पत्रक १: परिमित विमा में डिराक संकेतन

मुख्य शब्द : डिराक संकेतन, हर्मिशियन आंतरिक गुणनफल, संलग्न, केट-ब्रा संकारक, तत्समक का प्रसार, परिमित विमा, आव्यूह अवयव, अनुरेख, संयुग्मी परिवर्त, सूत्र-संग्रह

अभी परिभाषित वस्तुएँ कुछ मूलभूत गुणों का पालन करती हैं, जो हिल्बर्ट समष्टि की विमा और संकारकों के परिबद्ध या अपरिबद्ध होने से स्वतंत्र हमेशा मान्य रहते हैं। अपरिबद्ध स्थिति में भी संलग्न परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन गणित अधिक सूक्ष्म है; अगले विषय, रैखिक संकारक सिद्धांत, में इस पर लौटेंगे। क्योंकि पूरी दुनिया डिरैक संकेतन का उपयोग करती है, ये गुण वास्तव में क्वांटम गणना के बीजीय नियम हैं, इसलिए इन पर अधिकार अनिवार्य है।

इस पाठ में अब तक देखे सभी उपयोगी सूत्र, भले ही दोहराने पड़ें, एकत्र किए गए हैं और कुछ नए जोड़े गए हैं। पहले हर विमा में मान्य सूत्र हैं, फिर परिमित विमा का सूत्रपत्र, जहाँ डिरैक संकेतन स्पष्ट आव्यूह गणना में बदल जाता है।

1. हर विमा में गणना के नियम

आंतरिक गुणन के गुण।

मान लें (∣φ⟩,∣ψ⟩)∈H2(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2 हिल्बर्ट समष्टि के दो सदिश हैं और (λ,μ)∈C2(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2 अदिश हैं। आंतरिक गुणन निम्न गुणों को संतुष्ट करता है:

  1. हर्मिशियन सममिति:
    ⟨φ|ψ⟩=⟨ψ|φ⟩∗.\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}
    (1)
  2. बाईं ओर प्रति-रैखिकता: λ∣ψ⟩\lambda \ket{\psi} से संबंधित ब्रा λ∗⟨ψ∣\lambda^* \bra{\psi} है, अर्थात:
    (λ∣ψ⟩)†=λ∗⟨ψ∣और⟨λψ|φ⟩=λ∗⟨ψ|φ⟩\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{और} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }
    (2)
  3. दाईं ओर रैखिकता:
    ⟨φ|λψ⟩=λ⟨φ|ψ⟩.\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}
    (3)
  4. रैखिक संयोजन: पिछले गुणों से सामान्य तरीके से जटिल व्यंजकों का प्रसार कर सकते हैं। उदाहरणार्थ सभी α,β,γ,δ∈C\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C के लिए:
    ⟨αφ+βψ|γφ+δψ⟩=α∗γ⟨φ|φ⟩+α∗δ⟨φ|ψ⟩+β∗γ⟨ψ|φ⟩+β∗δ⟨ψ|ψ⟩.\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }
    (4)
  5. मानक: परिभाषा से,
    ∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩≥0,\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}
    (5)
    जहाँ समानता तभी और केवल तभी होती है जब ∣ψ⟩=0\ket{\psi} = 0 शून्य सदिश हो, जिसे कभी-कभी, पर बहुत कम, ∣∅⟩\ket{\varnothing} लिखते हैं।
संलग्न के गुण।

परिभाषा देने वाले दो सूत्र यहाँ फिर लिखते हैं:

(A^∣φ⟩)†=⟨A^φ∣=⟨φ∣A^†\boxed{ (\hat A\ket{\phi})^\dagger = \bra{\smash{\hat{A}} \phi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger }

(6)

और

⟨A^φ|ψ⟩=⟨φ|A^†ψ⟩=⟨φ∣A^†∣ψ⟩\boxed{ \braket{\smash{\hat{A}} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\smash{\hat{A}}^\dagger \psi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi} }

(7)

इनसे हर्मिशियन सममिति द्वारा यह भी सिद्ध होता है:

⟨φ∣A^†∣ψ⟩∗=⟨ψ∣A^∣φ⟩\boxed{ \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi}^* = \bra{\psi} \hat A \ket{\phi} }

(8)

संलग्न संकारकों के गुण।

H\mathcal{H} पर सभी सतत रैखिक संकारकों A^,B^\hat{A}, \hat{B} और हर अदिश λ∈C\lambda \in \mathbb{C} के लिए:

(A^+B^)†=A^†+B^†,(λA^)†=λ∗A^†, (प्रति-रैखिकता)(A^B^)†=B^†A^†,(क्रम पर ध्यान दें)(A^†)†=A^,    (अंतर्वलन).\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{(प्रति-रैखिकता)} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{(क्रम पर ध्यान दें)} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{(अंतर्वलन)}. \end{aligned}
केट-ब्रा संकारक।

ब्रैकेट संख्या है, लेकिन केट-ब्रा एक संकारक है, जिसे बाह्य गुणन कहते हैं। इसका अवकल रूपों के बाह्य गुणन से संबंध नहीं है। दो सदिशों ∣φ⟩\ket{\phi} और ∣ψ⟩\ket{\psi} से संकारक ∣φ⟩⟨ψ∣\ket{\phi}\bra{\psi} जोड़ते हैं जिसकी परिभाषा है:

∣φ⟩⟨ψ∣:H→H,∣χ⟩↦∣φ⟩⟨ψ|χ⟩.\begin{aligned} \ket{\phi}\bra{\psi} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{\chi} \mapsto \ket{\phi}\braket{\psi}{\chi}. \end{aligned}
तत्समक संकारक का विघटन।

H\Hilb के तत्समक संकारक को 1\mathbf{1} लिखते हैं और स्पष्ट रूप से 1x=x,∀x∈H\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb द्वारा परिभाषित करते हैं। गणनीय हिल्बर्ट आधार {∣ei⟩}i∈I\{\ket{e_i}\}_{i \in I} में, जहाँ II परिमित या गणनीय अनंत है, तत्समक संकारक 1\mathbf{1} लिखा जाता है:

1=∑i∈I∣ei⟩⟨ei∣\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }

(9)

व्यवहार में यह सूत्र अत्यंत उपयोगी है। इसे तत्समक का विघटन या पूर्णता संबंध भी कहते हैं। दायाँ पक्ष परिमित विमा में परिमित योग और गणनीय अनंत विमा में अभिसारी श्रेणी है। अगणनीय विमा में यह सूत्र असत्य है।

हिल्बर्ट आधार पर प्रसार।

उदाहरण के लिए पिछले सूत्र से पाठ 1 का प्रसार प्रमेय सीधे मिलता है, यदि ψi\psi_i को केट ∣ψ⟩\kpsi का ∣ei⟩\ket{e_i} पर घटक परिभाषित करें:

∣ψ⟩=1∣ψ⟩=∑i∈I⟨ei|ψ⟩∣ei⟩=∑i∈Iψi∣ei⟩\boxed{ \ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{\psi} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} \psi_i \ket{e_i} }

(10)

विमा के अनुसार यह योग या श्रेणी है। केट के प्रसार का ब्रा के लिए संबंधित रूप है:

⟨ψ∣=⟨ψ∣1=∑i∈Iψi∗⟨ei∣\boxed{ \bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \bra{e_i} }

(11)

तब मानक लिखा जाता है:

∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩=∑i∈Iψi∗ψi=∑i∈I∣ψi∣2\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \psi_i = \sum_{i \in I} |\psi_i|^2 }

(12)

टिप्पणी 1 (क्रम पर ध्यान दें!)
केट के घटक ψi=⟨ei|ψ⟩\psi_i = \braket{e_i}{\psi} हैं, ⟨ψ|ei⟩\braket{\psi}{e_i} नहीं, जिसका मान ψi∗\psi_i^* है। हर्मिशियन आंतरिक गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, इसलिए क्रम का ध्यान रखना चाहिए। सामान्य यूक्लिडीय आंतरिक गुणन वाले Rn\mathbb{R}^n में सदिश v⃗\vec{v} का घटक viv_i, vi=v⃗⋅e⃗iv_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i से मिलता है। इससे लग सकता है कि क्वांटम सूत्र ψi=⟨ψ|ei⟩\psi_i = \braket{\psi}{e_i} होगा, लेकिन ऐसा नहीं है!
कुछ विशेष संकारक।

अगला विषय हिल्बर्ट समष्टि पर रैखिक संकारकों का सिद्धांत विस्तार से बताता है। फिर भी आगे के लिए कुछ बहुत सामान्य मामले दर्ज करते हैं। H→H\Hilb \to \Hilb के संकारकों में विशेष रूप से होंगे:

  1. A^\hat A, हर्मिशियन या स्व-संलग्न, यदि A^†=A^\hat{A}^\dagger = \hat{A};
  2. U^\hat U, एकात्मक, यदि U^†=U^−1\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1};
  3. P^\hat P, प्रक्षेपक, यदि P^2=P^\hat{P}^2 = \hat{P};
  4. P^\hat P, लंबकोणीय प्रक्षेपक, अर्थात स्व-संलग्न प्रक्षेपक।

एकात्मक संकारक एकैकी आच्छादक, रैखिक होते हैं और आंतरिक गुणन को सुरक्षित रखते हैं। इसलिए हम इन्हें पहले देख चुके हैं: ये समदूरी समरूपण हैं। यहाँ विशेष रूप से समदूरी स्वसमरूपण हैं, क्योंकि केवल H\Hilb से अपने-आप में रैखिक संकारकों की चर्चा है।

2. परिमित विमा का सूत्रपत्र

हिल्बर्ट समष्टि की विमा nn परिमित हो तो क्वांटम गणना के नियम और स्पष्ट किए जा सकते हैं। पहले, पिछले अनुभाग के सभी सूत्र मान्य हैं; उनमें आए योगों को परिमित योग लिखना है: ∑i⟶∑i=1n\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}।

इसके अलावा, एक प्रसामान्य लंबकोणीय आधार B=(∣ei⟩)i=1n\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n चुनने के बाद डिरैक संकेतन स्पष्ट आव्यूह गणना से मेल खाता है, जिसका विवरण अब देंगे। ध्यान दें कि निम्न बातें अनंत विमा में बिल्कुल अर्थहीन हैं।

स्तंभ सदिशों के रूप में केट।

आधार B\mathcal{B} के केटों को विहित रूप में (n,1)(n,1) आव्यूहों, जिन्हें स्तंभ सदिश भी कहते हैं, द्वारा निरूपित करें:

∣ei⟩=(0⋮010⋮0)B\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

जहाँ 11, ii-वें स्थान पर है। बीजीय प्रसार

∣v⟩=∑i=1nvi∣ei⟩,\ket{v} = \sum_{i=1}^n v_i \ket{e_i},

से सभी केटों का स्तंभ सदिश रूप मिलता है। ∣v⟩∈H\ket{v} \in \mathcal{H} के लिए लिखते हैं:

∣v⟩=(v1v2⋮vn)B∈Cn,\ket{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

जहाँ आवश्यकता न होने पर प्रसार में प्रयुक्त आधार B\mathcal{B} का उल्लेख छोड़ देंगे। घटक लंबकोणीय प्रक्षेपों द्वारा मिलते हैं:

vi=⟨ei|v⟩\boxed{v_i = \braket{e_i}{v}}

(13)

संयुग्मी पंक्ति सदिशों के रूप में ब्रा।

सदिश uu से संबंधित रैखिक प्रकार्यक φu\varphi_u को हर सदिश vv के लिए संतुष्ट करना चाहिए:

φu(v)=⟨u,v⟩=∑i=1nui∗vi,\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i,

जो हर्मिशियन आंतरिक गुणन की बाईं ओर प्रति-रैखिकता से आता है। इस योग को आव्यूह गुणन बनाने के लिए ⟨u∣\bra{u}, uu के संयुग्मी निर्देशांकों का पंक्ति सदिश होना चाहिए:

⟨u∣=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗),\begin{aligned} \bra{u} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix}, \end{aligned}

क्योंकि तब आंतरिक गुणन ⟨u|v⟩\braket{u}{v} सामान्य आव्यूह गुणन से मिलता है:

⟨u|v⟩=⟨u∣⋅∣v⟩=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗)⋅(v1v2⋮vn)=∑i=1nui∗vi∈C.\begin{aligned} \braket{u}{v} = \bra{u} \cdot \ket{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

अतः ब्रा ⟨u∣\bra{u}, केट ∣u⟩\ket{u} का परिवर्त-संयुग्मी, अर्थात « संयुग्मी परिवर्त » है। इसलिए परिमित विमा में dagger संक्रिया संयुग्मी परिवर्त लेने के बराबर है:

∣u⟩†=∣u⟩∗⊤=⟨u∣\boxed{\ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u}^*} = \bra{u}}

(14)

अनंत विमा में यह गलत है और अर्थपूर्ण भी नहीं होगा, क्योंकि परिवर्त परिभाषित नहीं है1।

टिप्पणी 1: अधिक से अधिक, समष्टि ℓ2(N)\ell^2(\N) और अनुभाग 3.2 (विषय 2, पाठ 1) में विस्तार से बताए उसके विहित आधार में, अनंत स्तंभ या पंक्ति सदिश लेकर तथा परिमित योगों को अभिसारी श्रेणियों से बदलकर स्थिति काफी समान होती है। यह सहज समझ बनाने में उपयोगी हो सकता है, पर कठोर अर्थ में ये आव्यूह नहीं हैं। L2(R)L^2(\R) में इसका कोई अर्थ नहीं रह जाता, यद्यपि वहाँ भी समाकल आधारित अनुरूप मौजूद है; अगला पाठ देखें।
संकारकों का आव्यूह निरूपण।

परिमित विमा में प्रसामान्य लंबकोणीय आधार {∣ei⟩}i=1n\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n के सापेक्ष हर रैखिक संकारक A^\hat{A} इस प्रकार विघटित होता है:

A^=∑i,j=1nAij ∣ei⟩⟨ej∣,\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

(15)

इससे परिमित विमा में रैखिक संकारक A^\hat{A}, टोपी के साथ, और उसका आव्यूह AA, टोपी के बिना, स्वाभाविक रूप से पहचाने जाते हैं। ऊपर का सूत्र डिरैक औपचारिकता में आव्यूह प्रसार A=∑ijAijEijA = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij} का समकक्ष है, जहाँ EijE_{ij} वह प्राथमिक आव्यूह है जिसके स्थान (i,j)(i,j) पर 11 और अन्यत्र शून्य हैं। यहाँ EijE_{ij} इसलिए संकारक ∣ei⟩⟨ej∣\ket{e_i} \bra{e_j} का निरूपक आव्यूह है। गुणांक AijA_{ij} को स्वाभाविक रूप से आधार {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\} में संकारक A^\hat{A} के आव्यूह अवयव कहते हैं। इनके मान हैं:

Aij=⟨ei|A^ej⟩A_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}} e_j}

लेकिन रूप की सुंदरता के लिए अधिकतर लिखते हैं:

Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩.\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(16)

तत्समक संकारक का आव्यूह निश्चय ही तत्समक आव्यूह है और उसके आव्यूह अवयव δij\delta_{ij}, अर्थात क्रोनेकर चिह्न, हैं।

संकारक का ट्रेस।

आगे संकारक A^\hat{A} का ट्रेस अक्सर लेना होगा। डिरैक संकेतन में इसकी गणना है:

Tr(A^)=∑i=1n⟨ei∣A^∣ei⟩=∑i=1nAii.\boxed{\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_{i=1}^n \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_i} = \sum_{i=1}^n A_{ii}.}

(17)

यह व्यंजक प्रसामान्य लंबकोणीय आधार के चुनाव से स्वतंत्र है।

संलग्न और संयुग्मी परिवर्त।

परिमित विमा में संलग्न A^†\hat{A}^\dagger का निरूपक आव्यूह संकारक A^\hat{A} के निरूपक आव्यूह का संयुग्मी परिवर्त है:

A†=(A∗)⊤.\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}.}

(18)

यहाँ एक छोटा प्रमाण देते हैं, क्योंकि इससे ऊपर के गणना नियमों का व्यावहारिक प्रयोग दिखता है। परिभाषा से A^†\hat{A}^\dagger के आव्यूह अवयव हैं:

(A^†)ij=⟨ei|A^†ej⟩.(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

लेकिन संलग्न की परिभाषा से:

⟨ei|A^†ej⟩=⟨A^ei|ej⟩\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

हर्मिशियन सममिति से ⟨A^ei|ej⟩=⟨ej|A^ei⟩∗\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^* मिलता है, जो आव्यूह अवयव Aji∗A_{ji}^* के अतिरिक्त कुछ नहीं। अतः:

(A†)ij=Aji∗=(A∗⊤)ij(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

और गुण सिद्ध हुआ। इसलिए परिमित विमा में स्पष्ट आव्यूह गणना से जाँच सकते हैं कि संकारक हर्मिशियन है, एकात्मक है, इत्यादि।

3. संदर्भ

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