La leçon 1 a énoncé les postulats de la mécanique quantique sans réellement les discuter. Que nous disent-ils du système physique, de son état et des résultats de mesure ? Il s'agit ici d'examiner leurs conséquences, leurs différences avec le cadre classique et les questions d'interprétation qu'ils soulèvent.

1. Formulations et interprétations

Notons d'abord qu'il existe d'autres formulations et interprétations de la mécanique quantique que celle de Copenhague. Elles n'accordent pas toutes le même statut aux postulats présentés ici. L'une des interprétations les plus connues, celle des mondes multiples d'Everett, abandonne par exemple le postulat de réduction du paquet d'onde. L'état global demeure toujours en superposition et évolue unitairement selon l'équation de Schrödinger. Lors d'une mesure, les différents résultats possibles sont alors associés à des « branches distinctes » de cet état global. L'observateur lui-même se trouve alors associé à ces différentes issues : dans chaque branche, il perçoit un résultat unique, déterminé relativement à cette branche, qui lui apparaît aléatoire, alors que l'état global, « la fonction d'onde de l'Univers » contient encore toutes les branches correspondant à tous les résultats possibles¹.

D'un autre côté, ces trente dernières années ont vu la naissance ou le renforcement de l'informatique quantique et de la cryptographie quantique. Cela a fortement renouvelé l'intérêt pour les fondements de la théorie, et ces efforts ont en particulier conduit à des reformulations de ses postulats sous une forme assez différente de celle qui a été exposée dans la leçon 1. Dans certaines de ces approches, la structure hilbertienne n'est pas postulée, mais dérivée à partir d'une autre axiomatique, de nature informationnelle. Ces approches seront discutées plus loin dans l'ouvrage.

Tout ceci montre qu'il convient de rester ouvert, encore aujourd'hui, plus de cent ans après les débuts de la mécanique quantique, aussi bien quant à la formulation de la théorie qu'à son interprétation. Le sujet est loin d'être figé et a connu, au cours des dernières décennies, des avancées majeures, tant expérimentales que théoriques.

Pour le moment, nous n'entrerons pas dans la question des interprétations. Nous examinerons simplement le cadre que nous venons de poser. Commençons par la première des questions qu'il soulève : quel sens physique faut-il donner au vecteur d'état ?

2. Le problème ontologique

Selon le premier postulat, relatif à l'espace des états, l'état d'un système quantique est représenté par un vecteur normalisé, à une phase globale près, appartenant à un espace de Hilbert abstrait, dont la dimension et la structure dépendent du système étudié.

Le vecteur d'état n'est donc pas un vecteur de l'espace physique « réel », celui dans lequel nous évoluons et qui, localement, peut être assimilé à $\R^3$. On ne peut pas « toucher du doigt » un ket, ni même le visualiser directement dans l'espace physique. Comparons-le à un champ classique. Un champ magnétique n'est certes pas immédiatement visible, mais ses effets peuvent être rendus visibles, par exemple à l'aide de limaille de fer disposée autour d'un aimant. Il possède une valeur définie en chaque point de l'espace, dont on peut chercher à mesurer les composantes.

Même la fonction d'onde $\psi(\mathbf{x})$, qui semble « vivre » dans $\R^3$, n'est qu'une représentation particulière du ket $\ket{\psi}$ : sa représentation dans la base de position. On peut tout aussi bien représenter ce ket dans la base d'impulsion, comme nous le verrons à la leçon 4 ; la dépendance explicite à la position spatiale disparaît alors. Par ailleurs, la fonction d'onde ne peut pas être déterminée par une mesure unique. Ce que l'on peut faire, par exemple, c'est vérifier la présence ou l'absence de la particule dans une région donnée. En répétant cette mesure un grand nombre de fois sur des systèmes préparés de manière identique, on obtient une approximation de la densité de probabilité de position, et donc de $|\psi(\mathbf{x})|^2$. Cela ne suffit cependant pas à déterminer complètement la fonction d'onde, puisque cette procédure ne donne notamment aucune information sur sa phase.

Le problème devient plus manifeste encore lorsque l'on considère un système à plusieurs particules. Dans ce cas, le postulat de composition, qui a été introduit comme sixième postulat, nous conduira à définir, pour $N$ corps, non pas nécessairement $N$ fonctions d'onde individuelles sur $\R^3$, mais une fonction d'onde globale

définie sur l'espace de configuration $\R^{3N}$. Dans certains cas particuliers, cette fonction globale peut se factoriser en fonctions d'onde individuelles, mais ce n'est pas toujours possible. Cet espace de configuration ne se confond pas avec notre espace physique tridimensionnel. La question se pose alors avec une acuité particulière : en quel sens la fonction d'onde peut-elle être dite « réelle » ?

Cette difficulté constitue un aspect du problème ontologique de la mécanique quantique : quel type de réalité faut-il attribuer à la fonction d’onde ? Sans entrer ici dans le détail des interprétations, on peut situer quelques grandes orientations. Les conceptions réalistes de la fonction d’onde considèrent que celle-ci représente un aspect objectif du monde physique, indépendamment de ce qu’un observateur sait du système. Les approches opérationnalistes ou instrumentalistes mettent l’accent sur son rôle dans le calcul des probabilités des résultats expérimentaux, sans nécessairement lui attribuer une réalité physique propre. Les interprétations relationnelles envisagent quant à elles l’état quantique relativement à un autre système physique, plutôt que comme une propriété absolue du système pris isolément. Ces orientations ne constituent pas une classification exhaustive ni des catégories nécessairement exclusives. Nous les préciserons plus tard. Retenons simplement que savoir utiliser le vecteur d’état pour effectuer des prédictions ne suffit pas à déterminer ce qu’il représente physiquement.

3. Le principe de superposition.

Le premier postulat contient aussi le principe de superposition via la structure linéaire de l'espace de Hilbert : une combinaison linéaire non nulle de vecteurs d'état définit encore, après normalisation, un état pur. Un tel état peut donc en principe être préparé, sous réserve des règles de supersélection évoquées plus bas. Cette addition porte sur les vecteurs qui représentent les états. La différence avec la physique classique apparaît lorsqu'on combine des états correspondant à des propriétés qui s'y excluent mutuellement. Ainsi, on est tenté de dire qu'un spin peut être à la fois up et down, et un chat à la fois vivant et mort.

Il faut cependant être prudent sur l'utilisation du verbe « être », comme nous l'a enseigné Niels Bohr, puisque précisément la réalité de la fonction d'onde est sujette à débat : le chat est-il réellement en superposition ? Dans la perspective de Bohr présentée ici, cette question n'a pas de sens indépendamment des conditions de mesure qui permettent de donner un contenu physique aux propriétés dont on parle. Pour reprendre cette idée de façon imagée, « l'être ne devient être » que lorsqu'une mesure est réalisée : c'est alors que l'on peut attribuer au système une propriété déterminée, exprimée dans le langage classique. Dans le cas du chat, on obtient l'un de deux résultats classiques et mutuellement exclusifs : soit vivant, soit mort. C'est donc bien le sens physique du verbe « être » qui est en jeu, et non la possibilité d'écrire une superposition. Malgré tout, la description mathématique du système en tant que superposition est correcte dans le cadre du modèle et permet de faire des prédictions vérifiables, notamment le calcul des probabilités.

Examinons les conséquences de ces superpositions pour la position et l'énergie.

Superpositions et délocalisation.

En mécanique quantique du point, la délocalisation spatiale est générique. La fonction d'onde introduite à la leçon 1 décrit un même état de la particule par des amplitudes réparties dans l'espace. D'après les règles de probabilité déjà énoncées, la particule peut donc être détectée dans différentes régions de l'espace. Elle n'a pas une position précise au sens classique du terme, mais un « nuage de probabilité de présence », comme on dit, qui peut être plus ou moins étendu.

Attention cependant à ne pas généraliser trop vite l'image du nuage dans notre espace. Comme nous l'avons expliqué plus haut, pour $N$ particules, la fonction d'onde dépend d'une configuration entière, c'est-à-dire des positions des $N$ particules : elle est définie sur $\R^{3N}$. Cela ne signifie pas que les particules se déplacent dans un espace physique à $3N$ dimensions ! Chacune se déplace dans notre espace à trois dimensions, mais il faut $3N$ coordonnées pour décrire leurs positions ensemble. Les probabilités portent alors sur des questions telles que « la particule 1 est dans la région $R_1$, la particule 2 dans la région $R_2$, etc. ». Nous préciserons ce formalisme avec les systèmes composites.

Cette délocalisation ne doit pas être confondue avec la non-localité de la mécanique quantique, qui concerne les corrélations entre systèmes éloignés. Le seul fait d'écrire une fonction d'onde sur $\R^{3N}$ ne suffit pas à établir cette non-localité. Nous y reviendrons avec les expériences de Bell.

Superpositions et énergie.

Comme nous l'avons vu à la leçon 1, le Hamiltonien gouverne l'évolution temporelle. Plaçons-nous ici dans le cas d'un spectre discret et d'un Hamiltonien indépendant du temps : un état s'écrit dans une base propre d'énergie $\kpsi = \sum_n c_n \ket{E_n}$. Dès que plusieurs énergies distinctes contribuent à cette superposition, l'énergie n'a pas de valeur définie.

La conservation de l'énergie prend alors une forme probabiliste : comme établi à la leçon 1, la distribution des énergies possibles reste constante, et donc leur moyenne aussi. Cela n'empêche pas l'état d'évoluer : les phases relatives entre composantes d'énergies différentes varient et peuvent produire des interférences temporelles, comme les battements quantiques étudiés à la leçon 11. Un état propre d'énergie, lui, reste stationnaire : seule sa phase globale change, sans modifier les probabilités de mesure d'une observable fixée.

En conclusion, toutes les superpositions sont donc possibles, et parfois même nécessaires² : rien dans les postulats n'interdit a priori aucune superposition d'états.

4. La quantification et les spectres

Le second postulat contient le « principe de quantification » : certaines grandeurs physiques ne peuvent prendre que des valeurs discrètes. Par ailleurs ces valeurs discrètes sont calculables via le calcul du spectre, ce qui fait de ce postulat un moyen de formuler des prédictions vérifiables, à condition de savoir quelle observable $\hat{A}$ est associée à une grandeur physique donnée mesurable en laboratoire (cf. la procédure de quantification canonique en fin de cette leçon).

Un cas particulièrement important est celui de l'énergie : l'observable est alors le Hamiltonien $\hat H$, et ses valeurs propres discrètes donnent les niveaux d'énergie du système. Pour un atome, les écarts entre ces niveaux fixent les fréquences des raies d'absorption et d'émission associées aux transitions permises, selon $h\nu = |E_m-E_n|$. On passe ainsi du calcul du spectre de $\hat H$ aux raies observées en laboratoire. Expliquer ces raies et prévoir leur position a été l'un des grands succès de la mécanique quantique naissante.

Ironiquement, cette quantification n'est pas un principe général alors qu'elle a donné son nom à la théorie. Certes, en dimension finie, toutes les observables ont nécessairement un spectre discret, et donc toutes les quantités mesurables sur un système seront effectivement quantifiées. Mais en dimension infinie, il y a des observables qui ont un spectre discret, et d'autres, comme l'opérateur position, qui ont un spectre continu. Le Hamiltonien lui-même, selon le système étudié, peut avoir un spectre discret, continu, ou comporter les deux parties (par exemple, continu pour une particule libre sur $\R$, mais discret pour la même particule dans un puits infini de largeur finie).

En dimension finie, trouver les états propres revient à diagonaliser une matrice auto-adjointe. La méthode est celle de l'algèbre linéaire : on cherche les valeurs propres à l'aide du polynôme caractéristique, puis les vecteurs propres associés. Dans les exemples simples, ces calculs peuvent se faire à la main, notamment lorsque la matrice est de faible dimension ou se décompose en blocs. Lorsqu'on ne dispose pas d'expressions analytiques exploitables, une diagonalisation numérique permet de calculer des valeurs approchées et d'en déduire des prédictions, en contrôlant la précision du calcul.

En dimension infinie, les méthodes de résolution changent, mais l'objectif reste le même : diagonaliser l'opérateur, c'est-à-dire en déterminer la décomposition spectrale, que le spectre soit discret ou continu. Pour les états propres d'énergie d'une particule, par exemple, il faut résoudre $\hat H\psi = E\psi$. L'inconnue est maintenant une fonction, et le Hamiltonien fait intervenir ses dérivées : la même équation aux valeurs propres prend donc la forme d'une équation différentielle plutôt que d'un problème matriciel. Il faut aussi tenir compte des conditions imposées à la fonction d'onde, qui sélectionnent les énergies admissibles ; résoudre l'équation sans en tenir compte ne suffit pas.

Les puits de potentiel, l'oscillateur harmonique et l'atome d'hydrogène sont des modèles pour lesquels l'on sait mener ce calcul explicitement. Mais la difficulté augmente vite : dans l'atome d'hélium, les deux électrons interagissent, et l'on ne peut plus résoudre le problème complet de la même façon que pour l'unique électron de l'hydrogène. Il faut recourir à des approximations ou au calcul numérique. Avec davantage d'électrons et plusieurs noyaux, on entre dans les problèmes de la chimie quantique. Les exemples simples que nous allons étudier servent donc aussi à apprendre les méthodes dont nous aurons besoin pour aborder des systèmes plus complexes.

5. Les observables compatibles et incompatibles.

Après avoir cherché à diagonaliser une observable, on peut se demander si l'on peut en diagonaliser deux dans une même base. Un théorème important répond à cette question : le théorème de co-diagonalisation, rencontré à la leçon 6 du thème 2. Classique en dimension finie, il se généralise à la dimension infinie moyennant quelques précautions, évoquées plus bas. Plaçons-nous pour commencer en dimension finie : si deux observables commutent, $[\hat{A}, \hat{B}] = 0$, alors il existe une base orthonormée de vecteurs propres communs à $\hat{A}$ et à $\hat{B}$.

Que signifie ce résultat physiquement ? Un vecteur de cette base représente un état dans lequel les deux grandeurs ont chacune une valeur définie. On peut le noter $\ket{a_i, b_j}$ : une mesure de $\hat A$ donne avec certitude $a_i$, et une mesure de $\hat B$ donne avec certitude $b_j$. Les deux étiquettes désignent donc un seul et même état, propre aux deux observables. C'est en ce sens que ces observables sont dites compatibles.

Inversement, si deux observables ne commutent pas, alors une base de vecteurs propres communs n'existe pas : certains vecteurs propres peuvent être communs, mais ils ne forment pas une base complète commune. Cela a des conséquences sur les mesures successives : mesurer $\hat B$ peut modifier les probabilités des résultats d'une mesure ultérieure de $\hat A$.

Considérons par exemple une séquence de trois mesures : $\hat{A}$, puis $\hat{B}$, puis à nouveau $\hat{A}$. Alors on peut obtenir successivement $a_i$, $b_j$, puis $a_k \neq a_i$, ce qui illustre le point suivant : quand $\hat{A}$ et $\hat{B}$ ne commutent pas, effectuer la mesure de $\hat{B}$ peut modifier les prédictions issues de l'information acquise lors de la première mesure de $\hat{A}$. Ce résultat découle du postulat 3 de réduction du paquet d'onde : après chaque mesure, le système est projeté dans l'état propre correspondant au résultat obtenu. Ainsi, dans le cas non dégénéré, après la deuxième mesure, le système se trouve dans l'état $\ket{b_j}$, qui peut ne pas être un vecteur propre de $\hat{A}$, et donc qui s'écrit comme une combinaison linéaire d'états propres de $\hat{A}$. Par conséquent, selon le postulat 4, la troisième mesure présente une distribution de probabilités non-triviale sur les valeurs propres $a_k$ de $\hat{A}$, permettant d'obtenir un résultat différent de la première mesure.

Nous avons déjà rencontré cette situation dans le thème 1, leçon 1, puis repris le calcul à la leçon 2 : dans la séquence de Stern—Gerlach $z-x-z$, après sélection de $z+$ puis de $x+$, la dernière mesure donne $z+$ ou $z-$ avec la même probabilité. Les observables selon $z$ et $x$ ne commutent pas : elles sont incompatibles.

En dimension infinie, la compatibilité générale de deux observables se formule par la commutation de leurs projecteurs spectraux. L'annulation d'un commutateur formel sur un domaine commun ne suffit pas toujours. Les exemples matriciels évitent cette difficulté.

6. Les relations d'incertitude

La non-commutation des observables intervient aussi dans les relations d'incertitude. Celle d'Heisenberg pour la position et l'impulsion en est un exemple ; nous allons en établir une forme générale pour deux observables $\hat A$ et $\hat B$.

On présente souvent ces relations comme une limite à la précision avec laquelle on peut connaître « simultanément » deux grandeurs physiques. Mais le mot « simultanément » peut induire en erreur en laissant croire que la temporalité intervient ici. Il ne s'agit pas d'effectuer deux mesures au même instant, ni de choisir leur ordre : il s'agit de savoir si un même état quantique peut attribuer aux deux grandeurs des valeurs bien définies. On retrouve ainsi la question de la co-diagonalisation : avoir deux valeurs certaines exige un état propre commun aux deux observables. Si elles ne commutent pas, on ne peut pas construire une base entière de tels états, même si certains états propres communs peuvent exister. Les relations d'incertitude précisent quantitativement les contraintes sur les dispersions dans un même état préparé.

Pour donner un sens concret à cette question, considérons la procédure expérimentale suivante :

1. On prépare un grand nombre de systèmes identiques dans le même état quantique $\ket\psi$.
2. Sur une moitié, on mesure $\hat A$. Les résultats permettent d'estimer une moyenne et un écart-type $\sigma_{A}$.
3. Sur l'autre moitié, on mesure $\hat B$. On estime de même la moyenne et l'écart-type $\sigma_{B}$ de cette seconde distribution.

Un petit écart-type signifie que les résultats sont concentrés autour de leur moyenne ; un grand écart-type indique qu'ils sont plus dispersés. Il s'agit de la dispersion prédite par la règle de Born, qui peut subsister même avec un appareil idéal. Les deux mesures portent sur des systèmes différents : la première ne vient donc pas perturber la seconde.

Le formalisme impose une borne au produit $\sigma_{A}\,\sigma_{B}$ de ces deux dispersions. Si cette borne est strictement positive, les deux distributions ne peuvent pas être arbitrairement étroites à la fois. Dans le formalisme des postulats, cette relation est un théorème :

La borne dépend de l'état. Un commutateur non nul ne signifie pas que son espérance est non nulle dans tous les états. Il ne faut donc pas conclure, pour une paire quelconque, que toute réduction de $\sigma_{A}$ oblige toujours $\sigma_{B}$ à augmenter. Pour la position et l'impulsion, la situation est particulière : le commutateur vaut $[\hat X,\hat P]=i\hbar\mathbf{1}$ sur le domaine approprié, ce qui donne $\sigma_{X}\,\sigma_{P}\geq\hbar/2$. On trouve aussi cette relation de Heisenberg sous la forme $\Delta x\,\Delta p\geq\hbar/2$, où $\Delta x$ et $\Delta p$ désignent les mêmes écarts-types. Si l'on prépare un état dont la distribution de position est très étroite, celle de l'impulsion doit donc être suffisamment large pour respecter cette borne. Nous reprendrons le commutateur position—impulsion en fin de leçon, puis sa réalisation concrète à la leçon 4.

En conservant aussi la partie réelle dans la preuve, on obtient l'inégalité de Robertson-Schrödinger :

L'accolade désigne l'anticommutateur $\hat C\hat D+\hat D\hat C$. Cette forme contient en plus une covariance. La version précédente suffira à nos premières applications.

La relation n'est pas une formule générale sur l'erreur d'un appareil ni sur la perturbation produite par une première mesure. Ces questions sont liées mais distinctes. De même, le temps étant ici un paramètre et non une observable ordinaire, une expression $\sigma_{E}\,\Delta t$ doit être accompagnée d'une définition précise de $\Delta t$.

7. L'évolution continue versus les sauts quantiques

En dehors d'une "mesure", un état quantique évolue selon l'équation de Schrödinger, et c'est équivalent, sous l'action de l'opérateur unitaire d'évolution $U(t,t_0)$, comme discuté à la leçon 1. En particulier, sous cette action, la trajectoire dessinée par $\ket{\psi(t)}$ est (fortement) continue dans le Hilbert. Par ailleurs, l'évolution est linéaire : si $\ket{\psi(t)} = U(t, t_0)\ket{\psi(t_0)}$ et $\ket{\phi(t)} = U(t, t_0)\ket{\phi(t_0)}$, alors par linéarité :

Enfin, l'unitarité signifie en particulier que, connaissant $U$ et $\ket{\psi(t)}$, on peut remonter à l'état initial, puisque $U$ est inversible : $\ket{\psi(t_0)} = U(t, t_0)^{-1} \ket{\psi(t)}$. Autrement dit, c'est une évolution réversible (on ne perd pas d'information).

Au contraire, lors d'une mesure, on doit projeter et renormaliser le ket d'avant mesure sur le sous-espace propre associé à la valeur trouvée. Cette opération est modélisée comme un "saut quantique" : dans le cadre du postulat de la mesure, la transition est considérée instantanée, et la trajectoire du ket apparaît discontinue dans $\mathcal{H}$. La nécessité de renormaliser l'état transforme cette opération en une opération non-linéaire (on ne fait pas que projeter, on renormalise aussi). Enfin, c'est une opération en général non unitaire, car non injective : tous les états initiaux de la forme $\ket{\psi} = c_n \ket{a_n} + \sum_{m \neq n} c_m \ket{a_m}$ (avec $c_n \neq 0$) peuvent conduire au même résultat de mesure $a_n$, et donc au même état final $\ket{a_n}$ après réduction. L'infinité d'états initiaux possibles se "collapse" vers un seul état final, et observer $a_n$ ne permet pas de savoir quel était l'état initial avant la mesure. Le modèle de réduction décrit une évolution discontinue, non linéaire, et irréversible (on a perdu l'information sur l'état initial).

Le postulat de la mesure et l'évolution de Schrödinger décrivent donc deux régimes d'évolution distincts. Dans la formulation présentée ici, l'évolution unitaire et réversible est interrompue, lors d'une mesure, par une réduction conditionnée au résultat obtenu. Cette réduction n'est pas déduite de l'équation de Schrödinger : elle fait l'objet d'un postulat séparé.

Le formalisme est-il lui-même incohérent ? Pas de manière immédiate : le postulat d'évolution de Schrödinger tel que nous l'avons énoncé concerne un système isolé, tandis qu'une mesure implique une interaction avec un appareil ; le système mesuré n'est donc pas isolé. Cette distinction ne suffit toutefois pas à résoudre la difficulté, puisque l'on peut inclure l'appareil dans un système plus vaste. Peut-on alors dériver le postulat de la mesure à partir d'une évolution linéaire, continue et unitaire du système composite {système + pointeur + environnement} ? Par pointeur, nous entendons la partie du dispositif dont l'état permet de lire le résultat ; l'environnement regroupe les autres degrés de liberté du dispositif et du milieu extérieur (air, photons, etc.).

La théorie de la décohérence étudie un aspect de cette question : comment l'interaction et l'intrication avec l'environnement atténuent les interférences observables sur le système seul, alors que l'évolution globale reste unitaire. Cette atténuation ne suffit pas, à elle seule, à sélectionner un résultat unique. Ses développements théoriques sont notamment associés à H. Dieter Zeh^[2] et à Wojciech H. Zurek^[3]. Des expériences ont ensuite permis de suivre cette perte de cohérence, notamment dans les travaux des équipes de Serge Haroche sur des champs en cavité^[4] et de David Wineland sur des ions piégés^[5]. Nous étudierons ces mécanismes après avoir développé le formalisme des systèmes composites.

Plusieurs questions restent à distinguer. Le saut quantique est-il instantané ? Et sinon, combien de temps prend la mesure ? Puisque notre description alterne évolution de Schrödinger et réduction de l'état, qu'est-ce qui détermine qu'une mesure a lieu à cet instant précis ? Autrement dit, quel critère nous fait passer d'une règle d'évolution à l'autre ?

À cette question du moment de la mesure s'ajoute celle de la frontière entre les deux descriptions. On appelle coupure de Heisenberg la séparation entre la partie de l'expérience décrite quantiquement et l'appareil dont on décrit classiquement les indications^[7]. Les postulats présentés ici ne fixent pas un seuil de taille ou de masse qui placerait automatiquement cette frontière. Si l'on inclut l'appareil dans la description quantique, il faut alors se demander comment rendre compte d'une indication déterminée. C'est cette difficulté que les expériences de pensée suivantes mettent en évidence.

8. Le problème de la mesure

La difficulté porte notamment sur le résultat individuel : comment rendre compte du fait qu'une mesure donne un résultat déterminé, si l'on décrit le système et l'appareil ensemble par une évolution unitaire ?

Le postulat de composition permet déjà de formuler précisément la difficulté. Soit un système initialement dans l'état $\alpha\ket0+\beta\ket1$ et un second système, servant d'appareil ou d'observateur, dans un état $\ket{M_{\text{prêt}}}$. Une interaction qui corrèle sans ambiguïté les deux résultats aux deux indications correspondantes conduirait, par linéarité, à

L'évolution de Schrödinger produit ainsi une superposition intriquée du système composé; elle ne choisit aucun des deux termes.

Dans l'expérience de pensée du chat de Schrödinger, les états $\ket{M_0}$ et $\ket{M_1}$ représentent, au terme d'une chaîne d'amplification macroscopique, un chat vivant et un chat mort. La question n'est pas simplement de déclarer le chat « dans deux états classiques à la fois », mais de comprendre pourquoi l'évolution linéaire du système global ne conduit pas d'elle-même à l'unique résultat que constate un observateur.

L'ami de Wigner rend la tension encore plus nette. Pour l'ami enfermé dans le laboratoire, une issue déterminée a été observée et le postulat de réduction lui fait attribuer l'état correspondant. Wigner, s'il traite au contraire le laboratoire entier comme un système isolé, lui attribue encore la superposition intriquée précédente. À quel moment la réduction doit-elle intervenir, et les deux descriptions peuvent-elles être simultanément cohérentes ? Le formalisme exposé jusqu'ici pose clairement la question, mais n'y répond pas encore.

Nous reprendrons ces expériences de pensée après l'étude détaillée des systèmes composites.

9. Le principe de correspondance et la question du monde classique

Nous avons insisté sur les différences entre les postulats quantiques et la description classique. Il reste cependant une question : si les objets qui nous entourent sont constitués de systèmes quantiques, pourquoi pouvons-nous si souvent les décrire par des positions, des trajectoires et des lois classiques ? Une théorie quantique doit aussi rendre compte des situations où la mécanique classique fournit des prédictions vérifiées expérimentalement.

Cette exigence prolonge le principe de correspondance de Bohr. Dans son contexte historique, celui-ci reliait notamment les transitions quantiques aux composantes du mouvement classique, avec un accord asymptotique aux grands nombres quantiques^[6]. Nous retiendrons ici l'exigence plus générale suivante : dans les régimes où la description classique est valable, les prédictions quantiques doivent la retrouver à la précision considérée. Ce principe guide la construction des modèles ; il ne fournit pas, à lui seul, une recette pour choisir tous leurs opérateurs.

La question de l'émergence du monde classique demande ensuite de comprendre comment cet accord se réalise. Il faut préciser les états préparés, les échelles d'observation et les durées considérées. Retrouver une loi classique pour certaines valeurs moyennes ne suffit pas nécessairement à décrire un objet localisé suivant une trajectoire : les dispersions et leur évolution comptent aussi. Le rôle de l'environnement, évoqué plus haut avec la décohérence, intervient dans cette discussion, de même que la justification de la description classique de l'appareil au-delà de la coupure de Heisenberg. Nous la laissons ouverte à ce stade : les postulats posés ne constituent pas encore une explication de l'ensemble de ces phénomènes, même si certains mécanismes peuvent être étudiés dans des modèles précis.

Pour avancer, distinguons donc deux démarches : construire un modèle quantique compatible avec les contraintes physiques connues, puis étudier les conditions dans lesquelles ce modèle retrouve un comportement classique. Commençons par la première, sur l'exemple d'une particule.

10. Construction d’un modèle quantique

Les postulats définissent un cadre commun. Pour décrire un système concret, il reste à choisir ses degrés de liberté, un espace de Hilbert, les observables et un Hamiltonien. Comme les lois de Newton doivent être complétées par un modèle des forces, les postulats quantiques ne fixent pas seuls ces objets.

Les expériences, les symétries et l'exigence de correspondance guident leur choix. Lorsqu'on dispose d'un modèle classique, la quantification canonique fournit une méthode de construction. Nous allons l'appliquer à une particule sans spin, non relativiste, sur une droite, dans un potentiel réel indépendant du temps : partir du Lagrangien classique, identifier l'impulsion et le Hamiltonien, puis choisir les observables quantiques et leurs relations de commutation.

10.1. Le point de départ classique

Pour une particule de masse $m$ dans un potentiel $V(x)$, le Lagrangien est

L'équation d'Euler—Lagrange redonne $m\ddot x=-V'(x)$. Le moment canonique conjugué à $x$ et le Hamiltonien sont

Les équations de Hamilton s'écrivent alors

Ces relations guideront la construction du modèle quantique. Le Hamiltonien classique $H_{\mathrm{cl}}$ est une fonction de deux variables; le Hamiltonien quantique $\hat H$ sera un opérateur.

10.2. La quantification canonique

Dans le modèle retenu, les observables position $\hat X$ et impulsion $\hat P$ obéissent à la relation de commutation canonique. On choisit aussi le Hamiltonien en conservant la forme de l'énergie classique :

Le commutateur désigne $\hat X\hat P-\hat P\hat X$. L'égalité s'applique aux états sur lesquels ces deux produits sont définis. Nous construirons à la leçon suivante une représentation concrète et vérifierons cette relation par un calcul explicite.

Cette prescription définit le modèle non relativiste étudié. Elle n'est pas une conséquence des seuls postulats de la leçon 1. Les symétries, les observations et la correspondance avec la mécanique classique guident le choix. Pour des expressions classiques plus générales contenant des produits de $x$ et de $p$, l'ordre des opérateurs peut devenir une question supplémentaire.

10.3. Commutateur et correspondance

Nous pouvons maintenant revenir à l'exigence de correspondance, avec les objets nécessaires pour lui donner un contenu précis. Le principe général présenté plus haut ne fixe pas à lui seul le commutateur. Nous allons imposer une condition plus forte : une relation exacte pour l'évolution des valeurs moyennes, valable pour tous les états admissibles et pour une famille de potentiels. Le théorème d'Ehrenfest de la leçon 1 permettra d'en tirer une contrainte sur $\hat X$ et $\hat P$.

Nous avons ainsi fixé la prescription algébrique. Il reste à construire un espace d'états et des opérateurs qui la réalisent : nous passerons à la représentation position dès la leçon suivante.

11. Références