Au thème 1, l'expérience de Stern et Gerlach nous a montré l'échec de la description classique d'un moment magnétique, et nous avait conduits à deviner quelques éléments d'un nouveau formalisme : des états représentés par des vecteurs, des superpositions, des amplitudes complexes. Nous disposons maintenant des postulats de la leçon 1 et des outils mathématiques du thème 2. Il est temps de faire le chemin dans l'autre sens : partir des résultats expérimentaux et des postulats, et en déduire le modèle mathématique de l'appareil, c'est-à-dire l'espace des états et les observables qui représentent les mesures selon les différents axes.

Nous allons voir que ce modèle est presque entièrement imposé. Les résultats des expériences les plus simples, avec un ou deux appareils, fixent la dimension de l'espace des états et la forme des vecteurs propres, à quelques conventions de phase près. Le théorème spectral fournit alors les matrices des observables : ce sont les matrices de Pauli. Une fois construites, ces matrices permettent de calculer les résultats de toutes les autres expériences en série, en particulier la séquence $z$, $x$, $z$ qui avait mis en échec la physique classique, ainsi que les mesures selon un axe quelconque. Nous verrons au passage pourquoi les nombres complexes sont indispensables à la mécanique quantique.

Dans toute la leçon, nous nous intéressons uniquement à l'état interne de l'atome, responsable de son moment magnétique, en laissant de côté son mouvement dans l'espace. Nous supposons aussi qu'entre deux appareils, cet état n'évolue pas.

1. Ce que nous apprend l'expérience

Rappelons les résultats établis au thème 1. Un appareil de Stern et Gerlach est caractérisé par la direction de son gradient de champ, que nous appelons son axe : $\mathrm{SG}_z$ désigne un appareil d'axe $z$, $\mathrm{SG}_x$ un appareil d'axe $x$, etc. À la sortie d'un appareil, le faisceau se sépare en deux voies, notées par exemple $z+$ et $z-$. En bloquant l'une des voies, on prépare un faisceau dont tous les atomes ont donné le même résultat ; nous noterons $\ket{z+}$ l'état ainsi préparé dans la voie $z+$, et de même pour les autres voies. Les expériences ont établi les faits suivants.

Ces trois faits vont suffire à construire tout le modèle. Les autres résultats du thème 1, comme la réapparition de la voie $z-$ dans la séquence $z$, $x$, $z$, ou la dépendance des probabilités en l'angle entre deux appareils, seront ensuite des prédictions du modèle, que nous comparerons à l'expérience.

Il est commode de coder les deux résultats d'une analyse par les nombres sans dimension $+1$ et $-1$, plutôt que par $\pm\mu_0$. Les observables que nous allons construire, notées $\sigma_z$, $\sigma_x$, $\sigma_y$, auront donc pour valeurs propres $\pm1$. Nous reviendrons sur les unités physiques à la fin de la leçon.

2. L'espace des états

2.1. L'observable associée à l'axe z

D'après le deuxième postulat, l'analyse selon $z$ est représentée par une observable, c'est-à-dire un opérateur auto-adjoint $\sigma_z$ agissant sur l'espace des états $\H$, dont le spectre est l'ensemble des résultats possibles. D'après (E1), ce spectre est $\{+1,-1\}$. Notons $E_+$ et $E_-$ les deux sous-espaces propres, et $P_+$ et $P_-$ les projecteurs orthogonaux sur ces sous-espaces. D'après le thème 2, deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes d'un opérateur auto-adjoint sont orthogonaux, et les sous-espaces propres d'un opérateur auto-adjoint en dimension finie engendrent tout l'espace. On a donc

La première relation traduit d'ailleurs directement le fait expérimental que chaque atome sort dans l'une ou l'autre voie : la somme des probabilités des deux résultats, $\bra\psi P_+\ket\psi+\bra\psi P_-\ket\psi=\braket\psi\psi$, vaut un pour tout état normalisé.

Le fait (E2) est automatiquement compatible avec les postulats : d'après le postulat de réduction, un atome qui a donné le résultat $+1$ est, juste après la mesure, dans un état de $E_+$, et une nouvelle mesure de $\sigma_z$ donne alors $+1$ avec la probabilité $\bra\psi P_+\ket\psi=1$.

2.2. La dimension deux

Quelle est la dimension des sous-espaces propres ? Rien dans les postulats ne l'impose. Si $E_+$ était de dimension supérieure à un, il contiendrait plusieurs états différents donnant tous le résultat $+1$ avec certitude ; il faudrait alors une autre observable, compatible avec $\sigma_z$, pour les distinguer. Les expériences de Stern et Gerlach ne révèlent aucun degré de liberté interne supplémentaire de ce type : un atome sélectionné dans la voie $z+$ a un comportement entièrement déterminé dans toutes les expériences suivantes, comme nous allons le vérifier. Nous faisons donc l'hypothèse de modélisation la plus simple : les deux valeurs propres sont non dégénérées. Les sous-espaces $E_\pm$ sont des droites, engendrées par deux vecteurs unitaires $\ket{z+}$ et $\ket{z-}$, et l'espace des états est de dimension deux.

Les deux composantes $\alpha$ et $\beta$ ne sont pas des coordonnées spatiales, ni les composantes d'un moment magnétique classique : ce sont des amplitudes de probabilité. D'après la règle de Born, une analyse selon $z$ donne $+1$ avec la probabilité $|\braket{z+}{\psi}|^2=|\alpha|^2$ et $-1$ avec la probabilité $|\beta|^2$. On rappelle aussi que deux vecteurs qui ne diffèrent que par une phase globale représentent le même état physique.

Notons au passage une subtilité : chacun des vecteurs $\ket{z+}$ et $\ket{z-}$ n'est défini qu'à une phase près. Si l'on remplace $\ket{z-}$ par $e^{i\gamma}\ket{z-}$, c'est toujours un vecteur unitaire de la droite $E_-$, et le projecteur $\ket{z-}\bra{z-}$ ne change pas. Cette liberté nous servira dans un instant.

2.3. La matrice de l'observable selon z

La décomposition spectrale donne immédiatement la matrice de $\sigma_z$ dans la base $(\ket{z+},\ket{z-})$ :

C'est une matrice diagonale réelle : elle est égale à sa transposée conjuguée, et elle est donc auto-adjointe, comme il se doit. Ses valeurs propres $\pm1$ se lisent sur la diagonale.

3. L'observable selon x

3.1. Les états propres

Passons maintenant à l'axe $x$. L'analyse selon $x$ est représentée par une observable $\sigma_x$ agissant sur le même espace $\C^2$, de valeurs propres $\pm1$ d'après (E1), et dont les vecteurs propres $\ket{x+}$ et $\ket{x-}$ forment une autre base orthonormée. Pour la construire, il suffit de trouver ces vecteurs propres.

Écrivons $\ket{x+}=a\ket{z+}+b\ket{z-}$. D'après (E3), un atome préparé dans l'état $\ket{x+}$ et analysé selon $z$ sort dans chaque voie avec la probabilité $1/2$. La règle de Born donne donc

Les deux coefficients ont le même module, et ne diffèrent que par leur phase. Comme la phase globale de $\ket{x+}$ est arbitraire, on peut choisir $a$ réel positif, et l'on obtient

pour une certaine phase $\gamma$. C'est ici qu'intervient la liberté signalée plus haut : en remplaçant $\ket{z-}$ par $e^{i\gamma}\ket{z-}$, ce qui ne change rien à la physique de l'axe $z$, on peut toujours se ramener à $\gamma=0$. Nous faisons ce choix, qui fixe complètement la phase relative des vecteurs $\ket{z+}$ et $\ket{z-}$ :

Le second vecteur propre $\ket{x-}=c\ket{z+}+d\ket{z-}$ doit lui aussi vérifier $|c|^2=|d|^2=\frac12$ d'après (E3), et l'on peut choisir $c=\frac{1}{\sqrt2}$. Il doit de plus être orthogonal à $\ket{x+}$, puisque les deux résultats $x+$ et $x-$ s'excluent, comme le traduit le fait (E2) appliqué à l'axe $x$. La condition

impose $d=-c$, d'où

On retrouve la superposition annoncée au thème 1 : l'état $\ket{x+}$ n'est pas un mélange d'atomes dans l'état $\ket{z+}$ et d'atomes dans l'état $\ket{z-}$, mais un seul état, superposition de poids égaux des deux.

3.2. La matrice

La décomposition spectrale $\sigma_x=\ket{x+}\bra{x+}-\ket{x-}\bra{x-}$ fournit la matrice cherchée. Le bra $\bra{x\pm}$ est le vecteur ligne des composantes conjuguées, ici réelles, et les deux projecteurs valent

On vérifie que leur somme vaut l'identité. Leur différence donne

Cette matrice est réelle et symétrique, donc auto-adjointe. On vérifie directement ses vecteurs propres : $\sigma_x(1,1)=(1,1)$ et $\sigma_x(1,-1)=-(1,-1)$. L'opérateur $\sigma_x$ échange les deux vecteurs de base : $\sigma_x\ket{z+}=\ket{z-}$ et $\sigma_x\ket{z-}=\ket{z+}$.

On peut aussi lire ce résultat comme un changement de base, au sens du thème 2. La matrice de passage de la base $(\ket{z\pm})$ à la base $(\ket{x\pm})$ a pour colonnes les composantes de $\ket{x\pm}$ :

qui est unitaire, comme toute matrice de passage entre bases orthonormées. Dans la base $(\ket{x\pm})$, l'observable $\sigma_x$ a pour matrice $\mathrm{diag}(1,-1)$, et l'on retrouve $\sigma_x=S\,\mathrm{diag}(1,-1)\,S^\dagger$ dans la base $(\ket{z\pm})$.

4. L'observable selon y et les nombres complexes

4.1. Une phase imposée par l'expérience

Procédons de même pour l'axe $y$. D'après (E3) appliqué au couple $(z,y)$, les deux composantes de $\ket{y+}$ sur la base $(\ket{z\pm})$ ont le module $\frac{1}{\sqrt2}$, et l'on peut écrire, en fixant la phase globale,

Cette fois, nous ne pouvons plus éliminer la phase $\delta$ en redéfinissant $\ket{z-}$ : cette liberté a déjà été utilisée pour l'axe $x$. La phase $\delta$ a donc un contenu physique, et c'est le couple $(x,y)$ qui va la déterminer. D'après (E3), un atome préparé dans l'état $\ket{y+}$ et analysé selon $x$ sort dans la voie $x+$ avec la probabilité $1/2$. Or

La condition $\frac{1+\cos\delta}{2}=\frac12$ impose $\cos\delta=0$, c'est-à-dire $\delta=\pm\frac\pi2$ et $e^{i\delta}=\pm i$.

Il reste à choisir entre $\delta=+\frac\pi2$ et $\delta=-\frac\pi2$. Ces deux choix correspondent l'un à l'autre par une symétrie miroir qui change le sens de l'axe $y$ : ils décrivent un trièdre $(x,y,z)$ direct ou indirect. Les faits (E1) à (E3) ne permettent pas de les distinguer, puisqu'ils ne font intervenir que des couples d'axes. Nous choisissons $\delta=+\frac\pi2$, qui correspond, comme nous le verrons, à un trièdre direct ; cette convention sera justifiée à la leçon 10 par l'algèbre du moment cinétique. Ainsi

Le second vecteur propre doit avoir des composantes de module $\frac{1}{\sqrt2}$ et être orthogonal à $\ket{y+}$. En écrivant $\ket{y-}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{z+}+d\ket{z-})$, le produit scalaire vaut $\frac12(1+(-i)d)$, puisque le bra $\bra{y+}$ a pour composantes conjuguées $\frac{1}{\sqrt2}(1,-i)$. Il s'annule pour $d=-i$ :

On vérifie aussi que $|\braket{x\pm}{y-}|^2=\frac12$, comme l'exige (E3).

4.2. La matrice

Les projecteurs se calculent comme précédemment, en prenant garde à la conjugaison dans les bras :

Leur somme vaut l'identité, et leur différence donne

Cette matrice n'est pas réelle. Vérifions qu'elle est auto-adjointe, en calculant sa transposée puis en conjuguant les coefficients :

C'est bien le cas, comme le garantit sa construction comme combinaison réelle de projecteurs orthogonaux. On vérifie enfin ses vecteurs propres : $\sigma_y(1,i)=(-i\cdot i,\,i\cdot1)=(1,i)$ et $\sigma_y(1,-i)=(-1,i)=-(1,-i)$.

5. Les matrices de Pauli

5.1. Le résultat

Nous avons construit les trois observables associées aux trois axes. Ce sont les matrices introduites par Pauli en 1927.

Récapitulons ce qui vient de l'expérience et ce qui vient des postulats. Les faits (E1) à (E3) ont fixé les valeurs propres et les modules des composantes des vecteurs propres, ainsi que la phase relative $\pm\pi/2$ entre les composantes de $\ket{y+}$. Les postulats ont fourni le cadre : un espace de Hilbert, des observables auto-adjointes, la règle de Born pour traduire les probabilités mesurées en produits scalaires. Le thème 2 a fourni l'outil de construction : la décomposition spectrale $\hat A=\sum_aa\,P_a$. Restent trois conventions : la phase de $\ket{z-}$, fixée par le choix $\ket{x+}=(\ket{z+}+\ket{z-})/\sqrt2$, les phases globales des vecteurs propres, et le signe de $\delta$, relié à l'orientation du trièdre. Aucune de ces conventions ne modifie une probabilité mesurable.

5.2. Les propriétés algébriques

Les trois matrices de Pauli ont des propriétés remarquables, que l'on vérifie par un calcul direct.

• Elles sont auto-adjointes : $\sigma_j^\dagger=\sigma_j$ pour $j=x,y,z$, comme nous l'avons vérifié.
• Leur carré vaut l'identité : par exemple, $$\begin{aligned} \sigma_y^2=\begin{pmatrix}0&-i\\ i&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-i\\ i&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(-i)(i)&0\\0&(i)(-i)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. \end{aligned}$$ C'est la traduction algébrique du fait que leurs valeurs propres valent $\pm1$ : un opérateur auto-adjoint dont le carré est l'identité a des valeurs propres $\lambda$ vérifiant $\lambda^2=1$.
• Elles sont de trace nulle et de déterminant $-1$, ce qui redonne leurs valeurs propres comme racines de $\lambda^2-1=0$.
• Le produit de deux matrices différentes est proportionnel à la troisième. Par exemple, $$\begin{aligned} \sigma_x\sigma_y=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-i\\ i&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}=i\,\sigma_z, \qquad \sigma_y\sigma_x=\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}=-i\,\sigma_z . \end{aligned}$$ On obtient de même $\sigma_y\sigma_z=i\sigma_x$ et $\sigma_z\sigma_x=i\sigma_y$, par permutation circulaire de $(x,y,z)$. Avec le choix $\delta=-\pi/2$, on aurait obtenu $\sigma_x\sigma_y=-i\sigma_z$ : c'est en ce sens que notre convention correspond au trièdre direct.

On déduit de la dernière propriété que deux matrices de Pauli différentes anticommutent, $\sigma_x\sigma_y=-\sigma_y\sigma_x$, et que leurs commutateurs valent

Aucune de ces observables ne commute avec une autre. D'après le thème 2, elles n'ont donc pas de base propre commune ; et l'on vérifie directement qu'elles n'ont même aucun vecteur propre commun, puisque les vecteurs propres de chacune ont des composantes de module $\frac{1}{\sqrt2}$ sur ceux des autres. C'est la traduction mathématique de l'incompatibilité constatée au thème 1 : aucun état ne donne un résultat certain pour deux axes différents.

5.3. Les unités physiques

Les observables $\sigma_j$ codent les résultats par $\pm1$. Pour l'électron de l'atome d'argent, nous verrons à la leçon 10 que le moment magnétique est associé au spin, un moment cinétique dont les composantes sont

Les relations (7) deviennent alors $[S_x,S_y]=i\hbar S_z$ et ses permutations circulaires : ce sont les relations de commutation d'un moment cinétique, et c'est l'origine de notre convention sur le signe de $\delta$. Le moment magnétique est proportionnel au spin, $\boldsymbol\mu=\gamma\mathbf S$, avec $\gamma\simeq-e/m_e$ pour l'électron ; ses composantes valent donc $\pm|\gamma|\hbar/2=\pm e\hbar/(2m_e)$, et l'on retrouve le magnéton de Bohr mesuré par Stern et Gerlach. Le signe de $\gamma$ étant négatif, la voie de l'appareil où le moment magnétique est positif correspond à un spin négatif : l'identification entre les voies et les états de spin demande une convention, que nous supposerons fixée.

6. Les expériences en série

6.1. La règle de calcul

Le modèle étant construit, nous pouvons calculer le résultat de n'importe quelle succession d'appareils. Il suffit d'appliquer les postulats étape par étape. Considérons un atome dans l'état $\ket\psi$, qui traverse un premier appareil où l'on sélectionne le résultat $a$, de projecteur $P_a$, puis un second où l'on observe le résultat $b$, de projecteur $P_b$.

1. D'après la règle de Born, l'atome sort dans la voie $a$ avec la probabilité $p(a)=\bra\psi P_a\ket\psi=\norm{P_a\psi}^2$.
2. D'après le postulat de réduction, l'état des atomes sélectionnés dans cette voie est $\ket{\psi_a}=P_a\ket\psi/\norm{P_a\psi}$.
3. Ces atomes entrent dans le second appareil, et sortent dans la voie $b$ avec la probabilité conditionnelle $p(b\mid a)=\norm{P_b\psi_a}^2=\norm{P_bP_a\psi}^2/\norm{P_a\psi}^2$.

La probabilité du chemin complet, rapportée au faisceau entrant dans le premier appareil, est le produit des deux :

Cette formule se généralise à un nombre quelconque d'appareils. Il faut bien distinguer les probabilités conditionnelles, rapportées au faisceau qui entre dans un appareil donné, des probabilités rapportées au faisceau initial : ce sont les premières que l'on mesure en comptant les impacts à la sortie d'un appareil, les secondes en tenant compte de tous les atomes perdus aux étapes de sélection.

6.2. Un seul axe : ZZ

Préparons un faisceau dans l'état $\ket{z+}$ et analysons-le selon $z$. Les amplitudes $\braket{z+}{z+}=1$ et $\braket{z-}{z+}=0$ donnent $p(z+)=1$ et $p(z-)=0$. On retrouve le fait (E2), qui était l'une des données de la construction.

6.3. Deux axes perpendiculaires : ZX

Analysons maintenant l'état $\ket{z+}$ selon $x$. On peut décomposer $\ket{z+}$ sur la base propre de $\sigma_x$ : en additionnant les expressions de $\ket{x+}$ et $\ket{x-}$, on trouve

d'où $p(x+\mid z+)=p(x-\mid z+)=\frac12$. On retrouve encore une donnée de la construction. Notons que la valeur moyenne de $\sigma_x$ dans l'état $\ket{z+}$ est nulle : on peut le voir sur les probabilités, ou directement, $\bra{z+}\sigma_x\ket{z+}=\bra{z+}\bigl(\sigma_x\ket{z+}\bigr)=\braket{z+}{z-}=0$.

6.4. Trois appareils : ZXZ

Voici maintenant une véritable prédiction. Partons de l'état $\ket{z+}$, sélectionnons la voie $x+$ d'un appareil $\mathrm{SG}_x$, puis analysons à nouveau selon $z$. Après la sélection, l'état est $\ket{x+}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{z+}+\ket{z-})$, et le dernier appareil donne

La voie $z-$, qui était vide dans l'expérience ZZ, réapparaît : c'est exactement ce qui avait été observé au thème 1, et qui avait mis en échec l'image d'un simple tri classique. Rapportées au faisceau initial, les probabilités des deux chemins complets sont, d'après (8),

Chaque voie de sortie finale contient un quart des atomes initiaux, la moitié restante ayant été arrêtée par le filtre $x-$.

Le modèle rend compte de ce résultat sans aucune hypothèse supplémentaire : le filtre $x+$ ne se contente pas de trier des atomes qui auraient déjà une valeur de $\mu_x$ et une valeur de $\mu_z$, il prépare un nouvel état, $\ket{x+}$, qui ne garde aucune mémoire du résultat $z+$ obtenu auparavant. C'est la conséquence du postulat de réduction et de la non-commutation de $\sigma_x$ et $\sigma_z$.

6.5. ZYZ : mêmes probabilités, états différents

Remplaçons l'appareil intermédiaire par un appareil d'axe $y$, en sélectionnant toujours la voie positive. Le dernier appareil reçoit l'état $\ket{y+}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{z+}+i\ket{z-})$, et

Les séquences ZXZ et ZYZ donnent donc exactement les mêmes résultats. Les états $\ket{x+}$ et $\ket{y+}$ sont pourtant différents : un appareil d'axe $x$ donne $x+$ avec certitude pour le premier, et $x+$ ou $x-$ avec la probabilité $\frac12$ pour le second. Deux états peuvent ainsi avoir les mêmes statistiques pour un axe et différer pour un autre. Ce qui les distingue est la phase relative entre leurs composantes sur $\ket{z+}$ et $\ket{z-}$, qui vaut $1$ dans un cas et $i$ dans l'autre : une phase relative a des conséquences physiques, alors qu'une phase globale n'en a pas.

6.6. Sélectionner n'est pas la même chose que ne rien faire

Dans la séquence ZXZ, que se passerait-il si l'on ne bloquait aucune des deux voies de l'appareil intermédiaire ? Si les atomes sont détectés, ou si leur trajectoire permet en principe de savoir par quelle voie ils sont passés, l'appareil effectue une mesure selon $x$, et le dernier appareil reçoit un mélange d'atomes dans les états $\ket{x+}$ et $\ket{x-}$, en proportions égales : chacun donne $z\pm$ avec la probabilité $\frac12$. Mais si l'on pouvait recombiner parfaitement les deux faisceaux sortant de l'appareil intermédiaire, sans aucune information sur la voie suivie, l'état $\ket{z+}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{x+}+\ket{x-})$ serait reconstitué, et le dernier appareil donnerait $z+$ avec certitude. Un appareil de Stern et Gerlach ne mesure donc rien tant que la voie empruntée n'a pas été enregistrée d'une façon ou d'une autre. Une telle recombinaison est extrêmement difficile à réaliser avec des atomes ; mais c'est exactement la situation des interféromètres étudiés au thème 1, où les deux chemins sont recombinés de façon cohérente. Nous reviendrons sur ce lien entre mesure et information avec les systèmes composites.

7. Un axe quelconque

7.1. L'observable

Considérons pour finir un appareil dont l'axe a une direction quelconque, repérée par le vecteur unitaire

où $\theta$ est l'angle avec l'axe $z$ et $\varphi$ l'azimut, mesuré à partir de l'axe $x$ dans le plan $(x,y)$. Comment construire l'observable $\sigma_{\mathbf u}$ correspondante ? Classiquement, la composante d'un moment magnétique selon $\mathbf u$ est la combinaison linéaire $\mathbf u\cdot\boldsymbol\mu=u_x\mu_x+u_y\mu_y+u_z\mu_z$. Nous faisons l'hypothèse qu'il en va de même pour les valeurs moyennes quantiques, $\langle\sigma_{\mathbf u}\rangle=u_x\langle\sigma_x\rangle+u_y\langle\sigma_y\rangle+u_z\langle\sigma_z\rangle$ dans tout état. Comme deux opérateurs auto-adjoints qui ont la même valeur moyenne dans tous les états sont égaux, cela impose

Pour obtenir la matrice, on a regroupé $\sin\theta(\cos\varphi\,\sigma_x+\sin\varphi\,\sigma_y)$, dont le coefficient en haut à droite vaut $\sin\theta(\cos\varphi-i\sin\varphi)=\sin\theta\,e^{-i\varphi}$. Cette matrice est auto-adjointe, puisque c'est une combinaison à coefficients réels de matrices auto-adjointes ; on le vérifie aussi directement, ses deux coefficients non diagonaux étant conjugués l'un de l'autre.

7.2. Une première vérification : la quantification selon tout axe

L'hypothèse précédente n'est acceptable que si elle respecte le fait (E1) : un appareil d'axe quelconque doit lui aussi donner deux résultats $\pm1$. Ce n'est pas évident a priori, puisque $\sigma_{\mathbf u}$ est une combinaison des trois matrices. Calculons son carré. En développant, les termes croisés se compensent deux à deux grâce à l'anticommutation, par exemple $u_xu_y(\sigma_x\sigma_y+\sigma_y\sigma_x)=0$, et il reste

Les valeurs propres de $\sigma_{\mathbf u}$ vérifient donc $\lambda^2=1$, et comme sa trace est nulle, ce sont $+1$ et $-1$. Le modèle prédit bien la quantification selon tout axe, conformément à l'expérience. On peut aussi calculer directement le polynôme caractéristique de la matrice (9) : $(\cos\theta-\lambda)(-\cos\theta-\lambda)-\sin^2\theta=\lambda^2-1$.

7.3. Les états propres

Les vecteurs propres de $\sigma_{\mathbf u}$ sont

Vérifions le premier, en posant $c=\cos\frac\theta2$ et $s=\sin\frac\theta2$, et en utilisant $\cos\theta=c^2-s^2$ et $\sin\theta=2sc$. La première composante de $\sigma_{\mathbf u}\ket{u+}$ vaut

et la seconde

On a donc bien $\sigma_{\mathbf u}\ket{u+}=\ket{u+}$, et l'on vérifie de même que $\sigma_{\mathbf u}\ket{u-}=-\ket{u-}$. On retrouve les cas particuliers déjà construits : $\theta=0$ donne $\ket{z+}$, $\theta=\frac\pi2$ et $\varphi=0$ donnent $\ket{x+}$, $\theta=\frac\pi2$ et $\varphi=\frac\pi2$ donnent $\ket{y+}$. Pour un axe quelconque du plan $(x,y)$, on obtient $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-})$, qui est exactement la forme devinée au thème 1 pour décrire la variété continue des préparations $\ket{u+}$.

7.4. Une prédiction : la loi en cosinus carré

Préparons un atome dans l'état $\ket{z+}$ et analysons-le selon $\mathbf u$. La règle de Born donne

La probabilité ne dépend que de l'angle $\theta$ entre les deux axes, et non de l'azimut, comme l'impose la symétrie de révolution autour de l'axe $z$. Elle vaut $1$ pour des axes identiques, $\frac12$ pour des axes perpendiculaires, et $0$ pour des axes opposés : un atome préparé dans la voie $z+$ sort avec certitude dans la voie $-$ d'un appareil retourné, ce qui est évident puisque retourner l'appareil revient à échanger ses deux voies. Entre ces valeurs, la loi en $\cos^2(\theta/2)$ est une prédiction du modèle, confirmée expérimentalement. On en déduit la valeur moyenne $\langle\sigma_{\mathbf u}\rangle=\cos^2\frac\theta2-\sin^2\frac\theta2=\cos\theta$, qui est la projection sur $\mathbf u$ d'un vecteur unitaire dirigé selon $z$ : en moyenne, tout se passe comme pour la projection d'un moment magnétique classique, alors que chaque mesure individuelle ne donne que $\pm1$.

Pour une séquence $z$, $\mathbf u$, $z$ avec sélection de la voie $u+$, la formule (8) donne les probabilités finales, rapportées au faisceau initial,

Pour $\theta=\frac\pi2$, on retrouve les valeurs $\frac14$ de la séquence ZXZ.

7.5. Le faisceau issu du four

Une dernière conséquence mérite d'être soulignée. Tout état normalisé $\alpha\ket{z+}+\beta\ket{z-}$ peut, après choix de la phase globale qui rend $\alpha$ réel positif, s'écrire sous la forme (10) : il suffit de poser $\alpha=\cos\frac\theta2$ et $\beta=e^{i\varphi}\sin\frac\theta2$, ce qui est toujours possible puisque $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$. Autrement dit, tout état pur est l'état $\ket{u+}$ pour une certaine direction $\mathbf u$, et donne donc un résultat certain pour un appareil orienté selon cette direction. Les états purs du système sont ainsi en correspondance avec les directions de l'espace, c'est-à-dire avec les points d'une sphère : c'est la sphère de Bloch, que nous étudierons à la leçon 10.

Or le faisceau qui sort du four donne deux taches de même intensité quelle que soit l'orientation de l'appareil. D'après ce qui précède, aucun état pur ne peut avoir cette propriété. Les atomes issus du four ne sont donc pas tous dans un même état pur : ils forment un mélange statistique d'atomes dans des états différents, orientés au hasard. Pour décrire un tel faisceau, il faudra généraliser la notion d'état et introduire les états mixtes, que nous rencontrerons au thème 4.

8. Bilan

Résumons la démarche suivie dans cette leçon, qui est celle que l'on suit pour construire le modèle quantique de n'importe quel système.

• Les résultats possibles d'une mesure fixent le spectre de l'observable correspondante : ici, deux valeurs pour chaque axe.
• Les expériences de reproductibilité montrent que les états préparés par sélection sont des états propres, et fixent avec une hypothèse de simplicité la dimension de l'espace des états : ici, deux.
• Les probabilités mesurées dans les expériences en série fixent, par la règle de Born, les modules des produits scalaires entre les états propres des différentes observables, et finalement les vecteurs propres eux-mêmes, à des conventions de phase près. C'est à cette étape que les nombres complexes se sont révélés indispensables.
• La décomposition spectrale reconstruit ensuite chaque observable à partir de ses valeurs propres et de ses projecteurs propres : on obtient les matrices de Pauli.
• Le modèle permet alors de prédire les résultats d'autres expériences : la réapparition de la voie $z-$ dans la séquence ZXZ, la quantification selon tout axe, la loi en $\cos^2(\theta/2)$, et l'impossibilité de décrire le faisceau issu du four par un état pur.

Les leçons suivantes appliqueront la même démarche à des systèmes plus riches, dont l'espace des états est de dimension infinie : une particule dans l'espace. Pour prolonger les calculs à deux niveaux et la discussion de la mesure, on pourra consulter les notes du MIT, cours 8.321, séance 3^[1], ainsi que J. J. Sakurai et J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics^[2], chapitre 1, dont la présentation des expériences de Stern et Gerlach a inspiré cette leçon.

9. Références