先ほど定義した対象は、ヒルベルト空間の次元や作用素が有界かどうかによらず、常に成立する基本的な性質を満たします。非有界の場合にも随伴は定義できますが、数学的にはより繊細な議論が必要です。線形作用素論を扱う次のテーマで再び取り上げます。世界中でディラック記法が使われているため、これらの性質は事実上量子計算の代数的規則であり、必ず習得しなければなりません。

この授業では、重複もいとわず、これまでに見た有用な公式をすべて集め、いくつか追加します。まず任意の次元で成立する公式を示し、次に有限次元に固有の公式をまとめます。有限次元では、ディラック記法は具体的な行列計算に帰着します。

1. 任意の次元での計算規則

内積の性質。

$(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2$ をヒルベルト空間の二つのベクトル、$(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2$ をスカラーとします。内積は次の性質を満たします。

1. エルミート対称性：
   $$\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}$$

   (1)
2. 左側に関する反線形性：$\lambda \ket{\psi}$ に対応するブラは $\lambda^* \bra{\psi}$ です。すなわち、
   $$\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{および} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }$$

   (2)
3. 右側に関する線形性：
   $$\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}$$

   (3)
4. 線形結合：上の性質により、次のような複雑な式も通常どおり展開できます。任意の $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C$ に対し、
   $$\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }$$

   (4)
5. ノルム：定義により、
   $$\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}$$

   (5)
   等号が成立するのは、$\ket{\psi} = 0$ が零ベクトルであるとき、かつそのときに限ります（まれに $\ket{\varnothing}$ と書くこともあります）。

随伴の性質。

定義を与える二つの公式をここに書き直します。

および

これらとエルミート対称性から、次も証明できます。

随伴作用素の性質。

$\mathcal{H}$ 上の任意の連続線形作用素 $\hat{A}, \hat{B}$ と任意のスカラー $\lambda \in \mathbb{C}$ に対し、

$$\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{（反線形性）} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{（順序に注意）} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{（対合）}. \end{aligned}$$

ケット・ブラ作用素。

ブラケットは数ですが、ケット・ブラは外積と呼ばれる作用素です（微分形式の外積とは無関係です）。二つのベクトル $\ket{\phi}$ と $\ket{\psi}$ に、次で定義する作用素 $\ket{\phi}\bra{\psi}$ を対応させます。

$$\begin{aligned} \ket{\phi}\bra{\psi} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{\chi} \mapsto \ket{\phi}\braket{\psi}{\chi}. \end{aligned}$$

恒等作用素の分解。

$\Hilb$ の恒等作用素を $\mathbf{1}$ と記し、自明な関係 $\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb$ で定義します。可算なヒルベルト基底 $\{\ket{e_i}\}_{i \in I}$ において、$I$ は有限または可算無限とすると、恒等作用素 $\mathbf{1}$ は、

と書けます。この公式は実際の計算で非常に有用です。恒等作用素の分解、または完全性関係とも呼ばれます。右辺は有限次元では有限和、可算無限次元では収束級数です。非可算次元の場合には成立しません。

ヒルベルト基底展開。

例えば上の公式から、第1課の展開定理を直接取り戻せます。$\psi_i$ をケット $\kpsi$ の $\ket{e_i}$ 上の成分と定義すると、

次元に応じて有限和または級数となります。ケットの展開に対応するブラの展開もあります。

ノルムは、

いくつかの特別な作用素。

次のテーマでは、ヒルベルト空間上の線形作用素論を詳しく説明します。ここでは今後のために、よく使う場合をいくつか挙げます。$\Hilb \to \Hilb$ の作用素全体の中で、特に次のものを考えます。

1. $\hat A$ は、$\hat{A}^\dagger = \hat{A}$ ならエルミートまたは自己共役です。
2. $\hat U$ は、$\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}$ ならユニタリです。
3. $\hat P$ は、$\hat{P}^2 = \hat{P}$ なら射影です。
4. $\hat P$ が直交射影であるとは、自己共役な射影であることです。

ユニタリ作用素は全単射かつ線形であり、内積を保ちます。したがって、これらはすでに出会った等長同型です（ここでは $\Hilb$ からそれ自身への線形作用素だけを扱うので、具体的には等長自己同型です）。

2. 有限次元での公式集

ヒルベルト空間の次元 $n$ が有限なら、量子計算の規則をさらに具体化できます。まず前節の公式はすべて成立し、そこで現れた和を有限和として書けばよいことに注意します：$\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}$。

また、正規直交基底 $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ を選ぶと、ディラック記法は具体的な行列計算に対応します。以下で詳しく説明します（以下の内容は無限次元ではまったく意味をもちません）。

列ベクトルとしてのケット。

基底 $\mathcal{B}$ のケットを、標準的に $(n,1)$ 行列、すなわち列ベクトルで表すと、

$$\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}$$

となります。$1$ は第 $i$ 成分にあります。代数的な展開

$$\ket{v} = \sum_{i=1}^n v_i \ket{e_i},$$

を用いると、すべてのケットを列ベクトルとして表せます。$\ket{v} \in \mathcal{H}$ に対し、

$$\ket{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,$$

と書きます。必要な場合を除き、展開に用いた基底 $\mathcal{B}$ の表示は省略します。また、成分は直交射影によって得られます。

共役行ベクトルとしてのブラ。

ベクトル $u$ に対応する線形汎関数 $\varphi_u$ は、任意のベクトル $v$ に対して、

$$\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i,$$

を満たす必要があります。これはエルミート内積が左側に関して反線形だからです。この和を行列積として得るには、$\bra{u}$ は $u$ の共役座標からなる行ベクトルでなければなりません。

$$\begin{aligned} \bra{u} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix}, \end{aligned}$$

すると、内積 $\braket{u}{v}$ は通常の行列積になります。

$$\begin{aligned} \braket{u}{v} = \bra{u} \cdot \ket{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}$$

したがって、ブラ $\bra{u}$ はケット $\ket{u}$ の転置共役、すなわち« 共役転置 »です。有限次元では、dagger 操作は共役転置をとることに一致します。

無限次元では転置が定義されていないため、これは成立せず、意味すらもちません¹。

作用素の行列表現。

有限次元の正規直交基底 $\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n$ において、任意の線形作用素 $\hat{A}$ は、

と展開できます。有限次元では、これにより線形作用素 $\hat{A}$（ハット付き）とその行列 $A$（ハットなし）が自然に対応します。上式は、行列展開 $A = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij}$ のディラック形式による表現です。ここで $E_{ij}$ は位置 $(i,j)$ に $1$ をもち、それ以外がゼロの基本行列です。つまり $E_{ij}$ は作用素 $\ket{e_i} \bra{e_j}$ を表す行列です。係数 $A_{ij}$ は、基底 $\{\ket{e_i}\}$ における作用素 $\hat{A}$ の行列要素と呼ばれ、次で与えられます。

$$A_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}} e_j}$$

ただし、見た目の簡潔さから、通常は次の形で書きます。

恒等作用素の行列はもちろん単位行列であり、その行列要素は $\delta_{ij}$（クロネッカー記号）です。

作用素のトレース。

今後、作用素 $\hat{A}$ のトレースを考える機会が多くあります。ディラック記法では、

で計算されます。この式は正規直交基底の選択に依存しません。

随伴と共役転置。

有限次元では、随伴 $\hat{A}^\dagger$ を表す行列は、作用素 $\hat{A}$ を表す行列の共役転置です。

ここで短い証明を示します。先ほどの計算規則を実際にどう使うかが分かるからです。定義により $\hat{A}^\dagger$ の行列要素は、

$$(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.$$

一方、随伴の定義から、

$$\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}$$

エルミート対称性を使うと $\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*$ となりますが、これは行列要素 $A_{ji}^*$ にほかなりません。したがって、

$$(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}$$

となり、性質が証明されました。有限次元では、作用素がエルミートか、ユニタリかなどを、具体的な行列計算で確認できます。

3. 参考文献