La leçon précédente a construit l'espace des états d'une particule et ses observables : la fonction d'onde $\psi(x)$, la position qui agit par multiplication, l'impulsion qui agit par dérivation, et le Hamiltonien différentiel $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)$. Nous pouvons maintenant faire évoluer cet état. Le postulat dynamique de la leçon 1 s'applique tel quel ; il suffit de l'écrire en représentation position, ce qui donne l'équation de Schrödinger sous la forme où on la rencontre le plus souvent, celle d'une équation aux dérivées partielles.

Nous en tirerons d'abord une loi de conservation locale de la probabilité, qui fait apparaître un courant de probabilité indispensable pour interpréter les problèmes de diffusion de la leçon suivante. Nous écrirons ensuite l'équation stationnaire, qui donne les états d'énergie bien définie. Nous étudierons alors complètement le cas de la particule libre, et nous verrons qu'un paquet d'ondes s'étale au cours du temps. Enfin, nous reviendrons sur le théorème d'Ehrenfest pour comprendre dans quelle mesure le centre d'un paquet suit les lois de Newton.

Dans toute la leçon, la particule a une masse $m$ et le potentiel $V$ est réel et indépendant du temps. Nous supposerons les fonctions d'onde et le potentiel assez réguliers pour que les dérivées écrites aient un sens.

1. L'équation de Schrödinger en position

Partons de l'équation abstraite de la leçon 1, $i\hbar\frac{d}{dt}\ket{\psi(t)}=\hat H\ket{\psi(t)}$, et projetons-la sur le bra $\bra x$. À gauche, la dérivée en temps commute avec la projection et donne $i\hbar\,\partial_t\psi(x,t)$, où $\psi(x,t)=\braket{x}{\psi(t)}$. À droite, $\bra x\hat H\ket{\psi(t)}$ est la fonction $\hat H\psi$ évaluée en $x$, que nous avons calculée à la leçon 4. On obtient ainsi :

Insistons sur un point : ce n'est pas une nouvelle loi de la physique qui viendrait s'ajouter aux postulats. C'est le postulat dynamique lui-même, écrit dans la représentation position du modèle construit aux leçons 3 et 4. Historiquement, c'est pourtant sous cette forme que Schrödinger l'a proposée en 1926, par analogie avec l'optique ondulatoire, avant que la formulation abstraite ne soit dégagée.

Remarquez que l'équation est du premier ordre en temps : la donnée de la fonction d'onde à l'instant initial suffit à déterminer toute son évolution, ce qui est cohérent avec le premier postulat selon lequel le ket contient toute l'information sur l'état. C'est une différence importante avec l'équation de Newton, du second ordre, pour laquelle il faut donner à la fois la position et la vitesse initiales. Le facteur $i$ est, lui aussi, essentiel : c'est lui qui rend l'évolution unitaire, alors qu'une équation de diffusion de la chaleur, qui a la même structure sans le $i$, ferait décroître la norme.

2. Conservation locale de la probabilité

2.1. Densité et courant de probabilité

Nous savons depuis la leçon 1 que l'évolution unitaire conserve la norme de l'état, c'est-à-dire la probabilité totale $\int|\psi|^2dx=1$. Mais elle nous dit plus : la probabilité ne peut pas disparaître d'une région pour réapparaître instantanément dans une autre région éloignée ; elle doit s'écouler continûment d'un point à l'autre, comme la charge électrique ou la masse d'un fluide. Cette conservation locale prend la forme d'une équation de continuité.

Démonstration.

Dérivons la densité $\rho=\psi^*\psi$ par rapport au temps : $$\frac{\partial\rho}{\partial t}=\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial t}+\psi\,\frac{\partial\psi^*}{\partial t}.$$

L'équation de Schrödinger donne $\partial_t\psi=\frac{i\hbar}{2m}\partial_x^2\psi-\frac{i}{\hbar}V\psi$. En prenant son complexe conjugué, et puisque $V$ est réel, on obtient $\partial_t\psi^*=-\frac{i\hbar}{2m}\partial_x^2\psi^*+\frac{i}{\hbar}V\psi^*$. En reportant,

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} =\frac{i\hbar}{2m}\Bigl(\psi^*\partial_x^2\psi-\psi\,\partial_x^2\psi^*\Bigr) -\frac{i}{\hbar}V\psi^*\psi+\frac{i}{\hbar}V\psi\psi^* .$$

Les deux termes de potentiel se compensent exactement : c'est ici que sert l'hypothèse d'un potentiel réel. Le terme restant est une dérivée exacte, car

$$\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\psi^*\partial_x\psi-\psi\,\partial_x\psi^*\Bigr) =\partial_x\psi^*\,\partial_x\psi+\psi^*\partial_x^2\psi-\partial_x\psi\,\partial_x\psi^*-\psi\,\partial_x^2\psi^* =\psi^*\partial_x^2\psi-\psi\,\partial_x^2\psi^* .$$

Enfin, $\psi^*\partial_x\psi-\psi\partial_x\psi^*=2i\operatorname{Im}(\psi^*\partial_x\psi)$, de sorte que

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}=\frac{i\hbar}{2m}\,\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(2i\operatorname{Im}(\psi^*\partial_x\psi)\Bigr) =-\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}(\psi^*\partial_x\psi)\Bigr)=-\frac{\partial j}{\partial x}.$$

□

2.2. Bilan sur un intervalle

Pour comprendre le sens de cette équation, intégrons-la sur un intervalle $[a,b]$. Le terme en $\partial_xj$ s'intègre directement et il vient

La probabilité de trouver la particule dans l'intervalle varie donc uniquement à cause de ce qui traverse ses bords : $j(a,t)$ est le flux de probabilité qui entre par la gauche, et $j(b,t)$ celui qui sort par la droite (cf. Figure 1). Un courant positif décrit un écoulement vers les $x$ croissants, un courant négatif un écoulement vers la gauche. Sur toute la droite, les courants s'annulent à l'infini pour un état normalisable, et l'on retrouve la conservation de la probabilité totale.

2.3. Le courant d'une onde plane

Un exemple nous sera très utile à la leçon suivante. Considérons une onde plane $\psi(x)=A\,e^{ikx}$, avec $k$ réel. Alors $\psi^*\partial_x\psi=ik|A|^2$, et

Le courant est le produit de la densité $|A|^2$ par la vitesse classique $v=p/m$ associée à l'impulsion $p=\hbar k$, comme le débit d'un fluide de densité $\rho$ s'écoulant à la vitesse $v$. Une onde $e^{-ikx}$ porte le courant opposé. En revanche, une fonction d'onde réelle, ou réelle à une phase constante près, porte un courant nul, puisque $\psi^*\partial_x\psi$ est alors réel. C'est le cas par exemple d'une exponentielle réelle $e^{-\kappa x}$ : nous verrons que cette remarque joue un rôle important dans l'interprétation de l'effet tunnel.

Ces résultats montrent qu'il ne faut pas confondre densité et flux : deux ondes de même amplitude mais de vitesses différentes ne transportent pas la même quantité de probabilité par unité de temps. Il faudra s'en souvenir pour définir les coefficients de réflexion et de transmission.

3. Les états stationnaires

3.1. Séparation des variables

Comment résoudre l'équation (1) ? Puisque le potentiel ne dépend pas du temps, une méthode classique pour les équations aux dérivées partielles consiste à chercher d'abord des solutions particulières sous la forme d'un produit

$$\psi(x,t)=\chi(t)\,\phi(x).$$

En substituant dans l'équation, puis en divisant par $\chi(t)\phi(x)$ là où ce produit ne s'annule pas, on obtient

$$i\hbar\,\frac{\chi'(t)}{\chi(t)} =\frac{1}{\phi(x)}\Bigl(-\frac{\hbar^2}{2m}\phi"(x)+V(x)\phi(x)\Bigr).$$

Le membre de gauche ne dépend que de $t$, celui de droite que de $x$. Pour que l'égalité soit vraie pour toutes les valeurs de $t$ et de $x$, les deux membres doivent être égaux à une même constante, que nous notons $E$. On obtient alors deux équations découplées. L'équation en temps, $i\hbar\chi'=E\chi$, s'intègre immédiatement en $\chi(t)=e^{-iEt/\hbar}$, la constante multiplicative étant absorbée dans $\phi$. L'équation en espace est l'équation aux valeurs propres du Hamiltonien, appelée équation de Schrödinger stationnaire :

Réciproquement, si $\phi$ vérifie cette équation, on vérifie par substitution directe que $\psi(x,t)=e^{-iEt/\hbar}\phi(x)$ est solution de l'équation de Schrödinger, y compris aux points où $\phi$ s'annule.

On retrouve ainsi par une autre voie le résultat de la leçon 1 : un état propre du Hamiltonien évolue en ne prenant qu'une phase globale. La constante de séparation $E$ est l'énergie de cet état, réelle puisque $\hat H$ est auto-adjoint. La densité de probabilité $|\psi(x,t)|^2=|\phi(x)|^2$ est indépendante du temps, d'où le nom d'état stationnaire. Notez cependant que stationnaire ne veut pas dire immobile : la densité ne change pas, mais elle peut être parcourue par un courant constant, comme pour l'onde plane (5). L'équation de continuité impose seulement $\partial_xj=0$, donc un courant uniforme.

Les états stationnaires ne sont que des solutions particulières. Une solution générale s'obtient par superposition, en décomposant l'état initial sur les états propres du Hamiltonien. Pour un spectre discret, $\phi_n$ d'énergies $E_n$,

$$\psi(x,0)=\sum_nc_n\phi_n(x) \qquad\Longrightarrow\qquad \psi(x,t)=\sum_nc_n\,e^{-iE_nt/\hbar}\,\phi_n(x),$$

avec des intégrales en plus si le spectre comporte une partie continue. Une telle superposition n'est en général pas de la forme $\chi(t)\phi(x)$, et sa densité dépend du temps. Résoudre la dynamique revient donc à diagonaliser le Hamiltonien : c'est pourquoi les leçons suivantes sont consacrées au calcul de spectres.

3.2. Régions classiquement permises et interdites

Avant d'étudier des exemples, il est utile de savoir à quoi ressemblent les solutions de l'équation stationnaire. Écrivons-la sous la forme

$$\phi"(x)=\frac{2m}{\hbar^2}\bigl(V(x)-E\bigr)\phi(x).$$

Dans une région où le potentiel est constant, $V=V_0$, c'est une équation à coefficients constants, et trois cas se présentent.

• Si $E>V_0$, on pose $k=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar$ et l'équation devient $\phi"=-k^2\phi$. Les solutions sont oscillantes : $\phi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$, ou de façon équivalente des combinaisons de $\cos kx$ et $\sin kx$. Classiquement, $E-V_0$ est l'énergie cinétique de la particule, et $\hbar k=\sqrt{2m(E-V_0)}$ est son impulsion : on retrouve la relation de de Broglie. Cette région est dite classiquement permise.
• Si $E<V_0$, on pose $\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$ et l'équation devient $\phi"=\kappa^2\phi$. Les solutions sont exponentielles : $\phi(x)=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x}$. Une particule classique ne pourrait pas se trouver dans cette région, où son énergie cinétique serait négative : elle est dite classiquement interdite. La fonction d'onde n'y est pourtant pas nulle en général.
• Si $E=V_0$, les solutions sont affines : $\phi(x)=Ax+B$.

Pour un potentiel qui varie lentement, ce comportement reste qualitativement vrai localement : la fonction d'onde oscille là où $E>V(x)$, avec une longueur d'onde locale $2\pi\hbar/\sqrt{2m(E-V(x))}$ d'autant plus courte que l'énergie cinétique est grande, et elle se comporte de façon exponentielle là où $E<V(x)$. Ce sont les conditions aux limites et la normalisabilité qui sélectionneront ensuite, parmi toutes ces solutions, celles qui sont physiquement admissibles. Nous verrons à la leçon suivante que cette sélection est à l'origine de la quantification de l'énergie.

4. La particule libre

4.1. Évolution en représentation impulsion

Le cas le plus simple est celui de la particule libre, $V=0$. Le Hamiltonien $\hat H=\hat P^2/(2m)$ ne dépend alors que de l'impulsion. Dans la représentation impulsion de la leçon 4, $\hat P$ agit par multiplication par $p$, donc $\hat H$ agit par multiplication par $p^2/(2m)$ : le Hamiltonien est diagonal dans cette représentation. Les kets $\ket p$ sont des états propres généralisés d'énergie $p^2/(2m)$, et chaque composante $\widetilde\psi(p,t)$ évolue indépendamment des autres en prenant sa propre phase :

On peut aussi l'obtenir en écrivant l'équation de Schrödinger en représentation impulsion, $i\hbar\,\partial_t\widetilde\psi=\frac{p^2}{2m}\widetilde\psi$, qui n'est plus qu'une équation différentielle ordinaire pour chaque valeur de $p$. La densité d'impulsion $|\widetilde\psi(p,t)|^2$ est donc constante : en l'absence de force, la distribution des impulsions ne change pas, ce qui est l'analogue quantique de la conservation de l'impulsion d'une particule libre.

Le spectre du Hamiltonien libre est continu : c'est l'ensemble $[0,+\infty[$ des valeurs de $p^2/(2m)$. Les états propres généralisés, les ondes planes $e^{ipx/\hbar}$, ne sont pas normalisables et ne représentent pas des états physiques. Un état physique est une superposition d'ondes planes, un paquet d'ondes, dont la fonction d'onde en position s'obtient par transformation de Fourier inverse de (7).

En position, la situation est plus intéressante. Les différentes composantes d'impulsion accumulent des phases $p^2t/(2m\hbar)$ différentes, et leur superposition se déforme au cours du temps. Calculons-le explicitement sur un exemple.

4.2. Étalement d'un paquet gaussien

Reprenons le paquet gaussien de la leçon 4, centré en $x_0$ avec l'impulsion moyenne $p_0$ et la largeur $\sigma_0$,

$$\psi(x,0)=\frac{1}{(2\pi\sigma_0^2)^{1/4}} \exp\left[-\frac{(x-x_0)^2}{4\sigma_0^2}+\frac{ip_0(x-x_0)}{\hbar}\right],$$

dont nous avons calculé la transformée de Fourier :

$$\widetilde\psi(p,0)=\frac{1}{(2\pi\sigma_P^2)^{1/4}} \exp\left[-\frac{(p-p_0)^2}{4\sigma_P^2}\right]e^{-ipx_0/\hbar}, \qquad \sigma_P=\frac{\hbar}{2\sigma_0}.$$

D'après (7), la fonction d'onde à l'instant $t$ est

$$\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}\,(2\pi\sigma_P^2)^{1/4}}\int_\R \exp\left[-\frac{(p-p_0)^2}{4\sigma_P^2}-\frac{ip^2t}{2m\hbar}+\frac{ip(x-x_0)}{\hbar}\right]dp .$$

Pour faire apparaître une intégrale gaussienne, posons $q=p-p_0$ et développons $p^2=q^2+2p_0q+p_0^2$. L'exposant devient un polynôme du second degré en $q$ :

$$-\Bigl(\frac{1}{4\sigma_P^2}+\frac{it}{2m\hbar}\Bigr)q^2 +\frac{i}{\hbar}\Bigl(x-x_0-\frac{p_0t}{m}\Bigr)q +\underbrace{\frac{ip_0(x-x_0)}{\hbar}-\frac{ip_0^2t}{2m\hbar}}_{\text{indépendant de }q}.$$

Introduisons le temps caractéristique et la position du centre classique,

$$t_d=\frac{2m\sigma_0^2}{\hbar},\qquad x_c(t)=x_0+\frac{p_0t}{m}.$$

Comme $\sigma_P=\hbar/(2\sigma_0)$, on vérifie que le coefficient de $q^2$ s'écrit $\alpha=\frac{1}{4\sigma_P^2}\bigl(1+it/t_d\bigr)$, et celui de $q$ est $\beta=i(x-x_c)/\hbar$. L'intégrale gaussienne de la leçon 4, $\int_\R e^{-\alpha q^2+\beta q}\,dq=\sqrt{\pi/\alpha}\;e^{\beta^2/(4\alpha)}$, valable pour $\operatorname{Re}\alpha>0$, fait alors apparaître le facteur

$$e^{\beta^2/(4\alpha)}=\exp\left[-\frac{(x-x_c)^2}{\hbar^2}\cdot\frac{\sigma_P^2}{1+it/t_d}\right] =\exp\left[-\frac{(x-x_c)^2}{4\sigma_0^2\,(1+it/t_d)}\right].$$

Pour obtenir la densité de position, nous n'avons besoin que du module de ce facteur, les autres termes étant soit des phases, soit indépendants de $x$. Avec $\operatorname{Re}\frac{1}{1+i\tau}=\frac{1}{1+\tau^2}$, on obtient

$$|\psi(x,t)|^2\propto\exp\left[-\frac{(x-x_c(t))^2}{2\sigma_0^2\bigl(1+t^2/t_d^2\bigr)}\right].$$

La constante de proportionnalité n'a pas besoin d'être calculée : l'évolution étant unitaire, la densité reste normalisée à un, ce qui la fixe. Nous obtenons ainsi le résultat suivant, illustré par la Figure 2.

Le centre du paquet se déplace donc à la vitesse constante $p_0/m$, comme une particule classique libre. Mais le paquet s'étale : sa largeur reste à peu près égale à $\sigma_0$ tant que $t\ll t_d$, puis elle croît linéairement avec le temps. Pour $t\gg t_d$, on a en effet

$$\sigma_X(t)\simeq\frac{\sigma_0\,t}{t_d}=\frac{\hbar}{2m\sigma_0}\,t=\frac{\sigma_P}{m}\,t .$$

Cette dernière forme a une interprétation simple. Le paquet contient des impulsions dispersées autour de $p_0$ avec l'écart-type $\sigma_P$, donc des vitesses dispersées avec l'écart-type $\sigma_P/m$. Un nuage de particules classiques libres, partant toutes du même point avec cette dispersion de vitesses, s'étalerait de la même façon. Ce qui est spécifiquement quantique, c'est que la dispersion des vitesses n'est pas un défaut de préparation que l'on pourrait réduire à volonté : elle est imposée par la localisation initiale, via $\sigma_P=\hbar/(2\sigma_0)$. Plus le paquet est initialement étroit, plus il s'étale vite. Notons aussi qu'au cours de l'étalement, le produit $\sigma_X(t)\sigma_P$ augmente : le paquet gaussien n'est d'incertitude minimale qu'à l'instant $t=0$.

Quelques ordres de grandeur montrent pourquoi cet étalement n'est jamais observé à notre échelle. Pour un électron localisé initialement sur $\sigma_0=1\,\text{\AA}$, la taille d'un atome, on trouve $t_d\approx2\times10^{-16}$ s : l'étalement est quasi instantané. Pour un grain de poussière de $1$ mg localisé sur $1~\mu$m, on trouve $t_d\approx2\times10^{16}$ s, soit plusieurs centaines de millions d'années.

Insistons enfin sur un point : cet étalement se produit sous l'évolution unitaire de Schrödinger, sans aucune mesure. Il ne s'agit pas d'une perte d'information : la distribution des impulsions est constante, et l'on pourrait en principe inverser l'évolution. Ce sont les phases relatives entre composantes d'impulsions différentes qui se réarrangent et déforment la densité en position.

5. Le théorème d'Ehrenfest et la correspondance avec Newton

5.1. Les équations d'Ehrenfest pour une particule

À la leçon 3, nous avons exigé que les valeurs moyennes de la position et de l'impulsion obéissent à des équations analogues à celles de Hamilton, et nous en avons déduit la relation canonique. Vérifions maintenant que le modèle construit satisfait bien ces équations. D'après le théorème d'Ehrenfest de la leçon 1, et puisque $\hat X$ et $\hat P$ ne dépendent pas explicitement du temps,

$$\frac{d\langle\hat X\rangle}{dt}=\frac{i}{\hbar}\langle[\hat H,\hat X]\rangle, \qquad \frac{d\langle\hat P\rangle}{dt}=\frac{i}{\hbar}\langle[\hat H,\hat P]\rangle .$$

Il nous faut donc deux commutateurs. Pour le premier, seule l'énergie cinétique contribue, puisque $V(\hat X)$ commute avec $\hat X$. En utilisant la règle $[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$ et $[\hat P,\hat X]=-i\hbar\mathbf{1}$,

$$[\hat H,\hat X]=\frac{1}{2m}[\hat P^2,\hat X] =\frac1{2m}\Bigl(\hat P[\hat P,\hat X]+[\hat P,\hat X]\hat P\Bigr) =-\frac{i\hbar}{m}\hat P .$$

Pour le second, c'est au contraire l'énergie cinétique qui commute avec $\hat P$, et il reste $[\hat H,\hat P]=[V(\hat X),\hat P]$. Le plus simple est de le calculer en représentation position, en appliquant l'opérateur à une fonction $\psi$ :

$$\bigl([V(\hat X),\hat P]\psi\bigr)(x) =V(x)\bigl(-i\hbar\psi'(x)\bigr)+i\hbar\bigl(V(x)\psi(x)\bigr)' =-i\hbar V\psi'+i\hbar V'\psi+i\hbar V\psi' =i\hbar V'(x)\psi(x).$$

Comme pour le commutateur canonique, c'est la dérivation du produit qui fait apparaître le résultat. Ainsi $[\hat H,\hat P]=i\hbar V'(\hat X)$, et le théorème d'Ehrenfest donne :

La première équation dit que la vitesse du centre du paquet est l'impulsion moyenne divisée par la masse. La seconde est l'analogue du principe fondamental de la dynamique : la variation de l'impulsion moyenne est égale à la force moyenne $\langle F\rangle=-\langle V'(\hat X)\rangle$. En combinant les deux,

$$m\,\frac{d^2\langle\hat X\rangle}{dt^2}=-\langle V'(\hat X)\rangle .$$

5.2. Quand le centre du paquet suit-il Newton ?

Ces équations ressemblent beaucoup à celles de Newton, mais avec une différence essentielle : le membre de droite est la moyenne de la force, $\langle V'(\hat X)\rangle=\int V'(x)|\psi(x,t)|^2dx$, et non la force évaluée à la position moyenne, $V'(\langle\hat X\rangle)$. Ces deux quantités ne sont pas égales en général. Le centre du paquet ne suit donc pas exactement une trajectoire classique : la force qu'il ressent dépend de la façon dont la probabilité est répartie autour de lui.

Pour estimer l'écart, notons $\bar x=\langle\hat X\rangle$ et développons $V'$ autour de ce point :

$$V'(x)=V'(\bar x)+V"(\bar x)(x-\bar x)+\frac12V"'(\bar x)(x-\bar x)^2+\cdots$$

Prenons la moyenne dans l'état $\psi$. Le terme du premier ordre disparaît, puisque $\langle\hat X-\bar x\rangle=0$ par définition de $\bar x$, et le terme du second ordre fait apparaître la variance $\sigma_X^2=\langle(\hat X-\bar x)^2\rangle$. On obtient

$$\langle V'(\hat X)\rangle \simeq V'(\bar x)+\frac12V"'(\bar x)\,\sigma_X^2,$$

pourvu que les termes suivants soient négligeables. Deux conclusions en découlent.

• Si le potentiel est au plus quadratique, c'est-à-dire constant, linéaire (force constante) ou harmonique, alors $V"'=0$ et tous les termes suivants sont nuls : l'égalité $\langle V'(\hat X)\rangle=V'(\langle\hat X\rangle)$ est exacte. Le centre du paquet suit alors exactement la trajectoire classique, quelle que soit la forme du paquet. Nous le retrouverons pour l'oscillateur harmonique à la leçon 7.
• Pour un potentiel quelconque, le centre suit approximativement la trajectoire classique tant que le paquet reste étroit devant l'échelle de variation de la force, c'est-à-dire tant que $|V"'|\sigma_X^2\ll|V'|$. C'est l'une des conditions sous lesquelles la mécanique classique émerge de la mécanique quantique.

Cette seconde condition n'est pas acquise une fois pour toutes, car nous avons vu que les paquets s'étalent. Même dans un potentiel régulier, un paquet initialement bien localisé finit par s'étaler, et les corrections quantiques à la trajectoire de son centre finissent par devenir importantes. Pour un objet macroscopique, les temps nécessaires sont astronomiques, comme le montrait l'ordre de grandeur de $t_d$ ; pour un électron dans un atome, la description classique n'a en revanche aucune pertinence.

5.3. Ce qu'Ehrenfest ne dit pas : la largeur

Les équations d'Ehrenfest portent sur les valeurs moyennes, et ne disent rien à elles seules de la largeur du paquet. Pour la particule libre, elles donnent immédiatement $\langle\hat P\rangle_t=p_0$ et $\langle\hat X\rangle_t=x_0+p_0t/m$, en accord avec le calcul exact (8), mais elles ne prédisent pas l'étalement.

On peut cependant appliquer le même théorème à d'autres observables. Pour la particule libre, prenons $\hat X^2$. Un calcul de commutateurs analogue au précédent donne

$$\frac{d\langle\hat X^2\rangle}{dt}=\frac1m\langle\hat X\hat P+\hat P\hat X\rangle, \qquad \frac{d}{dt}\langle\hat X\hat P+\hat P\hat X\rangle=\frac{2}{m}\langle\hat P^2\rangle,$$

et $\langle\hat P^2\rangle$ est constant puisque $\hat P$ commute avec $\hat H$. La dérivée seconde de $\langle\hat X^2\rangle$ est donc constante, et $\langle\hat X^2\rangle$ est un polynôme du second degré en $t$. Comme $\langle\hat X\rangle^2$ en est un aussi, on obtient, pour n'importe quel état initial d'une particule libre,

$$\sigma_X^2(t)=\sigma_X^2(0)+\frac{t}{m}\Bigl(\langle\hat X\hat P+\hat P\hat X\rangle_0-2\langle\hat X\rangle_0\langle\hat P\rangle_0\Bigr)+\frac{\sigma_P^2}{m^2}\,t^2 .$$

Le lecteur pourra vérifier ces deux relations de commutation à titre d'exercice. Aux temps longs, le terme en $t^2$ domine toujours : tout paquet libre finit par s'étaler à la vitesse $\sigma_P/m$, comme nous l'avions vu sur l'exemple gaussien, pour lequel le terme linéaire est nul.

Les leçons suivantes appliqueront ces outils à des potentiels particuliers : les puits et les barrières, puis l'oscillateur harmonique et l'atome d'hydrogène. Pour compléter cette leçon, on pourra consulter D. J. Griffiths et D. F. Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics^[1], chapitres 1 et 2, ainsi que les notes du MIT, cours 8.321, séance 7^[2].

6. Références