Dans cette première leçon, nous présentons la formulation dite « orthodoxe » de la mécanique quantique, généralement associée à l'interprétation dite de Copenhague¹. Cette formulation inclut notamment le postulat de la réduction du paquet d'onde (postulat 3) ainsi que le caractère fondamentalement probabiliste des résultats de mesure (postulat 4). Ils s'appliquent à un système isolé. Pour les systèmes ouverts, il faut décrire quantiquement à la fois le système et son environnement. Un sixième et dernier postulat, consacré à la composition des systèmes, sera brièvement énoncé ici puis développé entièrement au thème 4 : « systèmes composites ».

1. Les six postulats

Pour une vue d'ensemble, on peut aussi consulter la page Wikipédia Postulats de la mécanique quantique^[3], ou le Griffiths^[4]. La numérotation des postulats varie selon les présentations.

1.1. Les états quantiques

Le premier postulat contient la cinématique de la théorie. Nous nous limitons ici aux états dits purs. Nous verrons plus tard les états mixtes, qui les généralisent : ce sont des mélanges statistiques de plusieurs états purs.

Ce postulat associe ainsi l'état physique à un objet mathématique abstrait, très différent des vecteurs de $\R^3$ employés en mécanique classique. La question de ce que représente réellement ce vecteur sera examinée dans la leçon 3. Le choix d'une structure linéaire est ce qui permet de former des superpositions d'états, comme on l'a discuté dans le thème 1.

Notez que l'identification de deux kets qui ne diffèrent que par une phase globale est cohérente avec la règle de Born du postulat 4 ci-dessous : cette transformation ne modifie aucune probabilité de mesure. Elle se traduit mathématiquement par une structure géométrique de l'espace des états que nous préciserons en section 2.1.

Passons maintenant aux postulats dits de la mesure. Nous ne chercherons pas pour le moment à définir ce qu'est réellement une mesure ni comment elle se déclenche. Nous reviendrons sur ce point évidemment essentiel dans le thème 4, consacré aux systèmes composites, où l'on traitera quantiquement à la fois le système, l'appareil de mesure et l'environnement. Pour un système supposé isolé, il faut voir les postulats qui suivent comme tentant au mieux d'établir un lien entre les objets mathématiques de la théorie et les résultats observables expérimentalement, comme une valeur affichée par un appareil de mesure ou l'accumulation d'impacts sur une cible. Ils appellent à de nombreux commentaires, développés entres autres dans la leçon suivante.

1.2. Les observables

Les observables sont des objets qui encodent les résultats possibles d'une mesure physique. Les notions mathématiques utilisées ici ont été présentées au thème 2.

Quelques précisions sont importantes.

• Parmi les observables usuelles figurent le Hamiltonien $\hat H$, associé à l'énergie et présenté plus bas, ainsi que la position $\hat X$ et l'impulsion $\hat P$, que nous étudierons à la leçon 4. On l'a vu, les projecteurs orthogonaux sont eux aussi auto-adjoints : ils constituent donc des observables au sens mathématique. Pour un ket normalisé $\ket{a_n}$, le projecteur $\hat\Pi_n=\ket{a_n}\bra{a_n}$ représente la question « l'état est-il $\ket{a_n}$ ? » : ses valeurs propres $1$ et $0$ codent les réponses « oui » et « non ». Si l'état est dans une superposition de kets $\ket{a_n}$, les probabilités de ces réponses seront données par la règle de Born (postulat 4). Cette idée se généralise aux projecteurs sur des sous-espaces, par exemple pour poser la question « la particule est-elle dans cette région de l'espace ? ».
• Le postulat associe un opérateur auto-adjoint à chaque grandeur physique mesurable, mais n'énonce pas la réciproque. Il est quand même commun d'appeler observable tout opérateur auto-adjoint, mais il faut noter que cette convention mathématique ne garantit pas a priori l'existence d'un dispositif permettant d'en réaliser la mesure. Les interactions disponibles et les symétries du système peuvent en effet restreindre cette possibilité². Cette question reste un sujet de recherche actif aujourd'hui.
  Note 2: Sur les contraintes imposées aux mesures par les lois de conservation, voir Y. Kuramochi et H. Tajima, Wigner—Araki—Yanase Theorem for Continuous and Unbounded Conserved Observables, Physical Review Letters 131, 210201 (2023), doi:10.1103/PhysRevLett.131.210201^[5].
• Le spectre de $\hat A$ est réel en vertu de son auto-adjonction. En dimension finie, le théorème spectral, présenté au thème 2, leçon 6, garantit l'existence d'une base orthonormée de vecteurs propres. Si $\hat P_n$ désigne le projecteur orthogonal sur le sous-espace propre associé à la valeur propre $a_n$, on a la décomposition spectrale $$\hat A=\sum_n a_n\hat P_n, \qquad \hat P_n=\sum_{i=1}^{d_n}\ket{a_n^i}\bra{a_n^i},$$ où $(\ket{a_n^i})_{1\leq i\leq d_n}$ est une base orthonormée de ce sous-espace propre. En dimension infinie, le spectre peut comporter une partie continue. La décomposition spectrale utilise alors des projecteurs associés à des intervalles de valeurs et des intégrales spectrales, cf. section 1.6 ci-dessous.
• Certains ouvrages, notamment le traité de C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, présentent ce postulat comme deux postulats distincts^[6] : le premier associe un opérateur auto-adjoint à chaque grandeur mesurable; le second identifie les résultats possibles au spectre de cet opérateur.

1.3. La mesure

Le troisième postulat est la très célèbre « réduction du paquet d'onde », ou « collapse » en anglais, au cœur des problèmes conceptuels que pose cette théorie. Il vient préciser l'effet d'une telle mesure sur l'état physique du système mesuré.

Cet énoncé est écrit ici pour un résultat de mesure appartenant au spectre discret. Son adaptation au cas d'un spectre continu est présentée à la section 1.6 ci-dessous. Dans le cas discret, on note une simplification très fréquente : si la valeur propre $a_n$ est non dégénérée, le sous-espace propre associé est de dimension $1$, et le projecteur correspondant s'écrit simplement $\hat{P}_n = \ket{a_n}\bra{a_n}$. Par symétrie hermitienne du produit scalaire, on a :

Le postulat 3 devient donc dans ce cas :

où l'on a supprimé une phase globale $e^{i\phi}$ sans conséquence physique observable, comme on l'a dit plus haut. Ainsi on peut retenir, dans le cas non-dégénéré, la règle essentielle suivante : quand on a observé le résultat $a_n$, c'est que juste après la mesure on peut considérer que l'état du système est $\ket{a_n}$.

Il ne reste plus qu'à donner une règle donnant les probabilités d'observer telle ou telle valeur propre $a_n$. C'est ce qu'on appelle la règle de Born (1926) :

Lorsqu'on mesure $\hat A$, on obtient nécessairement l'un des résultats possibles : la somme de leurs probabilités vaut donc $1$. Dans la base orthonormée des états propres, la règle de Born donne

L'égalité $\sum_n|\braket{a_n}{\psi}|^2=\braket{\psi}{\psi}$ vient de l'identité de Parseval appliquée aux kets $\ket{a_n}$ qui forment une base Hilbertienne orthonormée. La condition de normalisation du vecteur d'état garantit ainsi que la somme des probabilités vaut $1$.

Nous étendons maintenant cette formule au cas discret dégénéré. Dans ce cas, on introduit les $\ket{a_n^i}$ pour $i$ allant de 1 à $p$ la dimension du sous-espace propre. En utilisant $\hat P_n=\sum_{i=1}^{p}\ket{a_n^i}\bra{a_n^i}$, on obtient

En effet, $\sum_{i=1}^{p}|\braket{a_n^i}{\psi}|^2=\sum_{i=1}^{p}\braket{\psi}{a_n^i}\braket{a_n^i}{\psi}=\bra\psi\left(\sum_{i=1}^{p}\ket{a_n^i}\bra{a_n^i}\right)\ket\psi=\bra\psi\hat P_n\ket\psi$.

La réduction de l'état après l'obtention du résultat $a_n$ peut donc aussi s'écrire, lorsque $P_\psi(a_n)\neq0$,

Le cas du spectre continu est étudié à la section 1.6. Pour une autre présentation des probabilités de mesure et des projecteurs en présence de dégénérescence, voir les notes du cours 8.321 du MIT, séance 3, section 3.2^[7].

1.4. Le postulat dynamique

En mécanique quantique, on postule l'existence d'une observable privilégiée représentant l'énergie totale du système : le Hamiltonien, noté $\hat H$, qui est la version quantique du Hamiltonien classique en mécanique analytique, que le lecteur est supposé connaître. Cet opérateur a un rôle double. Comme toute observable, son spectre donne les résultats possibles d'une mesure de l'énergie, mais via le postulat dynamique, il est aussi le générateur de l'évolution temporelle de l'état entre deux mesures :

Remarquez qu'ici on se restreint aux systèmes isolés. Ainsi, aucune action extérieure ne vient perturber le système, et considère donc que le Hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps. Le cas d'un Hamiltonien sera couvert plus tard. Notez que l'exponentielle $e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}$ est définie sur tout $\H$ via le calcul spectral, qui garantit aussi son unitarité. On admettra pour le moment que, lorsque l'état initial appartient à $D(\hat H)$, la forme intégrée (10) et l'équation différentielle (9) sont équivalentes. En revanche, pour un état initial quelconque de $\H$, la forme intégrée reste bien définie, tandis que la dérivée intervenant dans l'équation de Schrödinger peut ne pas exister. Nous préciserons ces affirmations et leur réciproque, donnée par le théorème de Stone, plus bas, dans la section « Pour aller plus loin : existence et unicité ». Ces résultats expliquent pourquoi l'énoncé du postulat présente à la fois l'équation de Schrödinger et l'évolution unitaire.

1.5. La composition des systèmes

Le dernier postulat nous apprend comment réunir dans une même description quantique plusieurs systèmes.

Ce bref énoncé suffit pour décrire conjointement un système, un appareil et un observateur. La construction du produit tensoriel, les observables composées et l'intrication seront étudiées systématiquement au thème 4, consacré aux systèmes composites.

1.6. Le cas d'un spectre continu

Les postulats de mesure précédents ont été écrits avec des sommes sur des valeurs propres discrètes. En dimension infinie, le spectre d'une observable peut aussi comporter une partie continue. C'est le cas par exemple de l'opérateur position associé à la mesure de position d'une particule ponctuelle, cf. aussi leçon 4 et suivantes.

Postulats 3 et 4 : mesure de la position.

Nous verrons que l'état d'une particule sur une droite appartient à un espace de Hilbert de dimension infinie, dont les éléments peuvent être représentés par des fonctions de la position $x\in\R$. À la position est associée une observable auto-adjointe $\hat X$ dont le spectre est continu. On introduit alors pour chaque $x\in\R$, un état de position $\ket{x}$ vérifiant formellement une équation aux valeurs propres :

Nous préciserons plus loin le sens mathématique de cette écriture. En attendant, cette équation signifie que $x$ est la valeur spectrale associée à l'état de position $\ket{x}$ et donc, d'après le postulat 2, un résultat possible d'une mesure de position. À l'instant $t$, la projection formelle de l'état $\ket{\psi(t)}$ sur $\ket{x}$ définit l'amplitude appelée fonction d'onde en position :

La formule de Born (3) doit alors être adaptée au caractère continu du spectre. La quantité $|\psi(x,t)|^2$ n'est pas la probabilité d'obtenir exactement la valeur $x$ à l'instant $t$, mais une densité de probabilité. La probabilité élémentaire de trouver la particule entre $x$ et $x+dx$ à cet instant vaut $|\psi(x,t)|^2dx$. Ainsi, pour un intervalle $I=[a,b]$,

La particule devant se trouver quelque part sur la droite, la probabilité totale vaut un :

À chaque instant $t$, le module carré de la fonction d'onde doit donc être intégrable : la fonction $x\mapsto\psi(x,t)$ appartient à l'espace $L^2(\R)$, cf. thème 2.

Supposons maintenant qu'une mesure effectuée à l'instant $t$ localise la particule dans l'intervalle $I=[a,b]$. La réduction du paquet d'onde réalise une projection sur l'espace propre puis renormalise. Donc, il nous faut conserver la partie de la fonction d'onde située dans $I$, annuler sa partie extérieure, puis renormaliser l'état. Ceci, au passage, explique le nom de "réduction du paquet d'onde". Lorsque $P_{\psi(t)}(x\in I)\neq0$, la fonction d'onde immédiatement après la mesure devient donc

Le dénominateur est bien la racine carrée de $P_{\psi(t)}(x\in I)$, comme dans le cas discret. Cela garantit que cette nouvelle fonction d'onde post-mesure est toujours normée (vérifiez-le!). Dans l'idéalisation d'une mesure donnant exactement la position $x$, la réduction s'écrit formellement $\ket{\psi(t)}\longrightarrow\ket{x}$, mais on note qu'un appareil réel a toujours une résolution finie.

2. Premières conséquences des postulats

Les postulats étant posés, nous pouvons en tirer quelques conséquences générales qui seront utilisées dans toutes les leçons suivantes : l'identification des états physiques, le calcul des valeurs moyennes et leur évolution, puis la forme exacte de la dynamique dans une base propre du Hamiltonien.

2.1. L'espace projectif des états

Deux vecteurs normalisés qui ne diffèrent que par une phase globale représentent le même état physique. Toutes les probabilités données par la règle de Born sont en effet invariantes sous la transformation $\ket\psi\mapsto e^{i\chi}\ket\psi$. On dit que l'état physique est le rayon porté par $\ket\psi$, et l'ensemble de ces rayons forme l'espace projectif associé à $\H$. À la leçon 10, nous verrons que, pour un système à deux niveaux, ces rayons sont représentés par les points de la sphère de Bloch. En temps voulu, nous détaillerons les mathématiques abstraites des espaces projectifs.

Cette identification ne doit pas faire oublier que les phases relatives, elles, sont physiquement pertinentes. Les états $(\ket{0}+\ket{1})/\sqrt2$ et $(\ket{0}-\ket{1})/\sqrt2$, par exemple, ne sont pas proportionnels, et représentent deux états quantiques dictincts, comme l'a montré le thème 1.

2.2. Valeur moyenne et écart-type

Le calcul précédent utilise une décomposition spectrale discrète. En présence d'un spectre continu, les sommes sont remplacées par des intégrales spectrales. Pour une observable non bornée, il faut aussi vérifier l'existence des moments. L'écriture $\bra\psi\hat A\ket\psi$ est encore définie pourvu que $\psi\in D(\hat A)$. Dans le cas de l'opérateur position $\hat X$, cette condition s'écrit explicitement

Elle équivaut à demander que le second moment de la position soit fini :

La valeur moyenne et la variance sont alors bien définies, et valent

2.3. Évolution des valeurs moyennes

Le postulat dynamique détermine directement l'évolution temporelle des valeurs moyennes. C'est le :

Corrolaire important : une observable sans dépendance explicite en temps et qui commute avec le Hamiltonien possède une valeur moyenne constante.

2.4. États propres du Hamiltonien

Commençons par résoudre l'évolution temporelle pour un état propre d'énergie. Si le système est à l'instant initial $t_0$ dans un état propre du Hamiltonien $\hat{H} \ket{\psi_n} = E_n \ket{\psi_n}$, alors son évolution ultérieure est donnée par l'équation de Schrödinger, qui dans ce cas devient triviale

et a pour solution :

Notez qu'on peut aussi retrouver directement cette solution à partir de l'opérateur d'évolution. En effet, la définition du calcul fonctionnel spectral implique que, pour toute fonction $f$ et tout vecteur propre $\ket{\psi_n}$ de $\hat H$ associé à $E_n$,

En prenant $f(\lambda)=e^{-i\lambda(t-t_0)/\hbar}$, on obtient

Vu que la phase globale d'un ket est non physique, on peut dire que le rayon reste constant, représenté par $\ket{\psi_n}$ à tout instant ultérieur. C'est pourquoi on parle aussi d'états stationnaires. Mais attention cependant aux phases relatives : si l'état initial est plutôt une superposition d'états propres d'énergie,

alors son évolution devient cette fois

Si l'on mesure l'énergie sur cet état, ces phases relatives ne jouent aucun rôle. D'après la règle de Born, en supposant ici les énergies propres non dégénérées, la probabilité d'obtenir $E_n$ vaut

Aisni, toute la distribution de probabilités des énergies est constante, ce qui implique aussi, de par sa définition, que l'énergie moyenne est constante. En revanche, le fait que les différents états propres accumulent des phases différentes au cours du temps est directement observable expérimentalement et conduit aux interférences quantiques. Nous le montrerons en leçon 11.

Notez que la conservation de l'énergie moyenne découle plus généralement du théorème d'Ehrenfest. En prenant $\hat A=\hat H$ et puisque $[\hat H,\hat H]=0$, on obtient

Lorsque le Hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, cette dérivée est nulle et l'énergie moyenne est conservée : c'est l'analogue quantique du théorème de conservation de l'énergie mécanique.

Pour approfondir la dynamique et les états propres d'énergie, voir par exemple J. J. Sakurai et J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics^[8]. Les notes du MIT, séance 6^[9], proposent également une présentation de l'évolution et des états propres d'énergie.

3. Pour aller plus loin : existence et unicité

L'équation de Schrödinger est une équation différentielle dans un Hilbert. Projeté sur des éléments de la base, elle devient une équation différentielle ordinaire. Les questions suivantes sont alors naturelles : existe-t-il une solution pour chaque condition initiale, cette solution est-elle unique, quelle est la régularité de ces solutions dans la variable d'intérêt, ici le temps ? Pour un Hamiltonien indépendant du temps (on dit aussi autonome), la réponse est donnée par le théorème suivant, qu'on admettra en partie.

Quelques remarques :

• Dire que $t\mapsto\ket{\psi(t)}$ est de classe $C^1$ en norme signifie que, pour chaque $t$, il existe un vecteur $\ket{\dot\psi(t)}\in\H$ tel que $$\left\| \frac{\ket{\psi(t+h)}-\ket{\psi(t)}}{h} -\ket{\dot\psi(t)} \right\|\longrightarrow0 \qquad\text{lorsque }h\longrightarrow0,$$ et que cette dérivée est elle-même continue en norme : $$\left\|\ket{\dot\psi(t)}-\ket{\dot\psi(s)}\right\| \longrightarrow0 \qquad\text{lorsque }t\longrightarrow s.$$ La notion de continuité en norme a été introduite au thème 2, en leçon 1 et  2.
• Un groupe unitaire fortement continu est une famille d'opérateurs unitaires vérifiant $U(0)=I$ et $U(t+s)=U(t)U(s)$, telle que, pour tout $\ket\psi\in\H$ et tout instant $s$, $$\left\|U(t)\ket\psi-U(s)\ket\psi\right\|\longrightarrow0 \qquad\text{lorsque }t\longrightarrow s.$$ La loi de groupe signifie qu'une évolution pendant une durée $s$, suivie d'une évolution pendant une durée $t$, équivaut à une seule évolution pendant la durée totale $t+s$. Elle traduit le fait que, pour un Hamiltonien indépendant du temps, l'évolution dépend de la durée écoulée et non de l'instant choisi comme origine. De plus, $U(-t)=U(t)^{-1}$ montre que l'évolution est réversible. La continuité forte signifie quant à elle qu'une variation suffisamment petite du temps ne peut pas modifier brutalement l'état du système, ni, donc, les probabilités de mesure qui en découlent. Autrement dit, la trajectoire que dessine $\ket{\psi(t)}$ dans $\mathcal{H}$ est continue en norme entre deux mesures : cette évolution unitaire ne comporte pas de « sauts quantiques ». En revanche, la réduction de l'état postulée lors d'une mesure idéale peut produire un changement discontinu, comme décrit par le postulat 3 en section 1.3 ci-dessus. On discutera de cette dichotomie dans la leçon 3.

Sans donner toute la démonstration de ce résultat non trivial, on peut vérifier explicitement la loi de groupe : comme $\hat H$ est auto-adjoint, le calcul spectral donne

Les exponentielles étant des fonctions du même opérateur $\hat H$, elles commutent et leurs exposants s'additionnent :

En particulier, $U(0)=I$ et $U(t)^\dagger U(t)=U(-t)U(t)=U(0)=I$ : chaque $U(t)$ est donc unitaire. Le reste de la preuve est admis ici.

Ce théorème explique pourquoi l'auto-adjonction est la bonne condition pour engendrer une évolution unitaire. Pour les démonstrations et les précisions sur les domaines, voir G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics^[10], section 5.1, « The time evolution and Stone's theorem », notamment les théorèmes 5.1 et 5.2 (texte disponible sur le site de l'auteur).

4. Références