この講義では、まずヒルベルト空間が代数学と位相数学という大きな分野のどこに、どのように位置づくかを示し、その正確な定義を与える。最終的にヒルベルト空間の分類定理、すなわちヒルベルト次元が同じ二つの空間は等長同型であるという結果に到達する。ヒルベルト次元をベクトル空間の代数的次元と混同してはならない。両者が一致するのは有限次元だけである。有限次元、可算無限次元、非可算無限次元の各場合の標準的なモデル空間を挙げ、初等量子力学での用途を概観する。最後に、同型で結ばれたヒルベルト空間が定める物理は不変なのか、という問題への入口を示す。

1. 物理学における数学的構造

ヒルベルト空間へ進むため、理論物理でよく使う「数学の地図」を簡単に復習する。次のページは、非常に簡略化され、大幅に不完全ではあるが、本講義には十分な地図である。図 (1)を参照。

点の集合という直観的な概念から始めるなら¹、その集合に少しずつ構造を付け加えていく。この図を以下で順に説明する。

1.1. 代数的構造とベクトル空間

点の集合から、地図 (1)の左の枝、代数的構造へ直接進むことができる。これらは一般に数の集合を記述するために使われるが、それに限られない。

そのために、集合に一つ以上の内部演算を加える。演算が結合法則、交換法則、単位元の存在などの規則を満たすにつれて、具体的な構造が得られる。

図にはいくつかの基本構造、マグマ（特別な性質を要求しない内部演算を一つもつ集合）、群、環、体を示した。半群、モノイド、非可換環など、ほかにも多くあるが、図を読みやすくするため省略している。各構造は前の構造を特殊化したもので、体は環、環は加法について群である。特に重要なのは体である。実数や複素数に通常の四則演算を備えたものが体だからである。また、体の上にベクトル空間を構成できる。

すると線形結合を作り、線形独立な族、生成する族、基底、次元を考えられる。本章では二つの基底の概念を区別する必要がある。すべてのベクトル空間で定義される代数的基底と、ヒルベルト空間でのみ使うヒルベルト基底である。有限次元では一致するが無限次元では異なる。同様に代数的次元とヒルベルト次元も区別しなければならない。そこで必要な復習を行おう。

これは通常の別の定義と同値である。すなわち族$(e_i)_{i \in I}$が基底であることは、線形独立で、かつ$E$を生成することと同値である。基底によってベクトル空間の次元を定義できる。

無限次元の場合でさえ、代数的基底の定義は各ベクトルを基底ベクトルの有限和に分解することを要求する。実際、まだ無限和による分解を許すわけにはいかない。和が収束するかを知る必要があり、そのためには位相が必要だからである。ヒルベルト空間ではこれが可能になり、適切なヒルベルト基底の概念につながる。2.3節を参照。

自然な疑問は、異なるベクトル空間がどれだけあり、それらを分類できるか、ということだ。代数的には可能である。そのためには同値関係が必要であり、ベクトル空間の同型を使う。これは二つのベクトル空間$E$と$F$の間の、線形構造を保つ一対一対応である。

注意：この定義は純粋に代数的である。$E$と$F$にベクトル構造と両立する位相がある場合、位相同型という概念を区別する。さらに$T$と$T^{-1}$がともに連続であることを要求する。ノルム空間とヒルベルト空間の場合に再び取り上げる。

すると次の重要な定理がある。

したがって$\mathbb{K} = \R$または$\C$上では、有限次元$n$のベクトル空間のモデルは実質的に一つしかない。それぞれ$\R^n$または$\C^n$、すなわち実数または複素数を成分とする$n$成分ベクトルの集合である。

無限次元でも分類の原理は同じである。選択公理を認めれば、すべてのベクトル空間が基底、いわゆるハメル基底をもつことを示せる。分類定理は、同じ体$\mathbb{K}$上の二つのベクトル空間が同型であることは、基底の濃度が等しいことと同値である、と一般化される。

無限基底の濃度は超限基数で表され、無限の異なる「大きさ」を区別する。最小の無限基数を$\aleph_0$と書く。これは$\mathbb{N}$だけでなく$\mathbb{Z}$や$\mathbb{Q}$の濃度でもある。その後、階層$\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$を帰納的に定め、$\aleph_{n+1}$は$\aleph_n$より真に大きい最小の基数とする。両者の間に基数はない。数理論理における連続体仮説は、$\mathbb{N}$と$\mathbb{R}$の間の濃度の無限は存在しないという仮定であり、その場合$\aleph_1$が$\mathbb{R}$の濃度になる。

ただし、ハメル基底は一般に明示的に構成できないため、この分類の実用性は限られる。 ベクトル空間の分類は主に理論的なものにとどまる。ノルム空間やヒルベルト空間では事情が変わり、少なくともヒルベルト次元が有限または可算無限の場合、正規直交基底を明示できる。3節を参照。

しかしヒルベルト空間に到達する前に、数学の地図の中央の枝をたどり、距離空間とノルム空間を考える必要がある。

1.2. 距離空間とノルム空間

地図 (1)の中央の枝では、まず点集合に位相を備える。詳細は別の章「ノルム空間とヒルベルト空間の位相」で扱う。ここでは、位相が局所性の概念を与え、それにより収束、極限、連続性を定義できると覚えておけばよい。特に距離空間は位相空間である。点集合に距離を備え、その距離で局所性を定める空間である。

ここまで来ると、地図 1の代数と位相の枝を合流できる。基礎となる集合$X$がベクトル空間である距離空間、言い換えれば距離をもつベクトル空間を考えるのである。これにより、量子力学で根本的に重要な構造で、ヒルベルト空間を特別な場合として含むノルム線形空間、すなわちノルム空間に至る。

ただし、どんな距離でも許したいわけではない。空間は線形なので、ベクトル構造と両立する距離を求める。

これらは距離がベクトル空間の幾何に沿うことを表す。平行移動に対して不変であることは空間の一様性に対応し、相似拡大は距離の比を保つ必要がある^{2  3}。次の主張でノルム空間に進む。$d$がベクトル空間$E$上の両立する距離なら、原点、すなわち零ベクトルからの距離$\norm{x} = d(x, 0_E)$はノルムである。

証明.

実際、ノルムを定義する次の性質を満たす。

1. $\|x\| \geq 0$、かつ$\|x\| = 0 \iff x = 0_E$。
2. $\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|$、任意の$x \in E$と$\lambda \in \mathbb{K}$に対して。
3. $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$、任意の$(x,y) \in E^2$に対して。

□

このような距離をもつベクトル空間がノルム線形空間である。

任意のノルム線形空間$(E, \|\cdot\|)$は$d(x,y) = \|x-y\|$によって標準的に距離空間$(E, d)$を定め、その距離は自動的にベクトル構造と両立する。したがってノルム線形空間は距離空間の特別な部分類と一対一に対応し、この意味でその部分集合である。

2. ヒルベルト空間

こうして図 (1)のノルム空間まで来た。ノルム線形空間は通常、単にノルム空間と呼ばれ、フランス語では略語EVNもよく使う。次に前ヒルベルト空間、そして量子力学の数学的枠組みであるヒルベルト空間を定義する。

量子力学は複素数上で構成されるため、以後$\mathbb{K} = \C$に限る。これまではベクトル空間とノルム空間に$E$と$F$を用いた。今後（前）ヒルベルト空間には$\mathcal{H}$と$\mathcal{G}$を使う。ベクトルは引き続き$x, y, z$などと書く。

2.1. 前ヒルベルト空間と内積

前ヒルベルト空間は、ノルムが内積から得られるノルム線形空間である。すべてのノルムがそうとは限らない。例えば上限ノルムは内積から得られない⁴。 したがって前ヒルベルト空間はノルム線形空間の真部分類である。$\C$上のエルミート内積の定義を復習する。

性質(1)と(2)から、第1引数についての共役線形性、または反線形性が従う⁵：$\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$。一方の引数に線形、他方に共役線形な写像を半双線形という⁶。以下ではエルミートという語を省き、単に内積と呼ぶ。

位相的性質を先取りして、重要な結果を述べる。内積は二変数について連続である。すなわちノルムの意味で$x_n \to x$、$y_n \to y$、つまり$\|x_n - x\| \to 0$、$\|y_n - y\| \to 0$なら、

$$\langle x_n, y_n \rangle \to \langle x, y \rangle \text{ が } \C$$

で成立する。量子測定の公準では、系が状態$\psi$にあるとき固有ベクトル$\phi$に対応する物理量の結果を観測する確率が$|\langle \phi , \psi \rangle|^2$で与えられることを見る（第 1.3 (テーマ 3, 課 1, この言語では未公開)節を参照）。内積の連続性は、状態$\psi$の小さな変化が確率の小さな変化をもたらすことを保証し、これは望ましい性質である。

内積はもう一つ基本的性質を満たす。

特にこの不等式により、記号が示唆するように$x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$が実際にノルムであることを証明できる。

証明.

ノルムの三条件を確認する。$\|x\|^2 = \langle x, x \rangle \geq 0$で、等号は$x = 0_{\H}$のとき、かつそのときに限る。これは内積の定義から直接従う。また$\|\lambda x\| = \sqrt{\langle \lambda x, \lambda x \rangle} = \sqrt{|\lambda|^2 \langle x, x \rangle} = |\lambda| \|x\|$である。最後に、 $$\begin{aligned} \|x + y\|^2 &= \langle x+y, x+y \rangle \\ &= \|x\|^2 + 2\,\Re\langle x, y \rangle + \|y\|^2 \\ &\leq \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2. \end{aligned}$$

コーシー＝シュワルツの不等式$|\langle x, y \rangle| \leq \|x\|\,\|y\|$を使うと、

$$\|x+y\|^2 \leq \|x\|^2 + 2\|x\|\,\|y\| + \|y\|^2 = \bigl(\|x\| + \|y\|\bigr)^2,$$

となり、平方根を取れば三角不等式を得る。 □

こうして次の定義に至る。

複素前ヒルベルト空間$\mathcal{H}$では、次の便利な公式がある。

最後の二式は、エルミート内積とノルムの関係を与える重要な定理につながる。フレシェ＝フォン・ノイマン＝ジョルダンの定理は、ノルム空間$E$のノルム$\|\cdot\|$が内積から生じることは、平行四辺形恒等式を満たすことと同値だと述べる。平行四辺形恒等式は内積の存在を調べる判定条件である。存在するなら、偏極公式がノルムから内積を再構成する手順を与える。

2.2. 完備性とヒルベルト空間

前ヒルベルト空間からヒルベルト空間へ進むには、欠かせない位相的概念、完備性がある。

この位相的側面も専用の章で再び扱う。今は完備性が量子物理に本質的であると述べておこう。直観的には、完備空間には「穴」がない。つまり$\mathcal{H}$の元の列が、$\mathcal{H}$の外にある何かに収束することはない。有理数にはこれが欠けている。うまく作った有理数列は有理数でない数に近づくことがあり、実際、実数はそのように構成される。

量子力学では系のあらゆる物理状態がヒルベルト空間のベクトルであり、逆も成り立つ。これが量子力学の第一公準である。状態空間が完備でなければ、例えば波動関数の時間発展がシュレーディンガー方程式の作用で「空間の外へ出て」、意味のない「非物理的状態」になりかねない。

完備性は別の基本公準にも関わる。量子測定の結果は、自己共役線形演算子としての物理的可観測量のスペクトルに対応しなければならない。しかし完備でない空間では演算子に随伴が存在するとは限らない。また自己共役演算子の構造を調べるスペクトル定理にも完備性が必要である。

さらに、フーリエ級数展開や固有状態基底への分解など、無限和を含む量子的表現が意味をもつには完備性が必要である。例えばディラック記法で$|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$と書くには（第 4 (テーマ 2, 課 2)節を参照）、この級数の存在を仮定しており、それを保証するのは完備性である。

ただし朗報もある。この完備性の微妙さが必要なのは無限次元だけであり、有限次元では次の重要な定理が問題を簡単にする。

これでヒルベルト空間の代数的記述へ進める。

2.3. 代数的基底とヒルベルト基底

ベクトル空間の代数的基底の定義はすでに復習した（定義 2）。それはベクトルを有限和に分解するものだった。ノルムが誘導する位相と完備空間を導入する主な考えは、今や列の収束を語れるということである。特に、あるベクトル$x_k$について$x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$とした部分和$(x_n)$の収束を考えられる。この和が収束すれば級数、すなわち無限和を得る。$(x_n) \to x$で、$x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$である。空間が完備なら、その極限が空間に属することが保証される。

つまりヒルベルト空間の代数的次元が無限の場合、ベクトルを無限級数に分解することが許されるようになる。これが新しい基底の概念を与える。

定義を理解するため、位相的な稠密性の概念が必要になる。

ヒルベルト空間もノルム空間なので、この定義が適用される。完全性は、$\H$の任意のベクトルを$\H$の元の有限線形結合でいくらでも近く近似できることを意味する。

代数的基底と違い、すべてのベクトルが有限線形結合に等しいとは言っていない。ヒルベルト基底の線形結合でいくらでも近く近似できるのである。完備性により、これらの近似は実際にxへ収束する。$I$の任意の濃度について、次の定理がある。

ヒルベルト基底の定義と展開定理のつながりは直ちには明らかでない。

証明.

証明の要点は二つある。まず完全正規直交系$\{e_i\}_{i \in I}$の完全性により、ヒルベルト空間の任意の点$x$への近似列を構成できる。実際、稠密性から、任意の$\epsilon > 0$に対して有限線形結合$y_\epsilon = \sum_{i \in J} \alpha_i e_i$が存在する。$J \subset I$は有限添字集合で、$|x - y_\epsilon| < \epsilon$を満たす。

第二の要点は、部分和$S_J = \sum_{i \in J} \langle e_i, x \rangle e_i$が$x$の$V_J = \mathrm{Vect}(e_i, i \in J)$への直交射影であることだ。ここでは証明せず認める直交射影の性質により、$S_J$は$x$への距離を最小にする。

$$|x - S_J| = \inf_{y \in V_J} |x - y| \leq |x - y_\epsilon| < \epsilon$$

したがって列$\epsilon_n \to 0$を取ると、$\|x - S_{J_n}\| \leq \epsilon_n$を満たす有限部分集合の列$J_n$を得る。しかし$J_n$は必ずしも増大列でないため、このままでは証明が完了しない。可算の場合、$J_n$を$J_n' = J_1 \cup \cdots \cup J_n$に置き換えれば、 $\|x - S_{J_n'}\| \to 0$を満たす有限部分集合の増大列となり、求める収束が得られる。詳細は^[6]を参照。 □

無限次元では、代数的基底の濃度は常にヒルベルト基底の濃度より真に大きい。直観は簡単である。代数的基底の有限線形結合はすべての点$x$へ正確に到達しなければならないが、ヒルベルト基底なら近似すればよい。後者は「精度が低い」ため、独立な方向が少なくて済む⁸。言い換えると、ヒルベルト基底の有限線形結合は空間のごく一部、$\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$しか作らない。一般に$\mathcal{H}$のベクトルを表すには収束する無限級数が必要である。

最後に、量子物理の数学で非常に有用な別の公式を挙げる。

2.4. ヒルベルト次元と分類

すべてのヒルベルト空間の分類に必要な材料はほぼそろった。残る基本的不変量はヒルベルト次元である。

分類には最後に、ヒルベルト空間の間の適切な同値関係が必要である。定義 4のベクトル空間の同型を、まずノルム空間へ、次いでヒルベルト空間へ広げる。今は連続性の直観的理解で十分である。

$T$が内積を保てば、$T$は自動的にノルムを保つ。すなわち$\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$である。これが等長写像（線形全単射）と呼ぶ理由である。分類の基礎となるのは次の定理である。

ここで次元とは、もちろんヒルベルト次元である。すべてのヒルベルト空間はこれらのモデルのいずれかと等長同型で、分類は完全である。次節では、ずっと後に再び扱う非可算無限次元を除いて詳しく説明する。これらは自由度が有限（例えばスピン）、可算無限（例えば質点の量子力学）、非可算（例えば場の量子論）の量子系の参照空間になる。

3. モデル空間

3.1. ヒルベルト空間$\C^n$

具体的には複素数の$n$組の集合である。

$$\mathbb{C}^n = \{x = (x_1, x_2, ..., x_n) : x_i \in \mathbb{C}, i = 1, ..., n\}$$

これに次を備える。

• エルミート内積：$\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$。複素共役に注意。
• 対応するユークリッドノルム：$\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$。

これは$n$次元ノルム空間で、完備な体上で有限次元なので完備性が保証される。よってヒルベルト空間である。標準基底を列ベクトルで書くと、

$$e_i = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{（1は第i成分）。}$$

これは濃度$n$のヒルベルト基底であり、代数的基底でもある。すなわち任意の$x \in \mathbb{C}^n$は正確に有限和に分解される。

$$x = \sum_{i=1}^{n} x_i e_i = \sum_{i=1}^{n} \langle e_i , x \rangle e_i$$

このヒルベルト空間は、互いに区別可能な状態の数が有限な量子系、特に二準位系や量子ビットに用いられる。

3.2. ヒルベルト空間$\ell^2(\mathbb{N})$

二乗総和可能な数列の集合として定義される。

$$\ell^2(\mathbb{N}) = \left\{x = (x_n)_{n \geq 1} : x_n \in \mathbb{C}, \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty\right\}$$

次を備えるとヒルベルト空間になることを示せる。

• 内積：$\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$。今回は無限和である。
• 対応するノルム：$\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$。同じ注意が当てはまる。

標準基底を明示的に作り、その可算性を示そう。基底は$\C^n$のものに似ている。任意の$i \in \mathbb{N}$に対し、同じく列ベクトルとして、

$$e_i = (0,0,\dots,0,1,0,\dots),$$

と定める。第$i$成分が$1$、ほかが$0$のベクトルである。有限次元との違いは、成分が無限個あることだけだ。

証明.

$\{e_i\}_{i \in \mathbb{N}}$は明らかに正規直交で、完全でもある。数列$(x_1, x_2, ...)$で与えられる任意の$x \in \ell^2(\mathbb{N})$について、$x$を有限部分和で近似できるからである。 $$x^{(N)} = \sum_{i=1}^N x_i e_i = (x_1, x_2, \dots, x_N, 0,0,\dots).$$

実際、その差は次を満たす ¹⁰。

注 10: ここでは、$\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < \infty$なら級数の尾部がゼロに近づくという結果、すなわち$\lim_{N \to \infty} \sum_{n=N+1}^\infty |x_n|^2 = 0.$を用いる。 これは残る和が必ず非負の無限個の項からなることに関係する。

$$\|x - x^{(N)}\|^2 = \sum_{i=N+1}^\infty |x_i|^2 \xrightarrow[N\to\infty]{} 0,$$

よって$e_k$の有限結合は稠密である（定義 11）。したがって$\{e_i\}_{i \in \mathbb{N}}$はヒルベルト基底で、構成からその濃度は$\N$の濃度である。展開定理により、任意の$x \in \ell^2(\mathbb{N})$は、

$$x = \sum_{i=1}^\infty x_i e_i = \sum_{i=1}^\infty \langle e_i, x \rangle e_i$$

と書け、級数は$\ell^2$のノルムで収束する。 □

このヒルベルト空間は例えば量子調和振動子に使われる。後に見るように、エネルギー固有状態は上限のない整数$n$で番号づけられ、どんな調和振動子の状態もこのような級数になる。

3.3. ヒルベルト空間$L^2(\R)$

一次元の質点の量子力学では、波動関数$\psi(x)$は実変数の複素数値関数である。確率解釈は次を要求する。

$$\int_\R \psi^*(x)\, \psi(x)\, dx = 1.$$

したがって対応する空間を、二乗可積分関数の集合として定義するのが自然である。

$$\mathcal{H} = L^2(\R) = \big\{\psi : \R \to \mathbb{C} \ \big|\ \int_\R |\psi(x)|^2\, dx < \infty \big\}.$$

「$< \infty$」は状態をいつでも規格化できることを示す。内積を

$$\langle \psi, \phi \rangle = \int_\R \psi^*(x)\, \phi(x)\, dx,$$

とし、誘導されるノルムは

$$\|\psi\| = \sqrt{\langle \psi, \psi \rangle} = \sqrt{\int_\R |\psi(x)|^2 \, dx}.$$

となる。これでヒルベルト空間になることを示せるが、完全に自明ではない。ヒルベルト基底を明示でき、エルミート、ウェーブレット、ラゲール、ウォルシュなどが知られている。例えば、まずエルミート多項式を漸化式

$$H_{n+1}(x) = 2\, x\, H_n(x) - 2\, n\, H_{n-1}(x), \quad H_0(x) = 1, \; H_1(x) = 2x,$$

で定め、次にエルミート関数を

$$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}}\, e^{-x^2/2} H_n(x) ;$$

と定義する。ここでは、これらが正規直交系であることを認める。

$$\int_\R \psi_n(x) \, \psi_m(x) dx = \delta_{nm} \quad \textrm{ここでは$$$\psi_n^* = \psi_n$}

しかも完全なのでヒルベルト基底である。なお、これは一次元調和振動子のハミルトニアンの固有基底でもある。詳細はウィキペディア^[7]を参照。実際には明示式が非常に煩雑なので、この基底はあまり使わない。「別の基底」が考案されたが、それは実際の基底ではなく連続的な一般化基底、有名なケット$\ket{x}$である。これについては後に戻る。

3.4. ヒルベルト空間$L^2(\mathbb{R}^3)$と$L^2(\mathbb{R}^{3n})$

三次元でも同様に$L^2(\R^3)$を考え、内積を

$$\langle \psi, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\mathbf{x})\, \phi(\mathbf{x})\, d^3x.$$

とする。三次元で$n$粒子の系なら状態空間は

$$L^2(\mathbb{R}^{3n}) = \Bigl\{ \psi : \mathbb{R}^{3n} \to \mathbb{C} \;\Bigm|\; \int_{\mathbb{R}^{3n}} |\psi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)|^2 \, d^3x_1 \dots d^3x_n < \infty \Bigr\}.$$

内積は

$$\langle \psi, \phi \rangle = \int_{\mathbb{R}^{3n}} \psi^*(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)\, \phi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)\, d^3x_1 \dots d^3x_n,$$

対応するノルムは

$$\|\psi\| = \sqrt{\langle \psi, \psi \rangle} = \sqrt{\int_{\mathbb{R}^{3n}} |\psi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)|^2 \, d^3x_1 \dots d^3x_n}.$$

これらはすべてヒルベルト空間であることを認める。

4. おわりに

ここまでで読者が驚くかもしれないのは、一次元の質点量子力学を表す$L^2(\R)$が、三次元物理を表す$L^2(\R^3)$と同型だという点である。別の講義で、なぜ矛盾でないかを詳しく見る。主な考えは、物理はヒルベルト空間だけでなく可観測量の集合にもよって定まるということだ。$L^2(\R)$から$L^2(\R^3)$へのどの同型も、一次元の可観測量代数全体を三次元のそれへ同時に移すことはできない。つまり一組$[\hat{X}, \hat{P}]$を、三組の独立な$[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$へ移せないのである。

同型は数学的な等しさでもない。二つのヒルベルト空間は関数空間としては確かに異なるが、ヒルベルト構造については同型である。同型が述べるのは構造的類似性、すなわちヒルベルト基底の濃度として同じ大きさをもち、同じヒルベルト構造の性質をもつことだけである。同型のもとでノルム、距離、直交性、収束や連続性などの位相的性質が保たれる。

したがって、与えられた濃度について等長性を除けば抽象ヒルベルト空間は一つでも、具体的な実現は無限にある。

それでも分類の理解に時間をかけたのは無駄ではない。見たように、量子系の「次元性」に応じた異なる物理的状況に対応し、特に基底の性質に応じて有限和、無限級数、連続積分という異なる計算規則を伴うからである。また、対応する線形演算子の理論は有限次元と無限次元で根本的に変わる。

5. 参考文献