Trang chủ/Chủ đề/Chủ đề 2

Không gian Hilbert và ký hiệu Dirac

Cấu trúc không gian Hilbert, đối ngẫu tô pô và ký hiệu Dirac trong số chiều hữu hạn và vô hạn.

Không gian đối ngẫu, ket, bra và liên hợp

Xây dựng đối ngẫu tô pô, định lý biểu diễn Riesz, giới thiệu ket, bra và liên hợp

Đối ngẫu đại sốĐối ngẫu tô pôĐẳng cấu RieszKet và braPhần tử ma trậnPhân rã đồng nhấtDaggerToán tử liên hợp

1. Ý tưởng về đối ngẫu

Đối ngẫu là sợi chỉ xuyên suốt bài học này. Hãy thử đưa ra một cách hiểu trực quan. Trong toán học, khái niệm đối ngẫu bao quát nhiều tình huống, nhưng trong không gian Hilbert, nó diễn đạt một ý tưởng đơn giản mà sâu sắc: một vectơ không chỉ có thể được xem là một đối tượng tự thân, mà còn là một toán tử tác động lên các vectơ khác để tạo ra các số, tức là một phiếm hàm tuyến tính. Trong cơ học lượng tử, số thu được như vậy là một biên độ xác suất.

Vì thế, hình thức luận lượng tử khai thác đầy đủ cả hai mặt này, và ký hiệu Dirac là một hệ thống biểu diễn khéo léo giúp thao tác với chúng dễ dàng. Trong đó, các ket, ký hiệu ∣u⟩\ket{u}, biểu diễn vectơ của không gian, còn các bra, ký hiệu ⟨u∣\bra{u}, biểu diễn phiếm hàm tuyến tính tác động lên những vectơ đó. Kết hợp của chúng ⟨u∣v⟩\langle u|v\rangle tạo ra một vô hướng, gọi là bracket, còn các biểu thức dạng ∑aij∣ui⟩⟨vj∣\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j} mô tả toán tử.

Ký hiệu này đã trở thành ngôn ngữ chuẩn của vật lý lượng tử, nên việc nắm vững hoàn toàn là cần thiết. Sau bài học sẽ có một bảng tổng hợp các quy tắc tính toán. Thực ra, ta hoàn toàn có thể học cách thao tác với các ký hiệu mà chưa thật sự hiểu toán học phía sau. Nhưng để hiểu ý nghĩa sâu xa, cần thực hiện chương trình phác thảo ở đây: hiểu cách xây dựng sự đồng nhất đầy đủ giữa vectơ và phiếm hàm tuyến tính, và vì sao cách làm đó tự nhiên dẫn đến việc định nghĩa một đối tượng thiết yếu khác: liên hợp của một toán tử.

Trong mục tiếp theo, ta sẽ thử thiết lập một đẳng cấu như vậy giữa một không gian vectơ và đối ngẫu đại số của nó, được định nghĩa là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính. Ta sẽ thấy điều đó là bất khả thi. Thật vậy, dù không gian vectơ hữu hạn chiều đúng là đẳng cấu với đối ngẫu của nó, đẳng cấu ấy không chính tắc: nó phụ thuộc vào việc chọn cơ sở tùy ý. Trong vô hạn chiều, tình hình còn xấu hơn: đẳng cấu như vậy hoàn toàn không tồn tại. Những trở ngại này bác bỏ sự đồng nhất tự động giữa vectơ và phiếm hàm tuyến tính, đồng thời giải thích vì sao phải dùng cấu trúc phong phú hơn của không gian Hilbert.

Mục 3 chỉ ra cách khai thác cấu trúc bổ sung này để vượt qua khó khăn. Nhờ tích vô hướng, và bằng cách giới hạn ở các phiếm hàm tuyến tính liên tục tạo thành cái gọi là đối ngẫu tôpô, ta đạt được một kết quả đáng chú ý. Định lý Riesz khẳng định rằng với mọi không gian Hilbert có số chiều bất kỳ, tồn tại một đẳng cấu đẳng cự, phản tuyến tính và chính tắc giữa không gian đó với đối ngẫu tôpô của nó.

Kết quả này đặt nền tảng chặt chẽ cho ký hiệu Dirac, sẽ được trình bày chi tiết trong các mục 4 và 5 (ket, bra và toán tử tuyến tính), trước khi chỉ ra cách đẳng cấu Riesz tự nhiên làm xuất hiện khái niệm toán tử liên hợp (mục 6). Mục 7 tổng hợp cấu trúc này bằng một sơ đồ đầy đủ. Suốt bài học, ta sẽ dùng trường hợp hữu hạn chiều làm ví dụ cụ thể minh họa lý thuyết và luôn làm việc trên trường C\mathbb{C}.

2. Phiếm hàm tuyến tính và đối ngẫu đại số

Cho EE là một không gian vectơ trên C\C. Đối ngẫu đại số E∗E^* được định nghĩa là tập hợp các phiếm hàm tuyến tính trên EE, tức các ánh xạ tuyến tính φ:E→C.\varphi : E \to \C.

Trong số chiều hữu hạn nn, nếu cố định một cơ sở (e1,…,en)(e_1,\dots,e_n) của EE, ta có thể xây dựng một họ phiếm hàm tuyến tính tương ứng (θ1,…,θn)(\theta_1,\dots,\theta_n) trong E∗E^*, được định nghĩa bởi:

θj(ei)=δij\theta_j(e_i)=\delta_{ij}

Ta chứng minh được họ này độc lập tuyến tính và sinh ra toàn bộ không gian, nên là một cơ sở của E∗E^*, gọi là cơ sở đối ngẫu. Suy ra dim⁡(E∗)=dim⁡(E)\dim(E^*) = \dim(E), do đó EE và E∗E^* đẳng cấu. Một đẳng cấu có thể chọn là ánh xạ TT gán cho mỗi vectơ x=∑xieix = \sum x_i e_i phiếm hàm tuyến tính wx=∑xiθiw_x = \sum x_i \theta_i.

Tuy nhiên, đẳng cấu TT này có thể nói là nhân tạo, vì nó phụ thuộc vào cách chọn cơ sở ban đầu của EE. Nếu đổi cơ sở thì ánh xạ TT cũng đổi. Vì vậy không có sự đồng nhất chính tắc, hay tự nhiên, giữa một không gian vectơ và đối ngẫu đại số của nó.

Trong vô hạn chiều, một kết quả kinh điển cho biết EE không bao giờ đẳng cấu với đối ngẫu đại số của nó vì đối ngẫu có số chiều lớn hơn hẳn (xem định lý Erdös–Kaplansky). Chẳng hạn, nếu EE có số chiều đại số đếm được thì đối ngẫu đại số của nó có số chiều đại số không đếm được.

Như vậy, trong cả hai trường hợp đều không có sự đồng nhất chính tắc giữa vectơ và phiếm hàm tuyến tính.

3. Đối ngẫu tôpô và định lý Riesz

Trong không gian Hilbert H\H, chuẩn gắn với tích vô hướng cho phép phân biệt một lớp phiếm hàm tuyến tính đặc biệt: các phiếm hàm liên tục. Ta nói φ:H→C\varphi : \H \to \C liên tục tại x0x_0 nếu

∀ε>0, ∃δ>0:∥x−x0∥H<δ  ⟹  ∣φ(x)−φ(x0)∣<ε,\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0 : \|x - x_0\|_\H < \delta \implies |\varphi(x) - \varphi(x_0)| < \varepsilon,

và nếu liên tục tại một điểm thì nhờ tính tuyến tính, nó liên tục khắp nơi1. Tập hợp phiếm hàm tuyến tính liên tục tạo thành một không gian vectơ con của đối ngẫu đại số. Nó được gọi là đối ngẫu tôpô và vẫn được ký hiệu, hơi lạm dụng, là H∗\H^*.

Chú thích 1: Ta sẽ trở lại các vấn đề này trong những bài sau về tôpô và lý thuyết toán tử tuyến tính
Định nghĩa 1 (Đối ngẫu tôpô)
Cho H\H là không gian Hilbert trên C\C. Tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H\H là một không gian vectơ, gọi là đối ngẫu tôpô của H\H và ký hiệu H∗\H^*. Không gian này có một chuẩn tự nhiên, gọi là chuẩn đối ngẫu, cho bởi ∥φ∥H∗  =def  sup⁡∥x∥H=1∣φ(x)∣,\|\varphi\|_{\H^*} \equiv \sup_{\|x\|_\H=1} |\varphi(x)|,

với chuẩn đó, H∗\H^* là không gian vectơ định chuẩn đầy đủ, tức một không gian Banach.

Nhận xét: chuẩn này là một trường hợp riêng của chuẩn toán tử sẽ gặp sau (xem mục 1.5 (Chủ đề 4, Bài học 3, chưa có bằng ngôn ngữ này)). Bản thân cách xây dựng trên áp dụng cho mọi không gian định chuẩn. Điều đặc thù của trường hợp Hilbert nằm ở định lý sau: dùng tích vô hướng, ta xây dựng được một tương ứng song ánh giữa mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục và một vectơ.

Định lý 1 (Định lý biểu diễn Riesz)
Cho H\mathcal{H} là không gian Hilbert, khả ly hoặc không. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục φ∈H∗\varphi \in \mathcal{H}^* đều có thể được viết duy nhất dưới dạng φ(x)=⟨u,x⟩\varphi(x) = \langle u, x \rangle

với một vectơ u∈Hu \in \mathcal{H} nào đó.

Lưu ý rằng ánh xạ Φ:u↦φu=⟨u,⋅⟩\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle từ H\mathcal{H} vào H∗\H^* là đơn ánh ngay cả khi không gian chỉ là tiền Hilbert. Thật vậy, nếu φu=φv\varphi_u = \varphi_v thì với mọi xx thuộc H\mathcal{H}, ta có 0=φu(x)−φv(x)=⟨u−v,x⟩0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle. Chọn x=u−vx = u - v và dùng tính xác định dương của tích vô hướng sẽ được u=vu = v.

Định lý Riesz khẳng định ánh xạ này còn là toàn ánh. Điều đó không hiển nhiên và chỉ đúng trong không gian Hilbert. Chẳng hạn, trong một không gian tiền Hilbert không đầy đủ, nó không toàn ánh vì có những phiếm hàm tuyến tính liên tục không thể viết thành tích vô hướng với một vectơ của không gian không đầy đủ ấy.

Vậy định lý Riesz cung cấp song ánh Φ\Phi giữa H\mathcal{H} và H∗\mathcal{H}^* mà ta tìm kiếm. Suy ra hệ quả sau:

Hệ quả 1
Ánh xạ Φ:u↦φu\Phi : u \mapsto \varphi_u là một đẳng cấu phản tuyến tính đẳng cự, gọi là đẳng cấu Riesz chính tắc giữa H\H và đối ngẫu tôpô được trang bị chuẩn đối ngẫu của nó: H∗≃H\mathcal{H}^* \simeq \mathcal{H}.
Chứng minh.
  1. Tính phản tuyến tính suy ra từ tính phản tuyến tính của tích vô hướng trên H\H: Φ(λu)=φλu=⟨λu,.⟩=λ∗⟨u,.⟩=λ∗ φu=λ∗ Φ(u)\Phi(\lambda u) = \varphi_{\lambda u} = \langle \lambda u, . \rangle = \lambda^* \langle u, . \rangle = \lambda^* \, \varphi_u = \lambda^* \, \Phi(u).
  2. Chứng minh tính đẳng cự, tức ∥Φ(u)∥H∗=∥u∥H\|\Phi(u)\|_{\H^*} = \|u\|_\H. Trước tiên: ∥φu∥H∗=sup⁡∥x∥=1∣⟨u,x⟩∣≤∥u∥H\|\varphi_u\|_{\H^*} = \sup_{\|x\|=1} |\langle u,x\rangle| \leq \|u\|_\H theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz. Tiếp đó nhận thấy dấu bằng đạt được tại x=u/∥u∥x = u/\|u\| nếu u≠0u \neq 0. Khi u=0u = 0 thì đẳng thức hiển nhiên.
  3. Dùng song ánh đẳng cự Φ\Phi để chuyển tích vô hướng từ H\H sang H∗\H^* bằng định nghĩa: ⟨φu,φv⟩H∗  =def  ⟨Φ−1(φv),Φ−1(φu)⟩H=⟨v,u⟩H.\langle \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} \equiv \langle \Phi^{-1}(\varphi_v), \Phi^{-1}(\varphi_u) \rangle_{\mathcal{H}} = \langle v, u \rangle_{\mathcal{H}}. Chú ý thứ tự đảo ngược, v, u thay vì u, v, để bù tính phản tuyến tính của Φ\Phi. Thật vậy, hãy kiểm tra tính nửa song tuyến tính của tích vô hướng này trên H∗\H^*: ⟨λφu,φv⟩H∗=⟨φλ∗u,φv⟩H∗=⟨v,λ∗u⟩H=λ∗⟨v,u⟩H=λ∗⟨φu,φv⟩H∗\langle \lambda \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} = \langle \varphi_{\lambda^*u}, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} = \langle v, \lambda^*u \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda^* \langle v, u \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda^* \langle \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*}. Các tiên đề còn lại của tích vô hướng dễ dàng được chứng minh.
  4. Chuẩn do tích vô hướng này cảm sinh thỏa mãn: ⟨φu,φu⟩H∗=⟨u,u⟩H=∥u∥H=∥φu∥H∗,\sqrt{\langle \varphi_u, \varphi_u \rangle_{\H^*}} = \sqrt{\langle u,u \rangle_{\H}} = \|u\|_\H = \|\varphi_u\|_{\H^*}, nên trùng với chuẩn đối ngẫu.
  5. Cuối cùng, tính đầy đủ của H∗\H^*, và do đó việc nó là không gian Hilbert, được bảo đảm vì một đẳng cự song ánh từ không gian đầy đủ bảo toàn tính đầy đủ. Ở đây ta chấp nhận điều đó mà không chứng minh.

Như vậy, H∗\H^* thừa hưởng cấu trúc không gian Hilbert, theo đó Φ\Phi trở thành một đẳng cấu phản tuyến tính giữa các không gian Hilbert.

4. Ký hiệu Dirac: bra, ket, bracket

Ký hiệu Dirac lúc này chỉ là một cách viết lại đẳng cấu Riesz. Trước hết ta định nghĩa ket, bra và bracket, rồi dùng chúng viết lại khai triển theo cơ sở Hilbert đã học trong bài trước.

  1. Ket. Một vectơ u∈Hu \in \mathcal{H} được viết dưới dạng ket như sau: u∈H⟷∣u⟩\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }

    Cấu trúc tuyến tính cho các quy tắc tính toán:

    ∣u+v⟩=∣u⟩+∣v⟩∣λu⟩=λ∣u⟩\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}
  2. Bra. Với mỗi vectơ u∈Hu \in \H, ta gắn qua Φ\Phi một phiếm hàm φu\varphi_u. Ta ký hiệu phiếm hàm tuyến tính này bằng một bra, bên trong ghi vectơ tương ứng: φu=Φ(u)∈H∗⟷⟨u∣\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }

    Như vậy ⟨u∣\bra{u} biểu diễn vectơ uu được xem như phiếm hàm tuyến tính, tức thao tác « lấy tích vô hướng với uu và trả về một số ». Ta có các quy tắc tính toán sau:

    ⟨u+v∣=⟨u∣+⟨v∣⟨λu∣=λ∗⟨u∣,\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned} là hệ quả của tính phản tuyến tính của Φ\Phi.
  3. Bracket. Hai thủ thuật ký hiệu trên cho phép viết tích vô hướng, tiếng Anh là bracket hoặc inner product, như tích của một bra với một ket: ⟨u,x⟩  =def  ⟨u|x⟩\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}

    Ký hiệu này thực chất phản ánh tác động của phiếm hàm tuyến tính ⟨u∣\bra{u} lên vectơ ∣x⟩\ket{x}:

    ⟨u∣(∣x⟩)=φu(x)=⟨u,x⟩=⟨u|x⟩.\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.
  4. Khai triển theo cơ sở Hilbert. Với số chiều Hilbert bất kỳ, ta đã thấy công thức khai triển u=∑i∈I⟨ei,u⟩eiu = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i, trong đó tổng hữu hạn hoặc hội tụ trong H\mathcal{H} nếu II vô hạn. Trong ký hiệu Dirac, công thức trở thành:

    ∣u⟩=∑i∈I⟨ei|u⟩∣ei⟩=∑i∈Iui∣ei⟩\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }

    (1)

    trong đó uiu_i là các thành phần của ket uu trong cơ sở. Lưu ý chúng được lấy bằng phép chiếu trực giao lên eie_i dưới dạng ui=⟨ei|u⟩u_i = \braket{e_i}{u}, không phải ⟨u|ei⟩\braket{u}{e_i}, vốn bằng ui∗u_i^*. Đây là lỗi thường gặp, có lẽ do trong phép tính vectơ thông thường trên Rn\R^n, thành phần viv_i của vectơ v⃗\vec{v} được lấy bằng vi=v⃗⋅e⃗iv_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i, dễ gợi ý ui=⟨u|ei⟩u_i = \braket{u}{e_i} trong trường hợp lượng tử. Nhưng điều này bỏ qua tính nửa song tuyến tính của tích vô hướng trên C\C và lập tức dẫn đến sai sót tính toán.

    Đối với bra, ta có:

    ⟨u∣=∑i∈I⟨u|ei⟩⟨ei∣=∑i∈Iui∗⟨ei∣\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }

    (2)

    và bình phương chuẩn viết là

    ∥u∥2=⟨u|u⟩=∑i∈I∣ui∣2=∑i∈Iui∗ui\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i

    (3)

    trong đó đẳng thức thứ hai là đẳng thức Parseval.
  5. Phép « dagger ». Việc áp dụng đẳng cấu Φ\Phi từ ket sang bra thường được ký hiệu bằng dấu †\dagger ở trên. Ta chọn cùng ký hiệu cho đẳng cấu ngược Φ−1\Phi^{-1} từ bra sang ket. Vì thế phép dagger là một phép đối hợp. Theo quy ước viết này: ⟨u∣=∣u⟩†(aˊnh xạ Φ)∣u⟩=⟨u∣†(aˊnh xạ Φ−1)(∣u⟩†)†=∣u⟩(đoˆˊi hợp)\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(ánh xạ } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(ánh xạ } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(đối hợp)} \end{aligned}

Hãy minh họa các điểm trên trong hữu hạn chiều. Chọn H\H có số chiều nn và cơ sở Hilbert B=(∣ei⟩)i=1n\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n với tích vô hướng chính tắc (xem mục 3.1 (Chủ đề 2, Bài học 1)). Biểu diễn chính tắc các ket của cơ sở bằng vectơ cột, tức các ma trận (n,1)(n,1):

∣ei⟩=(0⋮010⋮0)B\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

trong đó 11 ở vị trí thứ ii. Khi đó mọi ket ∣u⟩\ket{u} đều viết được như vectơ cột

∣u⟩=∑i=1nui∣ei⟩=(u1u2⋮un)B∈Cn,\ket{u} = \sum_{i=1}^n u_i \ket{e_i} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

với ui=⟨ei|u⟩u_i = \braket{e_i}{u}. Phiếm hàm tuyến tính φu\varphi_u gắn với vectơ uu phải thỏa mãn, với mọi vectơ vv:

φu(v)=⟨u,v⟩=∑i=1nui∗vi,(tıˊch voˆ hướng chıˊnh ta˘ˊc của Cn)\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i, \quad \text{(tích vô hướng chính tắc của } \C^n)

Để có tổng này, ⟨u∣\bra{u} phải được biểu diễn bằng vectơ hàng kích thước (1,n)(1, n) gồm các tọa độ liên hợp của uu:

⟨u∣=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗),\bra{u} = \left(u_1^*, u_2^*, \cdots, u_n^*\right),

vì khi ấy tích vô hướng ⟨u|v⟩\braket{u}{v} thu được bằng phép nhân ma trận thông thường:

⟨u|v⟩=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗)⋅(v1v2⋮vn)=∑i=1nui∗vi∈C.\begin{aligned} \braket{u}{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

Chẳng hạn, trong hai chiều:

∣u⟩=(1i)⇒⟨u∣=(1,−i)\ket{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \bra{u} = (1, -i)

Ta đã thu được kết quả:

Mệnh đề 1 (Chuyển vị liên hợp)
Trong hữu hạn chiều, bra ⟨u∣\bra{u} là chuyển vị rồi liên hợp, hay « chuyển vị liên hợp », của ket ∣u⟩\ket{u}. Ta có: ⟨u∣=∣u⟩†=∣u∗⟩⊤∣u⟩=⟨u∣†=⟨u∗∣⊤\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u^*}}\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger = \transpose{\bra{u^*}} \end{aligned}

Chú ý rằng điều này không có nghĩa trong vô hạn chiều, vì phép chuyển vị chưa được định nghĩa. Tuy nhiên, trong không gian ℓ2(N)\ell^2(\N) với cơ sở chính tắc, tình hình khá tương tự nếu xét các vectơ cột hoặc hàng vô hạn và thay tổng hữu hạn bằng chuỗi hội tụ. Điều này có thể giúp xây dựng trực giác, nhưng theo nghĩa chặt chẽ thì không phải ma trận hay phép chuyển vị.

5. Toán tử, phần tử ma trận và phân giải đồng nhất

Ta tiếp tục trình bày ký hiệu Dirac, lần này đưa vào các ánh xạ tuyến tính, cũng gọi là toán tử tuyến tính, A^\hat A từ H\mathcal{H} vào G\mathcal{G}, với G\mathcal{G} là một không gian Hilbert khác.

Cách viết toán tử. Trước tiên, trong vật lý người ta thường ký hiệu toán tử bằng dấu mũ. Toán tử A^\hat A tác động lên vectơ vv cho vectơ A^v\hat A v. Vì vậy trong ký hiệu Dirac có hai cách viết tương đương, cách thứ hai được dùng nhiều hơn:

v=A^ u⟷∣v⟩=∣A^u⟩  =def  A^∣u⟩.\boxed{v = \hat A \, u \quad \longleftrightarrow \quad \ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u} \equiv \hat A \ket{u}}.

Tương tự, tích vô hướng có chứa một toán tử có thể viết:

⟨w,A^ u⟩⟷⟨w|A^u⟩  =def  ⟨w∣A^∣u⟩\boxed{\langle w, \hat A \, u \rangle \quad \longleftrightarrow \quad \braket{w}{\smash{\hat{A}} u} \equiv \bra{w} \hat A \ket{u} }

trong đó cách thứ hai thông dụng hơn vì hình thức gọn đẹp.

Phần tử ma trận. Trong công thức trên, trường hợp ⟨w∣=⟨ei∣\bra{w} = \bra{e_i} và ∣u⟩=∣ej⟩\ket{u} = \ket{e_j} đặc biệt quan trọng vì nó định nghĩa các phần tử ma trận của toán tử A^\hat A:

Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩.\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(4)

Trong vô hạn chiều, biểu thức này không phải lúc nào cũng có nghĩa, vì còn cần ∣ei⟩\ket{e_i} thuộc miền xác định của toán tử A^\hat A. Ta sẽ trở lại vấn đề này. Trái lại, trong hữu hạn chiều, định nghĩa rất rõ: qua cách viết vectơ cơ sở thành cột, một toán tử tuyến tính tương ứng duy nhất với ma trận biểu diễn nó; vì thế viết A^  ⟷  A=(Aij)1≤i,j≤n\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}, với Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}. Phương trình phía trên ∣v⟩=A^∣u⟩\ket{v} = \hat A \ket{u} khi đó là phép nhân ma trận thông thường A^∣u⟩=∑i∑j(Aijuj)∣ei⟩\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}, còn tích vô hướng viết là ⟨w∣A^∣u⟩=(w∗)⊤Au=∑ijwi∗Aijuj∈C\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C.

Ví dụ 1 (Tính toán ma trận)
Cụ thể, hãy xét ví dụ: A^=(i01−1),∣u⟩=(13),∣w⟩=(i1),\begin{aligned} \quad \hat A = \begin{pmatrix} i & 0 \\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \ket{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \ket{w} = \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix}, \end{aligned}

khi đó ta có:

∣v⟩=A^∣u⟩=(i01−1)⋅(13)=(i−2),⟨w∣A^∣u⟩=(−i,1)⋅(i01−1)⋅(13)=−1.\begin{aligned} \ket{v} = \hat A \ket{u} = \begin{pmatrix} i & 0 \\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \\ -2 \end{pmatrix}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u} = (-i, 1) \cdot \begin{pmatrix} i & 0 \\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = -1. \end{aligned}

Toán tử ket-bra. Bracket là một số, còn ket-bra là một toán tử, gọi là tích ngoài, không liên quan đến tích ngoài của dạng vi phân. Thật vậy, với hai vectơ ∣u⟩\ket{u} và ∣v⟩\ket{v} của cùng một không gian Hilbert H\H, ta gắn toán tử ∣u⟩⟨v∣\ket{u}\bra{v} từ H\H vào H\H, định nghĩa bởi:

∣u⟩⟨v∣:H→H,∣x⟩↦∣u⟩⟨v|x⟩⏟∈C=⟨v|x⟩ ∣u⟩.\begin{aligned} \ket{u}\bra{v} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{x} \mapsto \ket{u} \underbrace{\braket{v}{x}}_{\in \mathbb{C}} = \braket{v}{x} \, \ket{u}. \end{aligned}

Ở đây cũng vậy, trong hữu hạn chiều, trường hợp E^ij  =def  ∣ei⟩⟨ej∣\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j} đặc biệt quan trọng. Đó là toán tử có mọi phần tử ma trận bằng không, trừ một số “1” ở hàng ii và cột jj; ma trận tương ứng là:

Eij=(0⋯0⋯0⋮⋮⋮0⋯1⋯0⋮⋮⋮0⋯0⋯0),\begin{aligned} E_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}, \end{aligned}

Mọi toán tử tuyến tính A^\hat{A} trong hữu hạn chiều đều khai triển được theo các phần tử ma trận:

A^=∑i,j=1nAij E^ij=∑i,j=1nAij ∣ei⟩⟨ej∣,\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\hat E_{ij} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

trong đó Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}. Chú ý: trong vô hạn chiều, khai triển này không phải lúc nào cũng thực hiện được; và khi tồn tại, nó phải được hiểu theo nghĩa hội tụ mạnh. Ta sẽ trở lại trong các bài sau.

Phân giải toán tử đồng nhất. Toán tử đồng nhất trên H\mathcal{H}, ký hiệu 1\mathbf{1}, được định nghĩa hiển nhiên bởi 1∣x⟩=∣x⟩\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x} với mọi ∣x⟩∈H\ket{x} \in \mathcal{H}. Trong hữu hạn chiều, nó đương nhiên được biểu diễn bằng ma trận đơn vị. Tổng quát hơn, ta có công thức

1=∑i∈I∣ei⟩⟨ei∣\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }
(5)

cũng đúng trong vô hạn chiều đếm được, khi đó chuỗi hội tụ mạnh. Công thức còn được gọi là phân giải đồng nhất hoặc hệ thức đầy đủ. Nó cực kỳ hữu ích cho mọi phép tính trong cơ học lượng tử. Chú ý rằng nó sai trong các không gian không khả ly2

Chú thích 2: Thực ra công thức khai triển x=∑i∈I⟨ei,x⟩eix = \sum_{i \in I} \langle e_i, x \rangle e_i vẫn đúng trong mọi không gian Hilbert, nhưng trong trường hợp không khả ly, tổng chỉ chạy trên một tập con chỉ số đếm được I(x)⊂II(x) \subset I phụ thuộc vào xx. Vì vậy không thể suy ra một biểu thức của toán tử đồng nhất độc lập với vectơ mà nó tác động lên; điều này làm công thức (5) mất hiệu lực trong bối cảnh ấy.

6. Toán tử liên hợp

Trở lại đẳng cấu Riesz và xét một toán tử tuyến tính liên tục3 A^\hat{A} từ H\mathcal{H} vào G\mathcal{G}, trong đó H\H và G\G là hai không gian Hilbert, có thể có H=G\H = \G.

Chú thích 3: Để đơn giản, ở đây chỉ xét toán tử liên tục. Ta sẽ trở lại cách xây dựng liên hợp trong trường hợp không liên tục; xem mục 1.6 (Chủ đề 4, Bài học 3, chưa có bằng ngôn ngữ này)

Khi A^\hat{A} tác động lên ket ∣u⟩∈H\ket{u} \in \mathcal{H}, ta thu được ket mới ∣v⟩=∣A^u⟩=A^∣u⟩∈G\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}. Tự nhiên ta muốn biết bra nào tương ứng với vectơ ∣v⟩\ket{v} qua đẳng cấu Riesz, tức phiếm hàm tuyến tính trên G\G, ⟨v∣=⟨A^u∣\bra{v} = \langle \hat{A}u |, bằng gì. Điều này tự nhiên dẫn đến một toán tử mới, gọi là liên hợp của A^\hat{A}, cũng ký hiệu A^†\hat{A}^\dagger. Toán tử này giữ vai trò thiết yếu trong cơ học lượng tử.

Để tìm ⟨v∣=⟨A^u∣\bra{v} = \langle \hat{A}u |, cố định một ket bất kỳ ∣w⟩∈G\ket{w} \in \mathcal{G} và xét phiếm hàm tuyến tính trên H\H:

φ:H⟶C∣u⟩⟼⟨A^u,w⟩G\begin{aligned} \varphi : \begin{array}{rcl} \mathcal{H} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\[4pt] \ket{u} & \longmapsto & \langle \hat{A}u, w \rangle_{\mathcal{G}} \end{array} \end{aligned}

Ở trên, chỉ số G\G cho biết phải lấy tích vô hướng trong không gian nào. Ta chấp nhận ở đây rằng φ\varphi là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H\mathcal{H} khi A^\hat{A} là toán tử liên tục. Theo định lý Riesz áp dụng cho H\mathcal{H}, có một vectơ duy nhất ∣z⟩∈H\ket{z} \in \mathcal{H} sao cho φ=φz\varphi = \varphi_z, nghĩa là:

∀ ∣u⟩∈H,φ(u)=⟨A^u,w⟩G=φz(u)=⟨u,z⟩H.\forall\, \ket{u} \in \mathcal{H}, \quad \varphi(u) = \langle \hat{A}u, w \rangle_{\mathcal{G}} = \varphi_z(u) = \langle u, z \rangle_{\mathcal{H}}.

Cách xây dựng trên đã gắn với vectơ ∣w⟩\ket{w} của G\G một vectơ duy nhất ∣z⟩\ket{z} của H\H. Có thể ký hiệu hình thức thao tác này bằng tác động của một toán tử, gọi là toán tử liên hợp, ký hiệu A^†\hat{A}^\dagger, dưới dạng ∣z⟩=A^†∣w⟩\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}. Như vậy toán tử A^\hat A đi từ H\H đến G\G, còn liên hợp đi từ G\G đến H\H.

Thực hiện cách xây dựng đó với mọi ∣w⟩\ket{w}, ta dễ dàng kiểm tra rằng toán tử vừa định nghĩa cũng là toán tử tuyến tính liên tục. Ta được kết quả nền tảng:

Định nghĩa 2 (Liên hợp của toán tử liên tục)
Liên hợp của toán tử tuyến tính liên tục A^:H→G\hat{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{G} là toán tử tuyến tính liên tục duy nhất A^†:G→H\hat{A}^\dagger : \mathcal{G} \to \mathcal{H} sao cho:

∀∣u⟩∈H,∀∣w⟩∈G,⟨A^u|w⟩G=⟨u|A^†w⟩H\boxed{ \forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{u}{\smash{\hat{A}}^\dagger w}_{\mathcal{H}} }
(6)

Liên hợp có hai công dụng thực tế trong tính toán lượng tử hình thức.

  1. Công thức trên cho thấy, có thể nói rằng « giữ nguyên vị trí của uu và ww, việc lấy liên hợp cho phép chuyển toán tử từ trái sang phải ».
  2. Dùng đối xứng Hermite của tích vô hướng ⟨A^u|w⟩G=⟨w|A^u⟩G∗\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*, ta còn có:

    ∀∣u⟩∈H,∀∣w⟩∈G,⟨w∣A^∣u⟩G∗=⟨u∣A^†∣w⟩H\boxed{\forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}
    (7)

    lần này cho thấy « lấy liên hợp cho phép hoán đổi bra và ket, kèm theo liên hợp phức ».

Hai đồng nhất thức này tương đương. Dĩ nhiên cần chú ý không gian nguồn và đích H\H và G\G, cũng như đang dùng tích vô hướng của H\H hay của G\G. Tuy nhiên, trên thực tế gần như luôn có H=G\H = \G, nên ký hiệu đơn giản đi.

Bây giờ minh họa cách xây dựng trên trong hữu hạn chiều. Ta có kết quả chính sau:

Mệnh đề 2 (Chuyển vị liên hợp)
Trong hữu hạn chiều, ma trận biểu diễn liên hợp A^†\hat{A}^\dagger là ma trận chuyển vị liên hợp của ma trận biểu diễn toán tử A^\hat{A}.

A†=(A∗)⊤\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}}

(8)

Chứng minh.
Theo định nghĩa, các phần tử ma trận của A^†\hat{A}^\dagger là: (A^†)ij=⟨ei∣A^†∣ej⟩=⟨ei|A^†ej⟩.(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}^\dagger \ket{e_j} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

Theo định nghĩa liên hợp, ta có:

⟨ei|A^†ej⟩=⟨A^ei|ej⟩\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

và theo đối xứng Hermite,

⟨A^ei|ej⟩=⟨ej|A^ei⟩∗=⟨ej∣A^∣ei⟩∗=Aji∗\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^* = \bra{e_j}\hat{A} \ket{e_i}^* = A_{ji}^*

Ta đã chứng minh:

(A†)ij=Aji∗=(A∗⊤)ij(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

Ta vẫn chưa trả lời tường minh: bra ⟨v∣=⟨A^u∣\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u} tương ứng chính tắc với ket ∣v⟩=∣A^u⟩\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u} bằng gì? Công thức (6) trả lời thông qua một tích vô hướng đúng với mọi vectơ ww, cho phép viết:

∀w∈G,⟨A^u|w⟩G=⟨u∣A^†∣w⟩H  ⇒  ⟨A^u∣=⟨u∣A^†\forall w \in \mathcal{G}, \quad \braket{\hat{A} u}{w}_{\mathcal{G}} = \bra{u} \hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}} \;\Rightarrow\; \boxed{\bra{\hat{A} u} = \bra{u} \hat{A}^\dagger}

Kết luận có được vì hai phiếm hàm tuyến tính trùng nhau trên mọi vectơ ww thì nhất thiết bằng nhau. Tuy nhiên, hiểu đúng đối tượng này là điều cốt yếu. Một nhầm lẫn thường gặp là từ cách viết đó cho rằng « liên hợp tác động sang trái lên các bra ». Điều này sai! Đối tượng ⟨u∣A^†\bra{u} \hat{A}^\dagger thực chất là một phép hợp thành toán tử, không phải tác động sang trái. Thật vậy, các không gian nguồn và đích là:

A^†:G→H,⟨u∣:H→C,\begin{aligned} \hat A^\dagger &: \mathcal G \to \mathcal H, \\ \bra{u} &: \mathcal H \to \mathbb{C}, \end{aligned}

nên ⟨u∣A^†\bra{u} \hat A^\dagger là hợp thành ⟨u∣∘A^† : G→H→C\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}, đúng là một phiếm hàm tuyến tính trên G\mathcal{G}. Thông thường ta bỏ ký hiệu ∘\circ, dễ gây nhầm lẫn.

Ví dụ 2 (Minh họa trong hữu hạn chiều)
Ket là vectơ cột, bra là vectơ hàng và liên hợp là chuyển vị liên hợp. Chẳng hạn lấy: A^=(1i02),A^†=(10−i2),∣u⟩=(01).\begin{aligned} \hat{A} = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad \hat{A}^\dagger = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix}, \quad \ket{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}

Ta tính:

A^∣u⟩=(1i02)(01)=(i2)từ đoˊ suy ra⟨A^u∣=(−i2).\begin{aligned} \hat{A}\ket{u} = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \\ 2 \end{pmatrix} \quad \text{từ đó suy ra} \quad \bra{\smash{\hat{A}}u} = \begin{pmatrix} -i & 2 \end{pmatrix}. \end{aligned}

Kiểm tra bằng tính trực tiếp:

⟨u∣A^†=(01)(10−i2)=(−i2).\begin{aligned} \bra{u}\hat{A}^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i & 2 \end{pmatrix}. \end{aligned}

Đúng là thu được cùng một vectơ hàng. Ở đây ⟨u∣A^†\bra{u}\hat{A}^\dagger là tích vectơ hàng ×\times ma trận, kết quả đúng là vectơ hàng trên G\mathcal{G}. Để thấy tác động sang trái không thể thực hiện, thử tính A^†⟨u∣\hat{A}^\dagger\bra{u}, tức ở dạng ma trận:

A^†⟨u∣=(10−i2)(01),\begin{aligned} \hat{A}^\dagger \bra{u} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}, \end{aligned}

Đây là tích ma trận 2×22\times 2 với vectơ hàng 1×21\times 2: một phép toán không có nghĩa trong phép tính ma trận.

Cuối cùng, từ ⟨A^u∣=⟨u∣A^†\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger, lấy dagger sẽ cho các công thức hữu ích:

(A^∣u⟩)†=⟨u∣A^†.\left(\hat{A} \ket{u}\right)^\dagger = \bra{u} \hat{A}^\dagger.
(9)

(⟨u∣A^†)†=A^∣u⟩.\left(\bra{u} \hat{A}^\dagger\right)^\dagger = \hat{A} \ket{u}.
(10)

Ví dụ 3 (Tính hợp thành hình thức bằng liên hợp)
Xét một câu hỏi thi điển hình trong cơ học lượng tử sơ cấp về dao động tử điều hòa. Đề cho một họ ket ∣n⟩\ket{n} với nn là các số nguyên dương và các quy tắc: a^∣n⟩=n∣n−1⟩\hat a \ket{n} = \sqrt{n} \ket{n-1} và a^†∣n⟩=n+1∣n+1⟩\hat a^\dagger \ket{n} = \sqrt{n + 1} \ket{n+1}. Sau đó hỏi: ⟨n∣a^†\bra{n} \hat a^\dagger bằng gì?

Nếu nghĩ rằng a^†\hat a^\dagger tác động sang trái, ta dễ trả lời ⟨n∣a^†=n+1⟨n+1∣\bra{n} \hat a^\dagger = \sqrt{n + 1} \bra{n+1}. Câu trả lời đó sai, vì các phương trình trên, qua công thức (9) với A^=a^\hat{A} = \hat{a}, thực ra cho:

⟨n∣a^†=(a^∣n⟩)†=(n∣n−1⟩)†=n⟨n−1∣\bra{n}\hat{a}^\dagger = \left(\hat{a}\ket{n}\right)^\dagger = \left(\sqrt{n}\ket{n-1}\right)^\dagger = \sqrt{n}\bra{n-1}

Hình tiếp theo tổng hợp các quan hệ giữa bra, ket, toán tử A^\hat A và liên hợp của nó đã học trong bài.

Biểu diễn không gian Hilbert nguồn và đích cùng các đối ngẫu tôpô ^* và ^* của chúng. Toán tử A có tác động sang phải tự nhiên: nó biến ket của không gian nguồn u_ thành ket của không gian đích A u_ . Đẳng cấu Riesz cho phép xây dựng liên hợp A^ , tác động tự nhiên lên ket từ đến và thỏa mãn đồng nhất thức nền tảng. Chú ý: sơ đồ không được khiến ta nghĩ đó là ánh xạ ngược! Nói chung A^ A^-1. Các mũi tên ngang phía trên biểu diễn tác động của toán tử, còn các mũi tên ngang phía dưới biểu diễn phép hợp thành như đã bàn trong văn bản. Các mũi tên xanh và cam chỉ phép dagger, tức đẳng cấu Riesz hoặc ánh xạ ngược ^-1. Chữ trong hình ghi các công thức thiết yếu của những phép này, đã bỏ chỉ số và để dễ đọc. Vì đây là phép đối hợp, các biến đổi xanh và cam là ngược nhau. Đường chấm xám nhắc lại tính phản tuyến tính của đẳng cấu, là nguồn gốc của liên hợp phức trong đồng nhất thức nền tảng. Các chỉ số và trong đồng nhất thức ấy cho biết mỗi tích vô hướng được tính ở không gian nào.
Hình 1. Biểu diễn không gian Hilbert nguồn H\H và đích G\G cùng các đối ngẫu tôpô H∗\H^* và G∗\G^* của chúng. Toán tử A^\hat{A} có tác động sang phải tự nhiên: nó biến ket của không gian nguồn ∣u⟩H\ket{u}_\H thành ket của không gian đích A^∣u⟩H∈G\hat{A}\ket{u}_\H \in \G. Đẳng cấu Riesz cho phép xây dựng liên hợp A^†\hat{A}^\dagger, tác động tự nhiên lên ket từ G\G đến H\H và thỏa mãn đồng nhất thức nền tảng. Chú ý: sơ đồ không được khiến ta nghĩ đó là ánh xạ ngược! Nói chung A^†≠A^−1\hat{A}^\dagger \neq \hat{A}^{-1}. Các mũi tên ngang phía trên biểu diễn tác động của toán tử, còn các mũi tên ngang phía dưới biểu diễn phép hợp thành như đã bàn trong văn bản. Các mũi tên xanh và cam chỉ phép dagger, tức đẳng cấu Riesz Φ\Phi hoặc ánh xạ ngược Φ−1\Phi^{-1}. Chữ trong hình ghi các công thức thiết yếu của những phép này, đã bỏ chỉ số H\H và G\G để dễ đọc. Vì đây là phép đối hợp, các biến đổi xanh và cam là ngược nhau. Đường chấm xám nhắc lại tính phản tuyến tính của đẳng cấu, là nguồn gốc của liên hợp phức trong đồng nhất thức nền tảng. Các chỉ số H\H và G\G trong đồng nhất thức ấy cho biết mỗi tích vô hướng được tính ở không gian nào.

Kết thúc mục này bằng vài tính chất quan trọng của phép lấy liên hợp:

Mệnh đề 3 (Tính chất của toán tử liên hợp)
Với mọi toán tử tuyến tính liên tục A^,B^\hat{A}, \hat{B} và mọi vô hướng λ∈C\lambda \in \mathbb{C}, ta có: (A^+B^)†=A^†+B^†,(λA^)†=λ∗A^†, (phản tuyeˆˊn tıˊnh)(A^B^)†=B^†A^†,(chuˊ yˊ thứ tự)(A^†)†=A^,    (đoˆˊi hợp).\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{(phản tuyến tính)} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{(chú ý thứ tự)} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{(đối hợp)}. \end{aligned}

Chứng minh.
(trường hợp hợp thành): với mọi ∣u⟩∈H\ket{u} \in \mathcal{H} và ∣w⟩∈G\ket{w} \in \mathcal{G}, dùng hai lần đồng nhất thức nền tảng (6): ⟨(A^B^)u|w⟩=⟨A^(B^u)|w⟩=⟨B^u|A^†w⟩=⟨u|B^†(A^†w)⟩=⟨u|(B^†A^†)w⟩.\braket{(\hat{A}\hat{B})u}{w} = \braket{\hat{A}(\smash{\hat{B}}u)}{w} = \braket{\smash{\hat{B}}u}{\smash{\hat{A}}^\dagger w} = \braket{u}{\smash{\hat{B}}^\dagger(\smash{\hat{A}}^\dagger w)} = \braket{u}{(\smash{\hat{B}}^\dagger \smash{\hat{A}}^\dagger) w}.

Kết luận theo tính duy nhất của liên hợp.

7. Tài liệu tham khảo

Chưa có tài liệu tham khảo cho bài học này.