dépendent pas. \end{remarque}

7. Où se cachent les fentes d'Young ?

L'expérience des fentes d'Young repose exactement sur la même structure. Les deux fentes jouent le rôle des deux bras $a$ et $b$. En un point de coordonnée $x$ sur l'écran, les deux chemins n'ont pas la même longueur ; leur différence produit une phase relative $\varphi(x)$. Au lieu de faire varier une phase dans le temps en déplaçant un miroir, on observe simultanément plusieurs valeurs de la phase le long de l'écran :

Les franges claires et sombres de Young sont donc la version spatialement déployée des oscillations entre $D_1$ et $D_2$ dans un Mach—Zehnder.

Si les particules arrivent une par une, chaque événement est un impact ponctuel. Les premiers impacts paraissent distribués au hasard ; à mesure qu'ils s'accumulent, la figure d'interférence se dessine. Ce phénomène n'est pas propre à la lumière : il est observé avec des électrons, des neutrons, des atomes et des molécules. La mécanique quantique ne décrit donc pas une bizarrerie particulière du photon, mais une structure générale des probabilités physiques.

La gomme quantique à deux fentes consiste à attacher une marque différente à chaque fente. La figure brute disparaît. Si l'on mesure ensuite la marque dans une base complémentaire, les impacts peuvent être séparés en deux figures conditionnelles décalées l'une par rapport à l'autre. Leur somme reste sans franges. C'est exactement le calcul des équations \eqref{eq:etat-gomme} à \eqref{eq:franges-antifranges}, avec la position $x$ sur l'écran à la place des deux détecteurs.

Nous n'aurons donc pas besoin de refaire tout le raisonnement avec les fentes d'Young. Elles offrent une image spectaculaire, mais le Mach—Zehnder en expose plus proprement la logique.

8. Ce que ces expériences nous ont appris

8.1. Une superposition n'est pas un mélange

Dans un mélange classique, la particule emprunte le bras $a$ avec une certaine probabilité ou le bras $b$ avec une autre. Les probabilités s'ajoutent. Dans une superposition, les deux possibilités possèdent une phase relative et leurs amplitudes peuvent se renforcer ou s'annuler lorsqu'une même mesure les recombine.

La différence n'est pas une préférence de vocabulaire : elle se mesure en ouvrant ou en fermant la possibilité d'interférence.

8.2. La phase est physique lorsqu'elle est relative

La phase globale d'un état n'a aucun effet observable. Une phase relative entre deux composantes change les probabilités après recombinaison. C'est elle que les interféromètres transforment en déplacements de franges ou en variations des taux de clics.

8.3. Un système ne peut pas toujours être décrit isolément

Après le marquage, il ne suffit plus de décrire le chemin sans la polarisation. Les deux degrés de liberté sont corrélés. L'interférence perdue par le sous-système « chemin » n'a pas été détruite sans laisser de trace : elle subsiste dans les corrélations de l'état complet et peut être révélée par un tri approprié.

Cette idée deviendra centrale lorsque nous étudierons l'intrication et la décohérence. Un système qui interagit avec son environnement laisse dans celui-ci des marques de ses différentes alternatives. Comme nous ne contrôlons généralement pas les milliards de degrés de liberté de l'environnement, nous additionnons leurs contributions sans les post-sélectionner, et les interférences deviennent inobservables.

8.4. La mesure produit des probabilités conditionnelles

Les probabilités quantiques ne décrivent pas seulement la fréquence brute d'un événement. Elles relient une préparation, un choix de mesure et éventuellement le résultat d'une autre mesure. La gomme quantique montre pourquoi il faut toujours préciser si une statistique est marginale, comme $P(D_1)$, ou conditionnelle, comme $P(D_1\mid +)$.

9. Bilan

Le Mach—Zehnder à une particule réunit deux propriétés que la physique classique séparait. Chaque détection est localisée et indivisible, mais les fréquences de détection résultent de l'interférence d'amplitudes associées à plusieurs chemins. La superposition n'est donc pas un simple tirage au sort entre des possibilités déjà exclusives.

Marquer les chemins par deux états orthogonaux supprime les interférences, même si personne ne consulte la marque. Ce n'est pas l'information dans l'esprit d'un observateur qui agit, mais la corrélation physique avec un autre degré de liberté. Mesurer cette marque dans une base complémentaire permet de répartir les événements en deux sous-ensembles qui présentent des interférences opposées. Leur somme, elle, n'interfère toujours pas.

Stern—Gerlach nous avait conduits aux états, aux mesures incompatibles et aux probabilités. L'interférométrie ajoute les amplitudes, leur phase relative et la nécessité de décrire ensemble les systèmes corrélés. Nous avons désormais assez d'indices expérimentaux pour introduire proprement les postulats de la mécanique quantique. Ils ne tomberont pas du ciel : chacun répondra à une difficulté précise rencontrée au cours de ces deux leçons.