Espaces de Hilbert et opérateurs linéaires

1. Base continue généralisée de $L^2(\mathbb{R})$

Nous avons déjà détaille l'espace modèle $L^2(\R)$ en Section [l2r]. En particulier, nous en avons exhibé une base Hilbertienne dénombrable. Tout état physique se décompose alors comme une série sur la base des fonctions de Hermite. Malheureusement les expressions explicites de ces fonctions sont assez horribles.

On a donc inventé une autre « base », qui n'en est pas réellement une au sens de la base Hilbertienne, mais qui est ce qu'on appelle une base généralisée continue. Sa construction ne peut être rendue propre qu'avec la théorie des distributions d'une part, via ce qu'on appelle le triplet de Gelfand, et grâce à de nombreux outils de la théories des opérateurs linéaires non bornés, dont le théorème spectral. Cette section se voulant surtout un formulaire pratique sur les notations de Dirac dans cette "base", il ne faut pas se braquer sur le manque total de rigueur mathématique dans ce qui suit. On donnera plus de détails en temps voulu en partie [[[ spectral theorem — Von Neumann theorem ; ref???]]]

1.1. Base généralisée en représentation position

Essayons malgré tout de donner quelques idées. On introduit d'abord un opérateur dit « de position » auto-adjoint, noté $\hat{X}$, agissant sur les fonctions d’un espace de Hilbert $L^2(\mathbb{R})$ par multiplication :

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

Attention au domaine de définition. Cette expression n’a de sens que si la fonction $x\,\psi(x)$ reste dans $L^2(\R)$. Or ce n’est pas toujours le cas : certaines fonctions de carré sommable deviennent divergentes lorsqu’on les multiplie par $x$.¹ Ainsi, l’opérateur $\hat{X}$ ne peut pas être défini sur tout $L^2(\R)$, mais seulement sur un sous-espace de fonctions où son action reste dans $L^2$.

Pour disposer d’un domaine bien défini, dense dans $L^2$ et stable par les opérations usuelles (dérivation, multiplication par $x$, transformée de Fourier), on introduit l’espace des fonctions de Schwartz, noté $\mathcal{S}(\R)$ :

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

Autrement dit, il s’agit de fonctions lisses à décroissance rapide, telles que $f$ et toutes ses dérivées tendent vers zéro plus vite que n’importe quelle puissance inverse de $x$.

L’espace $\mathcal{S}(\R)$ est :

• dense dans $L^2(\R)$ (toute fonction de $L^2$ peut être approchée arbitrairement bien par des fonctions de $\mathcal{S}$),
• stable par dérivation, par multiplication par $x$, et par transformée de Fourier.

C’est donc le domaine naturel pour définir proprement les opérateurs de position $\hat{X}$ et d’impulsion $\hat{P}$, et c’est sur cet espace que s’appuient les constructions rigoureuses du formalisme de Dirac et du triplet de Gelfand.

Ces précautions étant prises, on peut alors écrire, de manière pour le moment purement formelle² les états propres de $\hat{X}$:

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

Ces kets $\ket{x}$ constituent ce qu’on appelle une base généralisée continue, au sens où ils permettent de représenter les éléments de $L^2(\R)$ comme des superpositions continues, bien que les $\ket{x}$ eux-mêmes ne soient pas des vecteurs du Hilbert.

En réalité, ce ne sont pas des kets au sens propre, car ils ne sont pas normalisables. Nous allons voir pourquoi. Cette famille est non dénombrable, et donc son orthonormalité ne peut pas s'écrire par un symbole de Kronecker discret $\delta_{ij}$, mais via sa « version continue » \, sous la forme :

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

avec en particulier :

où l'on a introduit le delta de Dirac $\delta(x)$ qui n'est pas une fonction ordinaire mais une distribution de la théorie des distributions en mathématiques. On le définit par son action sous l'intégrale :

pour toute fonction test $f$ de l'espace de Schwartz. Il faut comprendre que $\delta(x)$ individuellement n'a pas de sens, ce n'est même pas un nombre. En réalité, le $\delta$ est une forme linéaire $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$ agissant sur des fonctions test³. Il n'est donc défini que par son action sous l'intégrale (2), et non par ses valeurs $\delta(x)$.

Mais si on tient absolument à le considérer comme un fonction, alors on peut le considérer comme la limite d’une suite de fonctions de plus en plus concentrées autour de zéro, par exemple une limite de Gaussiennes de plus en plus piquées :

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

ou encore comme les rectangles centrés en zéro de largeur tendant vers zéro et de hauteur tendant vers l'infini. Dans tous les cas, dans cette vision, le delta apparaît être à la limite une "fonction" nulle partout sauf en $x = 0$, où elle diverge, tout en gardant une aire totale sous la courbe égale à 1.

C'est pourquoi, en physique, on écrira quand même $\delta(0) = \infty$, mais il faut bien comprendre l'abus de notation et de sens ici. Cela montre en tout cas via l'eq. (1) que le ket $\ket{x}$ n'est pas normé. Le delta de Dirac admet également une représentation intégrale, extrêmement utile et qui constitue probablement la formule la plus importante de cette section :

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

où la aussi l’égalité est à comprendre dans le sens de la théorie des distributions, puisque cette intégrale n’est manifestement pas convergente et n'aurait aucun sens sinon.

Les « éléments de matrices » de l'opérateur position $\hat{X}$ sont $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$. On continue de les appeler ainsi (à comparer à la section précédente en dimension finie) même si $\hat{X}$ ne peut pas être représenté par une matrice ordinaire — on pourrait imaginer une « matrice à indices continus », diagonale au sens distributionnel, mais dont la valeur sur la diagonale $x = x'$ n’a pas de sens propre ($x\,\delta(0)$ n’étant pas un nombre réel). C'est là, sans doute, qu'on voit la différence fondamentale entre les opérateurs linéaires en dimension finie ( = les matrices), et les opérateurs linéaires en dimension infinie.

Dans la base généralisée, la résolution de l'identité s'écrit comme :

Elle permet de voir la décomposition de tout ket $\kpsi$ du Hilbert sur cette base continue comme une intégrale :

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

où l'on a défini la fonction d'onde

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

De la même façon, le bra conjugué de $\kpsi$ se développe comme :

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

où l'on a utilisé la symétrie hermitienne du produit scalaire : $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$.

A noter que la composante en $x$ du vecteur $\hat{X} \psi$, qui vaut par définition $\braket{x}{X\psi}$ sera plus souvent notée, là aussi pour des raisons esthétiques (comparer à l'équation ([elemmat])), comme :

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. En représentation impulsion

En mécanique quantique du point, on introduit de façon analogue l'opérateur d'impulsion (ou de quantité de mouvement) par son action sur les fonctions d'onde $\psi(x)$ appartenant à $L^2(\mathbb{R})$ :

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

Il faut là aussi se limiter au domaine de Schwartz pour que d'une part la fonction d'onde soit dérivable, et d'autre part que sa dérivée soit encore de carré sommable.

C’est un très bon exercice d’application du présent chapitre de se convaincre que $\hat{P}$ est bien un opérateur auto-adjoint. Pour cela, commençons par étudier d’abord l’opérateur de dérivation lui-même, noté :

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

C’est un opérateur linéaire (la dérivation est linéaire : $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$). Il est manifeste que cet opérateur ne peut pas être représenté par une matrice, comme en dimension finie : il agit de manière différentielle sur un espace infini-dimensionnel de fonctions. On ne peut donc pas calculer son adjoint par une opération de transposition-conjugaison, mais on peut quand même le calculer en utilisant la définition de l'adjoint qui satisfait, pour deux fonctions tests de $\mathcal{S}(\R)$ : $\phi$ et $\psi$:

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

cf définition [opadjoint]. Or le membre de gauche vaut, en insérant la résolution de l'identité:

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

montrant que l'adjoint de l'opérateur $\hat{D} = d/dx$ vaut $-\hat{D} = -d/dx$. Dans le calcul ci-dessus, on a d'abord introduit la résolution de l'identité entre le bra et le ket dans la première ligne; on l'a distribué dans la seconde, on a utilisé la symétrie Hermitienne dans la troisième; dans la quatrième ligne on a utilisé la définition de $\hat{D}$ et des fonctions d'ondes, dans la cinquième on a réalisé une intégration par partie sur $\R$ : les termes de bord à l'infini s'annulent car les fonctions de l'espace de Schwartz décroissent plus vite que tout monôme. Enfin, dans les dernières lignes, on est repassé des fonctions d'ondes aux produit scalaires, et on a factorisé puis supprimé la résolution de l'identité. Par conséquent, l'opérateur impulsion est bien auto-adjoint, car

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

L’auto-adjonction de $\hat{P}$ garantit que ses valeurs propres (les impulsions possibles) sont réelles, et que ses fonctions propres forment une base complète de l’espace d’états, au sens généralisé (via les distributions de Dirac).

États propres de l'impulsion. — Dé façon exactement similaire, on définit alors les « kets » généralisés $\ket{p}$ comme les états propres de $\hat{P}$ :

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

Dans la représentation position, la fonction d’onde associée est obtenue en projetant sur $\bra{x}$ :

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

C’est une équation différentielle simple dont la solution est :

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

Cette expression montre que la transformation reliant les représentations position et impulsion est précisément la transformée de Fourier.

Orthogonalité et complétude. — Les kets $\ket{p}$ satisfont des relations analogues à celles des $\ket{x}$ :

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

On définit la fonction d'onde dans la représentation impulsion comme :

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

La transformation $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ est donc la transformée de Fourier, et la transformation inverse s’écrit :

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

Commutation fondamentale. — Enfin, les opérateurs $\hat{X}$ et $\hat{P}$ satisfont la relation de commutation canonique :

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

C’est cette relation qui fonde toute la mécanique quantique du point. En réalité, l'intégralité des formules de cette section découle uniquement de cette relation canonique : on démontre que la seule représentation Hilbertienne possible de cette algèbre entre X et P est celle que l'on vient d'écrire, en particulier on montre que $X$ agit par multiplication sur les fonctions d'onde en x, et P en dérivation, et inversement. Ce résultat majeur sera détaillé plus loin, il s'agit du théorème de Stone - Von Neumann.

1.3. Propriétés du delta de Dirac

Nous terminons cette section et ce chapitre par quelques formules utiles sur le delta de Dirac, toujours à comprendre au sens des distributions, c'est-à-dire, quand le delta est sous un symbole intégral :

Symétrie :

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

Homogénéité :

pour tout réel $a \neq 0$,

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

Changement de variable :

si $f$ est une fonction régulière avec des racines simples $\{x_i\}$ telles que $f(x_i) = 0$, alors

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

Dérivée du delta :

la dérivée en distribution est définie par

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$