复习资料 1: 有限维中的狄拉克记号

关键词 : 狄拉克记号, 厄米内积, 伴随, 右矢–左矢算符, 恒等算符展开, 有限维, 矩阵元, 迹, 共轭转置, 公式汇总

刚刚定义的对象满足一组基本性质，无论希尔伯特空间的维数如何，也无论算子是否有界，这些性质始终成立。在无界情形中，仍然可以定义伴随，但数学上更为精细；我们会在下一主题的线性算子理论中讨论。由于全世界都使用狄拉克记号，这些性质事实上构成了量子计算的代数规则，因此必须掌握。

本课汇总目前见过的所有有用公式，即使有所重复，并补充一些新公式。先给出任意维数下成立的公式，再给出有限维情形的公式表；此时狄拉克记号化为明确的矩阵运算。

1. 任意维数下的计算规则

内积的性质。

设 (∣φ⟩,∣ψ⟩)∈H2(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2 是希尔伯特空间的两个向量，(λ,μ)∈C2(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2 是标量。内积满足以下性质：

  1. 厄米对称性：
    ⟨φ|ψ⟩=⟨ψ|φ⟩∗.\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}
    (1)
  2. 对左侧反线性：与 λ∣ψ⟩\lambda \ket{\psi} 对应的左矢是 λ∗⟨ψ∣\lambda^* \bra{\psi}，即：
    (λ∣ψ⟩)†=λ∗⟨ψ∣以及⟨λψ|φ⟩=λ∗⟨ψ|φ⟩\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{以及} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }
    (2)
  3. 对右侧线性：
    ⟨φ|λψ⟩=λ⟨φ|ψ⟩.\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}
    (3)
  4. 线性组合：利用上述性质，可按通常方式展开如下复杂表达式。对任意 α,β,γ,δ∈C\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C，有：
    ⟨αφ+βψ|γφ+δψ⟩=α∗γ⟨φ|φ⟩+α∗δ⟨φ|ψ⟩+β∗γ⟨ψ|φ⟩+β∗δ⟨ψ|ψ⟩.\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }
    (4)
  5. 范数：根据定义，
    ∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩≥0,\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}
    (5)
    等号成立当且仅当 ∣ψ⟩=0\ket{\psi} = 0 是零向量（偶尔但很少记为 ∣∅⟩\ket{\varnothing}）。
伴随的性质。

这里重写两个作为定义的公式：

(A^∣φ⟩)†=⟨A^φ∣=⟨φ∣A^†\boxed{ (\hat A\ket{\phi})^\dagger = \bra{\smash{\hat{A}} \phi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger }

(6)

以及

⟨A^φ|ψ⟩=⟨φ|A^†ψ⟩=⟨φ∣A^†∣ψ⟩\boxed{ \braket{\smash{\hat{A}} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\smash{\hat{A}}^\dagger \psi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi} }

(7)

利用厄米对称性还可由此证明：

⟨φ∣A^†∣ψ⟩∗=⟨ψ∣A^∣φ⟩\boxed{ \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi}^* = \bra{\psi} \hat A \ket{\phi} }

(8)

伴随算子的性质。

对 H\mathcal{H} 上任意连续线性算子 A^,B^\hat{A}, \hat{B} 及任意标量 λ∈C\lambda \in \mathbb{C}，有：

(A^+B^)†=A^†+B^†,(λA^)†=λ∗A^†, （反线性性）(A^B^)†=B^†A^†,（注意顺序）(A^†)†=A^,    （对合）.\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{（反线性性）} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{（注意顺序）} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{（对合）}. \end{aligned}
右矢–左矢算子。

括积是一个数，而右矢–左矢是一个称为外积的算子（与微分形式的外积无关）。对两个向量 ∣φ⟩\ket{\phi} 和 ∣ψ⟩\ket{\psi}，对应的算子 ∣φ⟩⟨ψ∣\ket{\phi}\bra{\psi} 定义为：

∣φ⟩⟨ψ∣:H→H,∣χ⟩↦∣φ⟩⟨ψ|χ⟩.\begin{aligned} \ket{\phi}\bra{\psi} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{\chi} \mapsto \ket{\phi}\braket{\psi}{\chi}. \end{aligned}
单位算子的分解。

H\Hilb 中的单位算子记为 1\mathbf{1}，由显然的关系 1x=x,∀x∈H\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb 定义。在可数希尔伯特基 {∣ei⟩}i∈I\{\ket{e_i}\}_{i \in I} 下，其中 II 有限或可数无限，单位算子 1\mathbf{1} 写为：

1=∑i∈I∣ei⟩⟨ei∣\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }

(9)

这个公式在实际计算中极为有用，也称为单位算子的分解或完备性关系。右端在有限维时是有限和，在可数无限维时是收敛级数。在不可数维情形中该式不成立。

希尔伯特基展开。

例如，上式可直接恢复第1课的展开定理。将 ψi\psi_i 定义为右矢 ∣ψ⟩\kpsi 在 ∣ei⟩\ket{e_i} 上的分量，便有：

∣ψ⟩=1∣ψ⟩=∑i∈I⟨ei|ψ⟩∣ei⟩=∑i∈Iψi∣ei⟩\boxed{ \ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{\psi} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} \psi_i \ket{e_i} }

(10)

根据维数，这里是有限和或级数。右矢展开也有对应的左矢形式：

⟨ψ∣=⟨ψ∣1=∑i∈Iψi∗⟨ei∣\boxed{ \bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \bra{e_i} }

(11)

此时范数写为：

∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩=∑i∈Iψi∗ψi=∑i∈I∣ψi∣2\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \psi_i = \sum_{i \in I} |\psi_i|^2 }

(12)

注 1 (注意顺序！)
右矢的分量是 ψi=⟨ei|ψ⟩\psi_i = \braket{e_i}{\psi}，而不是 ⟨ψ|ei⟩\braket{\psi}{e_i}，后者等于 ψi∗\psi_i^*。厄米内积不满足交换律，因此必须注意顺序。在配备通常欧氏内积的 Rn\mathbb{R}^n 中，向量 v⃗\vec{v} 的分量 viv_i 由 vi=v⃗⋅e⃗iv_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i 给出，这可能使人误以为量子公式是 ψi=⟨ψ|ei⟩\psi_i = \braket{\psi}{e_i}，但事实并非如此！
几类特殊算子。

下一主题将详细介绍希尔伯特空间上的线性算子理论。不过，为方便后文，先列出几种非常常见的情形。在从 H→H\Hilb \to \Hilb 的算子集合中，特别考虑以下算子：

  1. A^\hat A：若 A^†=A^\hat{A}^\dagger = \hat{A}，称为厄米或自伴算子；
  2. U^\hat U：若 U^†=U^−1\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}，称为酉算子；
  3. P^\hat P：若 P^2=P^\hat{P}^2 = \hat{P}，称为投影算子；
  4. P^\hat P：若是自伴投影，称为正交投影算子。

酉算子是双射、线性的，并保持内积。因此我们前面已经遇到过它们：它们就是等距同构（这里具体是等距自同构，因为只讨论从 H\Hilb 到自身的线性算子）。

2. 有限维公式表

当希尔伯特空间的维数 nn 有限时，可进一步具体化量子计算规则。首先，上节所有公式依然成立，只需将其中的和写成有限和：∑i⟶∑i=1n\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}。

此外，一旦选择了标准正交基 B=(∣ei⟩)i=1n\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n，狄拉克记号就对应于明确的矩阵运算，下面将详细说明（注意，下述内容在无限维情形中没有任何意义）。

作为列向量的右矢。

将基 B\mathcal{B} 的右矢典范地表示为 (n,1)(n,1) 矩阵，也称为列向量：

∣ei⟩=(0⋮010⋮0)B\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

其中 11 位于第 ii 个位置，再利用代数展开：

∣v⟩=∑i=1nvi∣ei⟩,\ket{v} = \sum_{i=1}^n v_i \ket{e_i},

便得到所有右矢的列向量表示。对于 ∣v⟩∈H\ket{v} \in \mathcal{H}，写为：

∣v⟩=(v1v2⋮vn)B∈Cn,\ket{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

除非必要，我们会省略展开所使用的基 B\mathcal{B} 的标注。此外，各分量可通过正交投影获得：

vi=⟨ei|v⟩\boxed{v_i = \braket{e_i}{v}}

(13)

作为共轭行向量的左矢。

向量 uu 所对应的线性泛函 φu\varphi_u 必须对任意向量 vv 满足：

φu(v)=⟨u,v⟩=∑i=1nui∗vi,\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i,

这来自厄米内积对左侧的反线性性。要将此和表示为矩阵乘积，⟨u∣\bra{u} 必须是由 uu 的共轭坐标构成的行向量：

⟨u∣=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗),\begin{aligned} \bra{u} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix}, \end{aligned}

因为这样，内积 ⟨u|v⟩\braket{u}{v} 就是普通矩阵乘积：

⟨u|v⟩=⟨u∣⋅∣v⟩=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗)⋅(v1v2⋮vn)=∑i=1nui∗vi∈C.\begin{aligned} \braket{u}{v} = \bra{u} \cdot \ket{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

于是注意到，左矢 ⟨u∣\bra{u} 是右矢 ∣u⟩\ket{u} 的转置共轭，也称« 共轭转置 »。因此，在有限维情形中，dagger 运算就是取共轭转置：

∣u⟩†=∣u⟩∗⊤=⟨u∣\boxed{\ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u}^*} = \bra{u}}

(14)

这在无限维情形中不成立，甚至没有意义，因为没有定义转置1。

注释 1: 至多可以说，在空间 ℓ2(N)\ell^2(\N) 及第 3.2 (主题 2, 课 1) 节详细介绍的典范基下，若考虑无限列向量或行向量，并将有限和替换为收敛级数，情形相当类似。这有助于建立直觉，但严格来说它们不是矩阵。在 L2(R)L^2(\R) 中，这种说法完全失去意义，尽管此时也存在一个积分形式的类似物，见下一课。
算子的矩阵表示。

在有限维的标准正交基 {∣ei⟩}i=1n\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n 下，每个线性算子 A^\hat{A} 都可展开为：

A^=∑i,j=1nAij ∣ei⟩⟨ej∣,\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

(15)

这在有限维情形中自然地将线性算子 A^\hat{A}（带帽子）与它的矩阵 AA（不带帽子）对应起来。事实上，上式是矩阵展开 A=∑ijAijEijA = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij} 在狄拉克形式体系中的对应表达，其中 EijE_{ij} 是在位置 (i,j)(i,j) 上为 11、其余位置为零的初等矩阵。因此，这里的 EijE_{ij} 是表示算子 ∣ei⟩⟨ej∣\ket{e_i} \bra{e_j} 的矩阵。系数 AijA_{ij} 自然称为算子 A^\hat{A} 在基 {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\} 下的矩阵元。其值为：

Aij=⟨ei|A^ej⟩A_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}} e_j}

但出于形式美观，通常更常写为：

Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩.\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(16)

单位算子的矩阵当然是单位矩阵，其矩阵元是 δij\delta_{ij}（克罗内克符号）。

算子的迹。

后续我们经常需要考虑算子 A^\hat{A} 的迹。在狄拉克记号中，其计算公式为：

Tr(A^)=∑i=1n⟨ei∣A^∣ei⟩=∑i=1nAii.\boxed{\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_{i=1}^n \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_i} = \sum_{i=1}^n A_{ii}.}

(17)

这个表达式不依赖于标准正交基的选择。

伴随与共轭转置。

在有限维情形中，表示伴随 A^†\hat{A}^\dagger 的矩阵，是表示算子 A^\hat{A} 的矩阵的共轭转置：

A†=(A∗)⊤.\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}.}

(18)

这里给出一个简短证明，因为它能展示如何在实际计算中使用前面的规则。根据定义，A^†\hat{A}^\dagger 的矩阵元为：

(A^†)ij=⟨ei|A^†ej⟩.(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

而由伴随的定义，有：

⟨ei|A^†ej⟩=⟨A^ei|ej⟩\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

利用厄米对称性，有 ⟨A^ei|ej⟩=⟨ej|A^ei⟩∗\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*，但这正是矩阵元 Aji∗A_{ji}^*。因此：

(A†)ij=Aji∗=(A∗⊤)ij(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

这证明了该性质。因此，在有限维情形中，可通过明确的矩阵计算检验一个算子是否厄米、是否酉等。

3. 参考资料

本课尚未添加参考资料。