希尔伯特空间与狄拉克记号

1. 对偶的思想

对偶是贯穿本课的主线。我们先尝试给它一个直观解释。在数学中，对偶这一概念涵盖许多情形，但在希尔伯特空间中，它表达的是一个简单而深刻的思想：向量不仅可以看作一个独立的对象，还可以看作作用于其他向量并产生数值的算子（即线性泛函）。在量子力学中，这样产生的数是概率幅。

因此，量子形式体系充分利用了这两个方面，而狄拉克记号是一套巧妙的书写系统，使我们能够方便地处理它们。其中，记为 $\ket{u}$ 的右矢表示空间中的向量，记为 $\bra{u}$ 的左矢表示作用于这些向量的线性泛函。二者的组合 $\langle u|v\rangle$ 产生一个称为括积的标量，而形如 $\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j}$ 的表达式则描述算子。

这一记号已成为量子物理的标准语言，必须全面掌握。本课后将提供一份计算规则汇总表。实际上，即使并不真正理解这些符号背后的数学，也完全可以学会操作它们。但是，要理解其深层含义，就需要完成这里概述的任务：理解如何建立向量与线性泛函之间的完整对应，以及为什么这一过程自然引出另一个基本对象——算子的伴随。

下一节中，我们将尝试在向量空间与其代数对偶之间建立这样的同构；代数对偶定义为其所有线性泛函的集合。我们将看到，这一目标无法实现。事实上，有限维向量空间虽然确实同构于其对偶，但这种同构并不是典范的（它依赖于任意选取的基）。在无限维情形中，情况更糟：这样的同构根本不存在。这些障碍说明不能自动将向量与线性泛函等同起来，也说明了为什么需要希尔伯特空间更丰富的结构。

第3节展示如何利用这一额外结构克服这些困难。借助内积，并将讨论限制于构成所谓拓扑对偶的连续线性泛函，可以得到一个出色的结果。里斯定理断言：任意维数的希尔伯特空间与其拓扑对偶之间，都存在一个典范的反线性等距同构。

这一结果为狄拉克记号提供了严格基础。我们将在第4节和第5节详细介绍这些记号（右矢、左矢及线性算子），然后说明里斯同构如何自然引出算子的伴随概念（第6节）。第7节用一张完整示意图总结这一构造。整课中，我们将始终在域 $\mathbb{C}$ 上讨论，并以有限维情形为具体例子来说明理论。

2. 线性泛函与代数对偶

设 $E$ 是 $\C$ 上的向量空间。其代数对偶 $E^*$ 定义为 $E$ 上所有线性泛函的集合，即所有线性映射 $\varphi : E \to \C.$ 的集合。

在有限维 $n$ 情形中，若固定 $E$ 的一组基 $(e_1,\dots,e_n)$，则可以在 $E^*$ 中构造对应的一族线性泛函 $(\theta_1,\dots,\theta_n)$，定义关系为：

$$\theta_j(e_i)=\delta_{ij}$$

可以证明，这一族线性无关且张成整个空间，因此是 $E^*$ 的一组基（称为对偶基）。由此得到 $\dim(E^*) = \dim(E)$，这意味着 $E$ 与 $E^*$ 同构。一种可能的同构是映射 $T$：它将每个向量 $x = \sum x_i e_i$ 对应到线性泛函 $w_x = \sum x_i \theta_i$。

不过，这一同构 $T$ 在某种意义上是人为的，因为它依赖于最初对 $E$ 的基的选择。如果改变基，映射 $T$ 也会改变。因此，向量空间与其代数对偶之间不存在典范的（自然的）对应。

在无限维情形中，一个经典结果表明 $E$ 永远不同构于其代数对偶，因为后者的维数严格更大（参见 Erdös–Kaplansky 定理）。例如，若 $E$ 的代数维数可数，则其代数对偶的代数维数不可数。

因此，在这两种情形中，向量与线性泛函之间都不存在典范对应。

3. 拓扑对偶与里斯定理

在希尔伯特空间 $\H$ 中，内积所诱导的范数使我们能够区分出一类特殊的线性泛函，即连续线性泛函。称 $\varphi : \H \to \C$ 在 $x_0$ 处连续，是指

$$\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0 : \|x - x_0\|_\H < \delta \implies |\varphi(x) - \varphi(x_0)| < \varepsilon,$$

而且，由线性性可知，只要在一点连续，就处处连续¹。所有连续线性泛函构成代数对偶的一个向量子空间。我们称其为拓扑对偶，仍然（略有记号上的混用）记为 $\H^*$。

注：这个范数是算子范数的一个特例，后面还会遇到（参见第 1.5 (主题 4, 课 3, 此语言版本尚未提供)节）。上述构造本身适用于任意赋范空间。希尔伯特空间的特殊之处在于下述定理：我们可以利用内积，在连续线性泛函与向量之间建立一一对应：

注意，从 $\mathcal{H}$ 到 $\H^*$ 的映射 $\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle$ 即使在仅仅是预希尔伯特空间的情形中也是单射。事实上，若 $\varphi_u = \varphi_v$，则对于 $\mathcal{H}$ 中任意 $x$ 都有 $0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle$。取 $x = u - v$，由内积的正定性便得到 $u = v$。

里斯定理进一步断言，此映射也是满射。这并不显然，而且只对希尔伯特空间成立。例如，在不完备的预希尔伯特空间中，它不是满射，因为存在连续线性泛函，无法表示为与该不完备空间中某个向量的内积。

因此，里斯定理给出了我们所寻找的 $\mathcal{H}$ 与 $\mathcal{H}^*$ 之间的双射 $\Phi$。由此得到以下推论：

证明.

1. 反线性性来自 $\H$ 的内积的反线性性：$\Phi(\lambda u) = \varphi_{\lambda u} = \langle \lambda u, . \rangle = \lambda^* \langle u, . \rangle = \lambda^* \, \varphi_u = \lambda^* \, \Phi(u)$。
2. 证明等距性，即 $\|\Phi(u)\|_{\H^*} = \|u\|_\H$。首先有： $$\|\varphi_u\|_{\H^*} = \sup_{\|x\|=1} |\langle u,x\rangle| \leq \|u\|_\H$$ 这是柯西–施瓦茨不等式的结果。接着注意到，当 $u \neq 0$ 时，取 $x = u/\|u\|$ 即可达到等号。当 $u = 0$ 时，等式显然成立。
3. 利用等距双射 $\Phi$，通过如下定义，将 $\H$ 的内积搬到 $\H^*$ 上： $$\langle \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} \equiv \langle \Phi^{-1}(\varphi_v), \Phi^{-1}(\varphi_u) \rangle_{\mathcal{H}} = \langle v, u \rangle_{\mathcal{H}}.$$ 注意，这里交换了顺序（用 v, u 而不是 u, v），以补偿 $\Phi$ 的反线性性。下面验证 $\H^*$ 上这个内积的半双线性性： $\langle \lambda \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} = \langle \varphi_{\lambda^*u}, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} = \langle v, \lambda^*u \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda^* \langle v, u \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda^* \langle \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*}$。内积的其他公理也很容易证明。
4. 这个内积所诱导的范数满足： $$\sqrt{\langle \varphi_u, \varphi_u \rangle_{\H^*}} = \sqrt{\langle u,u \rangle_{\H}} = \|u\|_\H = \|\varphi_u\|_{\H^*},$$ 因此与对偶范数一致。
5. 最后，从完备空间出发的等距双射保持完备性，因此 $\H^*$ 完备，进而是希尔伯特空间。这里不证明这一事实。

于是，$\H^*$ 继承了希尔伯特空间结构，使 $\Phi$ 成为希尔伯特空间之间的（反线性）同构。 □

4. 狄拉克记号：左矢、右矢与括积

狄拉克记号此时不过是里斯同构的另一种写法。我们先定义右矢、左矢和括积，再用它们改写上一课介绍的希尔伯特基展开。

1. 右矢。 向量 $u \in \mathcal{H}$ 写成右矢，记为： $$\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }$$

   线性结构给出以下计算规则：

   $$\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}$$
2. 左矢。 通过 $\Phi$，每个向量 $u \in \H$ 都对应一个泛函 $\varphi_u$。我们将这个线性泛函记作左矢，并在左矢内部写上对应的向量： $$\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }$$

   因此，$\bra{u}$ 表示作为线性泛函的向量 $u$，即« 与 $u$ 取内积并返回一个数 »这一操作。我们有以下计算规则：

   $$\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned}$$ 这些规则来自 $\Phi$ 的反线性性。
3. 括积。 利用前面两种记号技巧，可将内积（英语称为 bracket，也称 inner product）写成左矢与右矢的乘积： $$\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}$$

   这一记号实际上反映了线性泛函 $\bra{u}$ 对向量 $\ket{x}$ 的作用：

   $$\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.$$
4. 希尔伯特基展开。 无论希尔伯特空间的维数如何，我们已经知道展开公式 $u = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i$，其中求和或者有限，或者在 $I$ 无限时于 $\mathcal{H}$ 中收敛。用狄拉克记号可写为：

   $$\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }$$

   (1)

   这里 $u_i$ 是右矢 $u$ 在该基下的分量。注意，它们通过在 $e_i$ 上的正交投影得到，即 $u_i = \braket{e_i}{u}$，而不是 $\braket{u}{e_i}$，后者等于 $u_i^*$。这是一个常见错误，可能源自以下事实：在 $\R^n$ 上的普通向量运算中，向量 $\vec{v}$ 的分量 $v_i$ 由 $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$ 给出，这可能使人误以为在量子情形中有 $u_i = \braket{u}{e_i}$。但这样忽略了 $\C$ 上内积的半双线性性，会立即导致计算错误。

   对于左矢，有：

   $$\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }$$

   (2)

   范数的平方写为

   $$\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i$$

   (3)
   其中第二个等式是帕塞瓦尔等式。
5. « dagger » 运算。 使用同构 $\Phi$（从右矢到左矢）通常记作上标 $\dagger$。我们选择用同一符号表示从左矢到右矢的逆同构 $\Phi^{-1}$。因此 dagger 运算是对合。按照这一记号约定，有： $$\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{（映射 } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{（映射 } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{（对合）} \end{aligned}$$

下面用有限维情形说明这些内容。 取维数为 $n$ 的 $\H$，以及希尔伯特基 $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$，并配备典范内积（参见第 3.1 (主题 2, 课 1)节）。将基右矢典范地表示为列向量，即 $(n,1)$ 矩阵：

$$\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}$$

其中 $1$ 位于第 $i$ 个位置，于是所有右矢 $\ket{u}$ 都可写成列向量

$$\ket{u} = \sum_{i=1}^n u_i \ket{e_i} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,$$

其中 $u_i = \braket{e_i}{u}$。向量 $u$ 所对应的线性泛函 $\varphi_u$ 必须对任意向量 $v$ 满足：

$$\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i, \quad \text{（典范内积，空间为 } \C^n)$$

为了得到这个和，$\bra{u}$ 必须表示为由 $u$ 的共轭坐标构成的 $(1, n)$ 行向量：

$$\bra{u} = \left(u_1^*, u_2^*, \cdots, u_n^*\right),$$

因为这样，内积 $\braket{u}{v}$ 就是普通矩阵乘积：

$$\begin{aligned} \braket{u}{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}$$

例如，在二维情形中：

$$\ket{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \bra{u} = (1, -i)$$

我们得到以下结果：

注意，在无限维情形中，由于没有定义转置，这一说法没有意义。不过，在空间 $\ell^2(\N)$ 的典范基下，如果考虑无限列向量或行向量，并用收敛级数代替有限和，情形仍然相当类似。这有助于建立直觉，但严格来说，这些对象并不是矩阵，相关操作也不是转置。

5. 算子、矩阵元与单位算子分解

我们继续介绍狄拉克记号，这次也引入从 $\mathcal{H}$ 到 $\mathcal{G}$ 的线性映射（也称线性算子）$\hat A$，其中 $\mathcal{G}$ 是另一个希尔伯特空间。

算子的记法。 首先注意，物理学中通常用带帽子的符号表示算子。算子 $\hat A$ 作用于向量 $v$，得到向量 $\hat A v$。因此，在狄拉克记号中有以下两种等价写法，其中第二种更常用：

$$\boxed{v = \hat A \, u \quad \longleftrightarrow \quad \ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u} \equiv \hat A \ket{u}}.$$

同样，含有算子的内积可以写为：

$$\boxed{\langle w, \hat A \, u \rangle \quad \longleftrightarrow \quad \braket{w}{\smash{\hat{A}} u} \equiv \bra{w} \hat A \ket{u} }$$

其中第二种写法在形式上更简洁美观，因此更常见。

矩阵元。 在上式中，$\bra{w} = \bra{e_i}$ 且 $\ket{u} = \ket{e_j}$ 的情形特别重要，因为它定义了所谓算子 $\hat A$ 的矩阵元：

在无限维情形中，这个表达式并不总是有意义，因为还需要 $\ket{e_i}$ 属于算子 $\hat A$ 的定义域。我们稍后会讨论这一点。但在有限维情形中，这个定义非常明确：将基向量写成列向量后，线性算子与表示它的矩阵一一对应；因此记为 $\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}$，其中 $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$。上面的等式 $\ket{v} = \hat A \ket{u}$ 此时写成普通矩阵乘积 $\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}$，而内积则写成 $\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C$。

右矢–左矢算子。 括积是一个数，而右矢–左矢是一个算子，称为外积（与微分形式的外积无关）。事实上，对同一希尔伯特空间 $\H$ 中的两个向量 $\ket{u}$ 和 $\ket{v}$，我们对应一个从 $\H$ 到 $\H$ 的算子 $\ket{u}\bra{v}$，定义为：

$$\begin{aligned} \ket{u}\bra{v} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{x} \mapsto \ket{u} \underbrace{\braket{v}{x}}_{\in \mathbb{C}} = \braket{v}{x} \, \ket{u}. \end{aligned}$$

这里同样，在有限维情形中，$\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j}$ 特别重要。它的矩阵元除第 $i$ 行、第 $j$ 列的一个“1”外全为零；因此其对应矩阵为：

$$\begin{aligned} E_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}, \end{aligned}$$

在有限维情形中，每个线性算子 $\hat{A}$ 都可根据其矩阵元展开为：

$$\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\hat E_{ij} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }$$

其中 $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$。注意，在无限维情形中，这种展开并不总是可行；即便存在，也必须按强收敛的意义理解。后续课程会再讨论这一点。

单位算子的分解。 $\mathcal{H}$ 中的单位算子记作 $\mathbf{1}$，由对任意 $\ket{x} \in \mathcal{H}$ 均有 $\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x}$ 这一直观关系定义。在有限维情形中，它显然由单位矩阵表示。更一般地，有公式

这一公式在可数无限维情形中也成立，此时级数强收敛。它也称为单位算子的分解或完备性关系。这个公式对量子力学中的各种计算都极为有用。注意，它在不可分空间中不成立²

6. 伴随算子

回到里斯同构，考虑从 $\mathcal{H}$ 到 $\mathcal{G}$ 的连续线性算子³ $\hat{A}$，其中 $\H$ 和 $\G$ 是两个希尔伯特空间，也可能有 $\H = \G$。

当 $\hat{A}$ 作用于右矢 $\ket{u} \in \mathcal{H}$ 时，得到新右矢 $\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}$。自然会问：通过里斯同构，与向量 $\ket{v}$ 对应的左矢是什么？也就是说，$\G$ 上的线性泛函 $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$ 等于什么？这会自然引出一个新算子，称为$\hat{A}$ 的伴随，也用 $\hat{A}^\dagger$ 表示。这个算子在量子力学中起着关键作用。

为了求出 $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$，固定任意右矢 $\ket{w} \in \mathcal{G}$，并考虑 $\H$ 上的线性泛函：

$$\begin{aligned} \varphi : \begin{array}{rcl} \mathcal{H} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\[4pt] \ket{u} & \longmapsto & \langle \hat{A}u, w \rangle_{\mathcal{G}} \end{array} \end{aligned}$$

（上面的下标 $\G$ 表明应在哪个空间中取内积。）这里我们不加证明地承认：当 $\hat{A}$ 是连续算子时，$\varphi$ 是 $\mathcal{H}$ 上的连续线性泛函。由应用于 $\mathcal{H}$ 的里斯定理，此时存在唯一向量 $\ket{z} \in \mathcal{H}$，使得 $\varphi = \varphi_z$，即：

$$\forall\, \ket{u} \in \mathcal{H}, \quad \varphi(u) = \langle \hat{A}u, w \rangle_{\mathcal{G}} = \varphi_z(u) = \langle u, z \rangle_{\mathcal{H}}.$$

上述构造因此将 $\G$ 中的向量 $\ket{w}$ 对应到 $\H$ 中唯一的向量 $\ket{z}$。形式上，可以用一个称为伴随算子的算子 $\hat{A}^\dagger$ 的作用来记这一操作：$\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}$。由此注意到，算子 $\hat A$ 从 $\H$ 作用到 $\G$，而伴随算子则从 $\G$ 作用到 $\H$。

对每个 $\ket{w}$ 完成这一构造后，很容易验证，由此定义的算子本身也是连续线性算子。于是得到以下基本结果：

伴随在形式化量子计算中有两个实际用途。

1. 上式可以理解为：« 保持 $u$ 和 $w$ 的位置不变，伴随允许将算子从左边移到右边 »。
2. 利用内积的厄米对称性 $\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*$，还得到：
   $$\boxed{\forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}$$

   (7)

   这次说明：« 伴随允许交换左矢与右矢，只需同时取复共轭 »。

这两个恒等式等价。当然，必须注意出发空间和到达空间 $\H$ 与 $\G$，以及使用的是 $\H$ 的内积还是 $\G$ 的内积。但实际上，几乎总有 $\H = \G$，记号也因此简化。

现在用有限维情形说明上述构造。主要结果如下：

证明.

根据定义，$\hat{A}^\dagger$ 的矩阵元为： $$(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}^\dagger \ket{e_j} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.$$

由伴随的定义，有：

$$\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}$$

再由厄米对称性，有

$$\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^* = \bra{e_j}\hat{A} \ket{e_i}^* = A_{ji}^*$$

我们证明了：

$$(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}$$

□

我们尚未明确回答这一问题：与右矢 $\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u}$ 典范对应的左矢 $\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u}$ 是什么？公式 (6) 通过一个对任意向量 $w$ 都成立的内积关系给出了答案，使我们能够写出：

$$\forall w \in \mathcal{G}, \quad \braket{\hat{A} u}{w}_{\mathcal{G}} = \bra{u} \hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}} \;\Rightarrow\; \boxed{\bra{\hat{A} u} = \bra{u} \hat{A}^\dagger}$$

这里的结论来自：若两个线性泛函在每个向量 $w$ 上取值相同，则它们必然相等。但准确理解这一对象至关重要。一种常见误解，是从这一记号认为« 伴随从左侧作用于左矢 »。这是错误的！对象 $\bra{u} \hat{A}^\dagger$ 实际上是算子的复合，而不是左作用。事实上，出发空间和到达空间分别是：

$$\begin{aligned} \hat A^\dagger &: \mathcal G \to \mathcal H, \\ \bra{u} &: \mathcal H \to \mathbb{C}, \end{aligned}$$

因此，$\bra{u} \hat A^\dagger$ 是复合 $\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}$，确实是 $\mathcal{G}$ 上的线性泛函。通常省略符号 $\circ$，这可能造成混淆。

最后，从 $\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger$ 出发，通过 dagger 运算得到以下有用公式：

下图总结本课介绍的左矢、右矢、算子 $\hat A$ 及其伴随之间的关系。

本节最后列出伴随运算的一些重要性质：

证明.

（复合的情形）：对任意 $\ket{u} \in \mathcal{H}$ 和 $\ket{w} \in \mathcal{G}$，两次使用基本恒等式 (6)： $$\braket{(\hat{A}\hat{B})u}{w} = \braket{\hat{A}(\smash{\hat{B}}u)}{w} = \braket{\smash{\hat{B}}u}{\smash{\hat{A}}^\dagger w} = \braket{u}{\smash{\hat{B}}^\dagger(\smash{\hat{A}}^\dagger w)} = \braket{u}{(\smash{\hat{B}}^\dagger \smash{\hat{A}}^\dagger) w}.$$

由伴随的唯一性得出结论。 □

7. 参考资料