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हिल्बर्ट समष्टियाँ और डिराक संकेतन

हिल्बर्ट समष्टियों की संरचना, सांस्थितिक द्वैत तथा परिमित और अनंत विमाओं में डिराक संकेतन।

हिल्बर्ट समष्टियाँ

गणितीय संरचनाएँ: सदिश समष्टियाँ, दूरीक समष्टियाँ, नॉर्म, नॉर्मयुक्त सदिश समष्टियाँ, आंतरिक गुणनफल, पूर्व-हिल्बर्ट समष्टि, हिल्बर्ट समष्टि, बीजगणितीय आधार, हिल्बर्ट आधार, विमा, वर्गीकरण, प्रतिरूप समष्टियाँ, समरूपताएँ

हिल्बर्ट समष्टिनॉर्मयुक्त समष्टिहर्मिशियन आंतरिक गुणनफलबीजगणितीय विमाहिल्बर्ट विमाहिल्बर्ट आधारपूर्णताहिल्बर्ट समष्टियों का वर्गीकरण

इस पाठ में हिल्बर्ट समष्टियों को सटीक रूप से परिभाषित करेंगे। पहले बताएँगे कि बीजगणित और टोपोलॉजी की बड़ी गणितीय शाखाओं में वे कहाँ और कैसे आती हैं। हम वर्गीकरण प्रमेय तक पहुँचेंगे: समान हिल्बर्ट विमा वाली दो समष्टियाँ समदूरी समरूपी हैं। हिल्बर्ट विमा को सदिश समष्टि की बीजीय विमा से न मिलाएँ, क्योंकि वे केवल परिमित विमा में समान हैं। परिमित, गणनीय अनंत और अगणनीय अनंत विमाओं के मानक मॉडल देंगे और प्रारंभिक क्वांटम यांत्रिकी में उनके उपयोग का परिचय कराएँगे। अंत में चर्चा खोलेंगे कि समरूपता से जुड़ी हिल्बर्ट समष्टियों द्वारा परिभाषित भौतिकी अपरिवर्तित रहती है या नहीं।

1. भौतिकी में गणितीय संरचनाएँ

हिल्बर्ट समष्टि तक पहुँचने के लिए सैद्धांतिक भौतिकी में प्रचलित “गणित के नक्शे” का संक्षिप्त पुनरावलोकन करें। अगले पृष्ठ का नक्शा अत्यंत सरल और बहुत अधिक अपूर्ण है, लेकिन इस पाठ्यक्रम के लिए पर्याप्त है; चित्र (1) देखें।

यदि बिंदुओं के समुच्चय की सहज अवधारणा से शुरू करें1, तो उसमें धीरे-धीरे संरचना जोड़ते हैं। आगे इस आरेख को क्रमशः समझाएँगे।

टिप्पणी 1: इस विषय पर बहुत कुछ कहा जा सकता है, पर वह यहाँ अप्रासंगिक है; औपचारिक तर्क और विधेय कलन देखें।
मूलभूत भौतिकी की कुछ गणितीय संरचनाओं का चित्रात्मक मार्गदर्शक। A B की काली ठोस रेखाएँ बताती हैं कि प्रसंगानुसार B, A की उपसंरचना या उपसमुच्चय है। बिंदीदार रेखा का अर्थ है कि B बनाने में A की अवधारणाएँ चाहिए। बैंगनी तीर और पाठ भौतिक उपयोगों के लिए हैं। दाईं ओर अवकल ज्यामिति की शाखा प्रारंभिक क्वांटम यांत्रिकी में तुरंत आवश्यक नहीं।
चित्र 1. मूलभूत भौतिकी की कुछ गणितीय संरचनाओं का चित्रात्मक मार्गदर्शक। A →\to B की काली ठोस रेखाएँ बताती हैं कि प्रसंगानुसार B, A की उपसंरचना या उपसमुच्चय है। बिंदीदार रेखा का अर्थ है कि B बनाने में A की अवधारणाएँ चाहिए। बैंगनी तीर और पाठ भौतिक उपयोगों के लिए हैं। दाईं ओर अवकल ज्यामिति की शाखा प्रारंभिक क्वांटम यांत्रिकी में तुरंत आवश्यक नहीं।

1.1. बीजीय संरचनाएँ और सदिश समष्टियाँ

बिंदु समुच्चयों से सीधे नक्शे (1) की बाईं शाखा, बीजीय संरचनाओं, में जा सकते हैं। वे सामान्यतः संख्या समुच्चय बताती हैं, लेकिन उपयोग केवल यही नहीं है।

इसके लिए समुच्चय में एक या अधिक आंतरिक संक्रियाएँ जोड़ते हैं। जब ये साहचर्य, क्रमविनिमेयता, तत्समक के अस्तित्व आदि नियमों को पूरा करती हैं, तो विशिष्ट संरचनाएँ मिलती हैं।

चित्र में कुछ मूल संरचनाएँ हैं: मैग्मा—एक आंतरिक संक्रिया वाला समुच्चय, बिना किसी खास गुण की माँग के—समूह, वलय और क्षेत्र। अर्धसमूह, मोनॉइड और अक्रमविनिमेय वलय जैसी बहुत-सी अन्य संरचनाएँ भी हैं, जिन्हें सरलता के लिए नहीं दिखाया। हर संरचना पिछली की विशिष्ट अवस्था है: हर क्षेत्र वलय है, हर वलय योग के लिए समूह है, आदि। क्षेत्र सबसे महत्वपूर्ण है, क्योंकि सामान्य चार गणितीय क्रियाओं के साथ वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं की यही संरचना है। इसी के ऊपर सदिश समष्टियाँ बनती हैं।

परिभाषा 1 (सदिश समष्टि)
क्षेत्र K\mathbb{K} पर सदिश समष्टि EE ऐसा समुच्चय है जिसमें दो संक्रियाएँ हों:
  1. योग: +:E×E→E+: E \times E \to E, (x,y)↦x+y(x,y) \mapsto x+y,
  2. अदिश गुणन: K×E→E\mathbb{K} \times E \to E, (α,x)↦αx(\alpha,x) \mapsto \alpha x,

जो सामान्य अभिगृहीत पूरे करें: क्रमविनिमेयता, साहचर्य, शून्य सदिश और विपरीत सदिशों का अस्तित्व, वितरण आदि।

तब रैखिक संयोजन, रैखिकतः स्वतंत्र और जनक परिवार, आधार तथा विमा की बात कर सकते हैं। इस अध्याय में दो आधार अवधारणाएँ अलग रखनी हैं: बीजीय आधार, जो हर सदिश समष्टि पर लागू है, और हिल्बर्ट आधार, जो केवल हिल्बर्ट समष्टि पर लागू है। परिमित विमा में दोनों समान हैं, अनंत विमा में नहीं। इसी प्रकार बीजीय और हिल्बर्ट विमा में भेद करना चाहिए। इसलिए आगे के लिए कुछ बातें दोहराएँगे।

परिभाषा 2 (बीजीय आधार)
मानें EE, क्षेत्र K\mathbb{K} पर सदिश समष्टि है। परिवार (ei)i∈I(e_i)_{i \in I}, EE का बीजीय आधार है यदि हर x∈Ex \in E अद्वितीय रूप से परिवार के अवयवों का परिमित रैखिक संयोजन हो। यहाँ II की गणनसंख्या आवश्यक नहीं कि परिमित हो: x=∑i∈Fαiei,F⊂I,F परिमित, αi∈K.x = \sum_{i \in F} \alpha_i e_i, \quad F \subset I, F \text{ परिमित}, \ \alpha_i \in \mathbb{K}.

यह दूसरी सामान्य परिभाषा के समतुल्य है: परिवार (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} आधार है तभी और केवल तभी जब रैखिकतः स्वतंत्र हो और EE को जनित करे। आधार से सदिश समष्टि की विमा परिभाषित होती है।

परिभाषा 3 (सदिश समष्टि की बीजीय विमा)
विमा अपरिवर्तिता प्रमेय के अनुसार एक ही सदिश समष्टि EE के सभी बीजीय आधारों की गणनसंख्या समान है। EE के सभी आधारों की इस समान गणनसंख्या को EE की विमा कहते हैं।
  • यदि EE का nn सदिशों वाला परिमित आधार है, तो EE की विमा nn है।
  • यदि EE का परिमित आधार नहीं, तो EE अनंत-विमीय है।

अनंत विमा में भी बीजीय आधार की परिभाषा हर सदिश को आधार सदिशों के परिमित योग में लिखने की माँग करती है। वास्तव में, अभी अनंत योग के विघटन की अनुमति नहीं दे सकते, क्योंकि योग के अभिसरण को जानना आवश्यक है, जिसके लिए टोपोलॉजी चाहिए। हिल्बर्ट समष्टि में यह संभव होगा और उपयुक्त हिल्बर्ट आधार की अवधारणा देगा; अनुभाग 2.3 देखें।

स्वाभाविक प्रश्न है: कितनी अलग सदिश समष्टियाँ हैं और क्या उनका वर्गीकरण संभव है? बीजीय रूप से हाँ। इसके लिए तुल्यता संबंध चाहिए: सदिश समष्टि समरूपता, अर्थात EE और FF के बीच रैखिक संरचना सुरक्षित रखने वाला एक-एक संगतता संबंध:

परिभाषा 4 (सदिश समष्टियों की समरूपता)
मानें EE और FF एक ही क्षेत्र K\mathbb{K} पर सदिश समष्टियाँ हैं। प्रतिचित्रण T:E→FT : E \to F समरूपता है यदि:
  1. TT रैखिक है: हर (x,y)∈E2(x,y) \in E^2 और α∈K\alpha \in \mathbb{K} के लिए, T(x+y)=T(x)+T(y),T(αx)=αT(x),T(x+y) = T(x) + T(y), \quad T(\alpha x) = \alpha T(x),
  2. TT एकैकी और आच्छादक है।

तब E≃FE \simeq F लिखते हैं और T−1:F→ET^{-1} : F \to E मौजूद तथा रैखिक है।

टिप्पणी: यह परिभाषा पूरी तरह बीजीय है। EE और FF में सदिश संरचना से संगत टोपोलॉजी हो तो टोपोलॉजिकल समरूपता अलग है: अतिरिक्त रूप से TT और T−1T^{-1} दोनों सतत होने चाहिए। नॉर्मित और हिल्बर्ट समष्टियों में इस पर लौटेंगे।

तब प्रमुख प्रमेय है:

प्रमेय 1 (परिमित विमा में वर्गीकरण)
K\mathbb{K} पर दो परिमित-विमीय सदिश समष्टियाँ समरूपी हैं तभी और केवल तभी जब उनकी विमा समान हो। विशेषतः K\mathbb{K} पर हर nn-विमीय समष्टि Kn\mathbb{K}^n से समरूपी है।

इसलिए K=R\mathbb{K} = \R या C\C पर परिमित विमा nn की सदिश समष्टि का व्यवहारतः एक ही मॉडल है: क्रमशः Rn\R^n या Cn\C^n, अर्थात वास्तविक या सम्मिश्र घटकों वाले nn-सदिशों का समुच्चय।

अनंत विमा में भी वर्गीकरण का सिद्धांत वही है। चयन अभिगृहीत स्वीकार करें तो हर सदिश समष्टि का आधार, जिसे हैमल आधार कहते हैं, सिद्ध होता है। सामान्य प्रमेय है: एक ही क्षेत्र K\mathbb{K} पर समष्टियाँ समरूपी हैं तभी और केवल तभी जब उनके आधारों की गणनसंख्या समान हो।

अनंत आधार की गणनसंख्या परिमितातीत कार्डिनलों से व्यक्त होती है, जो अनंत के अलग “आकार” बताते हैं। सबसे छोटा अनंत कार्डिनल ℵ0\aleph_0 है: N\mathbb{N} की, और साथ ही Z\mathbb{Z} तथा Q\mathbb{Q} की गणनसंख्या। फिर ℵ0<ℵ1<ℵ2<⋯\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots का क्रम पुनरावर्ती रूप से बनता है, जिसमें ℵn+1\aleph_{n+1}, ℵn\aleph_n से कड़ाई से बड़ा सबसे छोटा कार्डिनल है; बीच में कोई नहीं। गणितीय तर्क की सातत्य परिकल्पना मानती है कि N\mathbb{N} और R\mathbb{R} के बीच कोई मध्यवर्ती अनंत गणनसंख्या नहीं; तब ℵ1\aleph_1, R\mathbb{R} की गणनसंख्या है।

लेकिन इस वर्गीकरण का व्यावहारिक उपयोग सीमित है, क्योंकि हैमल आधार सामान्यतः स्पष्ट रूप से नहीं बनाया जा सकता। इसलिए सदिश समष्टियों का वर्गीकरण मुख्यतः सैद्धांतिक है। नॉर्मित और हिल्बर्ट समष्टियों में स्थिति बदलती है: कम से कम परिमित या गणनीय अनंत हिल्बर्ट विमा में प्रसामान्य-लंबवत आधार स्पष्ट दिए जा सकते हैं; अनुभाग 3 देखें।

हिल्बर्ट समष्टियों तक पहुँचने से पहले नक्शे की मध्य शाखा पर चलकर मीट्रिक और नॉर्मित समष्टियाँ समझनी होंगी।

1.2. मीट्रिक और नॉर्मित समष्टियाँ

नक्शे (1) की मध्य शाखा पर पहले बिंदु समुच्चय को टोपोलॉजी देते हैं। इसका विस्तार नॉर्मित और हिल्बर्ट समष्टियों की टोपोलॉजी वाले अलग अध्याय में होगा। अभी याद रखें कि टोपोलॉजी स्थानीयता की अवधारणा देती है, जिससे अभिसरण, सीमा और सातत्य परिभाषित होते हैं। विशेषतः मीट्रिक समष्टियाँ टोपोलॉजिकल हैं: वे दूरी वाले बिंदु समुच्चय हैं और दूरी से स्थानीयता बनती है।

परिभाषा 5 (मीट्रिक समष्टि)
मीट्रिक समष्टि युग्म (X,d)(X,d) है, जहाँ XX समुच्चय है और d:X×X→R+d : X \times X \to \mathbb{R^+} दूरी है, जो हर (x,y,z)∈X3(x,y,z) \in X^3 के लिए पूरी करती है: d(x,y)≥0,d(x,y)=0  ⟺  x=y,d(x,y)=d(y,x),(सममिति)d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).(त्रिभुज असमानता)\begin{aligned} & d(x,y) \geq 0, \quad d(x,y) = 0 \iff x=y, \\[0.5em] & d(x,y) = d(y,x), \quad \textrm{(सममिति)}\\[0.5em] & d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z). \quad \textrm{(त्रिभुज असमानता)} \end{aligned}

अब नक्शे 1 की बीजीय और टोपोलॉजिकल शाखाएँ जोड़ सकते हैं: उन मीट्रिक समष्टियों को लें जिनका मूल समुच्चय XX सदिश समष्टि हो, अर्थात दूरी वाली सदिश समष्टियाँ। इससे क्वांटम यांत्रिकी की मूलभूत संरचना नॉर्मित सदिश समष्टि मिलती है, जिसका विशेष मामला हिल्बर्ट समष्टि है।

हर दूरी की अनुमति नहीं चाहिए। समष्टि रैखिक है, इसलिए दूरी सदिश संरचना से संगत होनी चाहिए:

परिभाषा 6 (सदिश संरचना से संगत दूरी)
मानें EE, K\mathbb{K} पर सदिश समष्टि और dd, EE पर मीट्रिक है। dd सदिश संरचना से संगत है यदि:
  1. स्थानांतरण अपरिवर्तिता: d(x+z,y+z)=d(x,y)d(x+z, y+z) = d(x,y) हर (x,y,z)∈E3(x,y,z) \in E^3 के लिए
  2. समघातता: d(λx,λy)=∣λ∣d(x,y)d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda| d(x,y) हर (x,y)∈E2(x,y) \in E^2 और λ∈K\lambda \in \mathbb{K} के लिए

ये शर्तें बताती हैं कि दूरी सदिश समष्टि की ज्यामिति का सम्मान करती है: स्थानांतरण में अपरिवर्ती, यानी स्थान समांगी, तथा समरूप विस्तार दूरी के अनुपात बनाए रखते हैं2  3। अब अगला कथन नॉर्मित समष्टि देता है: यदि dd, सदिश समष्टि EE पर संगत मीट्रिक है, तो मूल बिंदु, अर्थात शून्य सदिश तक दूरी ∥x∥=d(x,0E)\norm{x} = d(x, 0_E) एक नॉर्म है।

टिप्पणी 2: लग सकता है कि घूर्णन अपरिवर्तिता भी चाहिए, लेकिन उससे केवल यूक्लिडीय जैसे समदैशिक नॉर्म बचेंगे और समतल का ∥x∥=x12+4x22\norm{x} = \sqrt{x_1^2 + 4 x_2^2} बाहर हो जाएगा, जो विषमदैशिक होते हुए भी सही नॉर्म है।
टिप्पणी 3: इसके लिए K\mathbb{K} में निरपेक्ष मान भी चाहिए, अर्थात मूल्यांकित क्षेत्र। आगे व्यवहारतः R\R का सामान्य निरपेक्ष मान और C\C का मापांक लेंगे।
प्रमाण.
वास्तव में यह नॉर्म को परिभाषित करने वाले गुण पूरा करता है:
  1. ∥x∥≥0\|x\| \geq 0 और ∥x∥=0  ⟺  x=0E\|x\| = 0 \iff x = 0_E
  2. ∥λx∥=∣λ∣∥x∥\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\| हर x∈Ex \in E और λ∈K\lambda \in \mathbb{K} के लिए
  3. ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| हर (x,y)∈E2(x,y) \in E^2 के लिए

ऐसी दूरी वाली सदिश समष्टि नॉर्मित सदिश समष्टि है:

परिभाषा 7 (नॉर्मित सदिश समष्टि)
नॉर्मित सदिश समष्टि युग्म (E,∥⋅∥)(E, \|\cdot\|) है, जहाँ EE सदिश समष्टि और ∥⋅∥\|\cdot\|, EE पर नॉर्म है। इस नॉर्म से वह टोपोलॉजिकल समष्टि बनती है।

हर नॉर्मित सदिश समष्टि (E,∥⋅∥)(E, \|\cdot\|), d(x,y)=∥x−y∥d(x,y) = \|x-y\| द्वारा मानक रूप से मीट्रिक समष्टि (E,d)(E, d) देती है, जो स्वतः सदिश संरचना से संगत है। इस प्रकार नॉर्मित सदिश समष्टियाँ मीट्रिक समष्टियों के एक खास उपवर्ग से एक-एक अनुरूप हैं, और इसी अर्थ में उसका उपसमुच्चय हैं।

2. हिल्बर्ट समष्टियाँ

हम चित्र (1) की नॉर्मित समष्टियों तक आ गए। नॉर्मित सदिश समष्टि को अक्सर केवल नॉर्मित समष्टि कहते हैं; फ्रेंच में संक्षेप EVN भी प्रचलित है। आगे पूर्व-हिल्बर्ट समष्टियाँ, फिर क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय ढाँचा देने वाली हिल्बर्ट समष्टियाँ परिभाषित करेंगे।

क्वांटम यांत्रिकी सम्मिश्र संख्याओं पर बनी है, इसलिए अब K=C\mathbb{K} = \C तक सीमित रहेंगे। अब तक सदिश और नॉर्मित समष्टियों के लिए EE तथा FF लिखे हैं। आगे (पूर्व-)हिल्बर्ट के लिए H\mathcal{H} और G\mathcal{G} लिखेंगे। सदिश पहले जैसे x,y,zx, y, z आदि होंगे।

2.1. पूर्व-हिल्बर्ट समष्टि और आंतरिक गुणनफल

पूर्व-हिल्बर्ट समष्टि वह नॉर्मित सदिश समष्टि है जिसका नॉर्म आंतरिक गुणनफल से निकलता है। हर नॉर्म ऐसा नहीं होता। उदाहरणतः सुप्रीमम नॉर्म आंतरिक गुणनफल से नहीं मिलता4। इसलिए पूर्व-हिल्बर्ट समष्टियाँ नॉर्मित सदिश समष्टियों का वास्तविक उपवर्ग हैं। C\C पर हर्मिशियन आंतरिक गुणनफल की परिभाषा दोहराएँ:

टिप्पणी 4: जैसे Cn\C^n पर सुप्रीमम नॉर्म ∥x∥∞=max⁡i∣xi∣\|x\|_\infty = \max_i |x_i| है। दिखाया जा सकता है कि वह समांतर चतुर्भुज सर्वसमिका ∥x+y∥2+∥x−y∥2=2(∥x∥2+∥y∥2)\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2), पूरी नहीं करता, जबकि आंतरिक गुणनफल से आए नॉर्म को वह हमेशा पूरी करनी चाहिए। [5] भी देखें।
परिभाषा 8 (C\C-सदिश समष्टि पर हर्मिशियन आंतरिक गुणनफल)
सम्मिश्र सदिश समष्टि H\mathcal{H} पर हर्मिशियन आंतरिक गुणनफल प्रतिचित्रण है ⟨⋅,⋅⟩:H×H→C\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathcal{H} \times \mathcal{H} \to \mathbb{C}, जो पूरा करता है:
  1. दूसरे तर्क में रैखिकता: ∀(x,y,z)∈H3,∀(λ,μ)∈C2\forall (x, y, z) \in \mathcal{H}^3, \forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2,

    ⟨x,λy+μz⟩=λ⟨x,y⟩+μ⟨x,z⟩\langle x, \lambda y + \mu z \rangle = \lambda \langle x, y \rangle + \mu \langle x, z \rangle

    (1)

  2. हर्मिशियन सममिति: ∀(x,y)∈H2\forall (x, y) \in \mathcal{H}^2,

    ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩∗\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle^*

    (2)

  3. धनात्मक निश्चितता: ∀x∈H\forall x \in \mathcal{H},

    ⟨x,x⟩≥0और⟨x,x⟩=0⇔x=0H\langle x, x \rangle \geq 0 \quad \text{और} \quad \langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0_{\H}

    (3)

गुण (1) और (2) मिलकर पहले तर्क में संयुग्मी रैखिकता, या प्रतिरैखिकता, देते हैं5: ⟨λx+μy,z⟩=λ∗⟨x,z⟩+μ∗⟨y,z⟩\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle। एक तर्क में रैखिक और दूसरे में संयुग्मी रैखिक प्रतिचित्रण सेस्क्विलीनियर कहलाता है6। आगे केवल आंतरिक गुणनफल कहेंगे; हर्मिशियन होना निहित है।

टिप्पणी 5: गणितज्ञ सामान्यतः उलटी परिपाटी लेते हैं: पहले तर्क में रैखिक, दूसरे में संयुग्मी रैखिक। इससे मूल गुण नहीं बदलते।
टिप्पणी 6: R\mathbb{R}-सदिश समष्टि में संयुग्म आवश्यक नहीं और आंतरिक गुणनफल केवल द्विरैखिक होता है।

एक महत्वपूर्ण टोपोलॉजिकल परिणाम पहले बता दें: आंतरिक गुणनफल दोनों चरों में सतत है। यदि नॉर्म के अर्थ में xn→xx_n \to x और yn→yy_n \to y, अर्थात ∥xn−x∥→0\|x_n - x\| \to 0 और ∥yn−y∥→0\|y_n - y\| \to 0, तो

⟨xn,yn⟩→⟨x,y⟩ में C\langle x_n, y_n \rangle \to \langle x, y \rangle \text{ में } \C

क्वांटम मापन की अभिधारणाओं में देखेंगे कि अवस्था ψ\psi में स्थित तंत्र के लिए आइगेनसदिश φ\phi से जुड़े भौतिक परिणाम की प्रायिकता ∣⟨φ,ψ⟩∣2|\langle \phi , \psi \rangle|^2 है (अनुभाग 1.2 (विषय 3, पाठ 1, इस भाषा में उपलब्ध नहीं) देखें)। इसलिए सातत्य सुनिश्चित करता है कि अवस्था ψ\psi का छोटा बदलाव प्रायिकताओं में छोटा बदलाव ही लाए, जैसा वांछित है।

आंतरिक गुणनफल एक और मूल गुण पूरा करता है:

प्रमेय 2 (कौशी–श्वार्ज असमानता)
H2\mathcal{H}^2 के सभी सदिशों xx और yy के लिए:

∣⟨x,y⟩∣⩽∥x∥ ∥y∥|\langle x,y\rangle |\leqslant \|x\|\ \|y\|

(4)

जहाँ ∥x∥  =def  ⟨x,x⟩\|x\| \equiv \sqrt{\langle x, x \rangle}।

विशेषतः इससे सिद्ध होता है कि प्रतिचित्रण x↦∥x∥=⟨x,x⟩x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} वास्तव में नॉर्म है, जैसा संकेत बताता है।

प्रमाण.
नॉर्म की तीन शर्तें जाँचें। ∥x∥2=⟨x,x⟩≥0\|x\|^2 = \langle x, x \rangle \geq 0, और समानता तभी जब x=0Hx = 0_{\H}; यह सीधे आंतरिक गुणनफल की परिभाषा है। साथ ही ∥λx∥=⟨λx,λx⟩=∣λ∣2⟨x,x⟩=∣λ∣∥x∥\|\lambda x\| = \sqrt{\langle \lambda x, \lambda x \rangle} = \sqrt{|\lambda|^2 \langle x, x \rangle} = |\lambda| \|x\|। अंत में लिखते हैं ∥x+y∥2=⟨x+y,x+y⟩=∥x∥2+2 ℜ⟨x,y⟩+∥y∥2≤∥x∥2+2∣⟨x,y⟩∣+∥y∥2.\begin{aligned} \|x + y\|^2 &= \langle x+y, x+y \rangle \\ &= \|x\|^2 + 2\,\Re\langle x, y \rangle + \|y\|^2 \\ &\leq \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2. \end{aligned}

कौशी–श्वार्ज ∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥ ∥y∥|\langle x, y \rangle| \leq \|x\|\,\|y\| लगाकर मिलता है:

∥x+y∥2≤∥x∥2+2∥x∥ ∥y∥+∥y∥2=(∥x∥+∥y∥)2,\|x+y\|^2 \leq \|x\|^2 + 2\|x\|\,\|y\| + \|y\|^2 = \bigl(\|x\| + \|y\|\bigr)^2,

और वर्गमूल लेने पर त्रिभुज असमानता मिलती है।

इससे अगली परिभाषा आती है:

परिभाषा 9 (सम्मिश्र पूर्व-हिल्बर्ट समष्टि)
सम्मिश्र पूर्व-हिल्बर्ट समष्टि हर्मिशियन आंतरिक गुणनफल वाली सदिश समष्टि है। ∥x∥=⟨x,x⟩\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} एक नॉर्म है, इसलिए यह नॉर्मित सदिश समष्टि बनती है।

सम्मिश्र पूर्व-हिल्बर्ट H\mathcal{H} में उपयोगी सूत्र हैं।

प्रतिज्ञप्ति 1 (सूत्र-संग्रह)
मानें (x,y)∈H2(x, y) \in \mathcal{H}^2 और (x1,…,xn)(x_1, \dots, x_n), H\mathcal{H} के सदिशों का परिवार है।
  1. पाइथागोरस प्रमेय: ⟨x,y⟩=0  ⟺  ∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2\langle x, y \rangle = 0 \iff \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2। अधिक सामान्यतः, यदि (xi)1≤i≤n(x_i)_{1 \le i \le n} युग्मशः लंबवत हों:

    ∥∑i=1nxi∥2=∑i=1n∥xi∥2\left\| \sum_{i=1}^n x_i \right\|^2 = \sum_{i=1}^n \|x_i\|^2

    (5)

  2. समांतर चतुर्भुज सर्वसमिका:

    ∥x+y∥2+∥x−y∥2=2(∥x∥2+∥y∥2).\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2 \left( \|x\|^2 + \|y\|^2 \right).

    (6)

  3. ध्रुवीकरण सूत्र:

    ⟨x,y⟩=14(∥x+y∥2−∥x−y∥2+i∥x+iy∥2−i∥x−iy∥2)\langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \left( \|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 + i \|x + iy\|^2 - i \|x - iy\|^2 \right)

    (7)

अंतिम दो सूत्र हर्मिशियन आंतरिक गुणनफल और नॉर्म जोड़ने वाले महत्वपूर्ण प्रमेय से जुड़े हैं। फ्रेशे–वॉन न्यूमन–जॉर्डन प्रमेय कहता है कि नॉर्मित समष्टि EE का नॉर्म ∥⋅∥\|\cdot\| आंतरिक गुणनफल से आता है तभी और केवल तभी जब समांतर चतुर्भुज सर्वसमिका पूरी करे। वह सर्वसमिका आंतरिक गुणनफल के अस्तित्व की जाँच है; मौजूद हो तो ध्रुवीकरण सूत्र नॉर्म से उसे पुनर्निर्मित करने की विधि है।

2.2. पूर्णता और हिल्बर्ट समष्टि

पूर्व-हिल्बर्ट से हिल्बर्ट तक जाने के लिए टोपोलॉजी की अनिवार्य अवधारणा है पूर्णता।

परिभाषा 10 (हिल्बर्ट समष्टि)
हिल्बर्ट समष्टि H\mathcal{H} वह पूर्व-हिल्बर्ट समष्टि है जो आंतरिक गुणनफल से उत्पन्न नॉर्म के लिए पूर्ण है: H\mathcal{H} के सभी कौशी अनुक्रम H\mathcal{H} में अभिसरित होते हैं। ये अनुक्रम पूरा करते हैं:

∀ε>0,∃N∈Nऐसा कि∀p≥N∀q≥Nd(xp,xq)<ε,\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \N \quad \textrm{ऐसा कि} \quad \forall p\geq N\quad \forall q\geq N\quad d(x_{p},x_{q})<\varepsilon ,

(8)

जहाँ दूरी नॉर्म से परिभाषित है। nn बढ़ने पर इन अनुक्रमों के पद एक-दूसरे के मनचाहे निकट आते हैं।

इन टोपोलॉजिकल बातों पर संबंधित अध्याय में लौटेंगे। अभी केवल बताएँ कि पूर्णता क्वांटम भौतिकी के लिए आवश्यक है। सहज रूप से पूर्ण समष्टि में “छेद” नहीं होते। H\mathcal{H} के अवयवों का अनुक्रम किसी ऐसी वस्तु तक नहीं पहुँच सकता जो H\mathcal{H} में न हो। परिमेय संख्याओं में यही कमी है: उचित परिमेय अनुक्रम अपरिमेय संख्या तक जा सकता है; वास्तविक संख्याएँ इसी तरह बनती हैं।

क्वांटम यांत्रिकी में तंत्र की हर भौतिक अवस्था हिल्बर्ट का सदिश है और इसका उलटा भी सत्य है। यह पहली अभिधारणा है। इसलिए अवस्था समष्टि पूर्ण न हो तो, उदाहरणतः श्रॉडिंगर समीकरण के अनुसार तरंग फलन का विकास “समष्टि से बाहर” जाकर “गैर-भौतिक अवस्था” बन सकता है, जिसका कोई अर्थ नहीं।

पूर्णता एक और मूल अभिधारणा में आती है: क्वांटम मापन परिणामों को स्व-संयुग्मी रैखिक संकारक के रूप में लिए गए भौतिक प्रेक्षणियों के स्पेक्ट्रम से मेल खाना चाहिए। अपूर्ण समष्टि में संकारक का संयुग्मी हमेशा मौजूद नहीं होता; साथ ही स्व-संयुग्मी संकारकों की संरचना जाँचने वाला स्पेक्ट्रमी प्रमेय भी पूर्णता चाहता है।

अंत में, अनंत योग वाला हर क्वांटम व्यंजक—जैसे फूरिये श्रेणी या आइगेनअवस्था आधार में विघटन—अर्थपूर्ण होने के लिए पूर्णता चाहता है। जैसे डिराक संकेत में ∣ψ⟩=∑n=1∞cn∣n⟩|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle लिखना (अनुभाग 4 (विषय 2, पाठ 2) देखें) श्रेणी के अस्तित्व को मानता है, जिसकी गारंटी पूर्णता ही देती है।

लेकिन अच्छी बात यह है कि पूर्णता की यह सूक्ष्मता केवल अनंत विमा में जरूरी है। परिमित विमा में महत्वपूर्ण प्रमेय प्रश्न सरल करता है:

प्रमेय 3 (परिमित-विमीय नॉर्मित समष्टियों की पूर्णता)
पूर्ण मूल्यांकित क्षेत्र7, जैसे R\mathbb{R} या C\mathbb{C}, पर हर परिमित-विमीय नॉर्मित सदिश समष्टि पूर्ण है। विशेषतः R\R या C\C की परिमित-विमीय पूर्व-हिल्बर्ट समष्टि स्वतः हिल्बर्ट है।
टिप्पणी 7: निरपेक्ष मान वाला ऐसा क्षेत्र जो स्वयं उस मान के लिए पूर्ण हो।

अब हिल्बर्ट समष्टियों के बीजीय वर्णन पर जा सकते हैं।

2.3. बीजीय आधार और हिल्बर्ट आधार

ऊपर बीजीय आधार की परिभाषा दोहराई थी, परिभाषा 2 देखें। वह सदिशों का परिमित योग में विघटन देती है। नॉर्म से टोपोलॉजी और पूर्ण समष्टि जोड़ने का मुख्य विचार है कि अब अनुक्रमों के अभिसरण पर बात कर सकते हैं। खास तौर पर आंशिक योग (xn)(x_n), जहाँ कुछ सदिशों xkx_k के लिए xn=∑k=1nxkx_n = \sum_{k=1}^{n} x_k, का अभिसरण देख सकते हैं। अभिसरण होने पर श्रेणी, अर्थात अनंत योग मिलता है: (xn)→x(x_n) \to x और x=∑k=1∞xkx = \sum_{k=1}^{\infty} x_k। पूर्ण समष्टि में सीमा उसी समष्टि की होती है।

अर्थात जब हिल्बर्ट की बीजीय विमा अनंत हो, अब सदिशों का अनंत श्रेणी में विघटन स्वीकार कर सकते हैं। इससे नया आधार मिलता है:

परिभाषा 11 (हिल्बर्ट आधार)
मानें H\mathcal{H} हिल्बर्ट समष्टि है। परिवार (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} हिल्बर्ट आधार है यदि वह कुल प्रसामान्य-लंबवत परिवार हो, अर्थात:
  1. प्रसामान्य-लंबवत: ⟨ei,ej⟩=δij\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}
  2. कुल: परिमित रैखिक संयोजन H\mathcal{H} में सघन हैं: Vect(ei,i∈I)‾=H,\overline{\mathrm{Vect}(e_i, i \in I)} = \mathcal{H},

    ऊपर की रेखा संवृति बताती है। विस्तार टोपोलॉजी अध्याय में है।

इस परिभाषा के लिए सघनता की टोपोलॉजिकल अवधारणा चाहिए:

परिभाषा 12 (नॉर्मित समष्टि में सघनता)
मानें (X,∥⋅∥X)(X, \|\cdot\|_X) नॉर्मित समष्टि और A⊆XA \subseteq X है। AA, XX में सघन है यदि XX का हर बिंदु AA के बिंदुओं से मनचाही निकटता में अनुमानित हो। अर्थात हर x∈Xx \in X और ε>0\varepsilon > 0 के लिए a∈Aa \in A मिलता है जिससे ∥x−a∥<ε\norm{x -a} < \varepsilon।

यह हिल्बर्ट पर भी लागू है, क्योंकि वह विशेषतः नॉर्मित है। कुलता का अर्थ है कि H\H के हर सदिश को H\H के अवयवों के परिमित रैखिक संयोजन से मनचाहे निकट लाया जा सकता है।

बीजीय आधार के विपरीत, हम नहीं कहते कि हर सदिश ठीक परिमित संयोजन है; वह हिल्बर्ट आधार के संयोजन से जितना चाहें उतना निकट अनुमानित हो सकता है। पूर्णता से ये अनुमान वास्तव में x तक अभिसरित होते हैं। II की किसी भी गणनसंख्या के लिए प्रमेय है:

प्रमेय 4 (विघटन प्रमेय)
यदि (ei)i∈I(e_i)_{i \in I}, H\mathcal{H} का हिल्बर्ट आधार है, तो हर x∈Hx \in \mathcal{H} लिखा जा सकता है:

x=∑i∈I⟨ei,x⟩eix = \sum_{i \in I} \langle e_i, x \rangle e_i

(9)

साथ ही पार्सेवल सर्वसमिका है:

∥x∥2=∑i∈I∣⟨ei,x⟩∣2\|x\|^2 = \sum_{i \in I} |\langle e_i, x \rangle|^2

(10)

यदि II अगणनीय हो, तो योग केवल xx पर निर्भर अधिकतम गणनीय सूचकांक समुच्चय पर है।

हिल्बर्ट आधार की परिभाषा और विघटन प्रमेय का संबंध तुरंत स्पष्ट नहीं है।

प्रमाण.
प्रमाण के दो मुख्य विचार हैं। पहले, कुल प्रसामान्य-लंबवत परिवार {ei}i∈I\{e_i\}_{i \in I} की कुलता से हिल्बर्ट के हर बिंदु xx के लिए अनुमानों का अनुक्रम बनता है। सघनता कहती है कि हर ε>0\epsilon > 0 के लिए परिमित रैखिक संयोजन yε=∑i∈Jαieiy_\epsilon = \sum_{i \in J} \alpha_i e_i है, जहाँ J⊂IJ \subset I परिमित सूचकांक समुच्चय है, ताकि ∣x−yε∣<ε|x - y_\epsilon| < \epsilon।

दूसरा विचार: आंशिक योग SJ=∑i∈J⟨ei,x⟩eiS_J = \sum_{i \in J} \langle e_i, x \rangle e_i, xx का VJ=Vect(ei,i∈J)V_J = \mathrm{Vect}(e_i, i \in J) पर लंबवत प्रक्षेप है। यहाँ बिना प्रमाण लिए प्रक्षेप के गुण से SJS_J, xx तक दूरी न्यूनतम करता है:

∣x−SJ∣=inf⁡y∈VJ∣x−y∣≤∣x−yε∣<ε|x - S_J| = \inf_{y \in V_J} |x - y| \leq |x - y_\epsilon| < \epsilon

इसलिए εn→0\epsilon_n \to 0 अनुक्रम लेने पर परिमित उपसमुच्चयों का अनुक्रम JnJ_n मिलता है जिससे ∥x−SJn∥≤εn\|x - S_{J_n}\| \leq \epsilon_n। अभी प्रमाण पूरा नहीं, क्योंकि JnJ_n आवश्यक नहीं बढ़ता हो। गणनीय स्थिति में JnJ_n को Jn′=J1∪⋯∪JnJ_n' = J_1 \cup \cdots \cup J_n से बदलना पर्याप्त है जिससे परिमित उपसमुच्चयों का बढ़ता अनुक्रम और ∥x−SJn′∥→0\|x - S_{J_n'}\| \to 0 मिलता है, जो वांछित अभिसरण देता है। विस्तार के लिए [6] देखें।

अनंत विमा में बीजीय आधार की गणनसंख्या हमेशा हिल्बर्ट आधार से कड़ाई से बड़ी है। सहज कारण है: बीजीय आधार के परिमित संयोजनों को हर बिंदु xx तक ठीक पहुँचना चाहिए, जबकि हिल्बर्ट आधार में केवल निकट आना है। इसलिए बाद वाला “कम सटीक” है और कम स्वतंत्र दिशाएँ चाहता है।8 अर्थात हिल्बर्ट आधार के परिमित संयोजन समष्टि का बहुत छोटा भाग Vect(ei)⊊H\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H} हैं। सामान्यतः H\mathcal{H} के सदिशों के लिए अभिसारी अनंत श्रेणियाँ चाहिए।

टिप्पणी 8: अधिक सटीक रूप से, यदि H\mathcal{H} का गणनीय हिल्बर्ट आधार, गणनसंख्या ℵ0\aleph_0, हो तो बेयर प्रमेय से बीजीय आधार अनिवार्यतः अगणनीय, कम से कम 2ℵ02^{\aleph_0} गणनसंख्या का होगा।
टिप्पणी 1 (परिमित विमा में आधारों की समतुल्यता)
ऊपर की बात अनंत विमा के लिए है। परिमित विमा nn में दोनों आधार अवधारणाएँ समान हैं। हर हिल्बर्ट आधार बीजीय आधार है और “लगभग उलटे”, ग्राम–श्मिट प्रसामान्य-लंबवतीकरण से हर बीजीय आधार हिल्बर्ट आधार बनता है। प्राप्त परिवार की गणनसंख्या nn है और वह स्वतः कुल है क्योंकि परिमित संयोजनों से पूरी समष्टि जनित करता है। इसलिए विघटन प्रमेय परिमित विमा में तुच्छ है और अनंत विमा में ही सार्थक है।

अंत में क्वांटम भौतिकी के गणित का एक और उपयोगी सूत्र देखें।

प्रतिज्ञप्ति 2 (बेसेल असमानता)
मानें (ei)i∈I(e_i)_{i \in I} प्रसामान्य-लंबवत परिवार है। हर सदिश x∈Hx \in \mathcal{H} के लिए:

∑i∈I∣⟨x,ei⟩∣2≤∥x∥2\sum_{i \in I} |\langle x, e_i \rangle|^2 \leq \|x\|^2

(11)

पार्सेवल समानता तभी और केवल तभी है जब परिवार कुल भी हो।

2.4. हिल्बर्ट विमा और वर्गीकरण

वर्गीकरण पूरा करने के लगभग सभी तत्व हैं। एक मूल अपरिवर्तक बाकी है: हिल्बर्ट विमा।

प्रमेय 5 (हिल्बर्ट विमा)
मानें H\mathcal{H} हिल्बर्ट समष्टि है। निम्न कथन सत्य हैं:
  1. हर हिल्बर्ट समष्टि में कम से कम एक हिल्बर्ट आधार है।
  2. H\mathcal{H} के सभी हिल्बर्ट आधारों की गणनसंख्या समान है।

इसलिए H\mathcal{H} की हिल्बर्ट विमा, संकेत dim⁡(H)\dim(\mathcal{H}), परिभाषित है। वह परिमित, गणनीय अनंत या अगणनीय अनंत है।

अंत में वर्गीकरण के लिए उचित तुल्यता संबंध चाहिए। परिभाषा 4 की सदिश समष्टि समरूपता को पहले नॉर्मित, फिर हिल्बर्ट समष्टियों तक बढ़ाएँगे; अभी सातत्य की सहज अवधारणा पर्याप्त है:

परिभाषा 13 (नॉर्मित और हिल्बर्ट समष्टियों की समरूपता)
मानें EE और FF नॉर्मित सदिश समष्टियाँ तथा T:E→FT : E \to F रैखिक प्रतिचित्रण है।
  • TT, नॉर्मित सदिश समष्टियों की समरूपता, या टोपोलॉजिकल समरूपता, है यदि TT रैखिक और एकैकी-आच्छादक तथा TT और T−1T^{-1} दोनों सतत हों।
  • हिल्बर्ट H\H और G\mathcal{G} के लिए TT, हिल्बर्ट समरूपता, या समदूरी समरूपता, है यदि TT अतिरिक्त रूप से आंतरिक गुणनफल सुरक्षित रखता हो: ⟨T(x),T(y)⟩G=⟨x,y⟩H,∀(x,y)∈H2.\langle T(x), T(y) \rangle_\mathcal{G} = \langle x, y \rangle_{\H}, \quad \forall (x,y) \in \H^2.

    TT को यूनिटरी संकारक भी कहते हैं।

यदि TT आंतरिक गुणनफल सुरक्षित रखता है तो TT स्वतः नॉर्म भी रखता है: ∥T(x)∥G=∥x∥H\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}। इसी कारण इसे रैखिक एकैकी-आच्छादक सममिति कहते हैं। वर्गीकरण की आधारशिला है:

प्रमेय 6 (विमा से अभिलक्षण)
दो हिल्बर्ट समष्टियाँ H1\mathcal{H}_1 और H2\mathcal{H}_2 समदूरी समरूपी हैं तभी और केवल तभी जब हिल्बर्ट विमा समान हो: dim⁡(H1)=dim⁡(H2)\dim(\mathcal{H}_1) = \dim(\mathcal{H}_2)।
उपप्रमेय 1 (हिल्बर्ट समष्टियों का वर्गीकरण।)
समदूरी समरूपता तक निम्न मौजूद हैं:
  1. हर पूर्णांक n≥1n \geq 1 के लिए एक अद्वितीय परिमित-विमीय हिल्बर्ट, विमा nn, जिसका मानक प्रतिनिधि Cn\mathbb{C}^n है, या R\mathbb{R} पर Rn\mathbb{R}^n।
  2. एक अद्वितीय गणनीय अनंत-विमीय हिल्बर्ट, जिसका मानक प्रतिनिधि वर्ग-योग्य अनुक्रमों की समष्टि ℓ2(N)\ell^2(\mathbb{N}) है: ℓ2(N)={(xn)n∈N:∑n=1∞∣xn∣2<∞}\ell^2(\mathbb{N}) = \left\{(x_n)_{n \in \mathbb{N}} : \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty\right\}
  3. हर अगणनीय अनंत कार्डिनल κ≥ℵ1\kappa \geq \aleph_1 के लिए एक अद्वितीय κ\kappa-विमीय हिल्बर्ट, जिसका प्रतिनिधि ℓ2(κ)\ell^2(\kappa) है9।
    टिप्पणी 9: κ\kappa गणनसंख्या वाले सूचकांक समुच्चय II के लिए ℓ2(I)={(xi)i∈I:∑i∈I∣xi∣2<∞}\ell^2(I) = \{(x_i)_{i \in I} : \sum_{i \in I} |x_i|^2 < \infty\} परिभाषित है; योग में अशून्य पद अधिकतम गणनीय हैं।

अब विमा का अर्थ निश्चिततः हिल्बर्ट विमा है। हर हिल्बर्ट इनमें से किसी मॉडल से समदूरी समरूपी है और वर्गीकरण पूर्ण है। अगले अनुभाग में विस्तार करेंगे, अगणनीय अनंत विमा को बहुत बाद के लिए छोड़कर। ये परिमित स्वतंत्रता-कोटि (जैसे स्पिन), गणनीय अनंत (जैसे बिंदु कण की क्वांटम यांत्रिकी) या अगणनीय (जैसे क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) वाले तंत्रों की संदर्भ समष्टियाँ हैं।

टिप्पणी 2 (पृथक्करणीयता और गणनसंख्या)
हिल्बर्ट H\mathcal{H} पृथक्करणीय है यदि उसमें गणनीय सघन उपसमुच्चय हो। सिद्ध कर सकते हैं कि ऐसा तभी और केवल तभी है जब हिल्बर्ट विमा अधिकतम गणनीय, अर्थात परिमित या गणनीय अनंत हो।

इसलिए वर्गीकरण ऐसे भी है: परिमित-विमीय हिल्बर्ट, पृथक्करणीय अनंत-विमीय हिल्बर्ट, या अपृथक्करणीय हिल्बर्ट, जैसा नक्शे चित्र (1) में है।

यह अवधारणा ऊपर के वर्गीकरण के लिए आवश्यक नहीं, लेकिन व्यावहारिक है: स्पष्ट हिल्बर्ट आधार बनाने से पृथक्करणीयता या उसका अभाव दिखाना अक्सर आसान होता है।

3. मॉडल समष्टियाँ

3.1. हिल्बर्ट Cn\C^n

स्पष्ट रूप में यह सम्मिश्र संख्याओं के nn-टुपलों का समुच्चय है:

Cn={x=(x1,x2,...,xn):xi∈C,i=1,...,n}\mathbb{C}^n = \{x = (x_1, x_2, ..., x_n) : x_i \in \mathbb{C}, i = 1, ..., n\}

जिसमें हैं:

  • हर्मिशियन आंतरिक गुणनफल: ⟨x,y⟩=∑i=1nxi∗yi\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i (सम्मिश्र संयुग्म ध्यान दें)
  • संबंधित यूक्लिडीय नॉर्म: ∥x∥=∑i=1n∣xi∣2\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}

यह nn-विमीय नॉर्मित समष्टि पूर्ण है क्योंकि पूर्ण क्षेत्र पर परिमित-विमीय है। इसलिए हिल्बर्ट है। उसका मानक आधार, स्तंभ सदिश के रूप में:

ei=(0⋮010⋮0)(1, iवें स्थान पर है)।e_i = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{(1, iवें स्थान पर है)।}

यह nn गणनसंख्या का हिल्बर्ट आधार और बीजीय आधार भी है: हर सदिश x∈Cnx \in \mathbb{C}^n ठीक परिमित योग में टूटता है:

x=∑i=1nxiei=∑i=1n⟨ei,x⟩eix = \sum_{i=1}^{n} x_i e_i = \sum_{i=1}^{n} \langle e_i , x \rangle e_i

यह हिल्बर्ट उन सभी क्वांटम तंत्रों में काम आता है जिनमें परस्पर अलग पहचानी जा सकने वाली अवस्थाएँ परिमित हों, खास तौर पर द्विस्तरीय तंत्र या क्यूबिट।

3.2. हिल्बर्ट ℓ2(N)\ell^2(\mathbb{N})

यह वर्ग-योग्य अनुक्रमों का समुच्चय है:

ℓ2(N)={x=(xn)n≥1:xn∈C,∑n=1∞∣xn∣2<∞}\ell^2(\mathbb{N}) = \left\{x = (x_n)_{n \geq 1} : x_n \in \mathbb{C}, \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty\right\}

सिद्ध कर सकते हैं कि निम्न देने पर यह हिल्बर्ट है:

  • आंतरिक गुणनफल: ⟨x,y⟩=∑i=1∞xi∗yi\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i (इस बार अनंत योग),
  • संबंधित नॉर्म: ∥x∥=∑i=1∞∣xi∣2\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2} (वही टिप्पणी)

मानक आधार स्पष्ट बनाकर गणनीयता दिखाएँ। यह Cn\C^n के आधार जैसा है। हर i∈Ni \in \mathbb{N} के लिए, फिर स्तंभ सदिश में, परिभाषित करें:

ei=(0,0,…,0,1,0,… ),e_i = (0,0,\dots,0,1,0,\dots),

अर्थात iiवाँ निर्देशांक 11, अन्य 00 हैं। परिमित-विमीय स्थिति से एकमात्र अंतर अनंत घटकों का होना है।

प्रमाण.
{ei}i∈N\{e_i\}_{i \in \mathbb{N}} स्पष्टतः प्रसामान्य-लंबवत और कुल है: अनुक्रम (x1,x2,...)(x_1, x_2, ...) से दिए हर x∈ℓ2(N)x \in \ell^2(\mathbb{N}) के लिए xx को परिमित आंशिक योगों से अनुमानित कर सकते हैं: x(N)=∑i=1Nxiei=(x1,x2,…,xN,0,0,… ).x^{(N)} = \sum_{i=1}^N x_i e_i = (x_1, x_2, \dots, x_N, 0,0,\dots).

वास्तव में अंतर पूरा करता है 10 :

टिप्पणी 10: यह परिणाम उपयोग करते हैं: यदि ∑n=1∞∣xn∣2<∞\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < \infty, तो श्रेणी का शेष शून्य की ओर जाता है: lim⁡N→∞∑n=N+1∞∣xn∣2=0.\lim_{N \to \infty} \sum_{n=N+1}^\infty |x_n|^2 = 0. यह इस तथ्य से जुड़ा है कि बचे अनंत पद अनिवार्यतः अऋणात्मक हैं।
∥x−x(N)∥2=∑i=N+1∞∣xi∣2→N→∞0,\|x - x^{(N)}\|^2 = \sum_{i=N+1}^\infty |x_i|^2 \xrightarrow[N\to\infty]{} 0,

यह बताता है कि eke_k के परिमित संयोजन सघन हैं, परिभाषा 11 देखें। इसलिए {ei}i∈N\{e_i\}_{i \in \mathbb{N}} हिल्बर्ट आधार है, जिसकी गणनसंख्या निर्माण से N\N की है। विघटन प्रमेय से हर सदिश x∈ℓ2(N)x \in \ell^2(\mathbb{N}) लिखा जाता है

x=∑i=1∞xiei=∑i=1∞⟨ei,x⟩eix = \sum_{i=1}^\infty x_i e_i = \sum_{i=1}^\infty \langle e_i, x \rangle e_i

जहाँ श्रेणी ℓ2\ell^2 के नॉर्म में अभिसरित है।

यह हिल्बर्ट उदाहरणतः क्वांटम सरल आवर्त दोलक में प्रयुक्त होता है। आगे देखेंगे कि ऊर्जा आइगेनअवस्थाएँ ऊपर से असीमित पूर्णांक nn से क्रमांकित होती हैं, इसलिए दोलक की हर अवस्था ऐसी श्रेणी है।

3.3. हिल्बर्ट L2(R)L^2(\R)

एकविमीय बिंदु कण की क्वांटम यांत्रिकी में तरंग फलन ψ(x)\psi(x) वास्तविक चर का सम्मिश्र मान वाला फलन है। प्रायिकता व्याख्या माँगती है:

∫Rψ∗(x) ψ(x) dx=1.\int_\R \psi^*(x)\, \psi(x)\, dx = 1.

इसलिए संबद्ध समष्टि को वर्ग-समाकलनीय फलनों का समुच्चय परिभाषित करना स्वाभाविक है:

H=L2(R)={ψ:R→C ∣ ∫R∣ψ(x)∣2 dx<∞}.\mathcal{H} = L^2(\R) = \big\{\psi : \R \to \mathbb{C} \ \big|\ \int_\R |\psi(x)|^2\, dx < \infty \big\}.

“<∞< \infty” बताता है कि अवस्था हमेशा प्रसामान्य की जा सकती है। आंतरिक गुणनफल देते हैं:

⟨ψ,φ⟩=∫Rψ∗(x) φ(x) dx,\langle \psi, \phi \rangle = \int_\R \psi^*(x)\, \phi(x)\, dx,

जो नॉर्म उत्पन्न करता है:

∥ψ∥=⟨ψ,ψ⟩=∫R∣ψ(x)∣2 dx.\|\psi\| = \sqrt{\langle \psi, \psi \rangle} = \sqrt{\int_\R |\psi(x)|^2 \, dx}.

और सिद्ध हो सकता है कि इससे हिल्बर्ट बनता है, हालाँकि यह पूरी तरह तुच्छ नहीं। स्पष्ट हिल्बर्ट आधार दिए जा सकते हैं; हर्माइट, वेवलेट, लागेर, वॉल्श आदि कई ज्ञात हैं। जैसे पहले हर्माइट बहुपद पुनरावृत्ति से परिभाषित करें:

Hn+1(x)=2 x Hn(x)−2 n Hn−1(x),H0(x)=1,  H1(x)=2x,H_{n+1}(x) = 2\, x\, H_n(x) - 2\, n\, H_{n-1}(x), \quad H_0(x) = 1, \; H_1(x) = 2x,

फिर हर्माइट फलन परिभाषित करें:

ψn(x)=12nn!π e−x2/2Hn(x);\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}}\, e^{-x^2/2} H_n(x) ;

यहाँ बिना प्रमाण मानेंगे कि ये प्रसामान्य-लंबवत परिवार हैं:

∫Rψn(x) ψm(x)dx=δnmयहाँ ψn∗=ψn\int_\R \psi_n(x) \, \psi_m(x) dx = \delta_{nm} \quad \textrm{यहाँ ψn∗=ψn\psi_n^* = \psi_n}

और कुल भी हैं; इसलिए हिल्बर्ट आधार हैं। टिप्पणी: यही एकविमीय सरल आवर्त दोलक के हैमिल्टनियन का आइगेनआधार भी है। अधिक के लिए विकिपीडिया [7] देखें। व्यवहार में स्पष्ट व्यंजक बहुत जटिल होने से इसका उपयोग कम है। “दूसरा आधार” बनाया गया, जो असल आधार नहीं बल्कि सतत सामान्यीकृत आधार है: प्रसिद्ध केट ∣x⟩\ket{x}, जिन पर लौटेंगे।

3.4. हिल्बर्ट L2(R3)L^2(\mathbb{R}^3) और L2(R3n)L^2(\mathbb{R}^{3n})

तीन विमाओं में इसी तरह L2(R3)L^2(\R^3) और आंतरिक गुणनफल लें:

⟨ψ,φ⟩=∫R3ψ∗(x) φ(x) d3x.\langle \psi, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\mathbf{x})\, \phi(\mathbf{x})\, d^3x.

तीन विमाओं में nn कणों के तंत्र की अवस्था समष्टि है

L2(R3n)={ψ:R3n→C  ∣  ∫R3n∣ψ(x1,…,xn)∣2 d3x1…d3xn<∞}.L^2(\mathbb{R}^{3n}) = \Bigl\{ \psi : \mathbb{R}^{3n} \to \mathbb{C} \;\Bigm|\; \int_{\mathbb{R}^{3n}} |\psi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)|^2 \, d^3x_1 \dots d^3x_n < \infty \Bigr\}.

आंतरिक गुणनफल है

⟨ψ,φ⟩=∫R3nψ∗(x1,…,xn) φ(x1,…,xn) d3x1…d3xn,\langle \psi, \phi \rangle = \int_{\mathbb{R}^{3n}} \psi^*(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)\, \phi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)\, d^3x_1 \dots d^3x_n,

और संबंधित नॉर्म है

∥ψ∥=⟨ψ,ψ⟩=∫R3n∣ψ(x1,…,xn)∣2 d3x1…d3xn.\|\psi\| = \sqrt{\langle \psi, \psi \rangle} = \sqrt{\int_{\mathbb{R}^{3n}} |\psi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)|^2 \, d^3x_1 \dots d^3x_n}.

ये सभी हिल्बर्ट समष्टियाँ हैं; इसे स्वीकार करते हैं।

4. अंतिम बात

अब तक की बात में चौंकाने वाला यह हो सकता है कि एकविमीय बिंदु-कण क्वांटम यांत्रिकी का L2(R)L^2(\R), त्रिविमीय भौतिकी के L2(R3)L^2(\R^3) से समरूपी है। दूसरे पाठ में विस्तार से देखेंगे कि यह विरोधाभास क्यों नहीं। मूल बात है कि भौतिकी केवल हिल्बर्ट से नहीं, प्रेक्षणियों के समुच्चय से भी तय होती है। L2(R)L^2(\R) से L2(R3)L^2(\R^3) की कोई समरूपता पूरी एकविमीय प्रेक्षणी बीजगणित को एक साथ त्रिविमीय में नहीं ले जा सकती: एक युग्म [X^,P^][\hat{X}, \hat{P}] से तीन स्वतंत्र युग्म [X^i,P^j]=iℏδij[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij} तक नहीं।

यह समरूपता गणितीय समानता भी नहीं है: दोनों फलन समष्टियों के रूप में वास्तव में अलग हैं, फिर भी हिल्बर्ट संरचना में समरूपी हैं। केवल संरचनात्मक समानता कही जा रही है: हिल्बर्ट आधारों की गणनसंख्या के रूप में समान आकार और समान संरचनात्मक गुण। समरूपता नॉर्म, दूरी, लंबवत्ता तथा अभिसरण, सातत्य आदि टोपोलॉजिकल गुण सुरक्षित रखती है।

इसलिए दी गई गणनसंख्या के लिए सममिति तक एक ही अमूर्त हिल्बर्ट हो, फिर भी उसके ठोस निरूपण अनंत हैं।

वर्गीकरण समझने में इतना समय देना व्यर्थ नहीं था। देखा कि क्वांटम तंत्र की “विमीयता” के अनुसार वह अलग भौतिक स्थितियाँ देता है, और आधार की प्रकृति के अनुसार अलग गणना नियम: परिमित योग, अनंत श्रेणी या सतत समाकलन। संबंधित रैखिक संकारक सिद्धांत भी परिमित और अनंत विमा के बीच मूलतः बदलता है।

5. संदर्भ