ヒルベルト空間とディラック記法

1. $L^2(\mathbb{R})$ の一般化連続基底

モデル空間 $L^2(\R)$ は第 3.3 (テーマ 2, 課 1) 節ですでに詳しく説明しました。特に、可算なヒルベルト基底を示しました。したがって、任意の物理状態はエルミート関数を基底とする級数に展開できます。しかし残念ながら、これらの関数の具体的な式はかなり複雑です。

そこで別の「基底」が考案されました。これはヒルベルト基底の意味では本当の基底ではなく、いわゆる一般化連続基底です。ここでの無限次元への移行は繊細であり、厳密な構成には次のテーマである線形作用素論の道具が必要です。そのため今は以下の公式を認めます。ただし、これはこの「基底」でディラック記法を使うための手引きであり、確立された数学的構成ではないことを意識してください。

1.1. 位置表示における一般化基底

それでも、いくつかの考え方を示してみましょう。まず「位置」と呼ばれる自己共役作用素を導入し、 $\hat{X}$ と記します。これはヒルベルト空間 $L^2(\mathbb{R})$ の関数に乗算で作用します。

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

定義域に注意。 この式が意味をもつのは、関数 $x\,\psi(x)$ が依然として $L^2(\R)$ に属するときだけです。しかし、常にそうとは限りません。二乗可積分関数の中には、$x$ を掛けると二乗の積分が発散するものがあります。¹ したがって、作用素 $\hat{X}$ を $L^2(\R)$ 全体で定義することはできず、 作用の結果が $L^2$ にとどまる関数の部分空間でのみ定義できます。

明確に定義され、$L^2$ で稠密であり、通常の操作に関して閉じた定義域を得るため、 ここでの操作は微分、$x$ による乗算、フーリエ変換ですが、 シュワルツ関数の空間 $\mathcal{S}(\R)$ を導入します。

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

言い換えると、これは急減少する滑らかな関数の空間です。 関数 $f$ とそのすべての階数の導関数が、 $x$ のどの逆べきよりも速くゼロへ近づきます。

空間 $\mathcal{S}(\R)$ は、

• $L^2(\R)$ で稠密です。$L^2$ の任意の関数は $\mathcal{S}$ の関数で任意の精度で近似できます。
• 微分、$x$ による乗算、 およびフーリエ変換に関して閉じています。

したがって、位置作用素 $\hat{X}$ と運動量作用素 $\hat{P}$ を適切に定義するための自然な定義域です。 ディラック形式やゲルファント三つ組の厳密な構成も、この空間を基盤とします。

これらの注意を踏まえると、今のところ純粋に形式的に² $\hat{X}$ の固有状態を次のように書けます。

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

これらのケット $\ket{x}$ は一般化連続基底と呼ばれるものをなします。つまり、$L^2(\R)$ の元を連続的な重ね合わせとして表現できますが、$\ket{x}$ 自体はヒルベルト空間のベクトルではありません。

実際、正規化できないため、厳密な意味でのケットではありません。その理由を見ましょう。この族は非可算なので、その正規直交性は離散的なクロネッカー記号 $\delta_{ij}$ では書けず、その« 連続版 »を使って、

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

特に、

と書きます。ここで導入したディラックのデルタ $\delta(x)$ は通常の関数ではなく、数学の超関数論における超関数です。積分の中での作用により定義します。

ここで $f$ はシュワルツ空間の任意の試験関数です。$\delta(x)$ を単独で考えても意味はなく、数ですらないことを理解する必要があります。実際、$\delta$ は試験関数に作用する線形汎関数 $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$ です³。したがって、積分 (2) の中での作用のみによって定義され、値 $\delta(x)$ によって定義されるものではありません。

どうしても関数として考えたいなら、ゼロの周りにますます集中する関数列の極限、例えばますます鋭くなるガウス関数の極限と見ることができます。

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

あるいは、ゼロを中心とし、幅がゼロへ、高さが無限大へ向かう長方形でも構いません。いずれの場合も、この見方ではデルタは極限で、$x = 0$ 以外ではゼロで、その点では発散する「関数」のように見えますが、曲線下の総面積は1のままです。

そのため物理では $\delta(0) = \infty$ と書くこともありますが、ここでの記号と意味の拡張には十分注意が必要です。いずれにせよ、式 (1) からケット $\ket{x}$ が正規化されていないことが分かります。ディラックのデルタには、極めて有用で、おそらくこの節で最も重要な公式である積分表示もあります。

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

ここでも等号は超関数論の意味で理解しなければなりません。この積分は明らかに収束せず、それ以外には意味をもたないからです。

位置作用素 $\hat{X}$ の「行列要素」は $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$ です。前節の有限次元の場合と比べ、この呼び方を引き続き使いますが、$\hat{X}$ を通常の行列で表すことはできません。超関数の意味で対角な「連続添字の行列」を想像することはできますが、対角線 $x = x'$ 上の値そのものには意味がありません。$x\,\delta(0)$ は実数ではないからです。おそらくここに、有限次元の線形作用素、すなわち行列と、無限次元の線形作用素との根本的な違いが現れています。

一般化基底では、恒等作用素の分解は、

と書けます。これにより、ヒルベルト空間の任意のケット $\kpsi$ の連続基底上の展開を積分として表せます。

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

ここで波動関数を

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

と定義しました。同様に、$\kpsi$ に共役なブラは、

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

と展開できます。内積のエルミート対称性 $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$ を使いました。

ベクトル $\hat{X} \psi$ の $x$ における成分は、定義により $\braket{x}{X\psi}$ ですが、ここでも見た目の簡潔さから、式 (4 (テーマ 2, 課 2)) と比較して、通常は 次のように書きます。

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. 運動量表示

質点の量子力学では、同様に $L^2(\mathbb{R})$ に属する波動関数 $\psi(x)$ への作用によって運動量作用素を導入します。

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

ここでもシュワルツ空間を定義域とする必要があります。そうすれば波動関数は微分可能で、その導関数も二乗可積分です。

$\hat{P}$ が確かに自己共役作用素であると確かめることは、この章の良い応用演習です。そのため、まず微分作用素そのものを考え、次のように記します。

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

これは線形作用素です。微分は線形であり、$(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$ だからです。この作用素は無限次元の関数空間上で微分的に作用するため、有限次元のように行列で表せないことは明らかです。したがって共役転置によって随伴を計算することはできませんが、随伴の定義を使えば計算できます。$\mathcal{S}(\R)$ の二つの試験関数 $\phi$ と $\psi$ に対し、

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

が成立します。定義 2 (テーマ 2, 課 2) を参照してください。左辺に恒等作用素の分解を挿入すると、

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

となり、作用素 $\hat{D} = d/dx$ の随伴が $-\hat{D} = -d/dx$ であることが分かります。上の計算では、1行目でブラとケットの間に恒等作用素の分解を挿入し、2行目で展開し、3行目でエルミート対称性を使いました。4行目では $\hat{D}$ と波動関数の定義を使い、5行目では $\R$ 上で部分積分しました。シュワルツ空間の関数はどのべきよりも速く減衰するため、無限遠の境界項はゼロです。最後の数行では波動関数から内積へ戻り、恒等作用素の分解をまとめて取り除きました。したがって運動量作用素は確かに自己共役です。実際、

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

$\hat{P}$ の自己共役性により、その固有値、すなわち可能な運動量は実数であり、固有関数は一般化された意味で、ディラック超関数を通じて状態空間の完全な基底をなすことが保証されます。

運動量の固有状態。 まったく同様に、一般化された「ケット」$\ket{p}$ を $\hat{P}$ の固有状態として定義します。

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

位置表示では、対応する波動関数は $\bra{x}$ に射影して得られます。

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

これは単純な微分方程式で、解は、

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

です。この式は、位置表示と運動量表示を結ぶ変換がまさにフーリエ変換であることを示します。

直交性と完全性。 ケット $\ket{p}$ は $\ket{x}$ と同様の関係を満たします。

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

運動量表示の波動関数を次のように定義します。

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

したがって変換 $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ はフーリエ変換であり、逆変換は、

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

基本交換関係。 最後に、作用素 $\hat{X}$ と $\hat{P}$ は正準交換関係を満たします。

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

この関係が質点の量子力学全体の基礎です。実際、この節のすべての公式はこの正準関係だけから導かれます。X と P のこの代数について可能なヒルベルト空間表現は、先ほど書いたものだけであることが証明されます。特に $X$ は x の波動関数に乗算で作用し、P は微分で作用し、逆の表示では役割が入れ替わります。この重要な結果はストーン–フォン・ノイマンの定理と呼ばれ、後に詳しく説明します。

1.3. ディラックのデルタの性質

この節とこの章の最後に、ディラックのデルタに関する便利な公式を挙げます。常に超関数の意味、つまりデルタが積分記号の下にある場合として理解してください。

対称性：

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

斉次性：

任意の実数 $a \neq 0$ に対し、

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

変数変換：

$f$ が滑らかな関数で、単純零点 $\{x_i\}$ が $f(x_i) = 0$ を満たすなら、

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

デルタの導関数：

超関数の意味での微分は、次で定義されます。

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. 参考文献