希尔伯特空间与狄拉克记号

本课将严格定义希尔伯特空间，先说明它在代数和拓扑这两大数学分支中位于何处、如何出现。我们将得到希尔伯特空间的分类定理：两个希尔伯特空间当且仅当具有相同的希尔伯特维数时等距同构。这个概念不能与向量空间的代数维数混淆，因为二者仅在有限维时一致。我们将给出各类情形的标准模型空间——有限维、可数无限维和不可数无限维——并简述它们在初等量子力学中的应用。最后，我们会初步讨论：由同构联系起来的希尔伯特空间所定义的物理是否保持不变。

1. 物理学中的数学结构

为引出希尔伯特空间，我们先简要回顾理论物理中最常使用的“数学地图”。下一页给出这种地图的一个极为简化且远非完整的版本，但足以满足本课程需要，见图 (1)。

若从直观的点集概念出发¹，我们便逐步向集合添加结构。接下来将逐渐解释这张图。

1.1. 代数结构与向量空间

从点集出发，可以直接进入图 (1)左侧的代数结构分支；它们通常用于描述数集，但用途不限于此。

为此，在点集上添加一个或多个内部运算。当这些运算满足结合律、交换律、单位元存在性等特定规则时，就得到具体的结构。

图中展示了若干基本结构：原群（带有一个不要求任何特殊性质的内部运算的集合）、群、环和域。还有许多其他结构，例如半群、幺半群和非交换环；为使图易读，这里没有列出。每种结构都是前一种的进一步特化：域都是环，环在加法下都是群，等等。域最重要，因为实数或复数连同通常的四则运算尤其就构成域。也正是在域之上，才能构造向量空间。

于是可以组成线性组合，讨论线性无关组、生成组、向量空间的基和维数。本章有两种基，必须加以区分：适用于所有向量空间的代数基，以及只适用于希尔伯特空间的希尔伯特基。它们在有限维时一致，在无限维时则不同。同样，必须区分代数维数与希尔伯特维数。因此，下面先做一些必要的回顾。

这与另一个常见定义等价：族$(e_i)_{i \in I}$是基，当且仅当它既线性无关又生成$E$。基的概念使我们可以谈论向量空间的维数。

注意，即使在无限维情况下，代数基的定义仍要求每个向量分解成基向量的有限和。事实上，我们还不能允许无限和分解：那需要知道和是否收敛，而这又需要拓扑。在希尔伯特空间中这将成为可能，并由此引出合适的希尔伯特基概念，见第 2.3节。

自然会问：究竟有多少种不同的向量空间？能够分类吗？从代数角度，答案是可以。为此需要一种等价关系：向量空间同构，即两个向量空间$E$与$F$之间保持线性结构的一一对应：

注意，这一定义纯属代数。当$E$和$F$还配备与向量结构相容的拓扑时，需要区分拓扑同构：额外要求$T$与$T^{-1}$均连续。在赋范空间和希尔伯特空间的情形中，我们会再次讨论。

于是有以下重要定理：

因此，在$\mathbb{K} = \R$或$\C$上，实际上每个有限维数$n$只有一个向量空间模型：分别是$\R^n$或$\C^n$，即由实数或复数分量构成的$n$元向量的集合。

在无限维情况下，分类原理相同：若接受选择公理，就能证明每个向量空间都有一个基（称为哈梅尔基）；分类定理推广为，同一域$\mathbb{K}$上的两个向量空间同构，当且仅当它们的基具有相同基数。

无限基的基数用超限基数表示，以区分无限的不同“大小”。最小的无限基数记为$\aleph_0$，它是$\mathbb{N}$的基数，也是$\mathbb{Z}$与$\mathbb{Q}$的基数。随后递归定义层级$\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$，其中每个$\aleph_{n+1}$是严格大于$\aleph_n$的最小基数，两者之间没有其他基数。在数理逻辑中，连续统假设认为，不存在基数介于$\mathbb{N}$与$\mathbb{R}$之间的无限集合；在此假设下，$\aleph_1$就是$\mathbb{R}$的基数。

不过，这种分类的实用性有限，因为通常不能显式构造哈梅尔基。 因此，向量空间的分类主要仍是理论性的。在赋范空间和希尔伯特空间中，情形有所改变：至少在希尔伯特维数有限或可数无限时，能够显式给出标准正交基，见第 3节。

但在到达希尔伯特空间之前，需要先沿数学地图的中间分支，讨论度量空间与赋范空间。

1.2. 度量空间与赋范空间

沿图 (1)中间的分支走，首先要给点集赋予拓扑；详细内容留到另一章“赋范空间与希尔伯特空间的拓扑”。这里记住：拓扑提供局部性概念，使收敛、极限和连续性得以定义。特别地，度量空间是拓扑空间。它们是在点集上配备了距离的空间，距离用来定义局部性。

有了这些概念，便可以合并图 1中的代数与拓扑分支，考察底层集合$X$是向量空间的度量空间，也就是配备距离的向量空间。这将引向量子力学中的一种根本结构，希尔伯特空间是其特例：赋范向量空间，简称赋范空间。

注意，我们并不允许任意距离。既然空间是线性的，就要求距离与向量结构相容：

这些条件表示距离尊重向量空间的几何：它在平移下不变，体现空间的均匀性；位似变换则应保持距离之比^{2  3}。接下来这个结论引出赋范空间：若$d$是向量空间$E$上的相容度量，那么到原点、也就是零向量的距离$\norm{x} = d(x, 0_E)$是一个范数。

证明.

事实上，它满足定义范数的以下性质：

1. $\|x\| \geq 0$，且$\|x\| = 0 \iff x = 0_E$；
2. $\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|$，对任意$x \in E$和$\lambda \in \mathbb{K}$成立；
3. $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$，对任意$(x,y) \in E^2$成立。

□

配备这种距离的向量空间就是赋范向量空间：

每个赋范向量空间$(E, \|\cdot\|)$都通过$d(x,y) = \|x-y\|$自然确定一个度量空间$(E, d)$，这个度量自动与向量结构相容。因此，赋范向量空间与度量空间的某个特殊子类一一对应。从这个意义说，前者是后者的子集。

2. 希尔伯特空间

我们已经到达图 (1)中的赋范空间。习惯上常将“赋范向量空间”简称为“赋范空间”，法语中还常用缩写EVN。接下来定义预希尔伯特空间，再定义构成量子力学数学框架的希尔伯特空间。

量子力学建立在复数之上，因此以下只考虑$\mathbb{K} = \C$。此前我们用$E$和$F$表示向量空间与赋范空间；从现在起，用$\mathcal{H}$和$\mathcal{G}$表示（预）希尔伯特空间。向量仍记为$x, y, z$等。

2.1. 预希尔伯特空间与内积

预希尔伯特空间是范数来自内积的赋范向量空间。并非所有范数都如此，例如上确界范数就不能由内积导出⁴。 因此，预希尔伯特空间构成赋范向量空间的真子类。先回顾$\C$上厄米内积的定义：

性质(1)与(2)共同推出对第一个变量的共轭线性，也称反线性⁵：$\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$。对一个变量线性、对另一个共轭线性的映射称为半双线性映射⁶。后文直接说内积，不再重复“厄米”，这一限定始终隐含。

先预告一个重要拓扑性质：内积对两个变量联合连续。也就是说，若$x_n \to x$且$y_n \to y$在范数意义下成立，即$\|x_n - x\| \to 0$且$\|y_n - y\| \to 0$，则

$$\langle x_n, y_n \rangle \to \langle x, y \rangle \text{ 于 } \C$$

在量子测量公设中我们将看到，系统处于$\psi$态时，观察到与本征向量$\phi$相关联的物理量结果的概率为$|\langle \phi , \psi \rangle|^2$（参见第 1.2 (主题 3, 课 1, 此语言版本尚未提供)节）。因此内积的连续性保证，状态$\psi$的微小改变只引起概率的微小改变，这正是我们希望的。

内积还满足另一个基本性质：

这一不等式特别可以用来证明，映射$x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$确实是范数，正如其记号所暗示的。

证明.

检验范数的三个条件。首先，$\|x\|^2 = \langle x, x \rangle \geq 0$，等号成立当且仅当$x = 0_{\H}$，这直接来自内积定义。其次，$\|\lambda x\| = \sqrt{\langle \lambda x, \lambda x \rangle} = \sqrt{|\lambda|^2 \langle x, x \rangle} = |\lambda| \|x\|$。最后写出 $$\begin{aligned} \|x + y\|^2 &= \langle x+y, x+y \rangle \\ &= \|x\|^2 + 2\,\Re\langle x, y \rangle + \|y\|^2 \\ &\leq \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2. \end{aligned}$$

利用柯西—施瓦茨不等式$|\langle x, y \rangle| \leq \|x\|\,\|y\|$，得到：

$$\|x+y\|^2 \leq \|x\|^2 + 2\|x\|\,\|y\| + \|y\|^2 = \bigl(\|x\| + \|y\|\bigr)^2,$$

开平方便得到三角不等式。 □

于是有如下定义：

在复预希尔伯特空间$\mathcal{H}$中，有以下有用的公式。

后两个公式与一个联系厄米内积和范数的重要定理有关。弗雷歇—冯·诺依曼—约当定理指出，赋范空间$E$上的范数$\|\cdot\|$来自内积，当且仅当它满足平行四边形恒等式。平行四边形恒等式是检验条件，用来判断内积是否存在；若存在，极化公式则给出从范数重建内积的方法。

2.2. 完备性与希尔伯特空间

从预希尔伯特空间到希尔伯特空间，需要一个不可或缺的拓扑概念：完备性。

这些拓扑内容也会在专门章节重述。目前只强调：完备性对量子物理至关重要。直观地，完备空间没有“孔洞”。换言之，不能有$\mathcal{H}$中的元素序列收敛到不属于$\mathcal{H}$的对象。有理数就缺少这个性质：适当构造的有理数序列可以趋于非有理数；事实上，实数正是这样构造出来的。

在量子力学中，系统的每个物理态都是希尔伯特空间中的向量，反之亦然。这是量子力学的第一公设。因此，若状态空间不完备，波函数在薛定谔方程作用下的演化就可能“离开空间”，变成“非物理态”，这是没有意义的。

完备性还参与另一个基本公设：量子测量的结果必须对应于作为自伴线性算符的物理可观测量的谱。在不完备的空间中，算符不一定有伴随算符；此外，研究自伴算符结构的谱定理也需要空间完备。

最后，任何包含无限和的量子表达式，例如傅里叶级数展开或在本征态基上的分解，都需要完备性才有意义。例如，用狄拉克记号写$|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$（参见第 4 (主题 2, 课 2)节），就假定该级数存在，而这只有完备性才能保证。

不过有一个好消息：完备性的这一微妙问题只在无限维时需要考虑。有限维中，一个重要定理简化了问题：

现在可以转向希尔伯特空间的代数描述。

2.3. 代数基与希尔伯特基

上面已回顾向量空间的代数基定义，见定义 2。它使向量分解为有限和。引入范数诱导的拓扑与完备空间，核心想法如下：现在能够讨论序列收敛，特别是部分和$(x_n)$的收敛，其中对某些向量$x_k$，有$x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$。若这些和收敛，就得到级数，也就是无限和：$(x_n) \to x$，且$x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$。空间完备时，保证这个极限仍属于空间。

换言之，当希尔伯特空间的代数维数无限时，现在可以允许将向量分解成无穷级数。这给出一种新的基概念：

为理解该定义，需要拓扑中的稠密性概念：

希尔伯特空间特别是赋范空间，因此同样适用。于是，完全性表示$\H$中的每个向量都能由$\H$中元素的有限线性组合任意逼近。

注意，与代数基不同，这里不是说每个向量都等于有限线性组合，而是说可由希尔伯特基的线性组合逼近到任意精度。由完备性，这些近似确实收敛到x。对于$I$的任意基数，有如下定理：

希尔伯特基的定义与分解定理之间的联系并非显然。

证明.

证明有两个关键思路。首先，完全标准正交族$\{e_i\}_{i \in I}$的完全性，使我们可以为希尔伯特空间任意点$x$构造一列近似。事实上，稠密性说明，对每个$\epsilon > 0$，都存在有限线性组合$y_\epsilon = \sum_{i \in J} \alpha_i e_i$，其中$J \subset I$为有限指标集，使得$|x - y_\epsilon| < \epsilon$。

第二个思路是注意到，部分和$S_J = \sum_{i \in J} \langle e_i, x \rangle e_i$是$x$在$V_J = \mathrm{Vect}(e_i, i \in J)$上的正交投影。根据这里直接接受的正交投影性质，$S_J$使到$x$的距离最小：

$$|x - S_J| = \inf_{y \in V_J} |x - y| \leq |x - y_\epsilon| < \epsilon$$

因此，取序列$\epsilon_n \to 0$，就得到一列有限子集$J_n$，满足$\|x - S_{J_n}\| \leq \epsilon_n$。这本身还不能完成证明，因为$J_n$未必递增。在可数情况下，只需将$J_n$替换为$J_n' = J_1 \cup \cdots \cup J_n$， 便得到递增的有限子集序列，满足$\|x - S_{J_n'}\| \to 0$，从而得到所需收敛。更多细节见^[6]。 □

注意，在无限维情况下，代数基的基数总严格大于希尔伯特基的基数。直观原因很简单：代数基的有限线性组合必须准确到达每个点$x$，而希尔伯特基只需逼近。因此，后者“精确程度较低”，所需独立方向更少⁸。换言之，希尔伯特基的有限线性组合只占空间很小的一部分，即$\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$。因此，表示$\mathcal{H}$中的向量通常需要收敛的无穷级数。

最后再给出量子物理数学中一个非常有用的公式。

2.4. 希尔伯特维数与分类

完成所有希尔伯特空间分类所需的要素几乎齐备了。还缺一个基本不变量：希尔伯特维数。

要对希尔伯特空间分类，最后需要它们之间合适的等价关系。因此，将定义 4中的向量空间同构先扩展到赋范空间，再扩展到希尔伯特空间；目前只用直观的连续性概念：

注意，若$T$保持内积，则$T$自动保持范数，即$\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$。这就是为什么称其为等距映射（同时线性且双射）。分类的基石是以下定理：

当然，现在“维数”指希尔伯特维数。每个希尔伯特空间都等距同构于这些模型之一，这一分类是完整的。下一节详细介绍这些模型，暂不讨论很久以后才会再遇到的不可数无限维情形。它们分别作为有限自由度（如自旋）、可数无限自由度（如质点量子力学）和不可数自由度（如量子场论）系统的参考空间。

3. 模型空间

3.1. 希尔伯特空间$\C^n$

具体来说，它是复数$n$元组的集合：

$$\mathbb{C}^n = \{x = (x_1, x_2, ..., x_n) : x_i \in \mathbb{C}, i = 1, ..., n\}$$

配备：

• 厄米内积：$\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$，注意复共轭；
• 对应的欧几里得范数：$\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$。

这是$n$维赋范空间，由于它在完备域上有限维，必定完备，因而是希尔伯特空间。其标准基写成列向量为：

$$e_i = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{（1位于第i个位置）。}$$

这是基数为$n$的希尔伯特基，同时也是代数基。也就是说，每个向量$x \in \mathbb{C}^n$都精确地分解为有限和：

$$x = \sum_{i=1}^{n} x_i e_i = \sum_{i=1}^{n} \langle e_i , x \rangle e_i$$

这个希尔伯特空间用于任何具有有限个彼此可区分状态的量子系统，特别是二能级系统或量子比特。

3.2. 希尔伯特空间$\ell^2(\mathbb{N})$

它定义为平方可和序列的集合：

$$\ell^2(\mathbb{N}) = \left\{x = (x_n)_{n \geq 1} : x_n \in \mathbb{C}, \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty\right\}$$

可以证明，配备以下结构后它是希尔伯特空间：

• 内积：$\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$，注意这次是无限和；
• 对应的范数：$\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$，同样是无限和。

这里通过显式构造标准基来说明它的可数性。这个基类似于$\C^n$的标准基。对每个$i \in \mathbb{N}$，同样以列向量定义：

$$e_i = (0,0,\dots,0,1,0,\dots),$$

即第$i$个坐标为$1$、其余为$0$的向量。与有限维情况唯一的区别是，它有无穷多个分量。

证明.

$\{e_i\}_{i \in \mathbb{N}}$显然标准正交，而且完全：对任意由序列$(x_1, x_2, ...)$给出的$x \in \ell^2(\mathbb{N})$，可以用有限部分和逼近$x$： $$x^{(N)} = \sum_{i=1}^N x_i e_i = (x_1, x_2, \dots, x_N, 0,0,\dots).$$

事实上，差满足 ¹⁰：

注释 10: 这里使用如下结果：若$\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < \infty$，则级数尾和趋于零，即$\lim_{N \to \infty} \sum_{n=N+1}^\infty |x_n|^2 = 0.$ 这与剩余待求和的是无穷多个非负项有关。

$$\|x - x^{(N)}\|^2 = \sum_{i=N+1}^\infty |x_i|^2 \xrightarrow[N\to\infty]{} 0,$$

这说明$e_k$的有限组合稠密，见定义 11。因此$\{e_i\}_{i \in \mathbb{N}}$构成希尔伯特基；按构造，其基数是$\N$的基数。分解定理于是说明，每个向量$x \in \ell^2(\mathbb{N})$都可写成

$$x = \sum_{i=1}^\infty x_i e_i = \sum_{i=1}^\infty \langle e_i, x \rangle e_i$$

其中级数在$\ell^2$的范数下收敛。 □

这个希尔伯特空间例如可用于量子力学中的谐振子。我们将看到，能量本征态由无上界的整数$n$编号，因此任意谐振子状态都可写成这样的级数。

3.3. 希尔伯特空间$L^2(\R)$

在一维质点量子力学中，波函数$\psi(x)$是实变量的复值函数。概率诠释要求：

$$\int_\R \psi^*(x)\, \psi(x)\, dx = 1.$$

因此，自然将相应状态空间定义为平方可积函数的集合：

$$\mathcal{H} = L^2(\R) = \big\{\psi : \R \to \mathbb{C} \ \big|\ \int_\R |\psi(x)|^2\, dx < \infty \big\}.$$

“$< \infty$”说明总能对状态归一化。赋予内积：

$$\langle \psi, \phi \rangle = \int_\R \psi^*(x)\, \phi(x)\, dx,$$

它诱导范数：

$$\|\psi\| = \sqrt{\langle \psi, \psi \rangle} = \sqrt{\int_\R |\psi(x)|^2 \, dx}.$$

可以证明这样得到希尔伯特空间，但证明并不完全平凡。可以显式给出希尔伯特基；已知的例子有厄米函数、小波、拉盖尔函数、沃尔什函数等。比如，先用递推关系定义厄米多项式：

$$H_{n+1}(x) = 2\, x\, H_n(x) - 2\, n\, H_{n-1}(x), \quad H_0(x) = 1, \; H_1(x) = 2x,$$

再定义厄米函数：

$$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}}\, e^{-x^2/2} H_n(x) ;$$

这里直接接受这些函数构成标准正交族：

$$\int_\R \psi_n(x) \, \psi_m(x) dx = \delta_{nm} \quad \textrm{这里$$$\psi_n^* = \psi_n$}

而且完全，因此是希尔伯特基。顺便说，它也恰好是一维谐振子哈密顿量的本征基。详情可参阅维基百科^[7]。实践中这个基用得不多，因为显式表达式非常繁琐。人们引入了“另一种基”——实际上不是真正的基，而是连续广义基，即著名的$\ket{x}$，后文会再讨论。

3.4. 希尔伯特空间$L^2(\mathbb{R}^3)$与$L^2(\mathbb{R}^{3n})$

在三维中，类似地考虑$L^2(\R^3)$，其内积为

$$\langle \psi, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\mathbf{x})\, \phi(\mathbf{x})\, d^3x.$$

对三维中的$n$粒子系统，状态空间为

$$L^2(\mathbb{R}^{3n}) = \Bigl\{ \psi : \mathbb{R}^{3n} \to \mathbb{C} \;\Bigm|\; \int_{\mathbb{R}^{3n}} |\psi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)|^2 \, d^3x_1 \dots d^3x_n < \infty \Bigr\}.$$

内积为

$$\langle \psi, \phi \rangle = \int_{\mathbb{R}^{3n}} \psi^*(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)\, \phi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)\, d^3x_1 \dots d^3x_n,$$

对应范数为

$$\|\psi\| = \sqrt{\langle \psi, \psi \rangle} = \sqrt{\int_{\mathbb{R}^{3n}} |\psi(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n)|^2 \, d^3x_1 \dots d^3x_n}.$$

这些都是希尔伯特空间，此处不证明。

4. 结束语

到目前为止，读者可能觉得奇怪：用于一维质点量子力学的$L^2(\R)$，竟同构于描述三维物理的$L^2(\R^3)$。另一课将详细解释为什么这并不矛盾。核心是：物理不仅由希尔伯特空间决定，还由一组可观测量决定。从$L^2(\R)$到$L^2(\R^3)$的同构，没有一个能够同时把整个一维可观测量代数变成三维的代数，即从一对$[\hat{X}, \hat{P}]$变成三对独立的$[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$。

同构也不表示数学上的相等：这两个希尔伯特空间作为函数空间确实不同，但在希尔伯特结构上仍然同构。同构只说明二者结构相似，即大小相同——希尔伯特基的基数相同——且具有相同的希尔伯特结构性质：同构保持范数、距离、正交性，以及收敛、连续性等拓扑性质。

因此，对给定基数，在等距意义下虽然只有一个抽象希尔伯特空间，却有无穷多种具体实现。

花这么多时间理解分类并非无益。正如所见，它在物理上对应于量子系统不同“维数性”的情形，而且伴随不同的计算规则：依基的性质，使用有限和、无穷级数或连续积分。与之对应的线性算符理论，在有限维与无限维之间也会发生根本变化。

5. 参考资料