हिल्बर्ट समष्टियाँ और डिराक संकेतन

1. द्वैतता का विचार

द्वैतता इस पूरे पाठ का केंद्रीय सूत्र है। पहले इसका सहज अर्थ समझने का प्रयास करें। गणित में द्वैतता अनेक परिस्थितियों को समेटती है, लेकिन हिल्बर्ट समष्टियों में यह एक सरल और गहरा विचार व्यक्त करती है: सदिश को केवल अपने-आप में एक वस्तु ही नहीं, बल्कि अन्य सदिशों पर क्रिया करके संख्याएँ देने वाला संकारक भी माना जा सकता है, अर्थात एक रैखिक प्रकार्यक। क्वांटम यांत्रिकी में इस तरह प्राप्त संख्या प्रायिकता आयाम होती है।

इसलिए क्वांटम औपचारिकता इन दोनों पक्षों का पूरा उपयोग करती है, और डिरैक संकेतन इन्हें आसानी से संभालने की एक चतुर लेखन प्रणाली है। इसमें $\ket{u}$ से लिखे जाने वाले केट समष्टि के सदिशों को दर्शाते हैं, और $\bra{u}$ से लिखे जाने वाले ब्रा उन पर क्रिया करने वाले रैखिक प्रकार्यकों को। इनका संयोजन $\langle u|v\rangle$ एक अदिश देता है, जिसे ब्रैकेट कहते हैं, जबकि $\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j}$ जैसे व्यंजक संकारकों का वर्णन करते हैं।

यह संकेतन क्वांटम भौतिकी की मानक भाषा बन चुका है और इस पर पूर्ण अधिकार आवश्यक है। पाठ के बाद गणना के नियमों का संक्षिप्त सूत्रपत्र दिया जाएगा। वास्तव में, इन प्रतीकों के पीछे के गणित को सचमुच समझे बिना भी उनका प्रयोग सीखना संभव है। लेकिन उनका गहरा अर्थ समझने के लिए हमें यहाँ सुझाए कार्यक्रम को अपनाना होगा: समझना होगा कि सदिशों और रैखिक प्रकार्यकों के बीच पूर्ण पहचान कैसे बनाई जाती है, और यह प्रक्रिया स्वाभाविक रूप से एक अन्य आवश्यक वस्तु, संकारक के संलग्न, को परिभाषित करने तक क्यों पहुँचती है।

अगले अनुभाग में हम सदिश समष्टि और उसकी बीजीय द्वैत समष्टि के बीच ऐसा समरूपण बनाने का प्रयास करेंगे। बीजीय द्वैत को उसके सभी रैखिक प्रकार्यकों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है। हम देखेंगे कि यह असंभव है। यद्यपि परिमित विमीय सदिश समष्टि अपनी द्वैत समष्टि के समरूप होती है, यह समरूपण विहित नहीं होता: यह आधार के मनमाने चुनाव पर निर्भर करता है। अनंत विमा में स्थिति और खराब होती है: ऐसा समरूपण होता ही नहीं। ये बाधाएँ सदिशों और रैखिक प्रकार्यकों की स्वतः पहचान को अस्वीकार करती हैं तथा हिल्बर्ट समष्टियों की अधिक समृद्ध संरचना का सहारा लेने का कारण देती हैं।

अनुभाग 3 बताता है कि इस अतिरिक्त संरचना से इन कठिनाइयों को कैसे दूर किया जाए। आंतरिक गुणन का उपयोग करके और केवल सतत रैखिक प्रकार्यकों तक सीमित होकर, जो तथाकथित संस्थितिक द्वैत बनाते हैं, एक उल्लेखनीय परिणाम मिलता है। रीस प्रमेय कहता है कि किसी भी विमा की प्रत्येक हिल्बर्ट समष्टि और उसके संस्थितिक द्वैत के बीच एक विहित प्रति-रैखिक समदूरी समरूपण होता है।

यह परिणाम डिरैक संकेतन को कठोर आधार देता है। अनुभाग 4 और 5 में हम इस संकेतन, अर्थात केट, ब्रा और रैखिक संकारकों, का विस्तार से अध्ययन करेंगे। फिर दिखाएँगे कि रीस समरूपण से संकारक के संलग्न का विचार स्वाभाविक रूप से कैसे निकलता है (अनुभाग 6)। अनुभाग 7 पूरी रचना को एक विस्तृत आरेख में समेटता है। इस पाठ में हम हमेशा क्षेत्र $\mathbb{C}$ पर काम करेंगे और सिद्धांत समझाने के लिए परिमित विमा को ठोस उदाहरण बनाएँगे।

2. रैखिक प्रकार्यक और बीजीय द्वैत

मान लें $E$, $\C$ पर एक सदिश समष्टि है। इसका बीजीय द्वैत $E^*$, $E$ पर सभी रैखिक प्रकार्यकों, अर्थात रैखिक प्रतिचित्रों $\varphi : E \to \C.$ का समुच्चय है।

परिमित विमा $n$ में, यदि $E$ का एक आधार $(e_1,\dots,e_n)$ निश्चित करें, तो $E^*$ में रैखिक प्रकार्यकों का संबंधित परिवार $(\theta_1,\dots,\theta_n)$ निम्न संबंध से बनाया जा सकता है:

सिद्ध किया जा सकता है कि यह परिवार रैखिकतः स्वतंत्र है और पूरी समष्टि को जनित करता है, इसलिए $E^*$ का आधार है, जिसे द्वैत आधार कहते हैं। इससे $\dim(E^*) = \dim(E)$ मिलता है, अतः $E$ और $E^*$ समरूप हैं। एक संभव समरूपण वह प्रतिचित्र $T$ है जो प्रत्येक सदिश $x = \sum x_i e_i$ को रैखिक प्रकार्यक $w_x = \sum x_i \theta_i$ से जोड़ता है।

लेकिन यह समरूपण $T$ एक अर्थ में कृत्रिम है, क्योंकि यह $E$ के आधार के प्रारंभिक चुनाव पर निर्भर करता है। आधार बदलने पर प्रतिचित्र $T$ भी बदल जाता है। इसलिए सदिश समष्टि और उसके बीजीय द्वैत के बीच विहित, अर्थात प्राकृतिक पहचान नहीं होती।

अनंत विमा में एक शास्त्रीय परिणाम बताता है कि $E$ अपने बीजीय द्वैत के समरूप कभी नहीं होता, क्योंकि द्वैत की विमा सख्ती से अधिक होती है (एर्दोश–कापलान्स्की प्रमेय देखें)। उदाहरण के लिए, यदि $E$ की बीजीय विमा गणनीय है, तो उसके बीजीय द्वैत की बीजीय विमा अगणनीय होती है।

इसलिए दोनों स्थितियों में सदिशों और रैखिक प्रकार्यकों के बीच विहित पहचान नहीं होती।

3. संस्थितिक द्वैत और रीस प्रमेय

हिल्बर्ट समष्टि $\H$ में आंतरिक गुणन से जुड़ा मानक रैखिक प्रकार्यकों के एक विशेष वर्ग को अलग करता है: सतत प्रकार्यक। हम कहते हैं कि $\varphi : \H \to \C$, $x_0$ पर सतत है यदि

और यदि वह एक बिंदु पर सतत है, तो रैखिकता के कारण हर जगह सतत है¹। सतत रैखिक प्रकार्यकों का समुच्चय बीजीय द्वैत का एक सदिश उपसमष्टि बनाता है। इसे संस्थितिक द्वैत कहते हैं और संकेतन का थोड़ा ढीला उपयोग करते हुए फिर $\H^*$ लिखते हैं।

टिप्पणी: यह मानक संकारक मानक का विशेष उदाहरण है, जिसे आगे देखेंगे (अनुभाग 1.5 (विषय 4, पाठ 3, इस भाषा में उपलब्ध नहीं) देखें)। पिछली रचना अपने-आप में हर मानकित समष्टि पर लागू होती है। हिल्बर्ट स्थिति की विशेषता निम्न प्रमेय है: आंतरिक गुणन का उपयोग करके प्रत्येक सतत रैखिक प्रकार्यक और एक सदिश के बीच एकैकी आच्छादक पहचान बनाई जा सकती है।

ध्यान दें कि $\mathcal{H}$ से $\H^*$ में प्रतिचित्र $\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle$ केवल पूर्व-हिल्बर्ट समष्टि में भी एकैकी है। वास्तव में यदि $\varphi_u = \varphi_v$, तो $\mathcal{H}$ के प्रत्येक $x$ के लिए $0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle$ है। $x = u - v$ चुनने पर आंतरिक गुणन की धनात्मक निश्चितता से $u = v$ मिलता है।

रीस प्रमेय आगे कहता है कि यह प्रतिचित्र आच्छादक भी है। यह स्पष्ट परिणाम नहीं है और केवल हिल्बर्ट समष्टियों में मान्य है। उदाहरणार्थ, अपूर्ण पूर्व-हिल्बर्ट समष्टि में यह आच्छादक नहीं होता, क्योंकि ऐसे सतत रैखिक प्रकार्यक होते हैं जिन्हें उस अपूर्ण समष्टि के किसी सदिश के साथ आंतरिक गुणन के रूप में नहीं लिखा जा सकता।

इस प्रकार रीस प्रमेय $\mathcal{H}$ और $\mathcal{H}^*$ के बीच वांछित एकैकी आच्छादक प्रतिचित्र $\Phi$ देता है। निम्न उपप्रमेय मिलता है:

4. डिरैक संकेतन: ब्रा, केट और ब्रैकेट

डिरैक संकेतन अब रीस समरूपण की दूसरी लिखावट मात्र है। पहले केट, ब्रा और ब्रैकेट परिभाषित करते हैं। फिर इनसे पिछले पाठ में देखा हिल्बर्ट आधार पर प्रसार दोबारा लिखते हैं।

1. केट। सदिश $u \in \mathcal{H}$ को केट के रूप में इस तरह लिखते हैं: $$\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }$$

   रैखिक संरचना हमें गणना के निम्न नियम देती है:

   $$\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}$$
2. ब्रा। हर सदिश $u \in \H$ से $\Phi$ द्वारा एक प्रकार्यक $\varphi_u$ जोड़ा जाता है। इस रैखिक प्रकार्यक को ब्रा कहते हैं, जिसके भीतर संबंधित सदिश लिखते हैं: $$\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }$$

   इस प्रकार $\bra{u}$, सदिश $u$ को रैखिक प्रकार्यक के रूप में दर्शाता है, अर्थात « $u$ के साथ आंतरिक गुणन लेकर एक संख्या लौटाने » की क्रिया। निम्न गणना नियम मिलते हैं:

   $$\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned}$$ जो $\Phi$ की प्रति-रैखिकता के परिणाम हैं।
3. ब्रैकेट। ऊपर की दो लेखन युक्तियों से आंतरिक गुणन, जिसे अंग्रेज़ी में bracket या inner product कहते हैं, को ब्रा और केट के गुणन के रूप में लिखा जा सकता है: $$\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}$$

   यह संकेतन वास्तव में सदिश $\ket{x}$ पर रैखिक प्रकार्यक $\bra{u}$ की क्रिया दर्शाता है:

   $$\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.$$
4. हिल्बर्ट आधार पर प्रसार। हिल्बर्ट समष्टि की विमा चाहे जो हो, हमने प्रसार सूत्र $u = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i$ देखा है, जहाँ योग परिमित है या $I$ अनंत होने पर $\mathcal{H}$ में अभिसरित होता है। डिरैक संकेतन में यह इस प्रकार है:

   $$\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }$$

   (1)

   यहाँ $u_i$ उस आधार में केट $u$ के घटक हैं। ध्यान दें कि वे $e_i$ पर लंबकोणीय प्रक्षेप से $u_i = \braket{e_i}{u}$ के रूप में मिलते हैं, $\braket{u}{e_i}$ के रूप में नहीं, जिसका मान $u_i^*$ है। यह आम भूल है, संभवतः इसलिए कि $\R^n$ पर सामान्य सदिश गणना में सदिश $\vec{v}$ का घटक $v_i$, $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$ से मिलता है। इससे क्वांटम स्थिति में $u_i = \braket{u}{e_i}$ लिखने का भ्रम हो सकता है। लेकिन ऐसा करना $\C$ पर आंतरिक गुणन की अर्ध-द्विरैखिकता को अनदेखा करता है और तुरंत गणना की त्रुटि देता है।

   ब्रा के लिए हमारे पास है:

   $$\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }$$

   (2)

   और मानक का वर्ग लिखा जाता है

   $$\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i$$

   (3)
   जहाँ दूसरी समानता पार्सेवल की है।
5. « dagger » संक्रिया। समरूपण $\Phi$ का प्रयोग, केट से ब्रा की ओर, सामान्यतः ऊपर लगाए प्रतीक $\dagger$ से दर्शाया जाता है। ब्रा से केट की ओर जाने वाले प्रतिलोम समरूपण $\Phi^{-1}$ को भी इसी प्रतीक से लिखेंगे। इससे dagger एक अंतर्वलन बनता है। इस लेखन परंपरा के अनुसार: $$\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(प्रतिचित्र } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(प्रतिचित्र } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(अंतर्वलन)} \end{aligned}$$

इन बातों को परिमित विमा में स्पष्ट करें। $n$ विमा वाला $\H$ और हिल्बर्ट आधार $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ चुनते हैं तथा विहित आंतरिक गुणन लेते हैं (अनुभाग 3.1 (विषय 2, पाठ 1) देखें)। आधार के केट को विहित रूप में स्तंभ सदिश, अर्थात $(n,1)$ आव्यूह, द्वारा निरूपित करते हैं:

जहाँ $1$, $i$-वें स्थान पर है। तब सभी केट $\ket{u}$ स्तंभ सदिशों के रूप में लिखे जाते हैं

जहाँ $u_i = \braket{e_i}{u}$। सदिश $u$ से जुड़ा रैखिक प्रकार्यक $\varphi_u$ प्रत्येक सदिश $v$ के लिए संतुष्ट करना चाहिए:

इस योग को प्राप्त करने के लिए $\bra{u}$ को $u$ के संयुग्मी निर्देशांकों से बनी $(1, n)$ आकार की पंक्ति द्वारा निरूपित करना होगा:

क्योंकि तब आंतरिक गुणन $\braket{u}{v}$ सामान्य आव्यूह गुणन से मिलता है:

उदाहरण के लिए विमा 2 में:

हमने निम्न परिणाम प्राप्त किया:

ध्यान दें कि अनंत विमा में इसका अर्थ नहीं है, क्योंकि परिवर्त परिभाषित नहीं है। फिर भी समष्टि $\ell^2(\N)$ के विहित आधार में अनंत स्तंभ या पंक्ति सदिश लेकर, और परिमित योगों के स्थान पर अभिसारी श्रेणियाँ रखकर, स्थिति काफी समान होती है। यह सहज समझ बनाने में उपयोगी हो सकता है, पर कठोर अर्थ में ये आव्यूह या परिवर्त नहीं हैं।

5. संकारक, आव्यूह अवयव और तत्समक का विघटन

डिरैक संकेतन का वर्णन आगे बढ़ाते हुए अब $\mathcal{H}$ से $\mathcal{G}$ में रैखिक प्रतिचित्र, जिन्हें रैखिक संकारक भी कहते हैं, $\hat A$ लाते हैं। यहाँ $\mathcal{G}$ एक अन्य हिल्बर्ट समष्टि है।

संकारकों की लिखावट। पहले ध्यान दें कि भौतिकी में उनके ऊपर टोपी लगाकर लिखना मानक है। संकारक $\hat A$ सदिश $v$ पर क्रिया करके सदिश $\hat A v$ देता है। इसलिए डिरैक संकेतन में दो समानार्थी लिखावटें हैं, जिनमें दूसरी अधिक प्रयुक्त होती है:

इसी तरह संकारक वाला आंतरिक गुणन लिखा जा सकता है:

जहाँ रूप की सुंदरता के कारण दूसरी लिखावट अधिक सामान्य है।

आव्यूह अवयव। ऊपर के सूत्र में $\bra{w} = \bra{e_i}$ और $\ket{u} = \ket{e_j}$ वाला मामला विशेष महत्वपूर्ण है, क्योंकि वह संकारक $\hat A$ के तथाकथित आव्यूह अवयव परिभाषित करता है:

अनंत विमा में यह व्यंजक हमेशा अर्थपूर्ण नहीं होता, क्योंकि $\ket{e_i}$ को संकारक $\hat A$ के परिभाषा प्रांत में होना चाहिए। इस पर फिर लौटेंगे। परिमित विमा में परिभाषा स्पष्ट है: आधार सदिशों को स्तंभों के रूप में लिखने पर रैखिक संकारक का उसके निरूपक आव्यूह से एक-एक संबंध होता है। इसलिए $\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ लिखते हैं, जहाँ $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$। ऊपर का समीकरण $\ket{v} = \hat A \ket{u}$ तब सामान्य आव्यूह गुणन $\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}$ बनता है, जबकि आंतरिक गुणन $\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C$ होता है।

केट-ब्रा संकारक। ब्रैकेट एक संख्या है, पर केट-ब्रा एक संकारक है, जिसे बाह्य गुणन कहते हैं। इसका अवकल रूपों के बाह्य गुणन से संबंध नहीं है। एक ही हिल्बर्ट समष्टि $\H$ के दो सदिशों $\ket{u}$ और $\ket{v}$ से $\H$ से $\H$ में संकारक $\ket{u}\bra{v}$ जोड़ते हैं, जिसकी परिभाषा है:

यहाँ भी परिमित विमा में $\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j}$ का मामला विशेष महत्वपूर्ण है। इसके सभी आव्यूह अवयव शून्य हैं, केवल $i$-वीं पंक्ति और $j$-वें स्तंभ पर एक “1” है। इसलिए संबंधित आव्यूह है:

परिमित विमा में हर रैखिक संकारक $\hat{A}$ अपने आव्यूह अवयवों के अनुसार विघटित होता है:

जहाँ $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$। ध्यान दें कि अनंत विमा में यह विघटन हमेशा संभव नहीं होता; और जब होता है, तब इसे प्रबल अभिसरण के अर्थ में समझना चाहिए। आगे के पाठों में इस पर लौटेंगे।

तत्समक संकारक का विघटन। $\mathcal{H}$ में तत्समक संकारक को $\mathbf{1}$ लिखते हैं और हर $\ket{x} \in \mathcal{H}$ के लिए स्पष्ट संबंध $\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x}$ से परिभाषित करते हैं। परिमित विमा में यह निश्चय ही तत्समक आव्यूह द्वारा निरूपित होता है। अधिक सामान्यतः सूत्र है

जो गणनीय अनंत विमा में भी मान्य है, जहाँ श्रेणी प्रबल रूप से अभिसरित होती है। इसे तत्समक का विघटन या पूर्णता संबंध भी कहते हैं। यह सूत्र क्वांटम यांत्रिकी की सभी गणनाओं में अत्यंत उपयोगी है। ध्यान दें कि अवियोज्य समष्टियों में यह असत्य है²

6. संलग्न संकारक

रीस समरूपण पर लौटें और $\mathcal{H}$ से $\mathcal{G}$ में सतत रैखिक संकारक³ $\hat{A}$ पर विचार करें, जहाँ $\H$ और $\G$ दो हिल्बर्ट समष्टियाँ हैं तथा संभवतः $\H = \G$।

जब $\hat{A}$ केट $\ket{u} \in \mathcal{H}$ पर क्रिया करता है, नया केट $\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}$ मिलता है। स्वाभाविक प्रश्न है कि रीस समरूपण द्वारा सदिश $\ket{v}$ से जुड़ा ब्रा क्या है, अर्थात $\G$ पर रैखिक प्रकार्यक $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$ का मान क्या है। इससे स्वाभाविक रूप से नया संकारक आता है, जिसे $\hat{A}$ का संलग्न कहते हैं और फिर $\hat{A}^\dagger$ से दर्शाते हैं। क्वांटम यांत्रिकी में इसकी आवश्यक भूमिका है।

$\bra{v} = \langle \hat{A}u |$ का मान जानने के लिए कोई केट $\ket{w} \in \mathcal{G}$ निश्चित करें और $\H$ पर रैखिक प्रकार्यक देखें:

ऊपर सूचक $\G$ बताता है कि आंतरिक गुणन किस समष्टि में लेना है। यहाँ स्वीकार करेंगे कि $\hat{A}$ सतत संकारक हो तो $\varphi$, $\mathcal{H}$ पर सतत रैखिक प्रकार्यक है। $\mathcal{H}$ पर रीस प्रमेय लगाने से एकमात्र सदिश $\ket{z} \in \mathcal{H}$ मिलता है जिसके लिए $\varphi = \varphi_z$, अर्थात:

पिछली रचना ने $\G$ के सदिश $\ket{w}$ से $\H$ का एकमात्र सदिश $\ket{z}$ जोड़ा है। इस क्रिया को औपचारिक रूप से एक संकारक की क्रिया के रूप में लिखा जा सकता है, जिसे संलग्न संकारक कहते हैं और $\hat{A}^\dagger$ लिखते हैं: $\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}$। इसलिए संकारक $\hat A$, $\H$ से $\G$ की ओर क्रिया करता है, जबकि संलग्न $\G$ से $\H$ की ओर।

हर $\ket{w}$ के लिए यह रचना करने पर आसानी से जाँचते हैं कि परिभाषित संकारक स्वयं सतत रैखिक संकारक है। निम्न मूलभूत परिणाम मिलता है:

औपचारिक क्वांटम गणना में संलग्न के दो व्यावहारिक उपयोग हैं।

1. ऊपर का सूत्र कहता है कि, एक अर्थ में, « $u$ और $w$ के स्थान निश्चित रखते हुए संलग्न लेने से संकारक को बाएँ से दाएँ ले जा सकते हैं »।
2. आंतरिक गुणन की हर्मिशियन सममिति $\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*$ का प्रयोग करके यह भी मिलता है:
   $$\boxed{\forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}$$

   (7)

   जो इस बार कहता है कि « संलग्न ब्रा और केट को परस्पर बदलने देता है, साथ में सम्मिश्र संयुग्मन करना पड़ता है »।

ये दोनों सर्वसमिकाएँ समतुल्य हैं। निश्चय ही प्रारंभिक और अंतिम समष्टियों $\H$ तथा $\G$ और प्रयुक्त आंतरिक गुणन, $\H$ का या $\G$ का, ध्यान रखना चाहिए। व्यवहार में लगभग हमेशा $\H = \G$ होगा, जिससे संकेतन सरल होगा।

अब पिछली रचना को परिमित विमा में दिखाएँ। मुख्य परिणाम है:

हमने अभी स्पष्ट उत्तर नहीं दिया कि केट $\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u}$ से विहित रूप में जुड़ा ब्रा $\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u}$ क्या है। सूत्र (6) हर सदिश $w$ के लिए मान्य आंतरिक गुणन के माध्यम से उत्तर देता है। अतः लिख सकते हैं:

यह निष्कर्ष इस तथ्य से मिलता है कि हर सदिश $w$ पर समान दो रैखिक प्रकार्यक अवश्य बराबर होते हैं। लेकिन इस वस्तु का अर्थ ठीक समझना अत्यंत आवश्यक है। इस लिखावट से अक्सर भ्रम होता है कि « संलग्न ब्रा पर बाईं ओर क्रिया करता है »। यह गलत है! $\bra{u} \hat{A}^\dagger$ वास्तव में संकारकों का संयोजन है, बाईं ओर क्रिया नहीं। प्रारंभिक और अंतिम समष्टियाँ हैं:

इसलिए $\bra{u} \hat A^\dagger$ संयोजन $\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}$ है, जो सचमुच $\mathcal{G}$ पर रैखिक प्रकार्यक है। प्रायः प्रतीक $\circ$ छोड़ देते हैं, जिससे भ्रम हो सकता है।

अंत में, $\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger$ से dagger लेकर उपयोगी सूत्र मिलते हैं:

अगला चित्र इस पाठ में देखे ब्रा, केट, संकारक $\hat A$ और उसके संलग्न के बीच संबंधों को समेटता है।

संलग्न लेने की कुछ महत्वपूर्ण विशेषताओं से इस अनुभाग का अंत करते हैं:

7. संदर्भ