希尔伯特空间与狄拉克记号

刚刚定义的对象满足一组基本性质，无论希尔伯特空间的维数如何，也无论算子是否有界，这些性质始终成立。在无界情形中，仍然可以定义伴随，但数学上更为精细；我们会在下一主题的线性算子理论中讨论。由于全世界都使用狄拉克记号，这些性质事实上构成了量子计算的代数规则，因此必须掌握。

本课汇总目前见过的所有有用公式，即使有所重复，并补充一些新公式。先给出任意维数下成立的公式，再给出有限维情形的公式表；此时狄拉克记号化为明确的矩阵运算。

1. 任意维数下的计算规则

内积的性质。

设 $(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2$ 是希尔伯特空间的两个向量，$(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2$ 是标量。内积满足以下性质：

1. 厄米对称性：

   $$\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}$$

   (1)

2. 对左侧反线性：与 $\lambda \ket{\psi}$ 对应的左矢是 $\lambda^* \bra{\psi}$，即：

   $$\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{以及} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }$$

   (2)

3. 对右侧线性：

   $$\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}$$

   (3)

4. 线性组合：利用上述性质，可按通常方式展开如下复杂表达式。对任意 $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C$，有：

   $$\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }$$

   (4)

5. 范数：根据定义，

   $$\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}$$

   (5)

   等号成立当且仅当 $\ket{\psi} = 0$ 是零向量（偶尔但很少记为 $\ket{\varnothing}$）。

伴随的性质。

这里重写两个作为定义的公式：

以及

利用厄米对称性还可由此证明：

伴随算子的性质。

对 $\mathcal{H}$ 上任意连续线性算子 $\hat{A}, \hat{B}$ 及任意标量 $\lambda \in \mathbb{C}$，有：

$$\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{（反线性性）} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{（注意顺序）} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{（对合）}. \end{aligned}$$

右矢–左矢算子。

括积是一个数，而右矢–左矢是一个称为外积的算子（与微分形式的外积无关）。对两个向量 $\ket{\phi}$ 和 $\ket{\psi}$，对应的算子 $\ket{\phi}\bra{\psi}$ 定义为：

$$\begin{aligned} \ket{\phi}\bra{\psi} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{\chi} \mapsto \ket{\phi}\braket{\psi}{\chi}. \end{aligned}$$

单位算子的分解。

$\Hilb$ 中的单位算子记为 $\mathbf{1}$，由显然的关系 $\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb$ 定义。在可数希尔伯特基 $\{\ket{e_i}\}_{i \in I}$ 下，其中 $I$ 有限或可数无限，单位算子 $\mathbf{1}$ 写为：

这个公式在实际计算中极为有用，也称为单位算子的分解或完备性关系。右端在有限维时是有限和，在可数无限维时是收敛级数。在不可数维情形中该式不成立。

希尔伯特基展开。

例如，上式可直接恢复第1课的展开定理。将 $\psi_i$ 定义为右矢 $\kpsi$ 在 $\ket{e_i}$ 上的分量，便有：

根据维数，这里是有限和或级数。右矢展开也有对应的左矢形式：

此时范数写为：

几类特殊算子。

下一主题将详细介绍希尔伯特空间上的线性算子理论。不过，为方便后文，先列出几种非常常见的情形。在从 $\Hilb \to \Hilb$ 的算子集合中，特别考虑以下算子：

1. $\hat A$：若 $\hat{A}^\dagger = \hat{A}$，称为厄米或自伴算子；
2. $\hat U$：若 $\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}$，称为酉算子；
3. $\hat P$：若 $\hat{P}^2 = \hat{P}$，称为投影算子；
4. $\hat P$：若是自伴投影，称为正交投影算子。

酉算子是双射、线性的，并保持内积。因此我们前面已经遇到过它们：它们就是等距同构（这里具体是等距自同构，因为只讨论从 $\Hilb$ 到自身的线性算子）。

2. 有限维公式表

当希尔伯特空间的维数 $n$ 有限时，可进一步具体化量子计算规则。首先，上节所有公式依然成立，只需将其中的和写成有限和：$\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}$。

此外，一旦选择了标准正交基 $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$，狄拉克记号就对应于明确的矩阵运算，下面将详细说明（注意，下述内容在无限维情形中没有任何意义）。

作为列向量的右矢。

将基 $\mathcal{B}$ 的右矢典范地表示为 $(n,1)$ 矩阵，也称为列向量：

$$\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}$$

其中 $1$ 位于第 $i$ 个位置，再利用代数展开：

$$\ket{v} = \sum_{i=1}^n v_i \ket{e_i},$$

便得到所有右矢的列向量表示。对于 $\ket{v} \in \mathcal{H}$，写为：

$$\ket{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,$$

除非必要，我们会省略展开所使用的基 $\mathcal{B}$ 的标注。此外，各分量可通过正交投影获得：

作为共轭行向量的左矢。

向量 $u$ 所对应的线性泛函 $\varphi_u$ 必须对任意向量 $v$ 满足：

$$\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i,$$

这来自厄米内积对左侧的反线性性。要将此和表示为矩阵乘积，$\bra{u}$ 必须是由 $u$ 的共轭坐标构成的行向量：

$$\begin{aligned} \bra{u} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix}, \end{aligned}$$

因为这样，内积 $\braket{u}{v}$ 就是普通矩阵乘积：

$$\begin{aligned} \braket{u}{v} = \bra{u} \cdot \ket{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}$$

于是注意到，左矢 $\bra{u}$ 是右矢 $\ket{u}$ 的转置共轭，也称« 共轭转置 »。因此，在有限维情形中，dagger 运算就是取共轭转置：

这在无限维情形中不成立，甚至没有意义，因为没有定义转置¹。

算子的矩阵表示。

在有限维的标准正交基 $\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n$ 下，每个线性算子 $\hat{A}$ 都可展开为：

这在有限维情形中自然地将线性算子 $\hat{A}$（带帽子）与它的矩阵 $A$（不带帽子）对应起来。事实上，上式是矩阵展开 $A = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij}$ 在狄拉克形式体系中的对应表达，其中 $E_{ij}$ 是在位置 $(i,j)$ 上为 $1$、其余位置为零的初等矩阵。因此，这里的 $E_{ij}$ 是表示算子 $\ket{e_i} \bra{e_j}$ 的矩阵。系数 $A_{ij}$ 自然称为算子 $\hat{A}$ 在基 $\{\ket{e_i}\}$ 下的矩阵元。其值为：

$$A_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}} e_j}$$

但出于形式美观，通常更常写为：

单位算子的矩阵当然是单位矩阵，其矩阵元是 $\delta_{ij}$（克罗内克符号）。

算子的迹。

后续我们经常需要考虑算子 $\hat{A}$ 的迹。在狄拉克记号中，其计算公式为：

这个表达式不依赖于标准正交基的选择。

伴随与共轭转置。

在有限维情形中，表示伴随 $\hat{A}^\dagger$ 的矩阵，是表示算子 $\hat{A}$ 的矩阵的共轭转置：

这里给出一个简短证明，因为它能展示如何在实际计算中使用前面的规则。根据定义，$\hat{A}^\dagger$ 的矩阵元为：

$$(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.$$

而由伴随的定义，有：

$$\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}$$

利用厄米对称性，有 $\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*$，但这正是矩阵元 $A_{ji}^*$。因此：

$$(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}$$

这证明了该性质。因此，在有限维情形中，可通过明确的矩阵计算检验一个算子是否厄米、是否酉等。

3. 参考资料