ہلبرٹ فضائیں اور ڈیراک کی علامت نگاری

اس سبق میں ہلبرٹ فضا کی درست تعریف کریں گے اور پہلے دکھائیں گے کہ وہ ریاضی کی بڑی شاخوں، الجبرا اور ٹوپولوجی، میں کیسے اور کہاں آتی ہے۔ ہم ہلبرٹ فضاؤں کی درجہ بندی کے قضیے تک پہنچیں گے: یکساں ہلبرٹی بُعد والی دو ہلبرٹ فضائیں متساوی المسافت طور پر ہم شکل ہیں۔ اسے سمتی فضا کے الجبرائی بُعد سے نہ ملائیں، کیونکہ دونوں صرف محدود بُعد میں برابر ہوتے ہیں۔ ہر حالت، یعنی محدود، لامحدود قابل شمار اور لامحدود ناقابل شمار بُعد، کے معیاری نمونے دیں گے اور ابتدائی کوانٹم میکانیات میں ان کے استعمال کا تعارف کرائیں گے۔ آخر میں ان ہلبرٹ فضاؤں سے متعین طبیعیات کے بدلنے یا نہ بدلنے کی بات چھیڑیں گے جو ہم شکلیوں سے جڑی ہوں۔

1. طبیعیات میں ریاضیاتی ساختیں

ہلبرٹ فضاؤں تک پہنچنے کے لیے نظری طبیعیات میں سب سے زیادہ استعمال ہونے والے « ریاضی کے نقشے »   کی مختصر یاد دہانی پیش کرتے ہیں۔ اگلا صفحہ ایسے نقشے کی نہایت سادہ اور بہت بڑی حد تک نامکمل صورت دکھاتا ہے، جو اس کورس کے لیے کافی ہے، دیکھیے شکل (1)۔

اگر نقاط کے مجموعے کے بدیہی تصور سے آغاز کریں¹، تو مجموعے میں تھوڑی تھوڑی ساخت شامل کرکے آگے بڑھتے ہیں۔ یہ خاکہ آگے بتدریج واضح کریں گے۔

1.1. الجبرائی ساختیں اور سمتی فضائیں

نقاط کے مجموعوں سے نقشے (1) کی بائیں شاخ، یعنی الجبرائی ساختوں، کی طرف سیدھا جا سکتے ہیں۔ یہ عموماً اعداد کے مجموعے بیان کرتی ہیں، مگر صرف وہی نہیں۔

اس کے لیے نقاط کے مجموعے پر ایک یا زیادہ داخلی ترکیبی عمل شامل کرتے ہیں؛ جب یہ عمل خاص قواعد، مثلاً تلازمی، تبادلی، شناختی عنصر کی موجودگی وغیرہ، پورے کرتے ہیں، مخصوص ساختیں بنتی ہیں۔

شکل میں چند بنیادی ساختیں ہیں: میگما (داخلی ترکیبی عمل والا مجموعہ، جس کی کوئی خاص صفت لازم نہیں)، گروہ، حلقے اور میدان۔ نیم گروہ، مونوئڈ اور غیر تبادلی حلقے جیسی بہت سی اور ساختیں ہیں، مگر آسان مطالعے کے لیے نہیں دکھائیں۔ ہر ساخت پچھلی کی خاص صورت ہے: ہر میدان حلقہ ہے، ہر حلقہ جمع کے تحت گروہ ہے، وغیرہ۔ میدان کی ساخت سب سے اہم ہے، کیونکہ بالخصوص حقیقی یا مختلط اعداد کے معمول کے چار حسابی عمل یہی ساخت بناتے ہیں۔ اسی کے اوپر سمتی فضائیں بھی بنتی ہیں۔

پھر خطی امتزاج بنا سکتے ہیں، اور خطی آزاد، مولد خاندانوں، نیز سمتی فضا کی اساس اور بُعد کی بات کر سکتے ہیں۔ دھیان رہے: اس باب میں اساس کے دو تصورات الگ کرنا ضروری ہے: الجبرائی اساسیں جو ہر سمتی فضا کے لیے ہیں، اور ہلبرٹی اساسیں جو صرف ہلبرٹ کے لیے ہیں۔ محدود بُعد میں یہ ملتی ہیں مگر لامحدود بُعد میں نہیں۔ اسی طرح الجبرائی اور ہلبرٹی بُعد میں فرق ضروری ہے۔ اس لیے آگے چند یاد دہانیاں درکار ہیں۔

یہ عام دوسری تعریف کے برابر ہے: خاندان $(e_i)_{i \in I}$ تب اور صرف تب اساس ہے جب خطی آزاد بھی ہو اور $E$ پیدا بھی کرے۔ اساس کا تصور سمتی فضا کا بُعد بیان کرنے دیتا ہے۔

غور کریں، لامحدود بُعد میں بھی الجبرائی اساس کی تعریف ہر سمتیے کو اساسی سمتیوں کے محدود مجموعے میں توڑنے کا تقاضا کرتی ہے۔ وجہ یہ ہے کہ لامحدود مجموعے میں تجزیہ بلا شرط جائز نہیں، کیونکہ اس کا تقارب جاننا ہوگا، اور اس کے لیے ٹوپولوجی چاہیے۔ ہلبرٹ فضا میں یہ ممکن ہوگا اور مناسب ہلبرٹی اساس کا جواز ملے گا، دیکھیے حصہ 2.3۔

فطری سوال ہے: مختلف سمتی فضائیں کتنی ہیں؟ کیا درجہ بندی ممکن ہے؟ الجبرائی اعتبار سے ہاں۔ اس کے لیے تعلق تکافؤ چاہیے: سمتی فضاؤں کی ہم شکلی، جو دو سمتی فضاؤں $E$ اور $F$ کے درمیان ایک بہ ایک تعلق ہے اور خطی ساخت محفوظ رکھتا ہے:

نوٹ: یہ خالص الجبرائی تعریف ہے۔ جب $E$ اور $F$ اپنی سمتی ساخت سے موافق ٹوپولوجی رکھتے ہوں تو ٹوپولوجیائی ہم شکلی الگ ہے: مزید $T$ اور $T^{-1}$ دونوں مسلسل ہونے چاہییں۔ نورم دار سمتی فضاؤں اور ہلبرٹ میں اس پر واپس آئیں گے۔

پھر یہ اہم قضیہ ہے:

لہٰذا $\mathbb{K} = \R$ یا $\C$ پر عملاً محدود بُعد $n$ کی سمتی فضا کا ایک ہی نمونہ ہے: بالترتیب $\R^n$ یا $\C^n$، حقیقی یا مختلط اجزا کے $n$ سمتیوں کا مجموعہ۔

لامحدود بُعد میں درجہ بندی کا اصول یہی ہے: مسلّمۂ انتخاب قبول کریں تو ثابت ہوتا ہے ہر سمتی فضا کی اساس ہے (ہامل اساس)، اور قضیہ یوں عمومی ہوتا ہے: ایک ہی میدان $\mathbb{K}$ پر دو سمتی فضائیں تب اور صرف تب ہم شکل ہیں جب ان کی اساسوں کے عدد اصلی برابر ہوں۔

لامحدود اساس کی تعداد ماورائے محدود اعداد اصلی سے بیان ہوتی ہے۔ یہ لامحدود کے مختلف «حجم» الگ کرتے ہیں۔ سب سے چھوٹا لامحدود عدد اصلی $\aleph_0$ ہے: یہ $\mathbb{N}$، نیز $\mathbb{Z}$ اور $\mathbb{Q}$ کی تعداد ہے۔ پھر رجعت سے سلسلہ $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$ بناتے ہیں، جہاں ہر $\aleph_{n+1}$، $\aleph_n$ سے قطعی بڑا سب سے چھوٹا عدد اصلی ہے (درمیان کوئی عدد اصلی نہیں)۔ ریاضیاتی منطق میں مفروضۂ اتصال یہ مانتا ہے کہ $\mathbb{N}$ اور $\mathbb{R}$ کے درمیان کوئی لامحدود تعداد نہیں؛ تب $\aleph_1$، $\mathbb{R}$ کی تعداد ہے۔

مگر درجہ بندی اس لحاظ سے کم کارآمد ہے کہ ہامل اساس عموماً صراحت سے بنائی نہیں جا سکتی۔ لہٰذا سمتی فضاؤں کی درجہ بندی بنیادی طور پر نظری رہتی ہے۔ نورم دار اور ہلبرٹ فضاؤں میں صورت بدلتی ہے، جہاں متعامد معمولی اساسیں صراحت سے مل سکتی ہیں، کم از کم محدود یا لامحدود قابل شمار ہلبرٹی بُعد میں، دیکھیے حصہ 3۔

لیکن ہلبرٹ تک پہنچنے سے پہلے نقشے کی درمیانی شاخ لے کر متری اور نورم دار فضاؤں کی بات کرنی ہے۔

1.2. متری اور نورم دار فضائیں

نقشے (1) کی درمیانی شاخ میں پہلے نقاط کے مجموعے کو ٹوپولوجی دینی ہے؛ تفصیل دوسرے باب (نورم دار اور ہلبرٹ فضاؤں کی ٹوپولوجی) میں آئے گی۔ یہاں بس یاد رکھیں کہ ٹوپولوجی قربت کا تصور دیتی ہے جس سے تقارب، حد اور تسلسل متعین ہوتے ہیں۔ خصوصاً متری فضائیں ٹوپولوجیائی فضائیں ہیں: نقاط کی فضائیں جن میں فاصلہ ہے، اور فاصلے سے قربت متعین ہوتی ہے۔

اب نقشے 1 کی الجبرائی اور ٹوپولوجیائی شاخیں ملا سکتے ہیں: ایسی متری فضائیں لیں جن کا بنیادی مجموعہ $X$ سمتی فضا ہے، یعنی فاصلے والی سمتی فضائیں۔ یہ کوانٹم میکانیات کی نہایت اہم ساخت تک لے جائے گا، جس کی ہلبرٹ ایک خاص صورت ہے: نورم دار سمتی فضائیں، یا EVN۔

یاد رہے ہر فاصلہ منظور نہیں کرنا چاہتے۔ فضا خطی ہے، اس لیے سمتی ساخت سے موافق فاصلہ چاہیے:

یہ شرطیں بتاتی ہیں کہ فاصلہ سمتی فضا کی جیومیٹری کا لحاظ کرتا ہے: انتقال سے نہیں بدلتا (فضا کی یکسانیت)، اور ہم مرکزی پیمانے کی تبدیلی فاصلے کے تناسب محفوظ کرتی ہے^{2  3}۔ اگلا بیان نورم دار فضاؤں تک لاتا ہے: اگر $d$ سمتی فضا $E$ پر موافق متری ہے تو مبدا، یعنی صفر سمتیے، سے فاصلے کی تطبیق $\norm{x} = d(x, 0_E)$ نورم ہے۔

ایسے فاصلے والی سمتی فضا نورم دار سمتی فضا ہے:

ہر نورم دار سمتی فضا $(E, \|\cdot\|)$، $d(x,y) = \|x-y\|$ کے ذریعے معیاری طور پر متری فضا $(E, d)$ متعین کرتی ہے، جو خودبخود سمتی ساخت سے موافق ہے۔ یوں نورم دار سمتی فضائیں متری فضاؤں کی ایک خاص ذیلی جماعت سے یک بہ یک مناسبت رکھتی ہیں۔ اسی معنی میں ان کا ذیلی مجموعہ ہیں۔

2. ہلبرٹ فضائیں

یوں شکل (1) کی نورم دار فضاؤں تک پہنچے۔ نورم دار سمتی فضا کو مختصراً نورم دار فضا، یا EVN کہنا عام ہے۔ آگے قبل ہلبرٹی فضائیں اور پھر ہلبرٹ فضائیں متعین کرنا ہے، جو کوانٹم میکانیات کا ریاضیاتی ڈھانچا ہیں۔

کوانٹم میکانیات مختلط اعداد پر مبنی ہے، اس لیے اب $\mathbb{K} = \C$ تک محدود رہیں گے۔ اب تک $E$ اور $F$ سمتی اور نورم دار فضاؤں کے لیے تھے۔ اب $\mathcal{H}$ اور $\mathcal{G}$ ہلبرٹی اور قبل ہلبرٹی فضاؤں کے لیے ہوں گے۔ سمتیے بدستور $x, y, z$ وغیرہ ہیں۔

2.1. قبل ہلبرٹی فضا اور اندرونی ضرب

قبل ہلبرٹی فضا نورم دار سمتی فضا ہے جس کا نورم اندرونی ضرب سے آئے۔ ہر نورم ایسا نہیں: بعض اندرونی ضرب سے نہیں ملتے، مثلاً بالائی حد نورم⁴۔ لہٰذا قبل ہلبرٹی فضائیں نورم دار سمتی فضاؤں کا حقیقی ذیلی مجموعہ ہیں۔ $\C$ پر ہرمیشی اندرونی ضرب کی تعریف یاد دلائیں:

خاصیتوں (1) اور (2) کا ملاپ پہلے متغیر میں مرافق خطیت (یا ضد خطیت) لازم کرتا ہے⁵: $\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$۔ ایک متغیر میں خطی اور دوسرے میں مرافق خطی تطبیق کو نیم دوخطی کہتے ہیں⁶۔ آگے صرف اندرونی ضرب کہیں گے؛ ہرمیشی صفت ضمنی ہوگی۔

ٹوپولوجیائی خاصیتوں سے پہلے ایک اہم نتیجہ بتائیں: اندرونی ضرب دونوں متغیروں میں مسلسل ہے۔ یعنی نورم کے لحاظ سے $x_n \to x$ اور $y_n \to y$ ہوں (یعنی $\|x_n - x\| \to 0$ اور $\|y_n - y\| \to 0$)، تو

کوانٹم پیمائش کے مسلمات میں دیکھیں گے کہ نظام حال $\psi$ میں ہو تو ذاتی سمتیے $\phi$ سے متعلق طبیعی مقدار دیکھنے کا احتمال $|\langle \phi , \psi \rangle|^2$ ہے (دیکھیے حصہ 1.2 (موضوع 3, سبق 1, اس زبان میں دستیاب نہیں))۔ لہٰذا اندرونی ضرب کا تسلسل ضمانت دیتا ہے کہ حال $\psi$ کی چھوٹی تبدیلی احتمالوں کی چھوٹی تبدیلی دے، جو مطلوب ہے۔

اندرونی ضرب ایک اور بنیادی خاصیت پوری کرتی ہے:

یہ عدم مساوات خصوصاً ثابت کرتی ہے کہ تطبیق $x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ واقعی نورم ہے، جیسا علامت ظاہر کرتی ہے۔

یوں اگلی تعریف ملتی ہے:

مختلط قبل ہلبرٹی فضا $\mathcal{H}$ میں یہ مفید فارمولے ہیں۔

آخری دو فارمولے ہرمیشی اندرونی ضرب اور نورم کے تعلق والے اہم قضیے سے جڑے ہیں۔ فریشے-فون نیومن-جورڈن قضیہ کہتا ہے نورم دار فضا $E$ پر نورم $\|\cdot\|$ تب اور صرف تب اندرونی ضرب سے آتا ہے جب متوازی الاضلاع شناخت پوری کرے۔ یہ شناخت آزمائش ہے: اندرونی ضرب کے وجود کو جانچتی ہے؛ وجود ہو تو قطبیت کا فارمولا نورم سے اندرونی ضرب دوبارہ بنانے کی ترکیب ہے۔

2.2. تکمیل اور ہلبرٹ فضا

قبل ہلبرٹی سے ہلبرٹی جانے کے لیے ٹوپولوجی کا ایک تصور لازمی ہے: تکمیل۔

ان ٹوپولوجیائی پہلوؤں پر متعلقہ باب میں واپس آئیں گے۔ ابھی بس کہیں کہ تکمیل کوانٹم طبیعیات کے لیے بنیادی ہے۔ بدیہی طور پر مکمل فضا میں « سوراخ » نہیں۔ یعنی $\mathcal{H}$ کے عناصر کا سلسلہ ایسی چیز کی طرف متقارب نہیں ہو سکتا جو $\mathcal{H}$ میں نہ ہو۔ مثلاً ناطق اعداد میں یہی کمی ہے: مناسب ناطق سلسلہ غیر ناطق عدد کی طرف جا سکتا ہے؛ حقیقی اعداد کا مجموعہ دراصل اسی طرح بناتے ہیں۔

کوانٹم میکانیات میں نظام کا ہر طبیعی حال ہلبرٹ کا سمتیہ ہے، اور بالعکس۔ یہ پہلا مسلّمہ ہے۔ لہٰذا فضای حالات مکمل نہ ہوتی تو موجی تفاعل کا ارتقا مثلاً شروڈنگر مساوات کے تحت « فضا سے باہر نکل » کر « غیر طبیعی حال » بن سکتا، جو بے معنی ہے۔

تکمیل ایک اور بنیادی مسلّمے میں بھی ہے: کوانٹم پیمائش کے نتائج طبیعی قابل مشاہدہ مقداروں کے طیف سے ملیں، جنہیں خود ملحق خطی عامل سمجھا جاتا ہے۔ نامکمل فضا میں عامل کا ملحق ہمیشہ نہیں ہوتا؛ نیز خود ملحق عاملوں کی ساخت جانچنے والے طیفی قضیے کے لیے تکمیل ضروری ہے۔

آخر میں ہر کوانٹم عبارت جس میں لامحدود جمع ہو (فوریئر سلسلے کا پھیلاؤ، ذاتی حالات کی اساس میں تجزیہ، وغیرہ) معنی رکھنے کے لیے تکمیل چاہتی ہے۔ مثلاً ڈائراک علامات میں $|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$ لکھنا (دیکھیے حصہ 4 (موضوع 2, سبق 2)) اس سلسلے کا وجود فرض کرتا ہے، جو صرف تکمیل سے یقینی ہے۔

مگر خوش خبری یہ ہے: تکمیل کی یہ باریکی صرف لامحدود بُعد میں چاہیے۔ محدود بُعد میں اہم قضیہ سوال آسان کرتا ہے:

اب ہلبرٹ فضاؤں کی الجبرائی وضاحت کی طرف چل سکتے ہیں۔

2.3. الجبرائی اور ہلبرٹی اساس

اوپر سمتی فضاؤں کی الجبرائی اساس کی تعریف یاد دلائی، دیکھیے تعریف 2۔ دیکھا کہ سمتیے کو محدود مجموعے میں توڑتی ہے۔ نورم سے حاصل ٹوپولوجی اور مکمل فضا متعارف کرنے کی بنیادی بات یہ ہے: اب سلسلوں کے تقارب کی بات کر سکتے ہیں۔ خصوصاً جزوی مجموعوں $(x_n)$ کا تقارب، جہاں کچھ سمتیوں $x_k$ کے لیے $x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$۔ یہ جمع متقارب ہو تو سلسلہ، یعنی لامحدود جمع، ملتا ہے: $(x_n) \to x$ اور $x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$۔ فضا مکمل ہو تو حد لازماً اسی میں ہے۔

دوسرے لفظوں میں، ہلبرٹ کا الجبرائی بُعد لامحدود ہو تو اب سمتیوں کو لامحدود سلسلے میں توڑ سکتے ہیں۔ یہ اساس کا نیا تصور دیتا ہے:

تعریف سمجھنے کے لیے ٹوپولوجیائی کثافت کا تصور چاہیے:

یہ ہلبرٹ فضا کے لیے بھی درست ہے جو خاص طور پر نورم دار ہے۔ لہٰذا کل ہونا یعنی $\H$ کے ہر سمتیے کو $\H$ کے عناصر کے محدود خطی امتزاج سے من چاہے قریب کیا جا سکے۔

الجبرائی اساس کے برخلاف، نہیں کہتے ہر سمتیہ محدود خطی امتزاج ہے، بلکہ ہلبرٹی اساس کے خطی امتزاج سے جتنا چاہیں تقریب دے سکتے ہیں۔ تکمیل سے یہ تقریبیں واقعی x کی طرف متقارب ہیں۔ $I$ کی کسی بھی تعداد کے لیے اگلا قضیہ ہے:

ہلبرٹی اساس کی تعریف اور قضیۂ تجزیہ کا ربط فوری نہیں۔

لامحدود بُعد میں الجبرائی اساس کی تعداد ہمیشہ ہلبرٹی اساس سے قطعی زیادہ ہے۔ بدیہی بات آسان ہے: الجبرائی اساس کے محدود خطی امتزاج ہر نقطے $x$ تک عین پہنچیں، جبکہ ہلبرٹی اساس کو صرف قریب آنا ہے۔ لہٰذا دوسری « کم دقیق » ہے اور کم آزاد سمتیں چاہتی ہے۔⁸۔ یعنی ہلبرٹی اساس کے محدود خطی امتزاج فضا کا نہایت چھوٹا حصہ ہیں ($\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$)۔ پس عموماً $\mathcal{H}$ کے سمتیوں کے لیے لامحدود متقارب سلسلے چاہیے۔

آخر میں کوانٹم طبیعیات کی ریاضی کا ایک اور مفید فارمولا نوٹ کریں۔

2.4. ہلبرٹی بُعد اور درجہ بندی

تمام ہلبرٹ فضاؤں کی درجہ بندی کے تقریباً سب اجزا ہیں۔ بنیادی غیر متغیر مقدار، ہلبرٹی بُعد، باقی ہے:

درجہ بندی کے لیے آخر میں ان فضاؤں کے درمیان مناسب تعلق تکافؤ چاہیے۔ تعریف 4 کی سمتی ہم شکلی پہلے نورم دار پھر ہلبرٹی فضا تک بڑھائیں گے، اور فی الحال تسلسل کے بدیہی تصور پر اکتفا کریں گے:

اگر $T$ اندرونی ضرب محفوظ کرے تو $T$ خودبخود نورم محفوظ کرتا ہے ($\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$)۔ اسی لیے خطی یک بہ یک محیط ہم مسافتی کہتے ہیں۔ درجہ بندی کی بنیاد اگلا قضیہ ہے:

اب بُعد سے ظاہر ہے ہلبرٹی بُعد مراد ہے۔ ہر ہلبرٹ فضا ان نمونوں میں سے ایک کے متساوی المسافت ہم شکل ہے، اور یہ مکمل درجہ بندی ہے۔ اگلے حصے میں تفصیل دیں گے، مگر لامحدود ناقابل شمار بُعد بہت بعد کے لیے رکھیں گے۔ یہ محدود درجات آزادی (مثلاً سپن)، لامحدود قابل شمار (مثلاً نقطہ ذرے کی کوانٹم میکانیات)، یا ناقابل شمار (مثلاً کوانٹم میدانی نظریہ) والے نظاموں کی مرجعی فضائیں ہیں۔

3. نمونہ فضائیں

3.1. ہلبرٹ $\C^n$

صراحت سے، یہ مختلط اعداد کی $n$ تائیوں کا مجموعہ ہے:

جس پر ہیں:

• ہرمیشی اندرونی ضرب: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$ (مختلط مرافق دیکھیں)
• متعلقہ اقلیدسی نورم: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$

یہ بُعد $n$ کی نورم دار سمتی فضا ہے، مکمل ہونے کی ضمانت ہے کیونکہ مکمل میدان پر محدود بُعدی ہے۔ لہٰذا ہلبرٹ ہے۔ اس کی معیاری اساس، ستونی سمتیے میں:

یہ تعداد $n$ کی ہلبرٹی اور الجبرائی اساس دونوں ہے؛ یعنی ہر سمتیہ $x \in \mathbb{C}^n$ عین محدود جمع میں لکھا جاتا ہے:

یہ ہلبرٹ فضا ایسے ہر کوانٹم نظام کے لیے ہے جس کے امتیاز پذیر حالات محدود ہوں، خصوصاً دو سطحی نظام یا کیوبٹ۔

3.2. ہلبرٹ $\ell^2(\mathbb{N})$

یہ مربع قابل جمع سلسلوں کا مجموعہ ہے:

ثابت کیا جا سکتا ہے یہ ہلبرٹ ہے جب اس پر ہوں:

• اندرونی ضرب: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$ (اس بار لامحدود جمع دیکھیں)،
• متعلقہ نورم: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$ (وہی نوٹ)

یہاں قابل شمار ہونا معیاری اساس کی صریح تعمیر سے دکھاتے ہیں۔ یہ $\C^n$ کی اساس جیسی ہے۔ ہر $i \in \mathbb{N}$ کے لیے، ستونی سمتیے میں بھی، تعریف:

یعنی وہ سمتیہ جس کا $i$واں محدد $1$ اور باقی $0$ ہیں۔ محدود بُعد سے واحد فرق لامحدود اجزا کا ہونا ہے۔

مثلاً یہ ہلبرٹ فضا کوانٹم میکانیات کے توافقی مرتعش کے لیے ہے: دیکھیں گے توانائی کے ذاتی حالات کو غیر محدود صحیح عدد $n$ سے نشان دیتے ہیں، لہٰذا مرتعش کا ہر حال ایسا سلسلہ ہے۔

3.3. ہلبرٹ $L^2(\R)$

ایک بُعدی نقطہ ذرے کی کوانٹم میکانیات میں موجی تفاعل $\psi(x)$ حقیقی متغیر کا مختلط قدر والا تفاعل ہے۔ احتمالی تعبیر چاہتی ہے:

لہٰذا فطری طور پر متعلقہ فضا مربع قابل تکمل تفاعلوں کا مجموعہ بنتی ہے:

«$< \infty$» بتاتا ہے کہ حال ہمیشہ معمول پر لایا جا سکتا ہے۔ اس پر اندرونی ضرب:

جو نورم دیتی ہے:

ثابت کیا جا سکتا ہے یہ اسے ہلبرٹ بناتا ہے، مگر بالکل بدیہی نہیں۔ صریح ہلبرٹی اساس دی جا سکتی ہے۔ کئی معلوم ہیں: ہرمیت، ویولٹ، لاگئیر، والش ...۔ مثلاً پہلے ہرمیت کثیر رقمی کو رجعت سے متعین کرتے ہیں:

پھر ہرمیت تفاعل:

یہاں مانیں گے یہ تفاعل متعامد معمولی خاندان ہیں:

اور کل بھی، لہٰذا ہلبرٹی اساس۔ نوٹ: یہ ایک بُعدی توافقی مرتعش کے ہیملٹونی کی ذاتی اساس بھی ہے۔ مزید کے لیے ویکیپیڈیا ^[7] دیکھیے۔ عملاً یہ کم استعمال ہوتی ہے، کیونکہ صریح عبارتیں بہت پیچیدہ ہیں۔ « دوسری اساس » ایجاد کی گئی جو حقیقتاً اساس نہیں بلکہ عمومی مسلسل اساس ہے: معروف کیٹ $\ket{x}$، جن پر واپس آئیں گے۔

3.4. ہلبرٹ $L^2(\mathbb{R}^3)$ اور $L^2(\mathbb{R}^{3n})$

تین بُعدوں میں اسی طرح $L^2(\R^3)$ لیتے ہیں، اندرونی ضرب:

تین بُعدوں میں $n$ ذروں کی فضای حالات:

اندرونی ضرب:

اور متعلقہ نورم:

یہ سب ہلبرٹ فضائیں ہیں؛ بغیر ثبوت قبول کرتے ہیں۔

4. آخری بات

اب تک کی بات میں قاری کو حیرت ہو سکتی ہے کہ ایک بُعدی نقطہ ذرے کی کوانٹم میکانیات کی $L^2(\R)$، تین بُعدی طبیعیات کی $L^2(\R^3)$ سے ہم شکل ہے۔ دوسرے سبق میں تفصیل سے دیکھیں گے کہ یہ تضاد کیوں نہیں۔ بنیادی خیال یہ ہے کہ طبیعیات صرف ہلبرٹ فضا سے نہیں بلکہ قابل مشاہدہ مقداروں کے مجموعے سے بھی متعین ہے۔ $L^2(\R)$ سے $L^2(\R^3)$ کی کوئی ہم شکلی ایک بُعدی قابل مشاہدہ الجبرا کو بیک وقت مکمل تین بُعدی الجبرا میں نہیں لے جا سکتی؛ یعنی واحد جوڑے $[\hat{X}, \hat{P}]$ سے تین آزاد جوڑوں $[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$ میں۔

یہ ہم شکلی ریاضیاتی برابری بھی نہیں: دونوں ہلبرٹ تفاعلوں کی فضاؤں کے طور پر واقعی مختلف ہیں مگر ہلبرٹی ساخت میں ہم شکل ہیں۔ ہم شکلی صرف ساختی مشابہت بتاتی ہے: یکساں حجم (ہلبرٹی اساسوں کی تعداد) اور یکساں ہلبرٹی خصوصیات۔ اس کے تحت نورم، فاصلے، تعامد اور تقارب و تسلسل کی ٹوپولوجیائی خصوصیات محفوظ ہیں۔

لہٰذا معین عدد اصلی کے لیے ہم مسافتی تک ایک ہی تجریدی ہلبرٹ فضا ہونے کے باوجود اس کی لامحدود ٹھوس صورتیں ہیں۔

پھر بھی درجہ بندی سمجھنے پر اتنا وقت بے فائدہ نہیں تھا: دیکھا کہ کوانٹم نظام کی « بُعدیت » کے مطابق مختلف طبیعی صورتیں ملتی ہیں۔ خاص طور پر اس کے ساتھ مختلف حسابی قواعد ہیں: اساس کی نوعیت کے مطابق محدود جمع، لامحدود سلسلے یا مسلسل تکمل۔ نیز متعلقہ خطی عاملوں کا نظریہ محدود اور لامحدود بُعد کے درمیان یکسر بدلتا ہے۔

5. حوالہ جات