Không gian Hilbert và ký hiệu Dirac

1. Cơ sở liên tục suy rộng của $L^2(\mathbb{R})$

Ta đã trình bày chi tiết không gian mô hình $L^2(\R)$ trong Mục 3.3 (Chủ đề 2, Bài học 1). Đặc biệt, ta đã chỉ ra một cơ sở Hilbert đếm được của nó. Khi đó, mọi trạng thái vật lý đều được phân tích thành một chuỗi trên cơ sở các hàm Hermite. Đáng tiếc, biểu thức tường minh của những hàm này khá phức tạp.

Vì vậy, người ta đã đưa ra một « cơ sở » khác, vốn không thực sự là cơ sở theo nghĩa cơ sở Hilbert, mà là cái gọi là cơ sở liên tục suy rộng. Việc chuyển sang vô hạn chiều ở đây khá tinh tế, và cách xây dựng chặt chẽ sẽ cần các công cụ của chủ đề tiếp theo về lý thuyết toán tử tuyến tính. Vì thế, tạm thời ta chấp nhận bảng công thức dưới đây, đồng thời nhớ rằng đây là hướng dẫn sử dụng ký hiệu Dirac trong « cơ sở » này, chứ chưa phải một phép xây dựng toán học đã được thiết lập.

1.1. Cơ sở suy rộng trong biểu diễn vị trí

Dù vậy, hãy thử đưa ra vài ý tưởng. Trước hết, ta đưa vào một toán tử tự liên hợp gọi là toán tử « vị trí », ký hiệu $\hat{X}$, tác động lên các hàm của không gian Hilbert $L^2(\mathbb{R})$ bằng phép nhân:

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

Chú ý miền xác định. Biểu thức này chỉ có nghĩa nếu hàm $x\,\psi(x)$ vẫn thuộc $L^2(\R)$. Nhưng điều đó không phải lúc nào cũng đúng: một số hàm khả tích bình phương trở nên phân kỳ khi nhân với $x$.¹ Do đó, toán tử $\hat{X}$ không thể được xác định trên toàn bộ $L^2(\R)$, mà chỉ trên một không gian con gồm các hàm mà tác động của nó vẫn nằm trong $L^2$.

Để có một miền được xác định rõ, trù mật trong $L^2$ và ổn định dưới các phép toán thông thường (lấy đạo hàm, nhân với $x$, biến đổi Fourier), ta đưa vào không gian các hàm Schwartz, ký hiệu $\mathcal{S}(\R)$:

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

Nói cách khác, đó là các hàm trơn giảm nhanh, sao cho $f$ và mọi đạo hàm của nó đều tiến về 0 với tốc độ nhanh hơn bất kỳ lũy thừa nghịch đảo nào của $x$.

Không gian $\mathcal{S}(\R)$:

• trù mật trong $L^2(\R)$ (mọi hàm của $L^2$ đều có thể được xấp xỉ tốt tùy ý bằng các hàm của $\mathcal{S}$),
• ổn định dưới phép lấy đạo hàm, phép nhân với $x$, và phép biến đổi Fourier.

Vì thế, đây là miền tự nhiên để định nghĩa đúng các toán tử vị trí $\hat{X}$ và động lượng $\hat{P}$, và chính trên không gian này mà các phép xây dựng chặt chẽ của hình thức luận Dirac và bộ ba Gelfand được đặt nền tảng.

Sau những lưu ý đó, ta có thể viết, tạm thời hoàn toàn theo nghĩa hình thức², các trạng thái riêng của $\hat{X}$:

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

Các ket $\ket{x}$ này tạo thành cái gọi là cơ sở liên tục suy rộng, theo nghĩa chúng cho phép biểu diễn các phần tử của $L^2(\R)$ bằng những chồng chập liên tục, dù bản thân các $\ket{x}$ không phải là vectơ của không gian Hilbert.

Thực ra, chúng không phải ket theo nghĩa đúng, vì không thể chuẩn hóa. Ta sẽ thấy vì sao. Họ này không đếm được, nên tính trực chuẩn không thể được viết bằng ký hiệu Kronecker rời rạc $\delta_{ij}$, mà phải dùng « phiên bản liên tục »   dưới dạng:

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

đặc biệt:

ở đây ta đã đưa vào delta Dirac $\delta(x)$, vốn không phải hàm thông thường mà là một phân phối trong lý thuyết phân phối của toán học. Ta định nghĩa nó bằng tác động dưới dấu tích phân:

với mọi hàm thử $f$ của không gian Schwartz. Cần hiểu rằng riêng $\delta(x)$ không có nghĩa, thậm chí không phải một số. Thực ra, $\delta$ là một phiếm hàm tuyến tính $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$ tác động lên các hàm thử³. Vì thế, nó chỉ được định nghĩa bởi tác động dưới dấu tích phân (2), chứ không bởi các giá trị $\delta(x)$ của nó.

Nhưng nếu nhất định muốn xem nó như một hàm, ta có thể coi nó là giới hạn của một dãy hàm ngày càng tập trung quanh không, chẳng hạn giới hạn của các hàm Gauss ngày càng nhọn:

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

hoặc như các hình chữ nhật có tâm tại không, với chiều rộng tiến về không và chiều cao tiến ra vô hạn. Trong mọi trường hợp, theo cách nhìn này, delta xuất hiện ở giới hạn như một « hàm » bằng không ở mọi nơi trừ $x = 0$, nơi nó phân kỳ, trong khi tổng diện tích dưới đường cong vẫn bằng 1.

Vì vậy, trong vật lý ta vẫn viết $\delta(0) = \infty$, nhưng phải hiểu rõ sự lạm dụng ký hiệu và ý nghĩa ở đây. Dù sao, qua phương trình (1), điều đó cho thấy ket $\ket{x}$ không được chuẩn hóa. Delta Dirac còn có một biểu diễn tích phân cực kỳ hữu ích, có lẽ là công thức quan trọng nhất của mục này:

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

ở đây cũng phải hiểu đẳng thức theo nghĩa lý thuyết phân phối, vì tích phân này hiển nhiên không hội tụ và nếu không hiểu như vậy thì hoàn toàn vô nghĩa.

Các « phần tử ma trận » của toán tử vị trí $\hat{X}$ là $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$. Ta vẫn tiếp tục gọi chúng như vậy (so sánh với mục trước trong hữu hạn chiều), dù $\hat{X}$ không thể được biểu diễn bằng một ma trận thông thường. Có thể hình dung một « ma trận với chỉ số liên tục », chéo theo nghĩa phân phối, nhưng giá trị trên đường chéo $x = x'$ không có nghĩa riêng (vì $x\,\delta(0)$ không phải số thực). Có lẽ chính ở đây ta thấy khác biệt cơ bản giữa toán tử tuyến tính trong hữu hạn chiều (= ma trận) và toán tử tuyến tính trong vô hạn chiều.

Trong cơ sở suy rộng, phân giải đồng nhất được viết:

Nó cho phép xem phân tích của mọi ket $\kpsi$ của không gian Hilbert trên cơ sở liên tục này như một tích phân:

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

ở đây ta đã định nghĩa hàm sóng

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

Tương tự, bra liên hợp của $\kpsi$ được khai triển:

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

ở đây ta dùng tính đối xứng Hermite của tích vô hướng: $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$.

Lưu ý rằng thành phần tại $x$ của vectơ $\hat{X} \psi$, theo định nghĩa bằng $\braket{x}{X\psi}$, thường sẽ được viết, cũng vì tính thẩm mỹ (so sánh với phương trình (4 (Chủ đề 2, Bài học 2))), dưới dạng:

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. Trong biểu diễn động lượng

Trong cơ học lượng tử của chất điểm, ta đưa vào toán tử động lượng một cách tương tự, thông qua tác động của nó lên các hàm sóng $\psi(x)$ thuộc $L^2(\mathbb{R})$:

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

Ở đây cũng phải giới hạn trong miền Schwartz để hàm sóng vừa khả vi, vừa có đạo hàm vẫn khả tích bình phương.

Tự kiểm chứng rằng $\hat{P}$ đúng là một toán tử tự liên hợp là bài tập vận dụng rất tốt cho chương này. Để làm vậy, trước hết hãy xét chính toán tử đạo hàm, ký hiệu:

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

Đây là một toán tử tuyến tính (phép lấy đạo hàm là tuyến tính: $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$). Rõ ràng toán tử này không thể được biểu diễn bằng ma trận như trong hữu hạn chiều: nó tác động vi phân trên một không gian hàm vô hạn chiều. Vì thế, ta không thể tính liên hợp của nó bằng phép chuyển vị liên hợp, nhưng vẫn có thể tính bằng định nghĩa toán tử liên hợp, thỏa mãn với hai hàm thử của $\mathcal{S}(\R)$ là $\phi$ và $\psi$:

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

xem Định nghĩa 2 (Chủ đề 2, Bài học 2). Khi chèn phân giải đồng nhất, vế trái bằng:

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

điều này cho thấy liên hợp của toán tử $\hat{D} = d/dx$ bằng $-\hat{D} = -d/dx$. Trong phép tính trên, đầu tiên ta chèn phân giải đồng nhất giữa bra và ket ở dòng một; phân phối nó ở dòng hai; dùng tính đối xứng Hermite ở dòng ba. Ở dòng bốn, ta dùng định nghĩa của $\hat{D}$ và các hàm sóng; ở dòng năm, ta tích phân từng phần trên $\R$: các số hạng biên tại vô hạn triệt tiêu vì các hàm của không gian Schwartz giảm nhanh hơn mọi đơn thức. Cuối cùng, ở các dòng cuối, ta chuyển từ hàm sóng trở lại tích vô hướng, đặt phân giải đồng nhất làm nhân tử chung rồi loại bỏ nó. Do đó, toán tử động lượng đúng là tự liên hợp, vì

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

Tính tự liên hợp của $\hat{P}$ bảo đảm các giá trị riêng của nó (những động lượng có thể có) là thực, và các hàm riêng tạo thành một cơ sở đầy đủ của không gian trạng thái theo nghĩa suy rộng (thông qua các phân phối Dirac).

Trạng thái riêng của động lượng. — Hoàn toàn tương tự, ta định nghĩa các « ket » suy rộng $\ket{p}$ là các trạng thái riêng của $\hat{P}$:

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

Trong biểu diễn vị trí, hàm sóng tương ứng thu được bằng cách chiếu lên $\bra{x}$:

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

Đây là một phương trình vi phân đơn giản có nghiệm:

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

Biểu thức này cho thấy phép biến đổi nối biểu diễn vị trí và động lượng chính là biến đổi Fourier.

Tính trực giao và đầy đủ. — Các ket $\ket{p}$ thỏa mãn những hệ thức tương tự các ket $\ket{x}$:

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

Ta định nghĩa hàm sóng trong biểu diễn động lượng là:

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

Vậy phép biến đổi $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ là biến đổi Fourier, còn phép biến đổi ngược được viết:

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

Giao hoán cơ bản. — Cuối cùng, các toán tử $\hat{X}$ và $\hat{P}$ thỏa mãn hệ thức giao hoán chính tắc:

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

Chính hệ thức này làm nền tảng cho toàn bộ cơ học lượng tử của chất điểm. Thực ra, toàn bộ công thức trong mục này chỉ xuất phát từ hệ thức chính tắc đó: người ta chứng minh rằng biểu diễn Hilbert duy nhất có thể có của đại số giữa X và P là biểu diễn vừa viết. Đặc biệt, người ta chỉ ra rằng $X$ tác động bằng phép nhân lên các hàm sóng theo x, còn P bằng phép lấy đạo hàm, và ngược lại. Kết quả quan trọng này sẽ được trình bày chi tiết sau: đó là định lý Stone–von Neumann.

1.3. Các tính chất của delta Dirac

Ta kết thúc mục này và chương này bằng một số công thức hữu ích về delta Dirac, luôn phải hiểu theo nghĩa phân phối, tức là khi delta nằm dưới dấu tích phân:

Tính đối xứng:

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

Tính thuần nhất:

với mọi số thực $a \neq 0$,

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

Đổi biến:

nếu $f$ là một hàm chính quy có các nghiệm đơn $\{x_i\}$ sao cho $f(x_i) = 0$, thì

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

Đạo hàm của delta:

đạo hàm theo nghĩa phân phối được định nghĩa bởi

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. Tài liệu tham khảo