Trang chủ/Chủ đề/Chủ đề 2

Không gian Hilbert và ký hiệu Dirac

Cấu trúc không gian Hilbert, đối ngẫu tô pô và ký hiệu Dirac trong số chiều hữu hạn và vô hạn.

Ký hiệu Dirac trong số chiều hữu hạn

Các quy tắc đại số của tính toán lượng tử đúng trong mọi số chiều, sau đó là bảng công thức ma trận trong số chiều hữu hạn.

Ký hiệu DiracTích vô hướng HermiteLiên hợpToán tử ket-braPhân giải đồng nhấtSố chiều hữu hạnPhần tử ma trậnVếtChuyển vị liên hợpBảng công thức

Các đối tượng vừa định nghĩa tuân theo một tập hợp tính chất nền tảng, luôn đúng bất kể số chiều của không gian Hilbert và bất kể toán tử bị chặn hay không. Trong trường hợp không bị chặn vẫn có thể định nghĩa liên hợp, nhưng toán học tinh tế hơn; ta sẽ trở lại trong chủ đề tiếp theo về lý thuyết toán tử tuyến tính. Vì cả thế giới dùng ký hiệu Dirac, những tính chất này thực chất là các quy tắc đại số của phép tính lượng tử, nên bắt buộc phải nắm vững.

Bài này gom tất cả công thức hữu ích đã học, dù có lặp lại, và bổ sung một vài công thức. Trước tiên là các công thức đúng trong mọi số chiều, sau đó là bảng công thức riêng cho hữu hạn chiều, nơi ký hiệu Dirac quy về tính toán ma trận tường minh.

1. Quy tắc tính toán trong mọi số chiều

Tính chất của tích vô hướng.

Cho (∣φ⟩,∣ψ⟩)∈H2(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2 là hai vectơ của không gian Hilbert và (λ,μ)∈C2(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2 là các vô hướng. Tích vô hướng thỏa mãn các tính chất sau:

  1. Đối xứng Hermite:

    ⟨φ|ψ⟩=⟨ψ|φ⟩∗.\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}

    (1)

  2. Phản tuyến tính bên trái: bra gắn với λ∣ψ⟩\lambda \ket{\psi} là λ∗⟨ψ∣\lambda^* \bra{\psi}, tức là:

    (λ∣ψ⟩)†=λ∗⟨ψ∣vaˋ⟨λψ|φ⟩=λ∗⟨ψ|φ⟩\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{và} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }

    (2)

  3. Tuyến tính bên phải:

    ⟨φ|λψ⟩=λ⟨φ|ψ⟩.\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}

    (3)

  4. Tổ hợp tuyến tính: các tính chất trên cho phép khai triển theo cách thông thường những biểu thức phức tạp như sau. Với mọi α,β,γ,δ∈C\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C, ta có:

    ⟨αφ+βψ|γφ+δψ⟩=α∗γ⟨φ|φ⟩+α∗δ⟨φ|ψ⟩+β∗γ⟨ψ|φ⟩+β∗δ⟨ψ|ψ⟩.\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }

    (4)

  5. Chuẩn: theo định nghĩa,

    ∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩≥0,\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}

    (5)

    dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ∣ψ⟩=0\ket{\psi} = 0 là vectơ không, đôi khi nhưng hiếm khi được ký hiệu ∣∅⟩\ket{\varnothing}.

Tính chất của liên hợp.

Viết lại hai công thức mang ý nghĩa định nghĩa:

(A^∣φ⟩)†=⟨A^φ∣=⟨φ∣A^†\boxed{ (\hat A\ket{\phi})^\dagger = \bra{\smash{\hat{A}} \phi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger }

(6)

và

⟨A^φ|ψ⟩=⟨φ|A^†ψ⟩=⟨φ∣A^†∣ψ⟩\boxed{ \braket{\smash{\hat{A}} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\smash{\hat{A}}^\dagger \psi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi} }

(7)

từ đó, qua đối xứng Hermite, còn chứng minh được:

⟨φ∣A^†∣ψ⟩∗=⟨ψ∣A^∣φ⟩\boxed{ \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi}^* = \bra{\psi} \hat A \ket{\phi} }

(8)

Tính chất của các toán tử liên hợp.

Với mọi toán tử tuyến tính liên tục A^,B^\hat{A}, \hat{B} trên H\mathcal{H} và mọi vô hướng λ∈C\lambda \in \mathbb{C}, ta có:

(A^+B^)†=A^†+B^†,(λA^)†=λ∗A^†, (phản tuyeˆˊn tıˊnh)(A^B^)†=B^†A^†,(chuˊ yˊ thứ tự)(A^†)†=A^,    (đoˆˊi hợp).\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{(phản tuyến tính)} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{(chú ý thứ tự)} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{(đối hợp)}. \end{aligned}
Toán tử ket-bra.

Bracket là một số, còn ket-bra là một toán tử, gọi là tích ngoài, không liên quan đến tích ngoài của dạng vi phân. Với hai vectơ ∣φ⟩\ket{\phi} và ∣ψ⟩\ket{\psi}, ta gắn toán tử ∣φ⟩⟨ψ∣\ket{\phi}\bra{\psi} được định nghĩa bởi:

∣φ⟩⟨ψ∣:H→H,∣χ⟩↦∣φ⟩⟨ψ|χ⟩.\begin{aligned} \ket{\phi}\bra{\psi} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{\chi} \mapsto \ket{\phi}\braket{\psi}{\chi}. \end{aligned}
Phân giải toán tử đồng nhất.

Toán tử đồng nhất trên H\Hilb ký hiệu 1\mathbf{1}, được định nghĩa hiển nhiên bởi 1x=x,∀x∈H\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb. Trong một cơ sở Hilbert đếm được {∣ei⟩}i∈I\{\ket{e_i}\}_{i \in I}, với II hữu hạn hoặc vô hạn đếm được, toán tử đồng nhất 1\mathbf{1} viết là:

1=∑i∈I∣ei⟩⟨ei∣\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }

(9)

Công thức này cực kỳ hữu ích trong thực hành. Nó còn được gọi là phân giải đồng nhất hoặc hệ thức đầy đủ. Vế phải là tổng hữu hạn trong hữu hạn chiều, hoặc chuỗi hội tụ trong vô hạn chiều đếm được. Nó sai trong trường hợp số chiều không đếm được.

Khai triển theo cơ sở Hilbert.

Chẳng hạn công thức trên cho phép tìm lại trực tiếp định lý khai triển ở bài 1, bằng cách định nghĩa ψi\psi_i là thành phần của ket ∣ψ⟩\kpsi trên ∣ei⟩\ket{e_i}:

∣ψ⟩=1∣ψ⟩=∑i∈I⟨ei|ψ⟩∣ei⟩=∑i∈Iψi∣ei⟩\boxed{ \ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{\psi} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} \psi_i \ket{e_i} }

(10)

Đây là tổng hoặc chuỗi tùy theo số chiều. Khai triển ket có dạng tương ứng cho bra:

⟨ψ∣=⟨ψ∣1=∑i∈Iψi∗⟨ei∣\boxed{ \bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \bra{e_i} }

(11)

Khi đó chuẩn viết là:

∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩=∑i∈Iψi∗ψi=∑i∈I∣ψi∣2\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \psi_i = \sum_{i \in I} |\psi_i|^2 }

(12)

Nhận xét 1 (Chú ý thứ tự!)
Các thành phần của ket là ψi=⟨ei|ψ⟩\psi_i = \braket{e_i}{\psi}, không phải ⟨ψ|ei⟩\braket{\psi}{e_i}, vốn bằng ψi∗\psi_i^*. Tích vô hướng Hermite không giao hoán nên phải chú ý thứ tự. Trong Rn\mathbb{R}^n với tích vô hướng Euclid thông thường, thành phần viv_i của vectơ v⃗\vec{v} được lấy bằng vi=v⃗⋅e⃗iv_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i, có thể gợi ý công thức lượng tử là ψi=⟨ψ|ei⟩\psi_i = \braket{\psi}{e_i}, nhưng không phải vậy!
Một vài toán tử đặc biệt.

Chủ đề tiếp theo trình bày chi tiết lý thuyết toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert. Tuy nhiên, ta ghi trước vài trường hợp rất thường gặp để dùng về sau. Trong tập hợp toán tử H→H\Hilb \to \Hilb, đặc biệt có:

  1. A^\hat A, Hermite hoặc tự liên hợp nếu A^†=A^\hat{A}^\dagger = \hat{A};
  2. U^\hat U, unita nếu U^†=U^−1\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1};
  3. P^\hat P, toán tử chiếu nếu P^2=P^\hat{P}^2 = \hat{P};
  4. P^\hat P, toán tử chiếu trực giao, tức một toán tử chiếu tự liên hợp.

Các toán tử unita là song ánh, tuyến tính và bảo toàn tích vô hướng. Ta đã gặp chúng ở trên: đó là các đẳng cấu đẳng cự, cụ thể là tự đẳng cấu đẳng cự ở đây vì chỉ xét toán tử tuyến tính từ H\Hilb vào chính nó.

2. Bảng công thức trong hữu hạn chiều

Có thể cụ thể hóa hơn các quy tắc tính lượng tử khi không gian Hilbert có số chiều hữu hạn nn. Trước hết, mọi công thức của mục trước vẫn đúng, với các tổng trong đó được viết thành tổng hữu hạn: ∑i⟶∑i=1n\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}.

Ngoài ra, sau khi chọn một cơ sở trực chuẩn B=(∣ei⟩)i=1n\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n, ký hiệu Dirac tương ứng với phép tính ma trận tường minh mà ta sẽ trình bày ngay sau đây. Chú ý rằng phần sau hoàn toàn không có nghĩa trong vô hạn chiều.

Ket như vectơ cột.

Biểu diễn chính tắc các ket của cơ sở B\mathcal{B} bằng ma trận (n,1)(n,1), còn gọi là vectơ cột:

∣ei⟩=(0⋮010⋮0)B\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

trong đó 11 nằm ở vị trí thứ ii. Qua khai triển đại số:

∣v⟩=∑i=1nvi∣ei⟩,\ket{v} = \sum_{i=1}^n v_i \ket{e_i},

ta viết được mọi ket như vectơ cột. Với ∣v⟩∈H\ket{v} \in \mathcal{H}, viết:

∣v⟩=(v1v2⋮vn)B∈Cn,\ket{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

trong đó ta bỏ ghi cơ sở B\mathcal{B} dùng cho khai triển trừ khi cần thiết. Các thành phần được lấy bằng phép chiếu trực giao:

vi=⟨ei|v⟩\boxed{v_i = \braket{e_i}{v}}

(13)

Bra như vectơ hàng liên hợp.

Phiếm hàm tuyến tính φu\varphi_u gắn với vectơ uu phải thỏa mãn với mọi vectơ vv:

φu(v)=⟨u,v⟩=∑i=1nui∗vi,\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i,

do tính phản tuyến tính bên trái của tích vô hướng Hermite. Để thu được tổng này như tích ma trận, ⟨u∣\bra{u} phải là vectơ hàng chứa các tọa độ liên hợp của uu:

⟨u∣=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗),\begin{aligned} \bra{u} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix}, \end{aligned}

vì khi ấy tích vô hướng ⟨u|v⟩\braket{u}{v} là tích ma trận thông thường:

⟨u|v⟩=⟨u∣⋅∣v⟩=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗)⋅(v1v2⋮vn)=∑i=1nui∗vi∈C.\begin{aligned} \braket{u}{v} = \bra{u} \cdot \ket{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

Khi đó nhận thấy bra ⟨u∣\bra{u} là chuyển vị rồi liên hợp, hay « chuyển vị liên hợp », của ket ∣u⟩\ket{u}. Vì vậy trong hữu hạn chiều, phép dagger chính là lấy chuyển vị liên hợp:

∣u⟩†=∣u⟩∗⊤=⟨u∣\boxed{\ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u}^*} = \bra{u}}

(14)

Điều này sai trong vô hạn chiều, thậm chí không có nghĩa vì phép chuyển vị chưa được định nghĩa1.

Chú thích 1: Cùng lắm, trong không gian ℓ2(N)\ell^2(\N) và cơ sở chính tắc đã trình bày chi tiết ở mục 3.2 (Chủ đề 2, Bài học 1), tình hình khá tương tự nếu xét vectơ cột hoặc hàng vô hạn và thay tổng hữu hạn bằng chuỗi hội tụ. Điều này hữu ích để xây dựng trực giác, nhưng theo nghĩa chặt chẽ thì đó không phải ma trận. Trong L2(R)L^2(\R), cách nhìn này hoàn toàn không còn ý nghĩa, dù ở đó cũng có một dạng tương tự dùng tích phân; xem bài tiếp theo.
Biểu diễn ma trận của toán tử.

Trong một cơ sở trực chuẩn {∣ei⟩}i=1n\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n ở hữu hạn chiều, mọi toán tử tuyến tính A^\hat{A} khai triển được theo:

A^=∑i,j=1nAij ∣ei⟩⟨ej∣,\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

(15)

điều này dẫn đến sự đồng nhất tự nhiên trong hữu hạn chiều giữa toán tử tuyến tính A^\hat{A}, có dấu mũ, và ma trận AA, không có dấu mũ. Công thức trên thực chất là biểu hiện trong hình thức luận Dirac của khai triển ma trận A=∑ijAijEijA = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij}, với EijE_{ij} là ma trận cơ sở có 11 tại vị trí (i,j)(i,j) và các chỗ khác bằng không. Vì vậy EijE_{ij} là ma trận biểu diễn toán tử ∣ei⟩⟨ej∣\ket{e_i} \bra{e_j}. Các hệ số AijA_{ij} được gọi tự nhiên là phần tử ma trận của toán tử A^\hat{A} trong cơ sở {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\}. Chúng bằng:

Aij=⟨ei|A^ej⟩A_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}} e_j}

nhưng vì hình thức gọn đẹp, thường viết:

Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩.\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(16)

Toán tử đồng nhất đương nhiên có ma trận là ma trận đơn vị, với các phần tử δij\delta_{ij}, ký hiệu Kronecker.

Vết của toán tử.

Về sau ta thường cần xét vết của toán tử A^\hat{A}. Trong ký hiệu Dirac, vết được tính bằng:

Tr(A^)=∑i=1n⟨ei∣A^∣ei⟩=∑i=1nAii.\boxed{\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_{i=1}^n \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_i} = \sum_{i=1}^n A_{ii}.}

(17)

Biểu thức này độc lập với cách chọn cơ sở trực chuẩn.

Liên hợp và chuyển vị liên hợp.

Trong hữu hạn chiều, ma trận biểu diễn liên hợp A^†\hat{A}^\dagger là chuyển vị liên hợp của ma trận biểu diễn toán tử A^\hat{A}:

A†=(A∗)⊤.\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}.}

(18)

Ở đây đưa ra một chứng minh ngắn để thấy cách dùng thực tế các quy tắc tính toán ở trên. Theo định nghĩa, các phần tử ma trận của A^†\hat{A}^\dagger là:

(A^†)ij=⟨ei|A^†ej⟩.(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

Nhưng theo định nghĩa liên hợp, ta có:

⟨ei|A^†ej⟩=⟨A^ei|ej⟩\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

Dùng đối xứng Hermite, ta có ⟨A^ei|ej⟩=⟨ej|A^ei⟩∗\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*, mà đó chính là các phần tử ma trận Aji∗A_{ji}^*. Vậy:

(A†)ij=Aji∗=(A∗⊤)ij(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

từ đó chứng minh được tính chất. Trong hữu hạn chiều, ta có thể kiểm tra tường minh bằng tính toán ma trận xem một toán tử có Hermite, unita, v.v. hay không.

3. Tài liệu tham khảo

Chưa có tài liệu tham khảo cho bài học này.