हिल्बर्ट समष्टियाँ और डिराक संकेतन

1. $L^2(\mathbb{R})$ का सामान्यीकृत सतत आधार

हम अनुभाग 3.3 (विषय 2, पाठ 1) में मॉडल समष्टि $L^2(\R)$ का विस्तार से अध्ययन कर चुके हैं। विशेष रूप से उसका एक गणनीय हिल्बर्ट आधार प्रस्तुत किया था। इसलिए हर भौतिक अवस्था हर्मिट फलनों के आधार पर श्रेणी में प्रसारित होती है। दुर्भाग्य से इन फलनों के स्पष्ट व्यंजक काफी जटिल हैं।

इसलिए एक दूसरा “आधार” बनाया गया, जो हिल्बर्ट आधार के अर्थ में सचमुच आधार नहीं, बल्कि तथाकथित सामान्यीकृत सतत आधार है। यहाँ अनंत विमा में जाना सूक्ष्म है, और कठोर निर्माण के लिए अगले विषय, रैखिक संकारक सिद्धांत, के उपकरण चाहिए। इसलिए अभी नीचे का सूत्रपत्र स्वीकार करते हैं, यह याद रखते हुए कि वह इस “आधार” में डिरैक संकेतन के उपयोग की मार्गदर्शिका है, स्थापित गणितीय निर्माण नहीं।

1.1. स्थिति निरूपण में सामान्यीकृत आधार

फिर भी कुछ विचार समझाने का प्रयास करें। पहले “स्थिति” नाम का स्व-संलग्न संकारक लाते हैं, जिसे $\hat{X}$ लिखते हैं। यह हिल्बर्ट समष्टि $L^2(\mathbb{R})$ के फलनों पर गुणन द्वारा क्रिया करता है:

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

परिभाषा प्रांत पर ध्यान दें। यह व्यंजक तभी अर्थपूर्ण है जब फलन $x\,\psi(x)$ अब भी $L^2(\R)$ में हो। ऐसा हमेशा नहीं होता: कुछ वर्ग-समाकलनीय फलनों को $x$ से गुणा करने पर उनके वर्ग का समाकल अपसारी हो जाता है।¹ इसलिए संकारक $\hat{X}$ को पूरे $L^2(\R)$ पर परिभाषित नहीं कर सकते, केवल फलनों की उस उपसमष्टि पर कर सकते हैं जहाँ उसकी क्रिया का परिणाम $L^2$ में बना रहे।

एक सुपरिभाषित प्रांत पाने के लिए, जो $L^2$ में सघन हो और सामान्य संक्रियाओं के अंतर्गत स्थिर रहे, अर्थात अवकलन, $x$ से गुणन और फूरिए रूपांतरण के अंतर्गत, हम श्वार्त्स फलनों की समष्टि $\mathcal{S}(\R)$ लाते हैं:

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

दूसरे शब्दों में, ये तेजी से क्षय होने वाले चिकने फलन हैं, जिनमें $f$ और उसके सभी अवकलज शून्य की ओर $x$ की किसी भी व्युत्क्रम घात से अधिक तेजी से जाते हैं।

समष्टि $\mathcal{S}(\R)$:

• $L^2(\R)$ में सघन है: $L^2$ के हर फलन का $\mathcal{S}$ के फलनों द्वारा मनचाही सटीकता से सन्निकटन किया जा सकता है;
• अवकलन, $x$ से गुणन, तथा फूरिए रूपांतरण के अंतर्गत स्थिर है।

इसलिए स्थिति संकारक $\hat{X}$ और संवेग संकारक $\hat{P}$ को ठीक से परिभाषित करने का यह प्राकृतिक प्रांत है, और डिरैक औपचारिकता तथा गेल्फ़ांड त्रिक के कठोर निर्माण इसी समष्टि पर आधारित हैं।

इन सावधानियों के बाद फिलहाल केवल औपचारिक रूप से² $\hat{X}$ की आइगेन अवस्थाएँ लिख सकते हैं:

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

ये केट $\ket{x}$ तथाकथित सामान्यीकृत सतत आधार बनाते हैं, इस अर्थ में कि वे $L^2(\R)$ के अवयवों को सतत अध्यारोपणों के रूप में दर्शाने देते हैं, यद्यपि $\ket{x}$ स्वयं हिल्बर्ट समष्टि के सदिश नहीं हैं।

वास्तव में ये सही अर्थ में केट नहीं हैं, क्योंकि इनका प्रसामान्यीकरण नहीं किया जा सकता। अब कारण देखेंगे। यह परिवार अगणनीय है, इसलिए इसकी प्रसामान्य लंबकोणीयता विविक्त क्रोनेकर चिह्न $\delta_{ij}$ से नहीं, बल्कि उसके « सतत संस्करण » से लिखी जाती है:

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

विशेष रूप से:

यहाँ डिरैक डेल्टा $\delta(x)$ लाया गया है, जो सामान्य फलन नहीं बल्कि गणित के वितरण सिद्धांत का एक वितरण है। इसे समाकल के भीतर उसकी क्रिया से परिभाषित करते हैं:

हर परीक्षण फलन $f$ के लिए, जो श्वार्त्स समष्टि में है। समझना चाहिए कि $\delta(x)$ को अकेले लिखने का अर्थ नहीं है; वह संख्या भी नहीं है। वास्तव में $\delta$ परीक्षण फलनों पर क्रिया करने वाला रैखिक प्रकार्यक $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$ है³। इसलिए यह केवल समाकल (2) में अपनी क्रिया से परिभाषित है, अपने मानों $\delta(x)$ से नहीं।

लेकिन यदि इसे फलन ही मानना चाहें, तो शून्य के आसपास अधिकाधिक केंद्रित होते फलनों के अनुक्रम की सीमा मान सकते हैं, जैसे अधिकाधिक तीक्ष्ण गाउसी फलनों की सीमा:

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

या शून्य पर केंद्रित आयताकार फलन, जिनकी चौड़ाई शून्य और ऊँचाई अनंत की ओर जाती है। दोनों दृष्टियों में डेल्टा सीमा पर ऐसा “फलन” लगता है जो $x = 0$ को छोड़कर हर जगह शून्य है और वहाँ अपसारी है, जबकि वक्र के नीचे कुल क्षेत्रफल 1 बना रहता है।

इसलिए भौतिकी में फिर भी $\delta(0) = \infty$ लिखते हैं, लेकिन यहाँ संकेतन और अर्थ के ढीले उपयोग को ठीक समझना चाहिए। जो भी हो, समीकरण (1) बताता है कि केट $\ket{x}$ प्रसामान्यित नहीं है। डिरैक डेल्टा का एक अत्यंत उपयोगी समाकल निरूपण भी है, जो संभवतः इस अनुभाग का सबसे महत्वपूर्ण सूत्र है:

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

यहाँ भी समानता वितरण सिद्धांत के अर्थ में समझनी चाहिए, क्योंकि यह समाकल स्पष्टतः अभिसारी नहीं है और अन्यथा अर्थहीन होगा।

स्थिति संकारक $\hat{X}$ के “आव्यूह अवयव” $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$ हैं। पिछले अनुभाग की परिमित विमा से तुलना करते हुए इन्हें यही कहते रहते हैं, यद्यपि $\hat{X}$ का सामान्य आव्यूह से निरूपण नहीं हो सकता। “सतत सूचकांकों वाले आव्यूह” की कल्पना कर सकते हैं, जो वितरण के अर्थ में विकर्ण हो, लेकिन विकर्ण $x = x'$ पर उसके मान का अपना अर्थ नहीं है, क्योंकि $x\,\delta(0)$ वास्तविक संख्या नहीं है। संभवतः यहीं परिमित विमीय रैखिक संकारकों, अर्थात आव्यूहों, और अनंत विमीय रैखिक संकारकों का मूलभूत अंतर दिखता है।

सामान्यीकृत आधार में तत्समक का विघटन लिखा जाता है:

इससे हिल्बर्ट समष्टि के हर केट $\kpsi$ का इस सतत आधार पर प्रसार एक समाकल के रूप में मिलता है:

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

जहाँ तरंग फलन परिभाषित किया है

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

इसी तरह $\kpsi$ का संयुग्मी ब्रा प्रसारित होता है:

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

यहाँ आंतरिक गुणन की हर्मिशियन सममिति $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$ प्रयोग की गई है।

ध्यान दें कि सदिश $\hat{X} \psi$ का $x$ पर घटक, जो परिभाषा से $\braket{x}{X\psi}$ है, रूप की सुंदरता के कारण फिर अधिकतर, समीकरण (4 (विषय 2, पाठ 2)) से तुलना करें, इस तरह लिखा जाएगा:

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. संवेग निरूपण में

बिंदु कण की क्वांटम यांत्रिकी में इसी तरह संवेग संकारक को $L^2(\mathbb{R})$ के तरंग फलनों $\psi(x)$ पर उसकी क्रिया से लाते हैं:

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

यहाँ भी श्वार्त्स प्रांत तक सीमित होना चाहिए ताकि तरंग फलन अवकलनीय हो और उसका अवकलज भी वर्ग-समाकलनीय बना रहे।

यह सुनिश्चित करना कि $\hat{P}$ वास्तव में स्व-संलग्न संकारक है, इस अध्याय का बहुत अच्छा अनुप्रयोग अभ्यास है। इसके लिए पहले स्वयं अवकलन संकारक का अध्ययन करें, जिसे लिखते हैं:

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

यह रैखिक संकारक है, क्योंकि अवकलन रैखिक है: $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$। स्पष्ट है कि इसका परिमित विमा की तरह आव्यूह द्वारा निरूपण नहीं हो सकता; यह फलनों की अनंत विमीय समष्टि पर अवकल क्रिया करता है। इसलिए इसका संलग्न परिवर्त-संयुग्मन से नहीं निकाल सकते, लेकिन संलग्न की परिभाषा से फिर भी निकाल सकते हैं। $\mathcal{S}(\R)$ के दो परीक्षण फलनों $\phi$ और $\psi$ के लिए वह संतुष्ट करता है:

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

परिभाषा 2 (विषय 2, पाठ 2) देखें। बाएँ पक्ष में तत्समक का विघटन रखने पर:

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

इससे दिखता है कि संकारक $\hat{D} = d/dx$ का संलग्न $-\hat{D} = -d/dx$ है। ऊपर की गणना में पहली पंक्ति में ब्रा और केट के बीच तत्समक का विघटन रखा; दूसरी में उसे वितरित किया; तीसरी में हर्मिशियन सममिति प्रयोग की। चौथी में $\hat{D}$ और तरंग फलनों की परिभाषा प्रयोग की, और पाँचवीं में $\R$ पर खंडशः समाकलन किया। अनंत पर सीमा पद शून्य हैं क्योंकि श्वार्त्स समष्टि के फलन हर घात से तेज क्षय होते हैं। अंत की पंक्तियों में तरंग फलनों से आंतरिक गुणनों पर लौटे, फिर तत्समक का विघटन समेटकर हटा दिया। इसलिए संवेग संकारक वास्तव में स्व-संलग्न है, क्योंकि

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

$\hat{P}$ का स्व-संलग्न होना सुनिश्चित करता है कि उसके आइगेन मान, अर्थात संभव संवेग, वास्तविक हैं और उसके आइगेन फलन डिरैक वितरणों द्वारा सामान्यीकृत अर्थ में अवस्था समष्टि का पूर्ण आधार बनाते हैं।

संवेग की आइगेन अवस्थाएँ। बिल्कुल इसी तरह सामान्यीकृत “केट” $\ket{p}$ को $\hat{P}$ की आइगेन अवस्थाओं के रूप में परिभाषित करते हैं:

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

स्थिति निरूपण में संबंधित तरंग फलन $\bra{x}$ पर प्रक्षेप करके मिलता है:

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

यह सरल अवकल समीकरण है जिसका हल है:

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

यह व्यंजक बताता है कि स्थिति और संवेग निरूपणों को जोड़ने वाला रूपांतरण ठीक फूरिए रूपांतरण है।

लंबकोणीयता और पूर्णता। केट $\ket{p}$, $\ket{x}$ के समान संबंध संतुष्ट करते हैं:

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

संवेग निरूपण का तरंग फलन परिभाषित करते हैं:

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

अतः रूपांतरण $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ फूरिए रूपांतरण है, और प्रतिलोम रूपांतरण है:

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

मूलभूत क्रमविनिमय। अंततः संकारक $\hat{X}$ और $\hat{P}$ विहित क्रमविनिमय संबंध संतुष्ट करते हैं:

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

यही संबंध बिंदु कण की समस्त क्वांटम यांत्रिकी का आधार है। वास्तव में इस अनुभाग के सभी सूत्र केवल इसी विहित संबंध से निकलते हैं: सिद्ध किया जाता है कि X और P के इस बीजगणित का एकमात्र संभव हिल्बर्ट निरूपण वही है जो अभी लिखा गया। विशेष रूप से $X$, x के तरंग फलनों पर गुणन और P अवकलन द्वारा क्रिया करता है, तथा दूसरे निरूपण में इसका उलटा होता है। इस महत्वपूर्ण परिणाम को स्टोन–फॉन न्यूमन प्रमेय कहते हैं और आगे विस्तार से बताएँगे।

1.3. डिरैक डेल्टा के गुण

इस अनुभाग और अध्याय का अंत डिरैक डेल्टा के कुछ उपयोगी सूत्रों से करते हैं। इन्हें हमेशा वितरण के अर्थ में समझना है, अर्थात जब डेल्टा समाकल चिह्न के भीतर हो:

सममिति:

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

समघातता:

हर वास्तविक $a \neq 0$ के लिए,

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

चर परिवर्तन:

यदि $f$ चिकना फलन है जिसके सरल मूल $\{x_i\}$ संतुष्ट करते हैं $f(x_i) = 0$, तो

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

डेल्टा का अवकलज:

वितरणीय अवकलज इस प्रकार परिभाषित है:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. संदर्भ