À la fin de la leçon précédente, nous avons fixé le modèle quantique d'une particule sans spin se déplaçant sur une droite : deux observables $\hat X$ et $\hat P$ vérifiant la relation de commutation canonique $[\hat X,\hat P]=i\hbar\mathbf{1}$, et un Hamiltonien $\hat H=\hat P^2/(2m)+V(\hat X)$. Mais nous n'avons encore rien dit des objets eux-mêmes. Dans quel espace de Hilbert vit l'état de la particule ? Comment agissent concrètement $\hat X$ et $\hat P$ sur un vecteur de cet espace ? C'est l'objet de cette leçon.

Nous verrons que la réponse naturelle est l'espace $L^2(\R)$ des fonctions de carré intégrable, déjà rencontré au thème 2, et que la fonction d'onde $\psi(x)$ introduite à la leçon 1 n'est rien d'autre que la composante du ket $\ket\psi$ sur une « base » d'états de position $\ket{x}$. Le mot base est entre guillemets, car ces kets $\ket{x}$ ne sont pas de vrais vecteurs de l'espace de Hilbert : il nous faudra pour les manipuler la distribution de Dirac. Nous construirons ensuite l'opérateur impulsion à partir des translations, ce qui nous donnera $\hat P=-i\hbar\, d/dx$, puis nous montrerons que le passage de la représentation position à la représentation impulsion est une transformation de Fourier. Le Hamiltonien prendra alors la forme différentielle qui sera le point de départ de toutes les leçons suivantes.

1. Un espace de dimension infinie

Commençons par une question simple : peut-on réaliser la relation canonique avec des matrices, comme nous l'avons fait pour le spin à la leçon 2 ? La réponse est non, et l'argument tient en une ligne. Supposons que $\hat X$ et $\hat P$ soient deux matrices $n\times n$. La trace d'un produit ne dépend pas de l'ordre des facteurs, $\tr(AB)=\tr(BA)$, de sorte que

$$\tr\bigl([\hat X,\hat P]\bigr)=\tr(\hat X\hat P)-\tr(\hat P\hat X)=0, \qquad\text{alors que}\qquad \tr\bigl(i\hbar\mathbf{1}_n\bigr)=i\hbar\, n\neq0.$$

La relation canonique est donc impossible en dimension finie : l'espace des états d'une particule est nécessairement de dimension infinie¹.

Ce résultat est cohérent avec ce que nous savons déjà. La leçon 1 nous a appris que la mesure de position donne un résultat continu $x\in\R$, avec une densité de probabilité $|\psi(x)|^2$ dont l'intégrale vaut un. L'état est donc décrit par une fonction de carré intégrable, et l'espace des états est

$$\H=L^2(\R),\qquad \braket{\phi}{\psi}=\int_\R\phi(x)^*\psi(x)\,dx .$$

Rappelons qu'en toute rigueur, deux fonctions égales presque partout représentent le même élément de $L^2(\R)$, de sorte que la valeur de $\psi$ en un point isolé n'a pas de sens. Dans toute la suite, et comme le font les physiciens, nous calculerons sur des fonctions régulières, pour lesquelles ces évaluations ponctuelles ne posent pas de problème. La section « Pour aller plus loin » en fin de leçon précise ce qui se cache derrière cette convention.

2. La représentation position

2.1. L'opérateur position et ses états propres

La façon la plus simple de réaliser l'observable position sur des fonctions est de multiplier par $x$ :

On vérifie immédiatement que cet opérateur est symétrique, puisque $\braket{\phi}{\hat X\psi}=\int x\,\phi^*\psi\,dx=\braket{\hat X\phi}{\psi}$, $x$ étant réel. Il faut cependant que $x\psi(x)$ soit encore de carré intégrable, ce qui n'est pas le cas de toutes les fonctions de $L^2(\R)$ : c'est la condition de domaine $\int x^2|\psi|^2dx<\infty$ déjà rencontrée à la leçon 1, qui exprime que la variance de la position est finie.

Cherchons maintenant les vecteurs propres de $\hat X$. L'équation $\hat X\psi=x_0\psi$ s'écrit

$$(x-x_0)\,\psi(x)=0\qquad\text{pour tout }x .$$

Elle impose $\psi(x)=0$ partout sauf en $x=x_0$. Une telle fonction est nulle presque partout, donc égale au vecteur nul de $L^2(\R)$ : l'opérateur position n'a aucun vecteur propre dans l'espace de Hilbert. C'est la situation typique d'un spectre continu, déjà évoquée au thème 2. Intuitivement pourtant, un état propre de la position devrait être une fonction « infiniment concentrée » en $x_0$, nulle ailleurs, et dont l'intégrale ne soit pas nulle. Aucune fonction ordinaire ne possède ces propriétés, mais on peut leur donner un sens comme limite.

2.2. La distribution de Dirac

Considérons la famille de gaussiennes

$$g_\sigma(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,e^{-x^2/(2\sigma^2)}, \qquad \int_\R g_\sigma(x)\,dx=1,$$

représentée sur la Figure 1. Lorsque $\sigma\to0$, ces fonctions deviennent de plus en plus hautes et étroites, tout en gardant une aire égale à un. Elles n'ont pas de limite en tant que fonctions, puisque $g_\sigma(0)\to+\infty$. En revanche, pour toute fonction $f$ continue et bornée, l'intégrale

$$\int_\R g_\sigma(x)\,f(x)\,dx$$

tend vers $f(0)$ : quand $\sigma$ est très petit, seules les valeurs de $f$ au voisinage immédiat de l'origine contribuent, et on peut y remplacer $f(x)$ par $f(0)$. C'est cette action sous l'intégrale qui possède une limite, et c'est elle qui sert de définition.

Le delta n'est donc pas une fonction, mais une distribution, c'est-à-dire un objet qui n'a de sens qu'intégré contre une fonction régulière. Les physiciens l'écrivent néanmoins comme une fonction, et le manipulent comme tel sous les intégrales ; tant qu'on garde en tête la définition (2), cela ne pose pas de difficulté. Une seule chose est vraiment interdite : donner un sens à $\delta(0)$, ou à $\int\delta(x)^2dx$, qui n'existent pas. Quelques règles de calcul utiles sont rassemblées en fin de leçon.

2.3. Les kets de position

Nous pouvons maintenant introduire, pour chaque $x\in\R$, un ket $\ket{x}$ qui représente la particule « exactement en $x$ ». Il vérifie formellement l'équation aux valeurs propres

mais il n'appartient pas à $L^2(\R)$ : on parle d'état propre généralisé. Sa fonction d'onde est précisément le delta, $\braket{x'}{x}=\delta(x'-x)$, comme le suggérait la discussion précédente.

Le grand intérêt de ces kets est qu'ils permettent de calculer comme dans une base orthonormée, en remplaçant les sommes discrètes par des intégrales et le symbole de Kronecker par le delta de Dirac. C'est la notation des physiciens pour les familles spectrales vues au thème 2 :

Nous résumons ces relations d'orthogonalité et de fermeture par

La relation de fermeture est l'outil de base de tous les calculs qui suivent : on l'insère entre un bra et un ket, et le produit scalaire abstrait devient une intégrale. Par exemple,

$$\braket{\phi}{\psi}=\bra\phi\left(\int_\R\ket{x}\bra{x}\,dx\right)\ket\psi =\int_\R\braket{\phi}{x}\braket{x}{\psi}\,dx =\int_\R\phi(x)^*\psi(x)\,dx,$$

où l'on a utilisé $\braket{\phi}{x}=\braket{x}{\phi}^*=\phi(x)^*$. On retrouve le produit scalaire de $L^2(\R)$, ce qui était bien le but recherché. De même, appliquer la relation de fermeture au ket $\ket\psi$ lui-même donne sa décomposition sur les kets de position,

analogue continu de $\ket\psi=\sum_nc_n\ket n$. La fonction d'onde $\psi(x)$ joue donc le rôle des composantes de $\ket\psi$ dans la « base » des positions. On dit que $\psi(x)$ est la représentation position du ket $\ket\psi$. Nous verrons plus bas qu'il en existe d'autres.

2.4. L'opérateur position et ses projecteurs

La décomposition spectrale de $\hat X$ s'écrit, avec ces notations,

C'est l'analogue continu de $\hat A=\sum_na_n\ket{a_n}\bra{a_n}$. Vérifions qu'elle redonne bien l'action (1). Les éléments de matrice de $\hat X$ entre kets de position sont

$$\bra{x}\hat X\ket{x'}=x'\braket{x}{x'}=x'\,\delta(x-x')=x\,\delta(x-x'),$$

la dernière égalité venant de ce que le delta impose $x'=x$ sous l'intégrale. En insérant la relation de fermeture, on obtient

$$(\hat X\psi)(x)=\bra{x}\hat X\ket\psi =\int_\R\bra{x}\hat X\ket{x'}\braket{x'}{\psi}\,dx' =\int_\R x\,\delta(x-x')\,\psi(x')\,dx' =x\,\psi(x).$$

La boucle est bouclée : l'opérateur de multiplication par $x$ est bien l'opérateur dont les kets $\ket{x}$ sont les états propres généralisés.

Le même formalisme redonne les règles de mesure énoncées à la leçon 1. Le projecteur spectral associé à l'intervalle de positions $I=[a,b]$ est

analogue de la somme des projecteurs $\ket{a_n}\bra{a_n}$ sur les valeurs propres contenues dans $I$. Appliqué à un état, il donne

$$\braket{x'}{\hat\Pi_I\psi} =\int_a^b\braket{x'}{x}\braket{x}{\psi}\,dx =\int_a^b\delta(x'-x)\,\psi(x)\,dx =\mathbf 1_I(x')\,\psi(x'),$$

où $\mathbf 1_I$ vaut $1$ dans l'intervalle et $0$ ailleurs. Le projecteur conserve donc la partie de la fonction d'onde située dans $I$ et annule le reste. La probabilité de trouver la particule dans $I$ et l'état après mesure s'en déduisent comme dans le cas discret :

$$P_\psi(x\in I)=\bra\psi\hat\Pi_I\ket\psi=\int_a^b|\psi(x)|^2\,dx, \qquad \ket\psi\longrightarrow\frac{\hat\Pi_I\ket\psi}{\sqrt{P_\psi(x\in I)}} .$$

Ce sont exactement les formules que nous avions postulées à la leçon 1. Elles apparaissent maintenant comme le cas particulier, pour l'observable position, des postulats généraux de la mesure.

3. L'impulsion, générateur des translations

3.1. Les translations

L'opérateur position était facile à deviner. L'impulsion l'est moins : comment agit-elle sur une fonction d'onde ? Pour le comprendre, nous allons utiliser une propriété que la mécanique analytique nous a déjà apprise : l'impulsion est la grandeur associée aux translations dans l'espace².

Translatons un état d'une distance $a$ vers la droite. Si la fonction d'onde initiale est un paquet centré en $x_0$, la fonction d'onde translatée est le même paquet, centré en $x_0+a$. La nouvelle fonction prend donc en $x$ la valeur que l'ancienne prenait en $x-a$ :

$$(T(a)\psi)(x)=\psi(x-a).$$

Cet opérateur possède trois propriétés importantes. Il conserve le produit scalaire, puisqu'un changement de variable $u=x-a$ dans l'intégrale donne $\braket{T(a)\phi}{T(a)\psi}=\braket{\phi}{\psi}$ : il est unitaire. Il vérifie la loi de groupe $T(a)T(b)=T(a+b)$, puisque deux translations successives se composent en une seule. Enfin $T(0)=\mathbf{1}$ et $T(a)$ dépend continûment de $a$.

Nous avons rencontré exactement cette situation à la leçon 1 avec l'opérateur d'évolution $U(t)$. Le théorème de Stone nous dit qu'un tel groupe unitaire continu à un paramètre s'écrit toujours comme l'exponentielle d'un opérateur auto-adjoint, appelé son générateur. Pour l'évolution temporelle, le générateur était le Hamiltonien ; pour les translations, nous définissons l'impulsion comme leur générateur, avec la convention

Le facteur $\hbar$ assure que $\hat P$ a la dimension d'une impulsion, et le signe est choisi par analogie avec $U(t)=e^{-i\hat Ht/\hbar}$.

3.2. L'action de l'impulsion

Il reste à en déduire l'action de $\hat P$. Pour une petite translation, on peut développer les deux expressions de $T(a)\psi$ au premier ordre en $a$. D'un côté, le développement de Taylor de la fonction d'onde donne

$$(T(a)\psi)(x)=\psi(x-a)=\psi(x)-a\,\psi'(x)+O(a^2).$$

De l'autre, le développement de l'exponentielle (8) donne

$$T(a)\psi=\psi-\frac{ia}{\hbar}\hat P\psi+O(a^2).$$

En identifiant les termes du premier ordre, $-a\psi'=-ia\hat P\psi/\hbar$, on trouve

Voici donc l'opérateur impulsion en représentation position : à un facteur $-i\hbar$ près, c'est la dérivation. Le facteur $i$ n'est pas un artifice ; il est nécessaire pour que l'opérateur soit symétrique, comme nous allons le voir. On remarque aussi que, pour une onde $e^{ikx}$, l'action de $\hat P$ donne $\hbar k\,e^{ikx}$ : on retrouve la relation de de Broglie $p=\hbar k$ entre impulsion et nombre d'onde. Pour une autre présentation de ce lien entre translations et impulsion, voir les notes du MIT, cours 8.321, séance 5^[1].

Démonstration.

Écrivons le membre de gauche, en se souvenant que le produit scalaire conjugue son premier argument : le facteur $-i\hbar$ devient $+i\hbar$. Une intégration par parties donne alors $$\begin{aligned} \braket{\hat P\phi}{\psi} &=\int_\R\bigl(-i\hbar\,\phi'(x)\bigr)^*\psi(x)\,dx =i\hbar\int_\R\phi'(x)^*\psi(x)\,dx\\ &=i\hbar\Bigl[\phi(x)^*\psi(x)\Bigr]_{-\infty}^{+\infty} -i\hbar\int_\R\phi(x)^*\psi'(x)\,dx . \end{aligned}$$

Le terme de bord est nul puisque les fonctions tendent vers zéro à l'infini, et il reste $\int\phi^*(-i\hbar\psi')\,dx=\braket{\phi}{\hat P\psi}$. □

Sans le facteur $i$, la dérivation $d/dx$ seule serait antisymétrique : la même intégration par parties donne $\braket{\phi'}{\psi}=-\braket{\phi}{\psi'}$. C'est la conjugaison de $i$ qui compense ce signe. Notez que nous avons seulement établi la symétrie de $\hat P$ sur des fonctions régulières ; son auto-adjonction demande de préciser le domaine, ce que nous admettrons ici (cf. « Pour aller plus loin »). Sur un intervalle borné, les termes de bord ne disparaissent plus d'eux-mêmes et il faudra des conditions aux limites : nous le verrons avec les puits de potentiel.

3.3. Le commutateur canonique

Nous pouvons maintenant vérifier que notre représentation réalise bien la relation canonique postulée à la leçon 3.

Démonstration.

Calculons séparément les deux produits. D'une part, $$(\hat X\hat P\psi)(x)=x\,\bigl(-i\hbar\,\psi'(x)\bigr)=-i\hbar\,x\psi'(x).$$

D'autre part, $\hat P$ agit sur la fonction $x\psi(x)$, dont la dérivée se calcule par la règle du produit :

$$(\hat P\hat X\psi)(x)=-i\hbar\,\frac{d}{dx}\bigl(x\psi(x)\bigr) =-i\hbar\,\psi(x)-i\hbar\,x\psi'(x).$$

Les termes en $x\psi'$ se compensent dans la différence, et il reste $(\hat X\hat P-\hat P\hat X)\psi=i\hbar\,\psi$. □

Le calcul montre d'où vient le commutateur : c'est le terme supplémentaire produit par la dérivation du facteur $x$. Remarquez que le résultat n'a pas été imposé à la main. Nous avons défini $\hat X$ par la multiplication, et $\hat P$ comme le générateur des translations, et la relation canonique en découle. Les deux points de vue de la leçon 3, la correspondance avec la mécanique classique et la structure de groupe des translations, conduisent donc au même modèle.

4. La représentation impulsion

4.1. Les états propres de l'impulsion

Comme pour la position, cherchons les états propres de l'impulsion. En représentation position, l'équation $\hat P\ket p=p\ket p$ devient une équation différentielle du premier ordre pour la fonction $\braket{x}{p}$ :

$$-i\hbar\,\frac{d}{dx}\braket{x}{p}=p\,\braket{x}{p}, \qquad\text{dont la solution est}\qquad \braket{x}{p}=C\,e^{ipx/\hbar}.$$

Ce sont des ondes planes, de nombre d'onde $k=p/\hbar$. Leur module $|C|$ est constant sur toute la droite : elles ne sont pas de carré intégrable, et $\hat P$ n'a pas non plus de vecteur propre dans $L^2(\R)$. Comme pour la position, on les traite comme des états propres généralisés, et on choisit la constante $C$ de façon à avoir la même normalisation que les kets de position :

$$\braket{p}{p'}=\delta(p-p').$$

Pour fixer $C$, calculons ce produit scalaire en insérant la relation de fermeture en position :

$$\braket{p}{p'}=\int_\R\braket{p}{x}\braket{x}{p'}\,dx =|C|^2\int_\R e^{i(p'-p)x/\hbar}\,dx .$$

L'intégrale d'une exponentielle oscillante sur toute la droite ne converge pas au sens usuel, mais elle a un sens comme distribution. En régularisant par une gaussienne qui tend vers un, puis en utilisant l'intégrale gaussienne (18) établie plus bas, on obtient l'identité

En effet, la fonction $\sqrt{\pi/\epsilon}\,e^{-k^2/(4\epsilon)}$ est, à un facteur $2\pi$ près, la gaussienne $g_\sigma(k)$ de la Figure 1 avec $\sigma^2=2\epsilon$, et elle tend donc vers $2\pi\delta(k)$. Avec $k=(p'-p)/\hbar$ et la règle $\delta(k)=\hbar\,\delta(p'-p)$, on trouve $\braket{p}{p'}=2\pi\hbar|C|^2\delta(p-p')$. On choisit donc $C=1/\sqrt{2\pi\hbar}$, réel positif :

La relation de fermeture en impulsion s'établit de la même façon, en utilisant (11) dans l'autre sens.

4.2. La transformation de Fourier

Nous disposons maintenant de deux « bases » de l'espace des états : les kets de position et les kets d'impulsion. Un même ket $\ket\psi$ possède donc deux représentations : sa fonction d'onde en position $\psi(x)=\braket{x}{\psi}$, et sa fonction d'onde en impulsion $\widetilde\psi(p)=\braket{p}{\psi}$. Le passage de l'une à l'autre s'obtient en insérant une relation de fermeture :

et, en sens inverse,

On reconnaît la transformation de Fourier et sa transformation inverse, écrites avec la variable $p=\hbar k$. Il ne faut pas voir $\widetilde\psi$ comme un objet nouveau : c'est le même état, décrit par ses composantes sur une autre famille de vecteurs. La transformation de Fourier est ici un simple changement de représentation, analogue au changement de base qui, à la leçon 2, faisait passer des composantes sur $\ket{z\pm}$ aux composantes sur $\ket{x\pm}$.

Comme tout changement de base orthonormée, elle conserve le produit scalaire. En particulier,

C'est le théorème de Plancherel, qui se démontre en insérant (14) dans la première intégrale et en utilisant (11). Physiquement, il garantit que $|\widetilde\psi(p)|^2$ est une densité de probabilité correctement normalisée. Par la règle de Born appliquée à l'observable $\hat P$, c'est la densité de probabilité des résultats d'une mesure d'impulsion :

$$P_\psi(p\in J)=\bra\psi\hat\Pi^{(p)}_J\ket\psi=\int_J|\widetilde\psi(p)|^2\,dp, \qquad \hat\Pi_J^{(p)}=\int_J\ket p\bra p\,dp .$$

Les intégrales de Fourier ne convergent absolument que si $\psi$ décroît assez vite. Le théorème de Plancherel, que nous admettons, permet d'étendre la transformation à tout $L^2(\R)$ par continuité. En pratique, nous n'aurons à calculer que des transformées de fonctions régulières.

4.3. Les observables en représentation impulsion

Dans la représentation impulsion, les rôles de $\hat X$ et $\hat P$ s'échangent : c'est maintenant l'impulsion qui agit par multiplication, et la position par dérivation.

Démonstration.

Pour la première relation, on écrit la transformée de $\hat P\psi=-i\hbar\psi'$ et on intègre par parties ; le terme de bord est nul : $$\widetilde{\hat P\psi}(p)=\frac{-i\hbar}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_\R e^{-ipx/\hbar}\psi'(x)\,dx =\frac{i\hbar}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_\R\frac{d}{dx}\bigl(e^{-ipx/\hbar}\bigr)\psi(x)\,dx =p\,\widetilde\psi(p),$$

puisque la dérivée de l'exponentielle fait sortir le facteur $-ip/\hbar$. Pour la seconde, on dérive (13) par rapport à $p$ sous l'intégrale :

$$i\hbar\frac{d\widetilde\psi}{dp}(p) =\frac{i\hbar}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_\R\left(-\frac{ix}{\hbar}\right)e^{-ipx/\hbar}\psi(x)\,dx =\frac1{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_\R e^{-ipx/\hbar}\,x\psi(x)\,dx ,$$

qui est bien la transformée de $x\psi(x)$. □

La symétrie entre les deux représentations est presque parfaite : seul le signe devant la dérivée change, ce qui est nécessaire pour que le commutateur garde la valeur $i\hbar$ (vérifiez-le !). On a donc le choix de travailler dans l'une ou l'autre selon le problème. Nous verrons dès la leçon suivante que la particule libre se traite beaucoup plus simplement en représentation impulsion.

4.4. Un exemple : le paquet d'ondes gaussien

Calculons la transformée de Fourier d'un paquet gaussien, centré en $x_0$, d'impulsion moyenne $p_0$ :

Sa densité de position $|\psi(x)|^2=e^{-(x-x_0)^2/(2\sigma_0^2)}/\sqrt{2\pi\sigma_0^2}$ est une gaussienne normalisée de moyenne $x_0$ et d'écart-type $\sigma_X=\sigma_0$ : la phase $e^{ip_0(x-x_0)/\hbar}$ n'y contribue pas. Nous allons voir que c'est elle qui fixe l'impulsion moyenne. Le calcul repose sur l'intégrale gaussienne, que nous utiliserons souvent : pour $\alpha$ complexe de partie réelle strictement positive et $\beta$ complexe quelconque,

où la racine est prise de partie réelle positive. On l'obtient en complétant le carré, $-\alpha u^2+\beta u=-\alpha\bigl(u-\beta/(2\alpha)\bigr)^2+\beta^2/(4\alpha)$, puis en se ramenant à $\int e^{-\alpha v^2}dv=\sqrt{\pi/\alpha}$.

Dans (13), posons $u=x-x_0$. Il vient

$$\widetilde\psi(p)=\frac{e^{-ipx_0/\hbar}}{\sqrt{2\pi\hbar}\,(2\pi\sigma_0^2)^{1/4}} \int_\R\exp\left[-\frac{u^2}{4\sigma_0^2}-\frac{i(p-p_0)u}{\hbar}\right]du .$$

C'est l'intégrale (18) avec $\alpha=1/(4\sigma_0^2)$ et $\beta=-i(p-p_0)/\hbar$, qui vaut $2\sigma_0\sqrt\pi\,\exp[-\sigma_0^2(p-p_0)^2/\hbar^2]$. En introduisant

$$\sigma_P=\frac{\hbar}{2\sigma_0},$$

et en simplifiant le préfacteur, on obtient

La transformée d'une gaussienne est donc encore une gaussienne. La densité d'impulsion $|\widetilde\psi(p)|^2$ est centrée sur $p_0$, ce qui confirme le rôle de la phase $e^{ip_0x/\hbar}$, et son écart-type est $\sigma_P=\hbar/(2\sigma_0)$. Le produit des deux dispersions vaut

$$\sigma_X\,\sigma_P=\frac\hbar2 .$$

C'est exactement la borne de la relation d'incertitude de Heisenberg démontrée à la leçon 3 : le paquet gaussien est un état d'incertitude minimale. On voit aussi concrètement le mécanisme de cette relation. Pour localiser la particule, il faut une fonction d'onde étroite en $x$, et la transformation de Fourier lui associe nécessairement une fonction large en $p$ : un signal bref contient beaucoup de fréquences. Réciproquement, la position $x_0$ du paquet n'apparaît dans (19) que par une phase, et ne modifie pas la densité d'impulsion.

5. Le Hamiltonien en représentation position

Il ne nous reste plus qu'à écrire le Hamiltonien. Le potentiel $V(\hat X)$ est une fonction de l'opérateur position ; par le calcul fonctionnel, il agit sur les kets de position par $V(\hat X)\ket{x}=V(x)\ket{x}$, et donc par simple multiplication sur les fonctions d'onde :

L'énergie cinétique fait intervenir $\hat P^2$, c'est-à-dire deux dérivations successives, de sorte que $(\hat P^2\psi)(x)=-\hbar^2\psi"(x)$. Le Hamiltonien choisi à la leçon 3 devient donc l'opérateur différentiel

Cette expression ne suffit pas tout à fait à définir l'observable : comme pour $\hat P$, il faut préciser sur quelles fonctions elle agit, et éventuellement imposer des conditions aux limites pour que $\hat H$ soit auto-adjoint. Nous préciserons ces conditions au cas par cas, en particulier pour les puits de potentiel de la leçon 6.

5.1. Extension à trois dimensions

Tout ce qui précède se généralise sans difficulté à une particule dans l'espace. On prend $\H=L^2(\R^3)$, la fonction d'onde $\psi(\mathbf r)=\braket{\mathbf r}{\psi}$ et les kets de position $\ket{\mathbf r}$ normalisés par $\braket{\mathbf r}{\mathbf r'}=\delta^3(\mathbf r-\mathbf r')=\delta(x-x')\delta(y-y')\delta(z-z')$. Chaque coordonnée possède sa propre position et sa propre impulsion, qui agissent par

avec $j=1,2,3$ et $(x_1,x_2,x_3)=(x,y,z)$. On vérifie comme en une dimension les relations canoniques

Pour $j\neq k$, la dérivée $\partial/\partial x_k$ ne voit pas le facteur $x_j$, d'où le commutateur nul ; et les dérivées partielles commutent entre elles. Les trois couples (position, impulsion) sont donc indépendants. Les intégrales sur la position portent désormais sur $d^3\mathbf r$ ; par exemple, le projecteur sur une région $\Omega$ de l'espace est $\int_\Omega\ket{\mathbf r}\bra{\mathbf r}\,d^3\mathbf r$, et la transformation de Fourier fait intervenir les ondes planes $\braket{\mathbf r}{\mathbf p}=e^{i\mathbf p\cdot\mathbf r/\hbar}/(2\pi\hbar)^{3/2}$.

Nous avons désormais tous les ingrédients pour écrire l'équation de Schrödinger d'une particule en représentation position et étudier sa dynamique : ce sera l'objet de la leçon suivante.

6. Pour aller plus loin : domaines et états généralisés

Nous avons manipulé les kets $\ket{x}$ et $\ket p$ comme des vecteurs, alors qu'ils n'appartiennent pas à l'espace de Hilbert. Cette section indique brièvement comment les mathématiciens justifient ces calculs. Elle n'est pas nécessaire pour la suite.

Un domaine commun de calcul.

L'espace de Schwartz $\mathcal S(\R)$ est l'ensemble des fonctions infiniment dérivables qui décroissent, ainsi que toutes leurs dérivées, plus vite que toute puissance de $1/|x|$ :

$$\mathcal S(\R)=\Bigl\{f\in C^\infty(\R)\ :\ \sup_{x\in\R}|x^mf^{(n)}(x)|<\infty\text{ pour tous }m,n\in\N\Bigr\}.$$

Les gaussiennes en font partie. Il est dense dans $L^2(\R)$ et stable par dérivation, par multiplication par $x$ et par transformation de Fourier. C'est donc un domaine commun naturel pour tous les calculs de cette leçon : produits de $\hat X$ et $\hat P$, commutateurs, intégrations par parties sans terme de bord. Les domaines sur lesquels les deux opérateurs sont auto-adjoints sont plus grands :

$$D(\hat X)=\{\psi\in L^2(\R)\ :\ x\psi\in L^2(\R)\},\qquad D(\hat P)=\{\psi\in L^2(\R)\ :\ \psi'\in L^2(\R)\},$$

où la dérivée est prise au sens des distributions. On montre que $\hat X$ et $\hat P$ définis sur $\mathcal S(\R)$ admettent une unique extension auto-adjointe, précisément celle qui est définie sur ces domaines : on dit qu'ils sont essentiellement auto-adjoints sur $\mathcal S(\R)$.

Le triplet de Gelfand.

Pour donner un statut aux kets généralisés, on place l'espace de Hilbert entre deux espaces :

$$\mathcal S(\R)\subset L^2(\R)\subset\mathcal S^{\times}(\R),$$

où $\mathcal S^{\times}(\R)$ est l'espace des formes antilinéaires continues sur $\mathcal S(\R)$, qui contient en particulier les distributions. Un ket ordinaire $\ket\psi$ agit sur une fonction test $f$ par $f\mapsto\braket{f}{\psi}$ ; le ket généralisé $\ket{x_0}$ agit par $f\mapsto f(x_0)^*$, et le ket $\ket p$ par $f\mapsto\widetilde f(p)^*$. Ces formes sont continues pour la topologie de $\mathcal S(\R)$, mais pas pour la norme de $L^2(\R)$ : c'est pourquoi $\bra{x_0}$ n'est pas un bra ordinaire au sens du théorème de Riesz. Les intégrales de kets et de bras écrites dans cette leçon se lisent alors par leur action sur les fonctions test. Voir R. de la Madrid, The role of the rigged Hilbert space in Quantum Mechanics^[2].

Unicité de la représentation.

On peut se demander si la représentation construite ici est la seule possible. Le théorème de Stone—von Neumann répond par l'affirmative, à équivalence unitaire près, pour un nombre fini de degrés de liberté, à condition de formuler la relation canonique sur les groupes unitaires $e^{-ia\hat P/\hbar}$ et $e^{ib\hat X/\hbar}$ (relations de Weyl) plutôt que sur les opérateurs eux-mêmes. Voir P. Woit, Quantum Theory, Groups and Representations^[3].

Quelques formules sur le delta.

Les identités suivantes s'entendent sous une intégrale contre une fonction test, et se démontrent par changement de variable dans (2) :

$$\delta(-x)=\delta(x),\qquad \delta(ax)=\frac1{|a|}\,\delta(x)\quad(a\neq0),\qquad x\,\delta(x)=0 .$$

Si $f$ est régulière et n'a que des zéros simples $x_i$,

$$\delta(f(x))=\sum_i\frac{\delta(x-x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

Enfin, la dérivée du delta est définie par intégration par parties :

$$\int_\R f(x)\,\delta'(x-x_0)\,dx=-f'(x_0).$$

7. Références