Không gian Hilbert và ký hiệu Dirac

Trong bài này, chúng ta định nghĩa chính xác không gian Hilbert, trước hết chỉ ra vị trí và cách chúng xuất hiện trong hai ngành lớn của toán học là đại số và tôpô. Ta sẽ đi đến định lý phân loại: hai không gian Hilbert đẳng cấu đẳng cự nếu có cùng số chiều Hilbert. Không được nhầm khái niệm này với số chiều đại số của không gian vectơ, vì chúng chỉ trùng nhau trong trường hợp hữu hạn chiều. Ta sẽ đưa ra không gian mẫu cho từng trường hợp: hữu hạn chiều, vô hạn đếm được và vô hạn không đếm được, cùng khái quát ứng dụng trong cơ học lượng tử sơ cấp. Cuối cùng, ta mở ra câu hỏi liệu vật lý được xác định bởi những không gian Hilbert liên hệ qua đẳng cấu có bất biến hay không.

1. Các cấu trúc toán học trong vật lý

Để đi đến không gian Hilbert, ta nhắc ngắn gọn về “bản đồ toán học” thường dùng nhất trong vật lý lý thuyết. Trang sau trình bày phiên bản rất đơn giản và còn thiếu rất nhiều của bản đồ ấy, nhưng đủ cho khóa học này, xem Hình (1).

Nếu bắt đầu từ khái niệm trực quan về một tập hợp điểm¹, ta tiến dần bằng cách thêm cấu trúc vào tập hợp. Sơ đồ này sẽ được giải thích từng bước ở phần sau.

1.1. Cấu trúc đại số và không gian vectơ

Từ các tập hợp điểm, có thể đi thẳng sang nhánh trái của bản đồ (1), nhánh cấu trúc đại số, thường dùng để mô tả tập hợp số, nhưng không chỉ có vậy.

Ta thêm một hoặc nhiều phép toán trong vào tập điểm. Khi các phép toán thỏa những quy tắc như kết hợp, giao hoán, tồn tại phần tử trung hòa, v.v., ta nhận được các cấu trúc cụ thể.

Hình biểu diễn vài cấu trúc cơ bản: magma (tập hợp có một phép toán trong không đòi hỏi tính chất đặc biệt), nhóm, vành và trường. Còn nhiều cấu trúc khác như nửa nhóm, vị nhóm hay vành không giao hoán, nhưng không vẽ để dễ đọc. Mỗi cấu trúc là trường hợp riêng của cấu trúc trước: mọi trường là vành, mọi vành là nhóm đối với phép cộng, v.v. Trường quan trọng nhất, vì số thực và số phức với bốn phép tính thông thường có cấu trúc này. Nó cũng cho phép xây dựng không gian vectơ trên đó.

Ta có thể lập tổ hợp tuyến tính, nói đến họ độc lập tuyến tính, họ sinh, cơ sở và số chiều không gian vectơ. Chú ý hai khái niệm cơ sở cần phân biệt trong chương này: cơ sở đại số, áp dụng cho mọi không gian vectơ, và cơ sở Hilbert, chỉ dành cho Hilbert. Chúng trùng nhau ở hữu hạn chiều nhưng không trùng ở vô hạn chiều. Tương tự, cần phân biệt số chiều đại số và số chiều Hilbert. Vì thế phải nhắc lại vài điều trước khi tiếp tục.

Định nghĩa này tương đương định nghĩa quen thuộc khác: họ $(e_i)_{i \in I}$ là cơ sở khi và chỉ khi vừa độc lập tuyến tính vừa sinh $E$. Khái niệm cơ sở cho phép nói đến số chiều không gian vectơ.

Ngay cả ở vô hạn chiều, định nghĩa cơ sở đại số vẫn yêu cầu mỗi vectơ phân tích thành tổng hữu hạn các vectơ cơ sở. Thực tế, chưa thể cho phép phân tích thành tổng vô hạn, vì cần biết tổng có hội tụ hay không, điều đòi hỏi tôpô. Trong không gian Hilbert điều này sẽ khả thi và dẫn đến khái niệm cơ sở Hilbert thích hợp, xem Mục 2.3.

Một câu hỏi tự nhiên là có bao nhiêu không gian vectơ khác nhau, và có thể phân loại chúng không. Về đại số, câu trả lời là có. Cần một quan hệ tương đương: đẳng cấu không gian vectơ, tức tương ứng một-một giữa hai không gian $E$ và $F$ bảo toàn cấu trúc tuyến tính:

Chú ý: định nghĩa này thuần đại số. Khi $E$ và $F$ có tôpô tương thích với cấu trúc vectơ, cần phân biệt đẳng cấu tôpô: yêu cầu thêm cả $T$ và $T^{-1}$ liên tục. Ta sẽ trở lại trong trường hợp không gian định chuẩn và Hilbert.

Khi ấy có định lý quan trọng:

Vì vậy, trên $\mathbb{K} = \R$ hoặc $\C$, thực chất chỉ có một mô hình không gian vectơ hữu hạn chiều $n$: tương ứng là $\R^n$ hoặc $\C^n$, tập các vectơ $n$ thành phần thực hoặc phức.

Ở vô hạn chiều, nguyên tắc phân loại giống hệt: chấp nhận tiên đề chọn thì có thể chứng minh mọi không gian vectơ đều có cơ sở, gọi là cơ sở Hamel. Định lý tổng quát thành: hai không gian vectơ trên cùng trường $\mathbb{K}$ đẳng cấu khi và chỉ khi cơ sở của chúng có cùng lực lượng.

Lực lượng cơ sở vô hạn được biểu diễn bằng số lực lượng siêu hạn, phân biệt những “kích thước” vô hạn khác nhau. Lực lượng vô hạn nhỏ nhất là $\aleph_0$: lực lượng của $\mathbb{N}$, cũng như $\mathbb{Z}$ và $\mathbb{Q}$. Tiếp theo định nghĩa quy nạp thứ bậc $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$, trong đó $\aleph_{n+1}$ là lực lượng nhỏ nhất lớn hơn hẳn $\aleph_n$, không có lực lượng nào ở giữa. Trong lôgic toán, giả thuyết continuum cho rằng không có lực lượng vô hạn trung gian giữa $\mathbb{N}$ và $\mathbb{R}$; khi ấy $\aleph_1$ là lực lượng của $\mathbb{R}$.

Tuy nhiên, phân loại này ít hữu ích ở chỗ nói chung không thể xây dựng tường minh cơ sở Hamel. Do đó phân loại không gian vectơ chủ yếu vẫn mang tính lý thuyết. Tình hình thay đổi ở không gian định chuẩn và Hilbert, nơi cơ sở trực chuẩn có thể viết tường minh, ít nhất khi số chiều Hilbert hữu hạn hoặc vô hạn đếm được, xem Mục 3.

Nhưng trước khi đến Hilbert, phải theo nhánh giữa của bản đồ và nói về không gian mêtric, không gian định chuẩn.

1.2. Không gian mêtric và không gian định chuẩn

Theo nhánh giữa của bản đồ (1), trước hết phải trang bị tôpô cho tập điểm. Ta sẽ trình bày chi tiết trong chương khác, về tôpô không gian định chuẩn và Hilbert. Ở đây chỉ cần nhớ tôpô cho khái niệm tính địa phương, qua đó định nghĩa hội tụ, giới hạn và liên tục. Đặc biệt, không gian mêtric là không gian tôpô: tập điểm có khoảng cách, và khoảng cách dùng để định nghĩa tính địa phương.

Giờ có thể hợp nhất nhánh đại số và tôpô của bản đồ 1 bằng cách xét không gian mêtric có tập nền $X$ là không gian vectơ, tức không gian vectơ có khoảng cách. Điều này dẫn đến cấu trúc quan trọng cơ bản trong cơ học lượng tử, với Hilbert là trường hợp riêng: không gian vectơ định chuẩn.

Không phải mọi khoảng cách đều được chấp nhận. Vì không gian tuyến tính, ta muốn khoảng cách tương thích với cấu trúc vectơ:

Các điều kiện nói rằng khoảng cách tôn trọng hình học không gian vectơ: bất biến tịnh tiến biểu thị tính đồng nhất của không gian, và phép vị tự phải bảo toàn tỷ số khoảng cách^{2  3}. Mệnh đề sau dẫn đến không gian định chuẩn: nếu $d$ là mêtric tương thích trên không gian vectơ $E$, thì khoảng cách tới gốc, tức vectơ không, $\norm{x} = d(x, 0_E)$ là chuẩn.

Không gian vectơ mang khoảng cách như thế là không gian vectơ định chuẩn:

Mỗi không gian vectơ định chuẩn $(E, \|\cdot\|)$ xác định chính tắc không gian mêtric $(E, d)$ qua $d(x,y) = \|x-y\|$, tự động tương thích cấu trúc vectơ. Vì thế, không gian vectơ định chuẩn tương ứng song ánh với một lớp con đặc biệt của không gian mêtric; theo nghĩa đó, chúng là tập con.

2. Không gian Hilbert

Ta đã đến không gian định chuẩn trong Hình (1). Thường gọi tắt không gian vectơ định chuẩn là không gian định chuẩn; tiếng Pháp còn dùng chữ viết tắt EVN. Tiếp theo định nghĩa không gian tiền Hilbert, rồi không gian Hilbert, khung toán học của cơ học lượng tử.

Vì cơ học lượng tử được xây dựng trên số phức, từ đây chỉ xét $\mathbb{K} = \C$. Trước nay dùng $E$ và $F$ cho không gian vectơ và định chuẩn; từ giờ dùng $\mathcal{H}$ và $\mathcal{G}$ cho không gian (tiền) Hilbert. Vectơ vẫn ký hiệu $x, y, z$, v.v.

2.1. Không gian tiền Hilbert và tích vô hướng

Không gian tiền Hilbert là không gian vectơ định chuẩn có chuẩn suy ra từ tích vô hướng. Không phải chuẩn nào cũng như vậy; chẳng hạn chuẩn supremum không thể lấy từ tích vô hướng⁴. Vì thế tiền Hilbert là lớp con thực sự của không gian vectơ định chuẩn. Nhắc lại định nghĩa tích vô hướng Hermite trên $\C$:

Kết hợp (1) và (2) suy ra tuyến tính liên hợp, hay phản tuyến tính, theo đối số đầu⁵: $\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$. Ánh xạ tuyến tính theo một đối số, tuyến tính liên hợp theo đối số kia gọi là nửa song tuyến tính⁶. Sau đây chỉ nói tích vô hướng, ngầm hiểu Hermite.

Nói trước một tính chất tôpô quan trọng: tích vô hướng liên tục theo cả hai biến. Nếu $x_n \to x$ và $y_n \to y$ theo chuẩn, tức $\|x_n - x\| \to 0$ và $\|y_n - y\| \to 0$, thì

Trong tiên đề đo lượng tử, ta sẽ thấy xác suất quan sát đại lượng vật lý gắn với vectơ riêng $\phi$ khi hệ ở trạng thái $\psi$ là $|\langle \phi , \psi \rangle|^2$ (xem mục 1.2 (Chủ đề 3, Bài học 1, chưa có bằng ngôn ngữ này)). Tính liên tục vì thế bảo đảm biến đổi nhỏ của trạng thái $\psi$ chỉ làm xác suất biến đổi nhỏ, điều đáng mong muốn.

Tích vô hướng còn thỏa tính chất cơ bản khác:

Đặc biệt, bất đẳng thức này chứng minh ánh xạ $x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ thực sự là chuẩn, đúng như ký hiệu gợi ý.

Ta đến định nghĩa sau:

Trong tiền Hilbert phức $\mathcal{H}$, có các công thức hữu ích sau.

Hai công thức cuối gắn với định lý quan trọng liên hệ tích vô hướng Hermite và chuẩn. Định lý Fréchet–von Neumann–Jordan phát biểu rằng chuẩn $\|\cdot\|$ trên không gian định chuẩn $E$ xuất phát từ tích vô hướng khi và chỉ khi thỏa đẳng thức hình bình hành. Đẳng thức ấy là phép kiểm tra sự tồn tại tích vô hướng; nếu tồn tại, công thức phân cực là cách tái tạo tích vô hướng từ chuẩn.

2.2. Tính đầy đủ và không gian Hilbert

Để chuyển từ tiền Hilbert sang Hilbert, có một khái niệm tôpô không thể thiếu: tính đầy đủ.

Ta sẽ trở lại các khía cạnh tôpô trong chương riêng. Hiện tại chỉ cần nhấn mạnh tính đầy đủ thiết yếu cho vật lý lượng tử. Trực quan, không gian đầy đủ không có “lỗ hổng”: không thể có dãy phần tử của $\mathcal{H}$ hội tụ đến thứ không thuộc $\mathcal{H}$. Số hữu tỷ thiếu tính chất này: dãy hữu tỷ được xây dựng thích hợp có thể tiến đến số không hữu tỷ; thực ra đó chính là cách xây dựng số thực.

Trong cơ học lượng tử, mọi trạng thái vật lý của hệ là vectơ Hilbert và ngược lại. Đây là tiên đề thứ nhất. Vì thế, nếu không gian trạng thái không đầy đủ, sự tiến hóa hàm sóng theo phương trình Schrödinger có thể “ra khỏi không gian” và trở thành “trạng thái phi vật lý”, điều không có nghĩa.

Tính đầy đủ còn xuất hiện trong tiên đề cơ bản khác: kết quả đo lượng tử phải thuộc phổ của các đại lượng quan sát vật lý, được xem là toán tử tuyến tính tự liên hợp. Trong không gian không đầy đủ, toán tử không phải lúc nào cũng có toán tử liên hợp; ngoài ra, định lý phổ dùng nghiên cứu cấu trúc toán tử tự liên hợp cũng cần tính đầy đủ.

Cuối cùng, mọi biểu thức lượng tử chứa tổng vô hạn, như khai triển Fourier hay phân tích theo cơ sở trạng thái riêng, cần tính đầy đủ để có nghĩa. Chẳng hạn viết $|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$ bằng ký hiệu Dirac (xem mục 4 (Chủ đề 2, Bài học 2)) giả định chuỗi tồn tại, điều chỉ được bảo đảm bởi tính đầy đủ.

Tuy nhiên có một tin tốt: sự tinh tế về tính đầy đủ chỉ cần ở vô hạn chiều. Ở hữu hạn chiều, định lý quan trọng sau đơn giản hóa vấn đề:

Giờ có thể chuyển sang mô tả đại số các không gian Hilbert.

2.3. Cơ sở đại số và cơ sở Hilbert

Định nghĩa cơ sở đại số đã được nhắc ở trên, xem Định nghĩa 2; nó cho phép phân tích vectơ thành tổng hữu hạn. Ý chính của việc đưa vào tôpô do chuẩn sinh ra và không gian đầy đủ như sau: giờ có thể nói về hội tụ dãy, đặc biệt các tổng riêng $(x_n)$, với $x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$ cho một số vectơ $x_k$. Nếu tổng hội tụ, ta được chuỗi, tức tổng vô hạn: $(x_n) \to x$ và $x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$. Không gian đầy đủ bảo đảm giới hạn thuộc không gian.

Nói cách khác, khi số chiều đại số của Hilbert vô hạn, giờ có thể phân tích vectơ thành chuỗi vô hạn. Điều này cho khái niệm cơ sở mới:

Để hiểu định nghĩa, cần khái niệm tôpô về tính trù mật:

Định nghĩa cũng áp dụng cho Hilbert, vốn đặc biệt là định chuẩn. Tính toàn phần vì thế nghĩa là mọi vectơ của $\H$ được xấp xỉ gần tùy ý bởi tổ hợp tuyến tính hữu hạn các phần tử của $\H$.

Khác với cơ sở đại số, ta không nói mọi vectơ bằng một tổ hợp tuyến tính hữu hạn, mà có thể được xấp xỉ gần tùy ý bằng tổ hợp tuyến tính cơ sở Hilbert. Nhờ tính đầy đủ, các xấp xỉ thực sự hội tụ đến x. Với lực lượng bất kỳ của $I$, có định lý:

Liên hệ giữa định nghĩa cơ sở Hilbert và định lý phân tích không hiển nhiên.

Ở vô hạn chiều, lực lượng cơ sở đại số luôn lớn hơn hẳn lực lượng cơ sở Hilbert. Trực giác đơn giản: tổ hợp hữu hạn của cơ sở đại số phải đạt đúng mọi điểm $x$, còn cơ sở Hilbert chỉ cần tiến gần. Cơ sở sau vì thế “kém chính xác hơn” và cần ít hướng độc lập hơn.⁸ Nói cách khác, tổ hợp hữu hạn cơ sở Hilbert chỉ là phần rất nhỏ của không gian, $\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$. Nói chung cần chuỗi vô hạn hội tụ để biểu diễn vectơ của $\mathcal{H}$.

Cuối cùng ghi thêm một công thức rất hữu ích trong toán học của vật lý lượng tử.

2.4. Số chiều Hilbert và phân loại

Ta gần có đủ mọi yếu tố để hoàn thành phân loại không gian Hilbert. Còn thiếu một bất biến cơ bản: số chiều Hilbert.

Cuối cùng, để phân loại Hilbert cần một quan hệ tương đương thích hợp. Ta mở rộng đẳng cấu không gian vectơ ở Định nghĩa 4 sang không gian định chuẩn rồi Hilbert, tạm dùng khái niệm trực quan về liên tục:

Nếu $T$ bảo toàn tích vô hướng thì $T$ tự động bảo toàn chuẩn, $\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$. Vì thế gọi là đẳng cự tuyến tính song ánh. Nền tảng của phân loại là định lý sau:

Dĩ nhiên, từ số chiều giờ chỉ số chiều Hilbert. Mọi Hilbert đẳng cấu đẳng cự với một trong các không gian mẫu này, và phân loại là đầy đủ. Mục sau sẽ mô tả chi tiết, để lại trường hợp vô hạn không đếm được cho phần rất xa về sau. Chúng là không gian tham chiếu cho hệ lượng tử có bậc tự do hữu hạn (như spin), vô hạn đếm được (như cơ học lượng tử chất điểm), hoặc không đếm được (như lý thuyết trường lượng tử).

3. Các không gian mẫu

3.1. Hilbert $\C^n$

Cụ thể, đó là tập các bộ $n$ số phức:

được trang bị:

• Tích vô hướng Hermite: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$ (chú ý liên hợp phức)
• Chuẩn Euclid tương ứng: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$

Đây là không gian định chuẩn số chiều $n$, được bảo đảm đầy đủ vì hữu hạn chiều trên trường đầy đủ. Vậy nó là Hilbert. Cơ sở chính tắc, viết dưới dạng vectơ cột, là:

Đây là cơ sở Hilbert lực lượng $n$, đồng thời là cơ sở đại số: mọi vectơ $x \in \mathbb{C}^n$ phân tích chính xác thành tổng hữu hạn:

Không gian Hilbert này dùng cho mọi hệ lượng tử có hữu hạn trạng thái phân biệt được với nhau, đặc biệt hệ hai mức hay qubit.

3.2. Hilbert $\ell^2(\mathbb{N})$

Nó được định nghĩa là tập các dãy bình phương khả tổng:

Có thể chứng minh đây là Hilbert khi trang bị:

• Tích vô hướng: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$ (lần này là tổng vô hạn),
• Chuẩn tương ứng: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$ (cùng nhận xét)

Ta chứng minh tính đếm được bằng xây dựng tường minh cơ sở chính tắc, giống cơ sở của $\C^n$. Với mọi $i \in \mathbb{N}$, định nghĩa, cũng dạng vectơ cột:

tức vectơ có tọa độ thứ $i$ bằng $1$, các tọa độ khác bằng $0$. Khác biệt duy nhất với hữu hạn chiều là nó có vô hạn thành phần.

Ví dụ, Hilbert này dùng mô tả dao động tử điều hòa lượng tử. Ta sẽ thấy trạng thái riêng năng lượng đánh chỉ số bởi số nguyên $n$ không bị chặn, nên mọi trạng thái dao động tử viết thành chuỗi như vậy.

3.3. Hilbert $L^2(\R)$

Trong cơ học lượng tử chất điểm một chiều, hàm sóng $\psi(x)$ là hàm phức của biến thực. Diễn giải xác suất yêu cầu:

Vì vậy tự nhiên định nghĩa không gian gắn với cơ học lượng tử này là tập hàm bình phương khả tích:

Điều kiện “$< \infty$” cho thấy luôn có thể chuẩn hóa trạng thái. Trang bị tích vô hướng:

cảm sinh chuẩn:

và có thể chứng minh nó trở thành Hilbert, nhưng không hoàn toàn hiển nhiên. Có thể cho cơ sở Hilbert tường minh; nhiều cơ sở đã biết như Hermite, wavelet, Laguerre, Walsh, v.v. Ví dụ, trước hết định nghĩa đa thức Hermite bằng truy hồi:

rồi định nghĩa hàm Hermite:

ta thừa nhận ở đây những hàm này tạo họ trực chuẩn:

và toàn phần, nên là cơ sở Hilbert. Chú ý: nó cũng là cơ sở riêng của Hamiltonian dao động tử điều hòa 1D. Chi tiết xem Wikipedia ^[7]. Thực tế ít dùng cơ sở này vì biểu thức tường minh rất rắc rối. Người ta đưa ra “cơ sở khác”, thực ra không phải cơ sở thật mà là cơ sở suy rộng liên tục, các ket nổi tiếng $\ket{x}$ sẽ được bàn lại.

3.4. Các Hilbert $L^2(\mathbb{R}^3)$ và $L^2(\mathbb{R}^{3n})$

Trong ba chiều, tương tự xét $L^2(\R^3)$ với tích vô hướng

Với hệ $n$ hạt trong ba chiều, không gian trạng thái là

Tích vô hướng được cho bởi

và chuẩn tương ứng là

Tất cả đều là không gian Hilbert, được thừa nhận ở đây.

4. Lời kết

Điều có thể gây ngạc nhiên là $L^2(\R)$ mô tả cơ học lượng tử chất điểm một chiều lại đẳng cấu với $L^2(\R^3)$ mô hình hóa vật lý ba chiều. Bài khác sẽ giải thích chi tiết vì sao không nghịch lý. Ý chính là vật lý không chỉ do Hilbert mà còn bởi tập các đại lượng quan sát. Không đẳng cấu nào từ $L^2(\R)$ đến $L^2(\R^3)$ có thể đồng thời chuyển toàn bộ đại số đại lượng quan sát 1D sang 3D, tức từ một cặp $[\hat{X}, \hat{P}]$ sang ba cặp độc lập $[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$.

Đẳng cấu này cũng không nói hai không gian bằng nhau về toán học: chúng thực sự khác nhau như không gian hàm, nhưng vẫn đẳng cấu về cấu trúc Hilbert. Đẳng cấu chỉ khẳng định sự tương tự cấu trúc: cùng kích thước xét theo lực lượng cơ sở Hilbert và cùng tính chất cấu trúc Hilbert. Nó bảo toàn chuẩn, khoảng cách, trực giao và tính chất tôpô về hội tụ, liên tục, v.v.

Vì vậy, dù với một lực lượng cho trước chỉ có một Hilbert trừ sai khác đẳng cự, vẫn có vô hạn cách hiện thực cụ thể.

Dành nhiều thời gian hiểu phân loại Hilbert không vô ích. Như đã thấy, trong vật lý nó tương ứng các tình huống khác nhau theo “số chiều” của hệ lượng tử, và kèm quy tắc tính khác nhau: tổng hữu hạn, chuỗi vô hạn hay tích phân liên tục tùy bản chất cơ sở. Lý thuyết toán tử tuyến tính tương ứng cũng thay đổi căn bản giữa hữu hạn và vô hạn chiều.

5. Tài liệu tham khảo