1. $L^2(\mathbb{R})$ 的广义连续基

我们已在第 3.3 (主题 2, 课 1) 节详细讨论模型空间 $L^2(\R)$，尤其给出了它的一组可数希尔伯特基。于是每个物理态都可在厄米函数基上展开为级数。遗憾的是，这些函数的显式表达相当复杂。

因此，人们引入了另一种“基”。它并不是真正意义上的希尔伯特基，而是所谓广义连续基。这里向无限维过渡需要谨慎，其严格构造需要下一主题线性算子理论的工具。因此目前先接受下面的公式表，同时记住：它是在这种“基”下使用狄拉克记号的操作说明，而不是已经完成的数学构造。

1.1. 位置表象中的广义基

尽管如此，我们仍尝试给出一些思路。首先引入一个称为“位置”的自伴算子， 记作 $\hat{X}$，它通过乘法作用于希尔伯特空间 $L^2(\mathbb{R})$ 中的函数：

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

注意定义域。 只有当函数 $x\,\psi(x)$ 仍属于 $L^2(\R)$ 时，这个表达式才有意义。但并非总是如此：某些平方可积函数乘以 $x$ 后，其平方积分会发散。¹ 因此，算子 $\hat{X}$ 不能定义在整个 $L^2(\R)$ 上， 只能定义在其作用后仍留在 $L^2$ 中的函数子空间上。

为了得到一个定义明确、在 $L^2$ 中稠密，并在常见运算下保持不变的定义域， 这里的运算包括求导、乘以 $x$ 和傅里叶变换， 我们引入施瓦茨函数空间，记为 $\mathcal{S}(\R)$：

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

换句话说，这是快速衰减的光滑函数， 函数 $f$ 及其所有阶导数趋于零的速度 比 $x$ 的任意负幂都快。

空间 $\mathcal{S}(\R)$ 具有以下性质：

• 在 $L^2(\R)$ 中稠密（$L^2$ 中每个函数都能被 $\mathcal{S}$ 中的函数任意精确地逼近）；
• 在求导、乘以 $x$ 以及傅里叶变换下保持不变。

因此，它是严谨定义位置算子 $\hat{X}$ 和动量算子 $\hat{P}$ 的自然定义域， 狄拉克形式体系和盖尔范德三重态的严格构造也以此空间为基础。

做好这些准备后，我们便可以暂时以纯形式的方式²写出 $\hat{X}$ 的本征态：

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

这些右矢 $\ket{x}$ 构成所谓的广义连续基：它们使 $L^2(\R)$ 中的元素能够表示为连续叠加，尽管 $\ket{x}$ 本身并不是希尔伯特空间的向量。

实际上，它们不是严格意义上的右矢，因为不能归一化。下面解释原因。这一族不可数，因此其标准正交性不能用离散的克罗内克符号 $\delta_{ij}$ 表示，而要用其« 连续版本 »：

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

特别地：

这里引入了狄拉克 delta $\delta(x)$。它不是普通函数，而是数学中分布理论的分布。我们通过它在积分下的作用来定义它：

其中 $f$ 是施瓦茨空间中的任意测试函数。必须明白，单独的 $\delta(x)$ 没有意义，甚至不是一个数。实际上，$\delta$ 是作用于测试函数的线性泛函 $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$³。因此，它仅由积分 (2) 下的作用定义，而不是由其“取值” $\delta(x)$ 定义。

不过，如果一定要把它当作函数，可以将其视为一列越来越集中在零点附近的函数的极限，例如越来越尖锐的高斯函数的极限：

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

或者取以零为中心、宽度趋于零、高度趋于无穷的矩形函数。无论哪种情况，在这种观点下，delta 在极限中似乎是一个处处为零、但在 $x = 0$ 发散的“函数”，同时曲线下总面积始终等于1。

因此，物理学中仍会写 $\delta(0) = \infty$，但必须理解这里对记号和含义的非严格使用。无论如何，由式 (1) 可见右矢 $\ket{x}$ 不是归一化的。狄拉克 delta 还有一个极其有用的积分表示，很可能是本节最重要的公式：

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

这里的等式同样必须按分布理论理解，因为这个积分显然不收敛，否则便没有意义。

位置算子 $\hat{X}$ 的“矩阵元”为 $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$。我们仍沿用这个称呼（可与上一节有限维情形比较），尽管 $\hat{X}$ 不能用普通矩阵表示。可以想象一个在分布意义下对角的“连续指标矩阵”，但它在对角线 $x = x'$ 上的值并没有自身的意义，因为 $x\,\delta(0)$ 不是实数。这里大概最能体现有限维线性算子（即矩阵）与无限维线性算子的根本差别。

在广义基下，单位算子的分解写为：

借助这一公式，希尔伯特空间中任意右矢 $\kpsi$ 在连续基上的展开都可写成积分：

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

其中定义了波函数

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

同样，$\kpsi$ 的共轭左矢展开为：

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

这里使用了内积的厄米对称性：$\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$。

注意，向量 $\hat{X} \psi$ 在 $x$ 处的分量，按定义等于 $\braket{x}{X\psi}$，但同样出于形式美观（比较式 (4 (主题 2, 课 2))），更常 写成：

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. 动量表象

在质点量子力学中，类似地通过对属于 $L^2(\mathbb{R})$ 的波函数 $\psi(x)$ 的作用，引入动量算子：

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

这里也必须限制在施瓦茨定义域中，以保证一方面波函数可微，另一方面其导数仍然平方可积。

验证 $\hat{P}$ 确实是自伴算子，是本章很好的应用练习。为此，先研究求导算子本身，记为：

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

这是线性算子，因为求导是线性的：$(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$。显然，它不能像有限维情形那样用矩阵表示：它以微分方式作用于无限维函数空间。因此不能通过取共轭转置来计算其伴随，但仍可使用伴随的定义。对 $\mathcal{S}(\R)$ 中两个测试函数 $\phi$ 和 $\psi$，有：

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

参见定义 2 (主题 2, 课 2)。在左边插入单位算子的分解，得到：

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

这说明算子 $\hat{D} = d/dx$ 的伴随是 $-\hat{D} = -d/dx$。上述计算中，第一行在左矢和右矢之间插入单位算子的分解；第二行展开；第三行使用厄米对称性；第四行使用 $\hat{D}$ 与波函数的定义；第五行在 $\R$ 上分部积分，无穷远处的边界项为零，因为施瓦茨空间的函数比任何单项式对应的幂律都衰减得更快。最后几行从波函数返回内积，提取并消去单位算子的分解。因此，动量算子确实自伴，因为

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

$\hat{P}$ 的自伴性保证其本征值（可能的动量）为实数，并保证其本征函数在广义意义下（借助狄拉克分布）构成态空间的完备基。

动量本征态。 完全类似地，将广义“右矢” $\ket{p}$ 定义为 $\hat{P}$ 的本征态：

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

在位置表象中，通过投影到 $\bra{x}$ 得到对应波函数：

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

这是一个简单的微分方程，其解为：

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

这个表达式说明，联系位置表象与动量表象的变换正是傅里叶变换。

正交性与完备性。 右矢 $\ket{p}$ 满足与 $\ket{x}$ 类似的关系：

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

动量表象中的波函数定义为：

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

因此，变换 $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ 就是傅里叶变换，其逆变换写为：

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

基本对易关系。 最后，算子 $\hat{X}$ 与 $\hat{P}$ 满足典范对易关系：

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

这一关系是整个质点量子力学的基础。实际上，本节所有公式都仅由这一典范关系推出：可以证明，X 与 P 的这一代数唯一可能的希尔伯特空间表示就是刚刚写出的形式。特别地，$X$ 在以 x 为变量的波函数上通过乘法作用，而 P 通过求导作用，在另一表象中则相反。这个重要结果称为斯通–冯·诺伊曼定理，将在后面详细介绍。

1.3. 狄拉克 delta 的性质

本节和本章最后列出一些狄拉克 delta 的有用公式。它们始终应在分布意义下理解，也就是当 delta 位于积分符号之下时：

对称性：

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

齐次性：

对任意实数 $a \neq 0$，

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

变量替换：

若 $f$ 是光滑函数，具有单根 $\{x_i\}$，满足 $f(x_i) = 0$，则

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

delta 的导数：

分布导数定义为

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. 参考资料