Leçon n°7 : L’oscillateur harmonique

Mots clés : Oscillateur harmonique, Opérateurs d’échelle, Opérateur nombre, Énergie du fondamental, Fonctions de Hermite

Leçon en cours de réécriture

L'oscillateur harmonique est le modèle d'une particule dans un potentiel quadratique. Il apparaît aussi lorsqu'on développe un potentiel autour d'un minimum stable : le terme constant déplace les énergies, le terme linéaire est nul au minimum et le premier terme non trivial est quadratique. Ce modèle permet donc de décrire de petites oscillations, notamment certains mouvements vibratoires.

Nous allons calculer son spectre à l'aide d'opérateurs d'échelle. Ce sera une application directe de l'adjoint et de la positivité. Il faut comprendre pourquoi on introduit ces opérateurs, ce qu'ils font à un état propre, puis pourquoi ils permettent de construire tous les niveaux. Nous retrouverons ensuite les fonctions propres en position et leur lien avec les fonctions de Hermite déjà rencontrées.

1. Le Hamiltonien et les échelles du problème

1.1. Un minimum de potentiel

Nous restons d'abord en une dimension. Soit x0x_0 un minimum non dégénéré d'un potentiel régulier, avec V′(x0)=0V'(x_0)=0 et V"(x0)>0V"(x_0)>0. Au voisinage de ce point,

V(x0+q)=V(x0)+12V"(x0)q2+O(q3).V(x_0+q)=V(x_0)+\frac12V"(x_0)q^2+O(q^3).

On choisit l'origine des positions en x0x_0 et l'origine des énergies en V(x0)V(x_0). Si les déplacements restent assez petits pour négliger les termes suivants, on obtient

H=P22m+12mω2X2,ω=V"(x0)m>0.H=\frac{P^2}{2m}+\frac12m\omega^2X^2, \qquad \omega=\sqrt{\frac{V"(x_0)}m}>0.

Le même ω\omega est la pulsation des petites oscillations classiques. Nous traiterons maintenant le potentiel quadratique comme exact. Son application à un autre potentiel reste une approximation, généralement moins bonne pour les états très excités qui explorent des positions plus éloignées du minimum.

1.2. Opérateurs sans dimension

Une localisation sur une longueur ℓ\ell suggère une énergie cinétique de l'ordre de ℏ2/(mℓ2)\hbar^2/(m\ell^2). L'énergie potentielle correspondante est de l'ordre de mω2ℓ2m\omega^2\ell^2. En équilibrant ces deux échelles, on trouve

ℓ=ℏmω.\ell=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}.

Ce raisonnement fixe une échelle, pas encore l'énergie exacte. Introduisons les opérateurs sans dimension

X~=Xℓ,P~=ℓPℏ.\tilde{X}=\frac X\ell,\qquad \tilde{P}=\frac{\ell P}{\hbar}.

La relation canonique [X,P]=iℏ1[X,P]=i\hbar \mathbf{1} devient [X~,P~]=i1[\tilde{X},\tilde{P}]=i\mathbf{1}, et le Hamiltonien prend la forme

H=ℏω2(X~2+P~2).H=\frac{\hbar\omega}{2}(\tilde{X}^2+\tilde{P}^2).

La longueur naturelle est donc ℓ\ell et l'énergie naturelle est ℏω\hbar\omega.

2. Les opérateurs d’échelle

2.1. Factorisation du Hamiltonien

Nous cherchons à factoriser la somme X~2+P~2\tilde{X}^2+\tilde{P}^2. Pour des nombres qui commutent, le produit (X~−iP~)(X~+iP~)(\tilde{X}-i\tilde{P})(\tilde{X}+i\tilde{P}) donnerait cette somme. Ici, il faut garder l'ordre des facteurs :

(X~−iP~)(X~+iP~)=X~2+P~2+i[X~,P~]=X~2+P~2−1.(\tilde{X}-i\tilde{P})(\tilde{X}+i\tilde{P})=\tilde{X}^2+\tilde{P}^2+i[\tilde{X},\tilde{P}]=\tilde{X}^2+\tilde{P}^2-\mathbf{1}.

En inversant l'ordre, on obtient X~2+P~2+1\tilde{X}^2+\tilde{P}^2+\mathbf{1}. C'est précisément cette différence qui va créer l'échelle des énergies. Le facteur 1/21/\sqrt2 ci-dessous permet de normaliser le commutateur à un.

Définition 1 (Opérateurs d'échelle)
On pose a=X~+iP~2=12(Xℓ+iℓPℏ),a†=X~−iP~2=12(Xℓ−iℓPℏ),N=a†a.a=\frac{\tilde{X}+i\tilde{P}}{\sqrt2} =\frac1{\sqrt2}\left(\frac X\ell+i\frac{\ell P}{\hbar}\right), a^\dagger=\frac{\tilde{X}-i\tilde{P}}{\sqrt2} =\frac1{\sqrt2}\left(\frac X\ell-i\frac{\ell P}{\hbar}\right), \qquad N=a^\dagger a.

L'opérateur NN sera appelé opérateur nombre. Ce nom sera justifié par ses valeurs propres.

Les signes sont imposés par l'adjoint : XX et PP sont symétriques sur le domaine de calcul et la conjugaison transforme ii en −i-i. L'adjoint n'est pas l'inverse de aa. Il va au contraire jouer le rôle d'un opérateur qui monte les niveaux.

Remarque 1 (Le domaine du calcul)
Ces opérateurs sont non bornés. Nous effectuons les produits et commutateurs sur les fonctions de Schwartz, un domaine dense stable par XX, PP, aa et a†a^\dagger. Les formules y représentent les restrictions des opérateurs usuels. Le Hamiltonien usuel est la fermeture auto-adjointe de sa réalisation sur ce domaine. Tous les états construits ci-dessous sont des fonctions de Schwartz. Leur complétude permettra ensuite d'identifier le spectre entier du modèle. On n'applique pas ces produits à un élément quelconque de L2(R)L^2(\R) sans vérifier son domaine.

2.2. L'algèbre de l'oscillateur

La factorisation donne à la fois le Hamiltonien et l'action des opérateurs sur les niveaux.

Proposition 1 (Algèbre de l'oscillateur)
Sur le domaine commun, [a,a†]=1,H=ℏω(N+121),[N,a]=−a,[N,a†]=a†.[a,a^\dagger]=\mathbf{1},\qquad H=\hbar\omega\left(N+\frac12\mathbf{1}\right), [N,a]=-a,\qquad [N,a^\dagger]=a^\dagger.

Démonstration.
Les deux produits calculés plus haut donnent a†a=12(X~2+P~2−1),aa†=12(X~2+P~2+1).a^\dagger a=\frac12(\tilde{X}^2+\tilde{P}^2-\mathbf{1}),\qquad aa^\dagger=\frac12(\tilde{X}^2+\tilde{P}^2+\mathbf{1}).

Leur différence vaut 1\mathbf{1}. La première égalité donne aussi X~2+P~2=2N+1\tilde{X}^2+\tilde{P}^2=2N+\mathbf{1}, donc l'expression de HH.

Pour les deux autres commutateurs, utilisons [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B :

[N,a]=[a†a,a]=a†[a,a]+[a†,a]a=−a,[N,a†]=[a†a,a†]=a†[a,a†]+[a†,a†]a=a†.[N,a]=[a^\dagger a,a] =a^\dagger[a,a]+[a^\dagger,a]a=-a, [N,a^\dagger]=[a^\dagger a,a^\dagger] =a^\dagger[a,a^\dagger]+[a^\dagger,a^\dagger]a=a^\dagger.

Diagonaliser HH revient donc à diagonaliser NN. Si N∣λ⟩=λ∣λ⟩N\ket\lambda=\lambda\ket\lambda, alors l'énergie correspondante est ℏω(λ+1/2)\hbar\omega(\lambda+1/2). Il reste à déterminer les valeurs possibles de λ\lambda.

3. Abaissement et élévation des niveaux

3.1. Conséquences de la positivité

Pour un état du domaine adéquat,

⟨ψ,Nψ⟩=⟨ψ,a†aψ⟩=⟨aψ,aψ⟩=∥aψ∥2≥0.\langle\psi,N\psi\rangle =\langle\psi,a^\dagger a\psi\rangle =\langle a\psi,a\psi\rangle =\|a\psi\|^2\geq0.

La positivité de NN vient donc directement de l'adjoint. Elle impose la borne

⟨H⟩≥12ℏω\langle H\rangle\geq\frac12\hbar\omega

pour un état normalisé ayant une énergie moyenne définie. Une borne inférieure ne prouve pas encore qu'un état atteint cette borne. Nous construirons cet état explicitement.

3.2. L'action sur un état propre

Prenons un état propre normalisé ∣λ⟩\ket\lambda dans le domaine de calcul. La relation Na=aN−aNa=aN-a donne

N(a∣λ⟩)=aN∣λ⟩−a∣λ⟩=(λ−1)a∣λ⟩.N(a\ket\lambda)=aN\ket\lambda-a\ket\lambda =(\lambda-1)a\ket\lambda.

Si a∣λ⟩a\ket\lambda n'est pas nul, c'est donc un état propre de valeur λ−1\lambda-1. De même,

N(a†∣λ⟩)=(λ+1)a†∣λ⟩.N(a^\dagger\ket\lambda)=(\lambda+1)a^\dagger\ket\lambda.

L'opérateur aa abaisse l'énergie de ℏω\hbar\omega, et a†a^\dagger l'augmente de ℏω\hbar\omega.

Il faut aussi connaître les normes. L'adjoint donne directement

∥a∣λ⟩∥2=⟨λ∣N∣λ⟩=λ,∥a†∣λ⟩∥2=⟨λ∣aa†∣λ⟩=⟨λ∣(N+1)∣λ⟩=λ+1.\|a\ket\lambda\|^2=\bra\lambda N\ket\lambda=\lambda, \|a^\dagger\ket\lambda\|^2 =\bra\lambda aa^\dagger\ket\lambda =\bra\lambda(N+\mathbf{1})\ket\lambda=\lambda+1.

L'état abaissé est nul exactement lorsque λ=0\lambda=0. L'état relevé n'est jamais nul si λ≥0\lambda\geq0. Ces opérateurs ne conservent donc pas la norme. Leur action algébrique ne doit pas être confondue avec une évolution unitaire réalisée automatiquement dans une expérience.

3.3. Un spectre entier

La descente se fait par pas d'une unité. Elle ne peut pas continuer jusqu'à une valeur négative puisque NN est positif. Elle doit s'arrêter exactement à zéro.

Proposition 2 (Valeurs propres de l'opérateur nombre)
Pour un état propre dans le domaine de calcul, la valeur propre de NN est un entier naturel.
Démonstration.
La positivité impose λ≥0\lambda\geq0. Après rr abaissements, tant que l'état n'est pas nul, sa valeur propre est λ−r\lambda-r et ∥ar∣λ⟩∥2=λ(λ−1)⋯(λ−r+1).\|a^r\ket\lambda\|^2 =\lambda(\lambda-1)\cdots(\lambda-r+1).

Cette formule s'obtient en appliquant à chaque étape l'identité de norme précédente.

Supposons λ\lambda non entier. Il existe un entier p≥0p\geq0 tel que p<λ<p+1p<\lambda<p+1. Pour r=p+1r=p+1, tous les facteurs de la norme sont strictement positifs. Le vecteur ap+1∣λ⟩a^{p+1}\ket\lambda est donc non nul. Pourtant, il aurait la valeur propre λ−p−1<0\lambda-p-1<0, ce qui contredit la positivité.

Ainsi λ=n∈N\lambda=n\in\N. Après nn abaissements, on atteint un vecteur non nul de valeur propre zéro. L'abaissement suivant donne le vecteur nul.

Cet argument identifie les valeurs propres possibles dans notre calcul. Il ne démontre pas encore l'existence d'un état pour chaque entier, ni la complétude des états construits. Nous allons établir ces deux points séparément.

Les opérateurs d’échelle relient les états voisins. Les nombres le long des flèches sont les facteurs de norme. La montée se poursuit indéfiniment. La descente du fondamental donne le vecteur nul, pas un état d’énergie inférieure.
Figure 1. Les opérateurs d’échelle relient les états voisins. Les nombres le long des flèches sont les facteurs de norme. La montée se poursuit indéfiniment. La descente du fondamental donne le vecteur nul, pas un état d’énergie inférieure.

4. Le fondamental en position

Pour atteindre la borne inférieure, il faut N∣0⟩=0N\ket0=0. Puisque ⟨N⟩=∥a∣0⟩∥2\langle N\rangle=\|a\ket0\|^2, cela revient à chercher

a∣0⟩=0.a\ket0=0.

Le membre de droite est le vecteur nul, pas un état de probabilité totale un. La relation exprime simplement qu'il n'existe pas de niveau inférieur accessible par aa.

En représentation de position, P=−iℏ d/dxP=-i\hbar\,d/dx, donc

a=12(xℓ+ℓddx),a†=12(xℓ−ℓddx).a=\frac1{\sqrt2}\left(\frac x\ell+\ell\frac d{dx}\right), \qquad a^\dagger=\frac1{\sqrt2}\left(\frac x\ell-\ell\frac d{dx}\right).

L'équation du fondamental est ainsi une équation du premier ordre,

φ0′(x)+xℓ2φ0(x)=0.\phi_0'(x)+\frac{x}{\ell^2}\phi_0(x)=0.

C'est le gain de la factorisation. Nous n'avons pas eu à résoudre directement l'équation de Schrödinger du second ordre.

Proposition 3 (État fondamental)
À une phase près, il existe un unique état normalisé annulé par aa : φ0(x)=1π1/4ℓe−x2/(2ℓ2).\phi_0(x)=\frac1{\pi^{1/4}\sqrt\ell} e^{-x^2/(2\ell^2)}.

Il atteint l'énergie minimale

E0=12ℏω.E_0=\frac12\hbar\omega.

Démonstration.
En multipliant l'équation par ex2/(2ℓ2)e^{x^2/(2\ell^2)}, on reconnaît une dérivée : ddx(ex2/(2ℓ2)φ0(x))=0.\frac d{dx}\left(e^{x^2/(2\ell^2)}\phi_0(x)\right)=0.

Ainsi φ0(x)=Ce−x2/(2ℓ2)\phi_0(x)=C e^{-x^2/(2\ell^2)}. Cette fonction est de carré intégrable sur toute la droite. La condition

1=∣C∣2∫Re−x2/ℓ2 dx=∣C∣2π ℓ1=|C|^2\int_{\R}e^{-x^2/\ell^2}\,dx =|C|^2\sqrt\pi\,\ell

fixe ∣C∣|C|. La phase reste libre. Enfin, aφ0=0a\phi_0=0 implique Nφ0=0N\phi_0=0, puis Hφ0=(ℏω/2)φ0H\phi_0=(\hbar\omega/2)\phi_0.

Le fondamental ne possède pas une énergie nulle. Un état localisé exactement au minimum avec une impulsion exactement nulle ne serait pas un état physique normalisable compatible avec la relation canonique. Le calcul précédent donne la valeur précise de cette énergie minimale.

5. États excités et spectre

5.1. Récurrence et normalisation

Partons de ∣0⟩\ket0 normalisé. Le vecteur a†∣0⟩a^\dagger\ket0 a la norme un et la valeur propre 11 pour NN. On peut donc poser

∣1⟩=a†∣0⟩.\ket1=a^\dagger\ket0.

Le vecteur a†∣1⟩a^\dagger\ket1 a la norme 2\sqrt2. Pour obtenir le deuxième état normalisé, il faut diviser par cette norme :

∣2⟩=a†2∣1⟩=(a†)22∣0⟩.\ket2=\frac{a^\dagger}{\sqrt2}\ket1 =\frac{(a^\dagger)^2}{\sqrt2}\ket0.

Puis ∣3⟩=(a†)3∣0⟩/3!\ket3=(a^\dagger)^3\ket0/\sqrt{3!}, et ainsi de suite. La factorielle ne vient pas d'une convention de notation. Elle compense les normes accumulées à chaque montée.

Théorème 1 (Spectre de l'oscillateur harmonique)
Les états ∣n⟩=(a†)nn!∣0⟩,n≥0,\ket n=\frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}\ket0,\qquad n\geq0,

sont orthonormés et vérifient

a∣0⟩=0,a∣n⟩=n∣n−1⟩(n≥1),a†∣n⟩=n+1∣n+1⟩,N∣n⟩=n∣n⟩,H∣n⟩=En∣n⟩,En=ℏω(n+12).a\ket0=0,\qquad a\ket n=\sqrt n\ket{n-1}\quad(n\geq1), \qquad a^\dagger\ket n=\sqrt{n+1}\ket{n+1}, N\ket n=n\ket n,\qquad H\ket n=E_n\ket n,\qquad E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right).

Ils forment une base hilbertienne de L2(R)L^2(\R). Le spectre du modèle est exactement cette suite de niveaux, tous non dégénérés.

Démonstration.
Supposons ∣n⟩\ket n normalisé et propre de NN avec valeur nn. L'algèbre donne un vecteur a†∣n⟩a^\dagger\ket n propre de valeur n+1n+1, de norme n+1\sqrt{n+1}. Le définir après division par cette norme établit la récurrence et la formule avec n!n!.

Pour la descente, on utilise

a∣n⟩=aa†n∣n−1⟩=N+1n∣n−1⟩=n∣n−1⟩.a\ket n =\frac{aa^\dagger}{\sqrt n}\ket{n-1} =\frac{N+\mathbf{1}}{\sqrt n}\ket{n-1} =\sqrt n\ket{n-1}.

Des valeurs propres distinctes d'un opérateur auto-adjoint donnent des états orthogonaux. Comme chaque état est normalisé, la famille est orthonormée.

En position, ces états sont les fonctions de Hermite explicitées ci-dessous. Leur complétude dans L2(R)L^2(\R) est le résultat d'analyse admis à la leçon 3 du thème 2. Il établit qu'aucun secteur supplémentaire n'a été omis. Le Hamiltonien est donc diagonal dans cette base, avec les valeurs EnE_n qui tendent vers l'infini. Son spectre ne contient pas d'autre valeur. Une seule fonction de cette base est associée à chaque EnE_n, donc les niveaux sont non dégénérés.

Potentiel harmonique et cinq premiers niveaux. L’axe vertical est gradué en unités de . Les niveaux sont équidistants et le fondamental se situe au-dessus du minimum.
Figure 2. Potentiel harmonique et cinq premiers niveaux. L’axe vertical est gradué en unités de ℏω\hbar\omega. Les niveaux sont équidistants et le fondamental se situe au-dessus du minimum.

Les niveaux sont équidistants : En+1−En=ℏωE_{n+1}-E_n=\hbar\omega. Cela distingue l'oscillateur du puits infini, où l'écart augmentait avec nn. L'entier nn compte les quanta d'énergie au-dessus du fondamental. Il ne compte pas ici des particules matérielles différentes : le modèle décrit toujours une seule particule dans un potentiel.

5.2. Les fonctions propres en position

Posons ξ=x/ℓ\xi=x/\ell. L'application de a†=(ξ−d/dξ)/2a^\dagger=(\xi-d/d\xi)/\sqrt2 à la gaussienne donne

φ1(x)=2 ξφ0(x),φ2(x)=2ξ2−12φ0(x).\phi_1(x)=\sqrt2\,\xi\phi_0(x),\qquad \phi_2(x)=\frac{2\xi^2-1}{\sqrt2}\phi_0(x).

Par exemple, dφ0/dξ=−ξφ0d\phi_0/d\xi=-\xi\phi_0, donc

a†φ0=12(ξφ0+ξφ0)=2 ξφ0.a^\dagger\phi_0 =\frac1{\sqrt2}(\xi\phi_0+\xi\phi_0) =\sqrt2\,\xi\phi_0.

En recommençant, chaque dérivation modifie le polynôme qui multiplie la même gaussienne. La formule générale est

φn(x)=1π1/42nn! ℓHn(x/ℓ)e−x2/(2ℓ2).\phi_n(x)=\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{2^n n!\,\ell}} H_n(x/\ell)e^{-x^2/(2\ell^2)}.

Les HnH_n sont les polynômes de Hermite, avec

H0=1,H1(ξ)=2ξ,Hn+1(ξ)=2ξHn(ξ)−2nHn−1(ξ).H_0=1,\qquad H_1(\xi)=2\xi,\qquad H_{n+1}(\xi)=2\xi H_n(\xi)-2nH_{n-1}(\xi).

Cette expression se déduit de l'application répétée de l'opérateur différentiel a†a^\dagger à la gaussienne. Les fonctions sont paires pour nn pair et impaires pour nn impair, comme on l'attend pour un potentiel pair à niveaux non dégénérés.

Les quatre premières fonctions de Hermite, avec des axes distincts pour les amplitudes et les densités. À gauche, _n( )= \, _n( ). À droite, | _n( )|^2. Toutes les densités ont une intégrale égale à 1.
Figure 3. Les quatre premières fonctions de Hermite, avec des axes distincts pour les amplitudes et les densités. À gauche, φ~n(ξ)=ℓ φn(ℓξ)\widetilde\phi_n(\xi)=\sqrt\ell\,\phi_n(\ell\xi). À droite, ∣φ~n(ξ)∣2|\widetilde\phi_n(\xi)|^2. Toutes les densités ont une intégrale égale à 11.

6. Valeurs moyennes et fluctuations

La construction algébrique donne aussi les observables, sans recalculer des intégrales gaussiennes à chaque niveau. Les définitions de aa et a†a^\dagger s'inversent en

X=ℓ2(a+a†),P=ℏi2ℓ(a−a†).X=\frac{\ell}{\sqrt2}(a+a^\dagger),\qquad P=\frac{\hbar}{i\sqrt2\ell}(a-a^\dagger).

Les deux opérateurs ne relient donc un état ∣n⟩\ket n qu'aux niveaux voisins.

Proposition 4 (Fluctuations dans un état propre)
Dans l'état ∣n⟩\ket n, ⟨X⟩n=⟨P⟩n=0,(ΔX)n2=ℓ2(n+12),(ΔP)n2=ℏ2ℓ2(n+12).\langle X\rangle_n=\langle P\rangle_n=0, (\Delta X)^2_n=\ell^2\left(n+\frac12\right), \qquad (\Delta P)^2_n=\frac{\hbar^2}{\ell^2}\left(n+\frac12\right).

Ainsi

ΔXn ΔPn=ℏ(n+12).\Delta X_n\,\Delta P_n=\hbar\left(n+\frac12\right).

Le fondamental atteint l'égalité de Heisenberg.

Démonstration.
Les vecteurs a∣n⟩a\ket n et a†∣n⟩a^\dagger\ket n sont orthogonaux à ∣n⟩\ket n, d'où les deux moyennes nulles. Pour le carré de XX, X2=ℓ22(a2+aa†+a†a+(a†)2).X^2=\frac{\ell^2}{2} \left(a^2+aa^\dagger+a^\dagger a+(a^\dagger)^2\right).

Les termes a2a^2 et (a†)2(a^\dagger)^2 changent le niveau de deux unités et ont une moyenne nulle dans ∣n⟩\ket n. Les deux termes restants donnent n+1n+1 et nn. Ainsi ⟨X2⟩n=ℓ2(2n+1)/2\langle X^2\rangle_n=\ell^2(2n+1)/2.

Le calcul de P2P^2 est analogue. Le facteur i2=−1i^2=-1 compense les signes des termes croisés et donne ⟨P2⟩n=ℏ2(2n+1)/(2ℓ2)\langle P^2\rangle_n=\hbar^2(2n+1)/(2\ell^2). Les moyennes étant nulles, ces deux moments sont les variances.

L'énergie se répartit également entre ses deux contributions dans chaque état propre :

⟨P22m⟩n=⟨12mω2X2⟩n=En2.\left\langle\frac{P^2}{2m}\right\rangle_n =\left\langle\frac12m\omega^2X^2\right\rangle_n =\frac{E_n}{2}.

Lorsque nn augmente, la distribution de position s'étend et la dispersion d'impulsion augmente aussi. Le fondamental minimise leur produit, mais ne rend aucune des deux dispersions nulle.

7. Portée du modèle

Une vibration moléculaire proche de l'équilibre fournit une application directe. Pour un mode de vibration isolé, la coordonnée décrit un déplacement collectif et la masse est celle qui intervient dans l'énergie cinétique de ce mode. L'approximation harmonique prédit des écarts d'énergie voisins de ℏω\hbar\omega. Les écarts réels peuvent s'en écarter lorsque les termes suivants du potentiel deviennent sensibles.

Le modèle apparaît aussi pour une particule retenue près du minimum d'un piège. La même construction s'applique dès que le Hamiltonien se ramène, dans le domaine d'énergie étudié, à une somme d'une énergie cinétique quadratique et d'un potentiel quadratique.

L'adjoint a joué ici un rôle concret à chaque étape. Il a donné la positivité de NN, fixé les normes des états abaissés et relevés, puis permis de construire une base propre entière. L'existence du fondamental a été vérifiée en position et la complétude a été identifiée comme le résultat d'analyse supplémentaire nécessaire pour conclure sur tout le spectre.

8. Références

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