ヒルベルト空間とディラック記法

1. 双対性の考え方

双対性はこの授業全体を貫く主題です。まず直感的な解釈を試みましょう。数学における双対性はさまざまな状況を含みますが、ヒルベルト空間では単純かつ深い考えを表します。ベクトルはそれ自体が一つの対象であるだけでなく、ほかのベクトルに作用して数を生み出す作用素と見ることもできるのです（つまり線形汎関数として見られます）。量子力学では、こうして得られる数は確率振幅です。

量子論の形式体系はこの二つの側面を十分に活用しています。ディラック記法は、それらを容易に扱うための巧妙な表記体系です。$\ket{u}$ と記すケットは空間のベクトルを表し、$\bra{u}$ と記すブラはそれらに作用する線形汎関数を表します。組合せ $\langle u|v\rangle$ はブラケットと呼ばれるスカラーを生み、$\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j}$ の形の式は作用素を記述します。

この記法は量子物理学の標準言語となっており、十分に習熟することが不可欠です。この授業の後に計算規則をまとめた公式集を用意します。実際、背後の数学を本当に理解しなくても、これらの記号の操作を覚えることはできます。しかし深い意味を理解するには、ここで概説する課題に取り組む必要があります。ベクトルと線形汎関数を完全に対応づける構成を理解し、そこからなぜもう一つの本質的な対象である作用素の随伴が自然に定義されるのかを理解するのです。

次節では、ベクトル空間とその代数的双対、すなわちそのすべての線形汎関数の集合との間に、そのような同型を構成しようとします。それが不可能であることが分かります。有限次元ベクトル空間は確かに双対と同型ですが、その同型は標準的ではありません（任意に選んだ基底に依存します）。無限次元では状況はさらに悪くなり、そのような同型自体が存在しません。こうした障害により、ベクトルと線形汎関数を自動的に同一視することはできず、ヒルベルト空間のより豊かな構造を用いる必要が生じます。

第3節では、この追加構造を利用して困難を克服する方法を示します。内積を使い、いわゆる位相的双対をなす連続線形汎関数に限定すると、注目すべき結果が得られます。リースの定理によれば、任意の次元のヒルベルト空間とその位相的双対の間には、標準的な反線形等長同型が存在します。

この結果はディラック記法を厳密に基礎づけます。第4節と第5節でその記法（ケット、ブラ、線形作用素）を詳しく述べ、続いてリース同型から作用素の随伴という概念が自然に現れることを示します（第6節）。第7節では構成全体を一枚の図にまとめます。この授業では一貫して体 $\mathbb{C}$ 上で考え、有限次元の場合を具体例として理論を説明します。

2. 線形汎関数と代数的双対

$E$ を $\C$ 上のベクトル空間とします。その代数的双対 $E^*$ を、$E$ 上の線形汎関数、つまり線形写像 $\varphi : E \to \C.$ 全体の集合と定義します。

有限次元 $n$ の場合、$E$ の基底 $(e_1,\dots,e_n)$ を固定すると、$E^*$ における対応する線形汎関数の族 $(\theta_1,\dots,\theta_n)$ を、次の関係で定義できます。

$$\theta_j(e_i)=\delta_{ij}$$

この族は線形独立で空間全体を生成するため、$E^*$ の基底（双対基底と呼ばれるもの）であると証明できます。したがって $\dim(E^*) = \dim(E)$ であり、$E$ と $E^*$ は同型です。同型の一つは、各ベクトル $x = \sum x_i e_i$ に線形汎関数 $w_x = \sum x_i \theta_i$ を対応させる写像 $T$ です。

しかし、この同型 $T$ は $E$ の基底の最初の選択に依存するという意味で、いわば人工的です。基底を変えると写像 $T$ も変わります。したがって、ベクトル空間とその代数的双対の間には標準的（自然）な同一視はありません。

無限次元では、代数的双対の次元が真に大きいため、$E$ がその代数的双対と同型になることはないという古典的結果があります（Erdös–Kaplansky の定理を参照）。例えば $E$ の代数的次元が可算なら、その代数的双対の代数的次元は非可算です。

したがって、どちらの場合にも、ベクトルと線形汎関数を標準的に同一視することはできません。

3. 位相的双対とリースの定理

ヒルベルト空間 $\H$ では、内積に付随するノルムにより、線形汎関数のうち連続なものを区別できます。$\varphi : \H \to \C$ が $x_0$ で連続であるとは、

$$\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0 : \|x - x_0\|_\H < \delta \implies |\varphi(x) - \varphi(x_0)| < \varepsilon,$$

が成り立つことです。また、一点で連続なら、線形性により至る所で連続です¹。連続線形汎関数の集合は代数的双対のベクトル部分空間をなします。これを位相的双対と呼び、引き続き（記号を流用して）$\H^*$ と書きます。

注意：このノルムは、後に登場する作用素ノルムの特別な場合です（第 1.5 (テーマ 4, 課 3, この言語では未公開)節を参照）。上の構成そのものは任意のノルム空間に適用できます。ヒルベルト空間に特有なのは次の定理です。内積を用いて、連続線形汎関数とベクトルとの間に全単射の対応を構成できます。

$\mathcal{H}$ から $\H^*$ への写像 $\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle$ は、前ヒルベルト空間だけを仮定しても単射であることに注意します。実際、$\varphi_u = \varphi_v$ なら、$\mathcal{H}$ の任意の $x$ について $0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle$ です。$x = u - v$ と選び、内積の正定値性を使うと $u = v$ が従います。

リースの定理は、この写像がさらに全射でもあると述べています。これは自明ではなく、ヒルベルト空間に限って成り立ちます。例えば不完備な前ヒルベルト空間では、その空間内のベクトルとの内積として表せない連続線形汎関数があるため、全射ではありません。

こうしてリースの定理は、求めていた $\mathcal{H}$ と $\mathcal{H}^*$ の間の全単射 $\Phi$ を与えます。次の系が得られます。

証明.

1. 反線形性は $\H$ の内積の反線形性から従います：$\Phi(\lambda u) = \varphi_{\lambda u} = \langle \lambda u, . \rangle = \lambda^* \langle u, . \rangle = \lambda^* \, \varphi_u = \lambda^* \, \Phi(u)$。
2. 等長性、つまり $\|\Phi(u)\|_{\H^*} = \|u\|_\H$ を示しましょう。まず $$\|\varphi_u\|_{\H^*} = \sup_{\|x\|=1} |\langle u,x\rangle| \leq \|u\|_\H$$ がコーシー–シュワルツの不等式から従います。次に、$u \neq 0$ のとき $x = u/\|u\|$ で等号が達成されることに注意します。$u = 0$ の場合は自明です。
3. 等長全単射 $\Phi$ を用い、次の定義によって $\H$ の内積を $\H^*$ に移します。 $$\langle \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} \equiv \langle \Phi^{-1}(\varphi_v), \Phi^{-1}(\varphi_u) \rangle_{\mathcal{H}} = \langle v, u \rangle_{\mathcal{H}}.$$ $\Phi$ の反線形性を補うため、順序を逆にしたこと（u, v でなく v, u）に注意してください。実際に $\H^*$ 上のこの内積の半双線形性を確認します。 $\langle \lambda \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} = \langle \varphi_{\lambda^*u}, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} = \langle v, \lambda^*u \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda^* \langle v, u \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda^* \langle \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*}$。内積のほかの公理も容易に証明できます。
4. この内積が誘導するノルムは $$\sqrt{\langle \varphi_u, \varphi_u \rangle_{\H^*}} = \sqrt{\langle u,u \rangle_{\H}} = \|u\|_\H = \|\varphi_u\|_{\H^*},$$ を満たし、したがって双対ノルムと一致します。
5. 最後に、完備空間からの等長全単射は完備性を保つので、$\H^*$ の完備性、したがってヒルベルト空間であることが保証されます。この事実はここでは証明なしに認めます。

このように $\H^*$ はヒルベルト空間の構造を受け継ぎ、$\Phi$ はヒルベルト空間の（反線形）同型になります。 □

4. ディラック記法：ブラ、ケット、ブラケット

ディラック記法は、リース同型を書き直したものにほかなりません。まずケット、ブラ、ブラケットを定義し、それを使って前の授業で学んだヒルベルト基底による展開を書き直します。

1. ケット。 ベクトル $u \in \mathcal{H}$ をケットの形で次のように記します。 $$\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }$$

   線形構造から次の計算規則が得られます。

   $$\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}$$
2. ブラ。 各ベクトル $u \in \H$ には、$\Phi$ を通じて汎関数 $\varphi_u$ が対応します。この線形汎関数をブラと記し、その中には対応するベクトルを書きます。 $$\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }$$

   したがって $\bra{u}$ は、ベクトル $u$ を線形汎関数として見たもの、つまり« $u$ との内積をとって数を返す »という操作を表します。次の計算規則があります。

   $$\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned}$$ これらは $\Phi$ の反線形性の帰結です。
3. ブラケット。 上の二つの表記の工夫により、内積（英語では bracket、または inner product）をブラとケットの積として表せます。 $$\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}$$

   この記法は、実際には線形汎関数 $\bra{u}$ がベクトル $\ket{x}$ に作用することを表しています。

   $$\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.$$
4. ヒルベルト基底展開。 ヒルベルト空間の次元によらず、展開公式 $u = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i$ を学びました。和は有限であるか、$I$ が無限なら $\mathcal{H}$ で収束します。ディラック記法では次のようになります。

   $$\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }$$

   (1)

   ここで $u_i$ は、この基底におけるケット $u$ の成分です。$e_i$ への直交射影により $u_i = \braket{e_i}{u}$ として得られるのであって、$u_i^*$ に等しい $\braket{u}{e_i}$ ではないことに注意してください。これはよくある誤りです。おそらく、$\R^n$ 上の通常のベクトル計算ではベクトル $\vec{v}$ の成分 $v_i$ を $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$ で求めるため、量子論でも $u_i = \braket{u}{e_i}$ と考えてしまうのでしょう。しかしそれは $\C$ 上の内積の半双線形性を無視することであり、直ちに計算の誤りにつながります。

   ブラについては、

   $$\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }$$

   (2)

   となり、ノルムの二乗は

   $$\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i$$

   (3)
   と書けます。二つ目の等号はパーセバルの等式です。
5. « dagger » 操作。 同型 $\Phi$ を用いる操作（ケットからブラへ）は、通常、上付き記号 $\dagger$ で表します。ブラからケットへの逆同型 $\Phi^{-1}$ も同じ記号で書くことにします。これにより dagger は対合になります。この表記上の約束により、 $$\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{（写像 } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{（写像 } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{（対合）} \end{aligned}$$

これらを有限次元の場合に具体的に示しましょう。 次元 $n$ の $\H$ とヒルベルト基底 $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ を選び、標準内積を備えるものとします（第 3.1 (テーマ 2, 課 1)節を参照）。基底のケットを標準的に列ベクトル、すなわち $(n,1)$ 行列で表すと、

$$\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}$$

となります。$1$ は第 $i$ 成分に置かれています。これにより、すべてのケット $\ket{u}$ が列ベクトルとして

$$\ket{u} = \sum_{i=1}^n u_i \ket{e_i} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,$$

と書けます。ただし $u_i = \braket{e_i}{u}$ です。ベクトル $u$ に対応する線形汎関数 $\varphi_u$ は、任意のベクトル $v$ に対して

$$\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i, \quad \text{（標準内積、空間は } \C^n)$$

を満たす必要があります。この和を得るには、$\bra{u}$ を $u$ の共役座標からなる大きさ $(1, n)$ の行ベクトルで表さなければなりません。

$$\bra{u} = \left(u_1^*, u_2^*, \cdots, u_n^*\right),$$

こうすると内積 $\braket{u}{v}$ が通常の行列積として得られるからです。

$$\begin{aligned} \braket{u}{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}$$

例えば2次元では、

$$\ket{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \bra{u} = (1, -i)$$

以上から次の結果を得ました。

無限次元では転置が定義されていないため、この記述には意味がありません。ただし、空間 $\ell^2(\N)$ の標準基底で無限の列ベクトルや行ベクトルを考え、有限和を収束級数で置き換えると、比較的似た状況になります。直感を得るには有用ですが、厳密な意味での行列や転置ではありません。

5. 作用素、行列要素、恒等作用素の分解

ディラック記法の説明を続け、今度は $\mathcal{H}$ から $\mathcal{G}$ への線形写像（線形作用素とも呼びます）$\hat A$ も導入します。$\mathcal{G}$ は別のヒルベルト空間です。

作用素の表記。 まず、物理では作用素にハットを付けるのが標準的です。作用素 $\hat A$ がベクトル $v$ に作用すると、ベクトル $\hat A v$ が得られます。そのためディラック記法では二つの同値な書き方があり、後者がよりよく使われます。

$$\boxed{v = \hat A \, u \quad \longleftrightarrow \quad \ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u} \equiv \hat A \ket{u}}.$$

同様に、作用素を含む内積は次のように書けます。

$$\boxed{\langle w, \hat A \, u \rangle \quad \longleftrightarrow \quad \braket{w}{\smash{\hat{A}} u} \equiv \bra{w} \hat A \ket{u} }$$

見た目の簡潔さから、後者の表記がより一般的です。

行列要素。 上式で $\bra{w} = \bra{e_i}$ および $\ket{u} = \ket{e_j}$ とした場合は、作用素 $\hat A$ の行列要素と呼ばれるものを定義するため、特に重要です。

無限次元では、$\ket{e_i}$ が作用素 $\hat A$ の定義域に属する必要があるため、この式は常に意味をもつとは限りません。これについては後に戻ります。一方、有限次元では定義は明確です。基底ベクトルを列ベクトルで表すと、線形作用素はそれを表現する行列と一対一に対応します。したがって $\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ と書き、$A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$ です。上の等式 $\ket{v} = \hat A \ket{u}$ は通常の行列積 $\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}$ となり、内積は $\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C$ と書けます。

ケット・ブラ作用素。 ブラケットは数ですが、ケット・ブラは外積と呼ばれる作用素です（微分形式の外積とは無関係です）。実際、同じヒルベルト空間 $\H$ の二つのベクトル $\ket{u}$ と $\ket{v}$ に、$\H$ から $\H$ への作用素 $\ket{u}\bra{v}$ を次のように対応させます。

$$\begin{aligned} \ket{u}\bra{v} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{x} \mapsto \ket{u} \underbrace{\braket{v}{x}}_{\in \mathbb{C}} = \braket{v}{x} \, \ket{u}. \end{aligned}$$

ここでも、有限次元では $\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j}$ が特に重要です。これは行列要素が第 $i$ 行、第 $j$ 列の「1」以外すべてゼロである作用素です。対応する行列は、

$$\begin{aligned} E_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}, \end{aligned}$$

有限次元では、任意の線形作用素 $\hat{A}$ は行列要素を用いて次のように展開できます。

$$\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\hat E_{ij} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }$$

ここで $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$ です。無限次元ではこの展開が常に可能とは限らず、可能な場合も強収束の意味で理解する必要があります。後の授業で再び扱います。

恒等作用素の分解。 $\mathcal{H}$ の恒等作用素を $\mathbf{1}$ と記し、任意の $\ket{x} \in \mathcal{H}$ に対し自明な関係 $\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x}$ で定義します。有限次元では、明らかに単位行列で表されます。より一般に、次の公式があります。

これは可算無限次元でも成立し、その場合は級数が強収束します。恒等作用素の分解または完全性関係とも呼ばれます。この公式は量子力学のあらゆる計算に非常に有用です。非可分空間では成立しないことに注意してください²

6. 随伴作用素

リース同型に戻り、$\mathcal{H}$ から $\mathcal{G}$ への連続線形作用素³ $\hat{A}$ を考えます。$\H$ と $\G$ は二つのヒルベルト空間で、$\H = \G$ でも構いません。

$\hat{A}$ がケット $\ket{u} \in \mathcal{H}$ に作用すると、新しいケット $\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}$ が得られます。リース同型によってベクトル $\ket{v}$ に対応するブラは何か、つまり $\G$ 上の線形汎関数 $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$ は何か、と問うのは自然です。そこから新たな作用素、$\hat{A}$ の随伴が自然に現れます。これも $\hat{A}^\dagger$ と記します。この作用素は量子力学で本質的な役割を果たします。

$\bra{v} = \langle \hat{A}u |$ を求めるため、任意のケット $\ket{w} \in \mathcal{G}$ を固定し、$\H$ 上の線形汎関数を考えます。

$$\begin{aligned} \varphi : \begin{array}{rcl} \mathcal{H} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\[4pt] \ket{u} & \longmapsto & \langle \hat{A}u, w \rangle_{\mathcal{G}} \end{array} \end{aligned}$$

（上の添字 $\G$ は内積をとる空間を示しています。）ここでは、$\hat{A}$ が連続作用素なら $\varphi$ は $\mathcal{H}$ 上の連続線形汎関数であると認めます。$\mathcal{H}$ にリースの定理を適用すると、$\varphi = \varphi_z$ を満たす一意なベクトル $\ket{z} \in \mathcal{H}$ が存在します。すなわち、

$$\forall\, \ket{u} \in \mathcal{H}, \quad \varphi(u) = \langle \hat{A}u, w \rangle_{\mathcal{G}} = \varphi_z(u) = \langle u, z \rangle_{\mathcal{H}}.$$

上の構成により、$\G$ のベクトル $\ket{w}$ に $\H$ の一意なベクトル $\ket{z}$ を対応させられました。この操作は、随伴作用素と呼ばれる作用素 $\hat{A}^\dagger$ の作用として、形式的に $\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}$ と記せます。作用素 $\hat A$ が $\H$ から $\G$ へ作用するのに対し、随伴は $\G$ から $\H$ へ作用します。

この構成をすべての $\ket{w}$ について行うと、定義された作用素自体が連続線形作用素であることを容易に確認できます。次の基本結果が得られます。

随伴には、形式的な量子計算において二つの実用的な用途があります。

1. 上式は、いわば« $u$ と $w$ の位置を固定したまま、随伴をとることで作用素を左から右へ移せる »ことを示します。
2. 内積のエルミート対称性 $\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*$ を使うと、さらに、
   $$\boxed{\forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}$$

   (7)

   となります。今度は« 随伴をとると、複素共役を伴ってブラとケットを入れ替えられる »ことが分かります。

これら二つの恒等式は同値です。もちろん、始域と終域 $\H$ と $\G$、そして $\H$ と $\G$ のどちらの内積を使うのかに注意する必要があります。ただし実際にはほとんど常に $\H = \G$ であり、記法はその分簡単になります。

先ほどの構成を有限次元の場合に具体化しましょう。次の主要な結果があります。

証明.

定義により $\hat{A}^\dagger$ の行列要素は、 $$(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}^\dagger \ket{e_j} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.$$

随伴の定義から、

$$\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}$$

またエルミート対称性から、

$$\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^* = \bra{e_j}\hat{A} \ket{e_i}^* = A_{ji}^*$$

したがって次が証明されました。

$$(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}$$

□

ケット $\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u}$ に標準的に対応するブラ $\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u}$ は何か、という問いにはまだ明示的に答えていません。公式 (6) は、任意のベクトル $w$ について成立する内積を通して答えを与えます。そのため、

$$\forall w \in \mathcal{G}, \quad \braket{\hat{A} u}{w}_{\mathcal{G}} = \bra{u} \hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}} \;\Rightarrow\; \boxed{\bra{\hat{A} u} = \bra{u} \hat{A}^\dagger}$$

と書けます。この結論では、任意のベクトル $w$ 上で一致する二つの線形汎関数は等しいことを使っています。ただし、この対象の意味を正しく理解することが重要です。この表記から« 随伴はブラに左向きに作用する »と考えるのは、よくある誤解です。それは誤りです！$\bra{u} \hat{A}^\dagger$ は実際には作用素の合成であり、左への作用ではありません。実際、始域と終域は、

$$\begin{aligned} \hat A^\dagger &: \mathcal G \to \mathcal H, \\ \bra{u} &: \mathcal H \to \mathbb{C}, \end{aligned}$$

です。したがって $\bra{u} \hat A^\dagger$ は合成 $\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}$ であり、確かに $\mathcal{G}$ 上の線形汎関数です。通常は記号 $\circ$ を省略するため、混乱が生じることがあります。

最後に、$\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger$ から dagger をとることで、次の便利な公式が得られます。

次の図は、この授業で見たブラ、ケット、作用素 $\hat A$ とその随伴の関係をまとめています。

この節の最後に、随伴をとる操作の重要な性質をいくつか挙げます。

証明.

（合成の場合）：任意の $\ket{u} \in \mathcal{H}$ と $\ket{w} \in \mathcal{G}$ について、基本恒等式 (6) を2回使います。 $$\braket{(\hat{A}\hat{B})u}{w} = \braket{\hat{A}(\smash{\hat{B}}u)}{w} = \braket{\smash{\hat{B}}u}{\smash{\hat{A}}^\dagger w} = \braket{u}{\smash{\hat{B}}^\dagger(\smash{\hat{A}}^\dagger w)} = \braket{u}{(\smash{\hat{B}}^\dagger \smash{\hat{A}}^\dagger) w}.$$

随伴の一意性から結論が従います。 □

7. 参考文献